2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】充分條件與必要條件(2)-教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期第一學(xué)期課題充分條件與必要條件（2）教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：理解什么是充要條件，理解充要條件的含義；通過對初中定理的再認(rèn)識，理解充要條件和數(shù)學(xué)定義之間的關(guān)系；體會(huì)常用邏輯用語在表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容上的作用，逐步提升邏輯推理素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：理解充要條件的含義，體會(huì)充要條件與充分條件，充要條件與必要條件的關(guān)系.教學(xué)難點(diǎn)：理解充要條件與數(shù)學(xué)定義之間關(guān)系，能用數(shù)學(xué)語言證明充要條件.教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)5分鐘引入教師：提出思考問題，下列“若p，則q”形式的命題，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？1、若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等，則這兩個(gè)三角形全等;2、若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的周長相等;3、若一元二次方程ax2+4、若A∪學(xué)生先認(rèn)識逆命題，再在教師引導(dǎo)下將命題拆解為語句p與語句q，將原命題寫為“若p，則q”，逆命題寫為“若q，則p”的形式，并判斷原命題和逆命題的真假.學(xué)生思考，闡述自己的認(rèn)識.并給出判斷依據(jù)，得出結(jié)論.2分鐘概念教學(xué)通過思考題，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)命題1、4的原命題和逆命題都是真命題.在此基礎(chǔ)上理解什么是充要條件，總結(jié)得出充要條件的概念.定義：如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p就記作p?q.讀作p等價(jià)于q.此時(shí)p既是q5分鐘概念解讀例3：下列各命題中，哪些p是q的充要條件？（1）p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直平分；（2）p:兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形三邊成比例；（3）p:xy>0，q:x>0，y>0（4）p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，q對于命題1，由于四邊形的對角線互相垂直平分只能推出四邊形是菱形，不能推出四邊形是正方形，所以q?p，所以p不是q的充要條件；p是對于命題2，兩個(gè)三角形相似，可以由相似三角形性質(zhì)定理推出兩個(gè)三角形三邊成比例.反之，由兩個(gè)三角形三邊成比例也可以推出兩個(gè)三角形相似，這是相似三角形的判定定理，所以命題2中p是q的充要條件.對于命題3:由xy>0，不僅能推出x>0時(shí)y>0，還可以推出x＜0時(shí)y＜0，所以p?q對于命題4，x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，將x=1代入方程得到a+b+c=0a≠0；反之如果a+b+c=0a≠0那么當(dāng)注意：通過例題，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，判斷p是q的充要條件，需要我們判斷命題是否既有p?q，又有q?p.所以我們既要判斷“若p，則q”是否為真，又要判斷“若q，則p”是否為真.p?q，q?p，p是q的充要條件；p?q，q?p，p是q的充分不必要條件；p?q，q?p，p是q3分鐘鞏固練習(xí)練習(xí)：下列各組命題中，p是q的什么條件？（請用“充分不必要條件”，“必要不充分條件”，“充要條件”，“既不充分也不必要條件”回答）（1）p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等邊三角形；（2）p：一元二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)根，q（3）p:x>y，q:x2（4）p:x>0，q：x問題1中由于語句p不能推出語句q，語句q可以推出語句p，所以p是q的必要不充分條件；問題2中由于語句p能推出語句q，語句q也可以推出語句p，所以p是q的充要條件；問題3由于語句p不能推出語句q，語句q不能推出語句p，所以p是q的既不充分也不必要條件；問題4由于語句p能推出語句q，語句q不能推出語句p，所以p是q的充分不必要條件.8分鐘探究思考提問學(xué)生：你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？學(xué)生思考并回答.注意：通過問題，結(jié)合以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)“四邊形的兩組對邊分別平行”，“四邊形的一組對邊平行且相等”，“四邊形的兩組對邊分別相等”，“四邊形的對角線互相平分”，均是“四邊形是平行四邊形”的充要條件.說明充要條件并不唯一.上面四條都可以作為平行四邊形的定義，而這些新的定義方式，分別從不同的側(cè)面刻畫了平行四邊形.使學(xué)生進(jìn)一步理解定義與充要條件之間的關(guān)系.8分鐘能力提升例4：已知圓O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為求證：d=r是直線分析：證明分為兩個(gè)部分，我們把充分性的證明和必要性的證明分開.這樣便于理清證明思路.設(shè)p:d=r，q:直線（1）先來證明充分性：如圖，做OP⊥l于點(diǎn)P，則OP=d.若d=r，則點(diǎn)P在圓O上.在直線l上任取一點(diǎn)Q（異于點(diǎn)P），連接OQ.在直角三角形OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除點(diǎn)P外直線l上的點(diǎn)都在圓O外部，即直線l（2）再來證明必要性：若直線l與圓O相切，不妨設(shè)切點(diǎn)為P，則OP⊥l.因此d=OP綜合（1）（2）可得，d=r是直線l與圓O相切的充要條件.注意：通過例題，學(xué)習(xí)充要條件的證明方法，要證明兩個(gè)命題是否為充要條件關(guān)系，需要我們將問題分為充分性的證明和必要性的證明兩個(gè)部分分別進(jìn)行，這樣既有利于思考清晰，又有利于書寫清楚.結(jié)合實(shí)際問題進(jìn)一步體會(huì)充要條件的含義.在解決問題的過程中注意指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言的表達(dá)方法，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)將命題拆分為“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”的形式再判斷真假.同時(shí)認(rèn)識到充要條件是進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的機(jī)遇.1分鐘總結(jié)新知最后我們一起來總結(jié)一下本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容：1、對于語句p和語句q，如果p?q，q?p，那么