安徽省縣中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月聯(lián)考試題含解析

2023~2024學(xué)年安徽縣中聯(lián)盟高二10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生注意：1.滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.3.本卷命題范圍：人教版必修第一冊?第二冊，選擇性必修第一冊2.2結(jié)束.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知是虛數(shù)單位，，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)相等列出方程組，求得的值，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計算公式，即可求解.【詳解】由，可得，解得，則.故選：D.2.已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量得到直線的斜率，進(jìn)而求出傾斜角.【詳解】因為直線的一個方向向量為，所以直線的斜率，又因為，所以，故選：C.3.在棱長為2的正方體中，分別為的中點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用向量加法法則得到，再應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律求模.【詳解】由題設(shè)，易知是邊長為的正三角形，所以.故選：A4.已知直線與軸交于點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后與軸交于點，要使直線平移后經(jīng)過點，則應(yīng)將直線（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】D【解析】【分析】求得旋轉(zhuǎn)后直線的斜率、方程以及點的坐標(biāo)，再根據(jù)直線平移即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，旋轉(zhuǎn)后的直線斜率為，又點坐標(biāo)為，所以旋轉(zhuǎn)后的直線方程為，因為直線過點，所以把直線向右平移個單位長度后經(jīng)過點，故選：D.5.已知向量，若共面，則在上的投影向量的模為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用共面的條件求出，再利用投影向量及模的定義計算即得.【詳解】因為共面，則存在實數(shù)，使得，即，于是，所以在上的投影向量的模為.故選：B6.光線通過點，在直線上反射，反射光線經(jīng)過點，則反射光線所在直線方程為（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出關(guān)于直線的對稱點，從而得到反射光線所在直線經(jīng)過點和對稱點，從而得到反射光線所在直線方程.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，故.由于反射光線所在直線經(jīng)過點和，所以反射光線所在直線的方程為，即.故選：C.7.已知向量，集合，其中，則（）A.B.C.若，則為鈍角D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，令，求得，得到，可判定A、B錯誤；由，得到為銳角，可判定C錯誤；求得，可判定D正確.【詳解】由向量，可得，令，可得，解得，此時，所以，所以A、B錯誤；又由，可得，所以為銳角，所以C錯誤；由向量，可得，所以D正確.故選：D.8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】采用放縮法和中間值比較大小，得到.【詳解】因為，，故，，所以.故選：A.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.定義域為的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，則（）A.B.C.為偶函數(shù)D.不等式的解集為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，可得判定A正確，B錯誤；結(jié)合函數(shù)的圖象變換，可判定C錯誤；結(jié)合題意，分和，兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得不等式的解集，可判定D正確.【詳解】對于A中，由，且在上單調(diào)遞減，可得，所以A正確；對于B中，由函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，可函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱可知在上單調(diào)遞減，且，則，所以，所以B錯誤；對于C中，函數(shù)向左平移2個單位，可得為非奇非偶函數(shù)，所以C錯誤；對于D中，由函數(shù)是的奇函數(shù)，滿足，且在上單調(diào)遞減，可得，且在上單調(diào)遞減，又由不等式，可得當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得，所以不等式的解集為，所以D正確.故選：AD.10.如圖，兩兩垂直，且，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則（）A.點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為B.點關(guān)于點的對稱點的坐標(biāo)為C.夾角的余弦值為D.平面的一個法向量的坐標(biāo)為【答案】AD【解析】【分析】對A：由以及對稱點構(gòu)成正方形，即可求得對稱點坐標(biāo)；對B：由中點坐標(biāo)公式，即可判斷；對C：利用余弦定理求得，即可判斷；對D：寫出平面中兩個不共線的向量坐標(biāo)，求平面法向量即可.【詳解】對A：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則四邊形為正方形，所以坐標(biāo)為，A正確；對B：設(shè)點關(guān)于點的對稱點為，則中點為，由得，B錯誤；對C：由，得，所以夾角的余弦值為，C錯誤；對D，因為，設(shè)平面的一個法向量的坐標(biāo)為,，則，取得平面的一個法向量的坐標(biāo)為，D正確；故選：AD.11.已知，點及直線，則（）A.直線恒過的定點在直線上B.若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則C.若直線過第二、四象限，則D.若直線及與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓，則【答案】CD【解析】【分析】A選項，考慮直線斜率不存在和斜率存在兩種情況，得到所過定點，得到答案；B選項，分析出直線過原點或直線不過原點且斜率為-1兩種情況，求出的值；C選項，根據(jù)直線的斜率小于0，得到；D選項，根據(jù)題意得到只有時滿足題意，求出.【詳解】對于，直線斜率不存在時，，得，直線方程為，直線斜率存在時，其方程為，得其過定點，綜上，直線過點，其不在直線上，錯誤；對于，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線過原點或直線不過原點且斜率為-1，當(dāng)直線過原點時，解得，直線不過原點且斜率為-1時，解得，錯誤；對于，直線過第二、四象限，則直線斜率，解得，正確；對于D，若直線及與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓，則該四邊形對角互補，又直線過定點，經(jīng)分析知只有時滿足題意，此時直線的斜率為，D正確.故選：CD.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.都是周期函數(shù)，且有相同的最小正周期B.若在上有2個不同實根，則的取值范圍是C.若方程在上有6個不同實根，則的值可以是D.若方程在上有5個不同實根，則的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】求出周期可判斷A；利用在上的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)都是最小正周期為2的周期函數(shù)，結(jié)合圖象可判斷C；結(jié)合圖象可判斷D.【詳解】對于A，周期為，的周期為，所以都是周期函數(shù)，且最小正周期都是2，A正確；對于B，時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，因為時，所以，所以的取值范圍是，B正確；對于C，都是最小正周期為2的周期函數(shù)，，，在上兩函數(shù)圖象有1個交點，，在每個周期上兩函數(shù)圖象有2個交點，所以方程在上有5個實根，C錯誤；對于D，方程在上有5不同實根，，所以的取值范圍是，D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是結(jié)合函數(shù)的圖象得到答案.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知是隨機事件，則“”是“與互斥而不對立”的__________條件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】必要不充分【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義即可結(jié)合必要不充分條件求解.【詳解】由不能得到與互斥而不對立，若與互斥而不對立，則，所以“”是“與互斥而不對立”的必要不充分條件，故答案為：必要不充分14.已知平面的一個法向量，點，且，則__________.【答案】##5.25【解析】【分析】根據(jù)題意得到，從而得到，即可得到答案.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以，所以.故答案為：15.已知點分別在直線上移動，若為原點，，則直線斜率的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)斜率公式，求得斜率，結(jié)合的范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】因為點分別在直線上移動，所以0，兩式相減得，所以直線的斜率，因為，所以，所以，即直線斜率的取值范圍是.故答案為：.16.截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個頂點所產(chǎn)生的多面體.如圖所示，將棱長為6的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為2的截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)截角四面體的定義，還原為正四面體，然后利用正四面體的相關(guān)性質(zhì)即可求解.【詳解】因為棱長為的正四面體的高為，所以截角四面體上下底面距離為，設(shè)其外接球的半徑為，等邊三角形的中心為，正六邊形的中心為，易知外接球球心在線段上，且垂直于平面與平面，則，所以，解得，所以該截角四面體的外接球的表面積為.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程和解題步驟.17.已知直線.（1）若，求的值；（2）若，求過原點與點的直線的方程.【答案】（1）3或-1（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)直線平行得到關(guān)于a的方程，求出a，檢驗后得到答案；（2）根據(jù)直線垂直得到關(guān)于a的方程，求出，進(jìn)而得到直線的方程.小問1詳解】因為，所以，化簡得，解得或，當(dāng)或時，與均不重合，所以的值為3或-1.【小問2詳解】因為，所以，解得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為3的菱形，.（1）利用空間向量證明；（2）求的長.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）以為基底，表達(dá)出，計算出，證明出結(jié)論；（2）在（1）基礎(chǔ)上，表達(dá)出，平方后得到，開方后得到答案.【小問1詳解】證明：設(shè)，則構(gòu)成空間的一個基底，，，所以，所以.【小問2詳解】由（1）知，所以.所以.19.2023年初ChatGPT引發(fā)人工智能熱潮，中國的數(shù)字人技術(shù)廠商積極推動數(shù)字人技術(shù)的廣泛應(yīng)用和持續(xù)創(chuàng)新，下表為2023年中國AI數(shù)字人企業(yè)實力榜前8名：企業(yè)數(shù)字人豐富度數(shù)字人傳播聲量數(shù)字人應(yīng)用潛力綜合得分百度78089.085.084.1科大訊飛78.484.384.982.8360集團82.382.283.182.6小冰公式85.081.981.382.6華為77.090.079.181.7阿里巴巴77.078.884.180.4抖音集團77.080.980.979.8嘩哩嘩哩77.281.880.079.7（1）求這8家企業(yè)綜合得分的極差及數(shù)字人豐富度的第45百分位數(shù)；（2）求這8家企業(yè)數(shù)字人應(yīng)用潛力的平均數(shù)與方差（精確到0.1）；（3）把這8家企業(yè)的數(shù)字人傳播聲量按照從大到小排列，從前5個數(shù)據(jù)中任選2個數(shù)據(jù)，記事件“兩數(shù)之和大于171.0”，事件“兩數(shù)之差的絕對值”，判斷事件A與事件是否相互獨立.【答案】（1）4.4，77.2（2）平均數(shù)82.3，方差4.6（3）事件A與事件相互獨立.【解析】【分析】（1）利用極差的定義和百分?jǐn)?shù)的定義進(jìn)行計算；（2）先計算出平均數(shù)，進(jìn)而求出方差；（3）列舉法求古典概型的概率，得到事件，事件和事件的概率，進(jìn)而得到事件A與事件相互獨立.【小問1詳解】這8家企業(yè)綜合得分的極差為，因為，所以把數(shù)字人豐富度的8個數(shù)據(jù)按照從小到大排列，則第45百分位數(shù)為第4個數(shù)據(jù)77.2.【小問2詳解】，，【小問3詳解】把這8家企業(yè)的數(shù)字人傳播聲量按照從大到小排列，前5個數(shù)據(jù)依次為：，從中任取2個不同數(shù)據(jù)，結(jié)果有：，共有10種，，，，，，，，即事件A與事件相互獨立.20.已知為坐標(biāo)原點，，過點且斜率為的直線與軸負(fù)半軸及軸正半軸分別交于點.（1）求的最小值；（2）若的面積為，且對于每一個的值滿足條件的值只有2個，求的取值范圍.【答案】（1）4（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)的傾斜角為，根據(jù)題意求得，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）設(shè)的方程為，求得，得到，轉(zhuǎn)化為方程有2個不同的正根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】解：因為過點且斜率為的直線與軸負(fù)半軸及軸正半軸分別交于點，如圖所示，可得斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，可得，所以當(dāng)時，即時，取得最小值.【小問2詳解】接：根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，即，可得，所以，整理得，因為對于每一個的值滿足條件的值只有2個，所以該方程有2個不同的正根，則滿足，解得，所以的取值范圍是.21.已知中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）若的平分線與邊交于點，求的值；（2）若，點分別在邊上，的周長為5，求的最小值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）聯(lián)立所給等量可得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理即可求解，根據(jù)角平分線結(jié)合三角形面積公式可得，結(jié)合即可求解，（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合基本不等式即可求解.【小問1詳解】可得，解得，設(shè)，則，由余弦定理得，所以.因為為的平分線，所以，又，則.【小問2詳解】因為，由（1）得，設(shè)，由余弦定理得，所以，因為，所以，當(dāng)時取等號，所以，所以，當(dāng)時取等號，所以的最小值為.22.如圖，在四棱柱中，四棱錐是正四棱錐，.（1）求與平面所成角的正弦值；（2）若四棱柱的體積為16，點在棱上，且，求點到平面的距離.【答案】（1）（2）【解析】