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文檔簡介
(二)教學(xué)設(shè)計
課程基本信息課例編號學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期第一學(xué)期課題三角函數(shù)的應(yīng)用(1)教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo):1.通過對兩個實際問題的學(xué)習(xí),能認(rèn)識三角函數(shù)模型是描述周期變化的重要數(shù)學(xué)模型,了解簡諧運動的函數(shù)模型中參數(shù)的物理意義;2.在問題研究過程中體驗三角函數(shù)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系,增強應(yīng)用意識,感受數(shù)學(xué)應(yīng)用價值;3.在實際問題的解決過程中感受信息技術(shù)處理數(shù)據(jù)的優(yōu)勢,提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).教學(xué)重點:用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的實際問題.教學(xué)難點:了解振子的運動原理,建立有關(guān)數(shù)據(jù)的散點圖,根據(jù)散點圖進行函數(shù)擬合.教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動1分鐘溫故知新我們前面學(xué)習(xí)了角與弧度、三角函數(shù)概念與性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角恒等變換的內(nèi)容,今天我們一起來學(xué)習(xí)三角函數(shù)的應(yīng)用.現(xiàn)實生活中存在大量具有周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)特點的周期運動變化現(xiàn)象,例如地球自轉(zhuǎn)引起的晝夜交替變化和公轉(zhuǎn)引起的四季交替變化,月亮圓缺,潮汐變化,物體作勻速圓周運動時的位置變化,物體做簡諧運動時的位移變化,交變電流變化等.如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性,那么就可以考慮借助三角函數(shù)來描述。本節(jié)課我們將通過兩個具體實例,說明三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用。下面請大家先來看第一個問題.10分鐘學(xué)以致用學(xué)以致用問題1某個彈簧振子(簡稱振子)在完成一次全振動的過程中,時間t(單位:s)與位移y(單位:mm)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如表5.7-1所示。試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個振子的位移關(guān)于時間的函數(shù)解析式.教師:我們可以看到這個問題是研究彈簧振子隨時間呈周期性變化的問題,題目給出了某個振子在完成一次全振動的過程中,時間t與位移y的對應(yīng)數(shù)據(jù)。首先我們一起來看一下物理當(dāng)中的彈簧振子完成一次全振動的過程。教師:我們可以看到振子的振動具有循環(huán)往復(fù)的特點,由振子振動的物理學(xué)原理可知,其位移y隨時間t的變化規(guī)律可以用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)來刻畫.這里自變量是t,函數(shù)值是y.追問1:我們進一步觀察時間和位移之間的三角函數(shù)關(guān)系y=Asin(ωx+φ),要想確定這個函數(shù)解析式,我們需要確定三個量.A,ω,φ.通過來看表格中的具體數(shù)據(jù),請大家想想這些數(shù)據(jù)的物理意義是怎么樣的?他們又對應(yīng)著什么數(shù)學(xué)在這個表中,我們可以不需要計算就能直接得出自變量的t的值所對應(yīng)的y的值,比如時間t=0.00時,彈簧振子的位移是-20.并且可以從表格中看出在t=0.00和t=0.60時所對應(yīng)的位移y是相同的.而且能看到當(dāng)t=0.30時所對應(yīng)的y值是20.追問2:我們知道函數(shù)有三種常用的表示方法.解析法、列表法和圖象法.教師:我們可以看到表格1就是通過列出表格來表示兩個變量t與y之間的對應(yīng)關(guān)系.如果根據(jù)已知數(shù)據(jù)作出散點圖,如圖5.7-1所示.追問3:請同學(xué)們想一想,散點圖可以作為這個函數(shù)的圖象嗎?從散點圖中我們是否能得到上面的信息呢?它和表格1的差別又是怎樣的呢?教師:首先我們要知道,函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線,也可以是直線、折線、離散的點.教師:從散點圖中我們可以直觀形象地看到隨著自變量的變化,相應(yīng)的函數(shù)值變化的趨勢,有利于我們進一步研究函數(shù)的性質(zhì).當(dāng)然我們也可以從散點圖中看到函數(shù)值的最高點和最低點,同時可以看到點的位置先升高再降低,并且具有周期性.追問4:我們知道,彈簧振子成周期變化,那么它的一個最小正周期又是多少呢?我們怎么能通過散點圖得到呢?教師:由散點圖可以看到,在t=0.00和t=0.60時所對應(yīng)的位移y是相同的,于是可以得出振子振動的周期為0.6s,進而可以得出即2πω=0.6,于是解得教師:振子振動時位移的最大值為20mm,因此A=20;振子振動的周期為0.6s,即2πω=0.6,解得ω=10π3;再由初始狀態(tài)(t=0)振子的位移為-20,可得y=203分鐘技巧方法通過這道例題,我們能看到函數(shù)的三種表示,這三種表示分別是解析法、圖象法和列表法.1、解析法:用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系,即將兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系,用一個等式來表示。我們中學(xué)階段所研究的函數(shù)主要是能夠用解析式表示的函數(shù).解析法的優(yōu)點:一是簡明、全面地概括了變量間的對應(yīng)關(guān)系;二是可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值.2、圖象法,就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系,圖象法也常常用于生產(chǎn)和生活中,優(yōu)點是直觀形象地表示隨著自變量的變化,相應(yīng)函數(shù)值變化的趨勢,有利于我們研究函數(shù)的某些性質(zhì).3、列表法,就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系,我們在生活中也經(jīng)常遇到使用列表法的實例,如銀行中利率表、列車時刻表等。列表法的優(yōu)點是不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應(yīng)的函數(shù)值.從上面我們可以看到這三種表示法有各自的優(yōu)點,我們以后學(xué)習(xí)的重點是要在面對實際情境時,會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù).2分鐘技巧方法現(xiàn)實生活中存在大量類似彈簧振子的運動,如鐘擺的擺動,水中浮標(biāo)的上下浮動,琴弦的振動,等等.這些都是物體在某一中心位置附近循環(huán)往復(fù)的運動.在物理學(xué)中,把物體受到的力(總是指向平衡位置)正比于它離開平衡位置的距離的運動稱為“簡諧運動”.可以證明,在適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系下,簡諧運動可以用函數(shù)y=Asinωx+φ,x∈[0,+∞)表示,其中A就是這個簡諧運動的振幅,它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離;這個簡諧運動的周期是T=這個簡諧運動的頻率由公式f=1ωx+φ稱為相位;x=0時的相位φ稱為初相.可以看到我們在物理學(xué)中把三角函數(shù)中的A,ω,5分鐘基本應(yīng)用我們可以看下面這個例子復(fù)習(xí)上面學(xué)習(xí)的內(nèi)容.練習(xí):如圖所示的是某簡諧運動的圖象,試根據(jù)圖象回答下列問題:(1)這個簡諧運動的振幅、周期與頻率各是多少?(2)寫出這個簡諧運動的函數(shù)解析式.解:(1)根據(jù)圖象所示,簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離。所以這個題目中的振幅A=3(cm),觀察得到振子從B到C應(yīng)該是半個周期,所以半周期是2,T=4(s),頻率f=14((2)由(1)可得y=3sinπ2x+φ.由點(1.2,0)在圖象上代入,也就是當(dāng)x=65,0=3sinπ1分鐘綜合應(yīng)用問題2如圖5.7-2(1)所示的是某次實驗測得的交變電流i(單位:A)隨時間t(單位:s)變化的圖象.將測得的圖象放大,得到圖5.7-2(2).(1)求電流i隨時間t變化的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)t=0,1600,12分鐘技巧方法教師:根據(jù)我們物理中的知識,交變電流的產(chǎn)生原理也是一個典型的具有周期變化規(guī)律的物理現(xiàn)象.將實際測得的圖象放大,我們得到圖(2).追問1:我們?yōu)槭裁匆糯髨D象?追問2:觀察這個函數(shù)圖象以及根據(jù)物理知識,我們知道電流隨時間變化應(yīng)該滿足三角函數(shù)關(guān)系,那么要確定這個函數(shù)解析式,我們需要哪些特征值?教師:根據(jù)前面例一的學(xué)習(xí),我們知道要想確定三角函數(shù)關(guān)系,需要確定通過圖象可以直觀形象地看出隨著自變量的變化,相應(yīng)函數(shù)值變化的趨勢,以及函數(shù)的最高和最低點和函數(shù)的周期.因為這里是個實際問題,所以我們都是取近似值.追問3:這里是個實際問題,所以取近似值。由交變電流的產(chǎn)生原理可知,電流i隨時間t的變化規(guī)律可用i=Asin(ωt+φ)來刻畫,其中ω2π表示頻率,A表示振幅,φ表示初相.根據(jù)前面例一的學(xué)習(xí)我們可以知道,我們可以從圖象的幾何特征由圖5.7-2(2)可知,電流最大值為5A,因此A=5;電流變化的周期為150s頻率為50Hz,即ω2π=50,解得ω=100π;再由初始狀態(tài)(t=0)的電流約為4.33A,可得sinφ=0.866,因此φ約為π3.所以電流i=5追問4:解析法的優(yōu)點:一是簡明、全面地概括了變量間的對應(yīng)關(guān)系;二是可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值。所以我們當(dāng)t=0,1600當(dāng)t=0時,i=5當(dāng)t=1600時,當(dāng)t=1150時,當(dāng)t=7600時,當(dāng)t=160時,我們可以看到當(dāng)時間分別為上述值時,可以得到相應(yīng)的電流值.1分鐘畫龍點睛例2我們分別從圖象到解析式,從應(yīng)用解析式求出了任意一個自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值,最后我們從數(shù)學(xué)和物理的角度分別來看數(shù)據(jù)的意義。經(jīng)過本節(jié)課的學(xué)習(xí),我們認(rèn)識到三角函數(shù)模型是描述周期變化的重要數(shù)學(xué)模型,主要了解簡諧運動的函數(shù)模型中參數(shù)的物理意義;同時在問題研究過程中體驗三角函數(shù)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系,增強了我們的應(yīng)用意識,感受了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值;同時在實際問題的解決過程中感受信息技術(shù)處理數(shù)據(jù)的優(yōu)勢,提升了我們的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
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