2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期課題同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：借助單位圓掌握公式一，以及同角三角函數(shù)間的關(guān)系，初步體會(huì)三角函數(shù)的周期性；加深三角函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，體會(huì)三角函數(shù)的基本性質(zhì)，以及內(nèi)在聯(lián)系；在同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用中，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)推理的素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)、理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系并簡單應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)三角函數(shù)的基本性質(zhì)間的內(nèi)在聯(lián)系的把握教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)2分鐘一、溫故舊知上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一種新的函數(shù)——三角函數(shù)，并對(duì)它的一些性質(zhì)進(jìn)行研究，請(qǐng)同學(xué)們回憶：問題1:（1）是如何定義三角函數(shù)的呢？定義（2）根據(jù)定義以及點(diǎn)P所在象限可以判斷函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律，比如點(diǎn)P在第二象限時(shí)，三個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)是什么？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧上節(jié)課的內(nèi)容.設(shè)計(jì)意圖：為本節(jié)課問題的提出和解決做出鋪墊.5分鐘3分鐘二、公式一的探究探究一：終邊相同角的同一三角函數(shù)值之間關(guān)系問題2：你能發(fā)現(xiàn)“終邊相同的角的同一三角函數(shù)值是相等”這個(gè)規(guī)律嗎？你能用符號(hào)語言去表示“終邊相同的角的同一三角函數(shù)值是相等”嗎？稱這組公式為公式一從這組公式可知,三角函數(shù)值有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，說明角每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)，這也是“單位圓上的點(diǎn)繞圓周旋轉(zhuǎn)整數(shù)周仍然回到原來位置”特征的反映.師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“終邊相同的角的同一三角函數(shù)值是相等”，并把它符號(hào)化得到公式一，討論公式一體現(xiàn)三角函數(shù)的性質(zhì)以及它的作用設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)公式一及其所體現(xiàn)的三角函數(shù)周期性取值的規(guī)律，這是“單位圓上的點(diǎn)繞圓周旋轉(zhuǎn)整數(shù)周仍然回到原來位置”特征的反映.在此過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題.三、學(xué)以致用例1：求下列三角函數(shù)值：分析：(1)我們可以利用三角函數(shù)的定義，在單位圓中,畫出角確定終邊的位置,求與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)來求解,但是角不太好快速畫出，現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了公式一，能不能找到與終邊相同的角，且這個(gè)角是在0~2，，說明與的終邊相同，由公式一可知，它們的三角函數(shù)值相等.(2)找到與終邊相同的角，且這個(gè)角是在0~2，，說明與的終邊相同，由公式一，則它們的三角函數(shù)值相等.（3）是負(fù)角，找到與終邊相同的角，且這個(gè)角是在0~2，說明與的終邊相同，由公式一，則它們的三角函數(shù)值相等.解：追問：通過這三個(gè)小題的解答，你認(rèn)為公式一有什么作用？利用公式一可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0~2角的三角函數(shù)值，由公式一體現(xiàn)的這種周期性，使得以后我們想研究在整個(gè)定義域中三角函數(shù)的性質(zhì)，只要討論清楚三角函數(shù)在上的性質(zhì)即可.師生活動(dòng)：學(xué)生思考回答，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)公式一的作用.設(shè)計(jì)意圖：利用公式一可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0~2角的三角函數(shù)值，同時(shí)，由公式一可以發(fā)現(xiàn)，只要討論清楚三角函數(shù)在上的性質(zhì)，那么三角函數(shù)在整個(gè)定義域中的性質(zhì)就清楚了.在此過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).7分鐘四、同角三角函數(shù)基本關(guān)系的探究探究二：同角的不同三角函數(shù)值之間關(guān)系1.提出問題問題3.1：公式一表明，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，那么，終邊相同的角的不同三角函數(shù)值之間是否也有某種關(guān)系呢？分析：（1）首先通過定義，我們知道三個(gè)三角函數(shù)的值都是由角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)所唯一確定的，所以它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系.（2）再者終邊相同的角有無數(shù)多個(gè)，不方便研究，怎么辦呢？可以利用公式一，把這些終邊相同角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為同一個(gè)角的三角函數(shù)值，這時(shí)就可以將這個(gè)問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為“研究同一個(gè)角的三個(gè)三角函數(shù)值之間的關(guān)系”.師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生討論，利用公式一，先把問題“終邊相同的角的不同三角函數(shù)值之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“同一個(gè)角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系”，然后讓學(xué)生自主探究，得出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系設(shè)計(jì)意圖：提出問題的關(guān)鍵在于終邊相同的角的三個(gè)三角函數(shù)的值都由單位圓上同一點(diǎn)的坐標(biāo)所唯一確定，它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系；由“終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等”引出“終邊相同的角的不同三角函數(shù)之間有什么關(guān)系”的問題，再轉(zhuǎn)化為“同一個(gè)角的三個(gè)三角函數(shù)之間關(guān)系”的研究，可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.2.發(fā)現(xiàn)并證明結(jié)論問題3.2：給一個(gè)角,在單位圓中你能找到與點(diǎn)P坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的線段嗎？從而建立x與y關(guān)系嗎？過P作x軸的垂線，交x軸于M,|x|=OM,|y|=PM,這時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)?OMP是直角三角形，而且OP=1.由勾股定理有，OM2+MP2=1,因此，x2+y2=1，由定義可得追問：你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？當(dāng)角為象限角時(shí)，過P作x軸的垂線，交x軸于M，因?yàn)?OMP是直角三角形，而且OP=1.由勾股定理有，OM2+MP2=1,因此，x2+y2=1，即當(dāng)角的終邊與坐標(biāo)軸重合時(shí),例如:角的終邊與y軸的非正半軸重合時(shí)，OM=0,MP=1仍然有OM2+MP2=1,其它同理，公式仍成立.綜上，角為任意角時(shí)，都有.問題3.3我們發(fā)現(xiàn)了同一個(gè)角的正弦、余弦的平方和等于1，大家想想，同一個(gè)角的三角函數(shù)值還有什么關(guān)系？同一個(gè)角的正切值與正弦值、余弦值之間會(huì)不會(huì)有某種關(guān)系？由定義可知：追問1：角為任意角時(shí)，公式都成立嗎？要使公式成立，首先要使等式兩邊都有意義，等號(hào)左邊：正切函數(shù)的定義域是等號(hào)右邊：作為分母不等于0，即x≠0，所以，角的終邊不與y軸重合，即所以在這個(gè)公式中追問2：我們用和單位圓相關(guān)的勾股定理說明了，你能在單位圓中構(gòu)造圖形解釋這個(gè)公式嗎？把這個(gè)公式寫成分式的形式，你能在單位圓中找到對(duì)應(yīng)的線段嗎？,過點(diǎn)B作OB的垂線，交OP于點(diǎn)C,因?yàn)?所以,因?yàn)镺B=1，師生活動(dòng)：學(xué)生思考、獨(dú)立完成作圖，說理，討論角適用的范圍，教師適時(shí)引導(dǎo).設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)公式的探究，感受與單位圓相關(guān)的勾股定理與同角三角函數(shù)基本關(guān)系的一致性，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題的能力，提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展學(xué)生邏輯推理的素養(yǎng).3分鐘五、公式理解與認(rèn)識(shí)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的理解與認(rèn)識(shí)1.我們來一起分析兩個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：（1）：第一個(gè)公式從左向右看,與的和為1;也可以從右向左看,1也可以用替換..是的簡寫，讀作“的平方”，不能將寫成，前者是的正弦的平方，后者是的平方的正弦,表達(dá)不同的式子.（2）：同一個(gè)角正弦與余弦的商等于這個(gè)角的正切.第二個(gè)公式從左往右看，是把角的正弦余弦化為這個(gè)角正切，從右往左看，是把角的正切化為這個(gè)角的正弦余弦的比，所以看到角的正切就應(yīng)該馬上想到這個(gè)角的正弦與余弦的關(guān)系；同樣，看到正弦余弦商的關(guān)系就應(yīng)該想到了這個(gè)角的正切.2同角的理解這個(gè)“同角”應(yīng)該怎么理解？（1）關(guān)系式中的角要相同，而且與角的形式無關(guān).比如：這里的“同角”是15°這里的“同角”是這里的“同角”是（2）只要能使得函數(shù)有意義，對(duì)任意一個(gè)角關(guān)系式都成立.就像第二個(gè)公式中，為了使余弦值存在，x≠0，角的終邊不在軸上，也就是要所以在這個(gè)公式中除了，其它角都可以.3.公式等價(jià)變形：當(dāng)然，公式還可以寫成一些其它的形式供我們?cè)诮忸}中使用第一個(gè)公式可變?yōu)?,把公式進(jìn)行開方運(yùn)算的時(shí)候，，這里正負(fù)號(hào)不是兩個(gè)全都要，要受角所在象限的限制，二者取其一.舉例第二個(gè)公式可變?yōu)?也可以進(jìn)行乘法運(yùn)算.這兩個(gè)公式等價(jià)嗎？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解公式設(shè)計(jì)意圖：分析結(jié)構(gòu)特征，體會(huì)數(shù)學(xué)中變與不變，無限與有限的辯證聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)公式的結(jié)構(gòu)美.通過感念辨析，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式結(jié)構(gòu)的認(rèn)知，給出從數(shù)到字母再到式子的變化，加深學(xué)生對(duì)同角的認(rèn)識(shí).5分鐘六、學(xué)以致用例2：已知,為第三象限角，求，的值.思考1：條件“α是第三象限角”有什么作用？解：由，得因?yàn)闉榈谌笙藿牵敲?，從而這里不能表述為，因?yàn)槭転榈谌笙藿堑南拗?，余弦值只能取?fù)值.思考２：若是把題目中的“角是第三象限的角”這個(gè)條件舍去，該如何解答？解：因?yàn)?，所以是第三象限或第四象限角，如果為第三象限角，那么，如果為第四象限角，那么，小結(jié)本題：如果已知某個(gè)三角函數(shù)值，且角所在象限是確定的，那么可以通過同角三角函數(shù)關(guān)系式，求出其它三角函數(shù)，而且只有一種結(jié)果.如果只給了某個(gè)三角函數(shù)值，那么要按角所在象限進(jìn)行討論，分別寫出答案，這時(shí)一般有兩組結(jié)果.所以在求值中，確定角的終邊位置是解題關(guān)鍵.師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，師生共同分析解題思路，教師給出解答示范．設(shè)計(jì)意圖：例1把角的象限給出，直接應(yīng)用公式解題，降低難度，變式中去掉角范圍，提升對(duì)角所在象限判斷的重要性.例3：已知，求，的值.有學(xué)生的做法是：因?yàn)?，所以，則請(qǐng)問這樣做可以嗎？為什么？分析:不對(duì)的，首先因?yàn)闉榈诙虻谒南笙藿?，所以不能僅取解:因?yàn)闉榈诙虻谒南笙藿?，如果為第二象限角，同理，如果為第四象限角，，補(bǔ)充說明：在第二象限中，其實(shí)是可以用為代表計(jì)算正弦值和余弦值，因?yàn)殡m然在第二象限中正切值等于的角有無數(shù)多個(gè)，但是都是與終邊相同的角，那公式一可以保證它們的三角函數(shù)值是相同的，所以可以由作為代表計(jì)算，在第四象限中，就不能用代替計(jì)算，因?yàn)樗鼈內(nèi)呛瘮?shù)值的符號(hào)不同.變：，求，的值.解：解得因?yàn)?，為第二或第四象限角如果為第二象限角，那么如果為第四象限角，那么師生活?dòng)：學(xué)生分析解題思路，教師給出解答示范．設(shè)計(jì)意圖：以同角三角函數(shù)的基本關(guān)系為基礎(chǔ)，以方程為核心思想，旨在幫助學(xué)生從方程的角度理解同角基礎(chǔ)關(guān)系，明確“知一求二”的基本方法，進(jìn)而以方程滲透消元思想.練習(xí)：教科書第184頁練習(xí)1、2、3師生活動(dòng)：學(xué)生做練習(xí)，教師根據(jù)學(xué)生練習(xí)情況給予反饋．2分鐘七、歸納總結(jié)、布置作業(yè)這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了公式一以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式1.公式一體現(xiàn)了三角函數(shù)周而復(fù)始的變化規(guī)律，同角基本關(guān)系式反映了各種三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系.2.