試卷解析：廣東省汕頭市金X中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023級高一第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷出題人：XXX；審核人：XXX一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化簡集合，判斷兩個集合之間的關(guān)系即可得答案.【詳解】由題可得，，所以，且，，.故選：B.2.（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】借助誘導(dǎo)公式計算即可得.【詳解】.故選：B.3.若為實數(shù)，則“”是“”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【詳解】若“0＜ab＜1”，當(dāng)a，b均小于0時，b＞即“0＜ab＜1”?“b＜”為假命題；若“b＜當(dāng)a＜0時，ab＞1，即“b＜”?“0＜ab＜1”為假命題，綜上“0＜ab＜1”是“b＜”的既不充分也不必要條件，故選D4.已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，若當(dāng)時，，則（）A.－2B.－1C.D.【答案】D【解析】【分析】由題意得函數(shù)周期以及，由周期性結(jié)合對數(shù)運算即可得解.【詳解】由題意得，，所以函數(shù)的周期為4，且，所以.故選：D.5.一種藥在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危險．現(xiàn)給某病人注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過（）小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．（附：，，結(jié)果精確到）A.小時B.小時C.小時D.小時【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知關(guān)系式可得不等式，結(jié)合對數(shù)運算法則解不等式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)應(yīng)在病人注射這種藥小時后再向病人的血液補充這種藥，則，整理可得：，，，，，即應(yīng)在用藥小時后再向病人的血液補充這種藥.故選：A6.已知函數(shù)在上有4個零點，則實數(shù)a的最大值為()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化簡f(x)解析式，令f(x)=0得sinx=0或cosx=，在同一個坐標(biāo)系作出正弦和余弦函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解．【詳解】，令f(x)=0得sinx=0或cosx=，作出y=sinx和y=cosx的圖象：f(x)在上有4個零點，則，故a的最大值為．故選：C．7.設(shè)，，，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】通過指數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)判斷出，再利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出，，從而得出結(jié)論.【詳解】因為，結(jié)合指數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)知：，所以，又，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，，即，又由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，，即，綜上，，故選：A.8.已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，當(dāng)時，，若關(guān)于x的方程，有且只有7個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，可知方程必有兩個根，結(jié)合函數(shù)的圖象及韋達(dá)定理即得.【詳解】由題可畫出函數(shù)的大致圖象，關(guān)于的方程有且只有個不同實數(shù)根，設(shè)，則結(jié)合函數(shù)圖象，可知方程必有兩個根，且，∴，則，即.故選：A.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．二、多選題：本題共4小題，共20分．9.下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)x>0時，+≥2B.當(dāng)x>3時，x+的最小值是2C.當(dāng)x<時，2x1+的最小值是4D.設(shè)x>0，y>0，且2x+y=1，則的最小值是9【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式判斷各選項．【詳解】解：對于選項A，當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，結(jié)論成立，故A正確；對于選項B，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，但，等號取不到，因此的最小值不是2，故B錯誤；對于選項C，因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故C錯誤；對于選項D，因，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故D正確.故選：AD.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方．10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象可由函數(shù)向左平移個長度單位得到B.是函數(shù)圖象的一條對稱軸C.若，則的最小值為D.方程在區(qū)間上只有一個根時，實數(shù)a的取值范圍為【答案】BC【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，然后逐個選項分析判斷即可得.【詳解】由題可得，故，又，故，，故，解得，由，故，即，對A：函數(shù)向左平移個長度單位后，可得，故A錯誤；對B：當(dāng)時，，故B正確；對C：由，故、中一個為最小值點，一個為最大值點，故，故C正確；對D：當(dāng)時，，由，故方程在區(qū)間上只有一個根時，實數(shù)的取值范圍為，故D錯誤.故選：BC.11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知任意角以x軸的正半軸為始邊，若終邊經(jīng)過點且，定義：，稱“”為“正余弦函數(shù)”．對于正余弦函數(shù)，正確的是（）A.該函數(shù)的值域為B.該函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱C.該函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱D.該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)“正余弦函數(shù)”的定義得到函數(shù)，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)分別進行判斷即可得到結(jié)論．【詳解】對A：由三角函數(shù)的定義可知，所以，故A錯誤；對B：，所以，故B錯誤；對C：當(dāng)時，，故C正確；對D：因為，令，，得，，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故D正確.故選：CD.12.已知函數(shù)，的定義域均為，且，，若的圖象關(guān)于直線對稱，則以下說法正確的是（）A.為奇函數(shù)B.C.，D.若的值域為，則【答案】BC【解析】【分析】由得，與聯(lián)立得，再結(jié)合的圖象關(guān)于直線對稱，可得的周期、奇偶性、對稱中心，可依次驗證各選項正誤.【詳解】，，，，關(guān)于對稱，，，，，故C正確；關(guān)于對稱，，，為偶函數(shù)，，，，，，偶函數(shù)，故A錯誤；，圖象關(guān)于點中心對稱，存在一對最小值點與最大值點也關(guān)于對稱，，，故D錯誤；由得，又，所以，由得，所以，故B正確；故選：BC.【點睛】關(guān)鍵點睛：對含有混合關(guān)系的抽象函數(shù)，要探求性質(zhì)首先要消去一個函數(shù)只剩下另一下函數(shù)，消去其中一個函數(shù)的方法就是對進行合理的賦值，組成方程組消去一個函數(shù)，再考查剩余函數(shù)的性質(zhì).對抽象函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性以及圖象的對稱性的綜合應(yīng)用，解決該問題應(yīng)該注意的事項：（1）賦值法的使用，注意和題目條件作聯(lián)系；（2）轉(zhuǎn)化過程要以相關(guān)定義為目的，不斷轉(zhuǎn)變.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)零點的個數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】令，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像交點個數(shù)，來判斷出零點的個數(shù).【詳解】令得，畫出的圖像如下圖所示，由圖可知，兩個函數(shù)圖像有個交點，故函數(shù)有個零點.故答案為：.【點睛】本小題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.14.將函數(shù)的圖象沿x軸向右平移個長度單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)圖象平移求得平移后的函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)是偶函數(shù)，即可求得，即可求出的最小值.【詳解】函數(shù)的圖象沿x軸向右平移個單位后，得，因為其為偶函數(shù)，故可得，得，則，當(dāng)，有.故答案為：.15.______．【答案】【解析】【分析】由兩角和與差的正弦和余弦公式即可化簡求值.【詳解】.故.故答案為：.16.若實數(shù)a，b，c滿足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，則c的最大值是______．【答案】2﹣log23【解析】【詳解】試題分析：由基本不等式得2a+2b≥，可求出2a+b的范圍，再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表達(dá)，利用不等式的性質(zhì)求范圍即可．解：由基本不等式得2a+2b≥，即2a+b≥，所以2a+b≥4，令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=因為t≥4，所以，即，所以故答案2﹣log23點評：本題考查指數(shù)的運算法則，基本不等式求最值、不等式的性質(zhì)等問題，綜合性較強．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知非空集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用集合的運算求解即可；（2）將充分不必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，或，解不等式得：，即，所以.【小問2詳解】，即，，若“”是“”的充分不必要條件，即，所以（等號不同時成立），解得：；即實數(shù)a的取值范圍為．18.已知，.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩角差正切公式求得，然后化弦為切及二倍角公式，結(jié)合“1”的代換化弦為切求解即可；（2）先利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得，然后利用兩角和正切公式求值，最后根據(jù)角的范圍確定角的大小.【小問1詳解】因為，，所以，解得，所以；【小問2詳解】因為，且，所以，所以.所以，又因為，，所以，所以.19.一個大風(fēng)車的半徑為8米，風(fēng)車按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，并且12分鐘旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點離地面2米，設(shè)風(fēng)車開始旋轉(zhuǎn)時其翼片的一個端點在風(fēng)車的最低點，求：（1）點離地面距離（米與時間（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在第一圈的什么時間段點離地面的高度超過14米？【答案】（1），；（2）．【解析】分析】（1）設(shè)，由題意求得各參數(shù)值，得解析式；（2）解不等式可得．【詳解】（1）設(shè)，由題意得：，，；則，當(dāng)時，，即；因此，；因此，，；（2）由題意：，即：；則：；又因為，所以．20.已知函數(shù)，．（1）求方程的解集；（2）若不等式對于恒成立，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）將看成整體計算即可得；（2）可將原不等式轉(zhuǎn)化為對于恒成立，結(jié)合基本不等式即可得.【小問1詳解】，因為，則，即，則或，解得或，所以方程的解集為；【小問2詳解】對，，設(shè)，，所以不等式對于恒成立等價于不等式對于恒成立，即對于恒成立，設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故取得最小值，∴，即m的取值范圍為．21.已知函數(shù)圖像的兩條相鄰對稱軸為.(1)求函數(shù)的對稱軸方程；(2)若函數(shù)在上的零點為，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)化簡可得，由題意可得周期，所以的值，易得函數(shù)的對稱軸；(2)由(1)可得的一條對稱軸，則，，結(jié)合條件求解即可.【詳解】(1)由題意可得周期，所以所以故函數(shù)的對稱軸方程為即(2)由條件知，且易知與關(guān)于對稱，則所以22.設(shè)函數(shù)的定義域為D，若存在，使得成立，則稱為的一個“不動點”，也稱在定義域D上存在不動點.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在不動點，求實數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，若，都有成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題可得在[0，1]上有解，令，可得在[1,2]上有解，分離參數(shù)即可求解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性求出的最值