2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用-教學(xué)設(shè)計

教學(xué)設(shè)計

課程基本信息課例編號學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期第一學(xué)期課題正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決相關(guān)的問題；2.在利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決相關(guān)問題的過程中體會換元的方法;3.通過解決相關(guān)應(yīng)用問題，提升代數(shù)推理的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)推理的素養(yǎng).教學(xué)重點：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.教學(xué)難點：理解正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì).教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動5分鐘引入前面我們學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，具體研究了函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值，本節(jié)課我們將利用正余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決相關(guān)的應(yīng)用問題.15分鐘（一）例題例1求下列函數(shù)的周期：(1)；（2）；（3）解：（1），有由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為.（2）令，由得，且的周期為，即于是所以由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為.（3）令，由得，且的周期為，即于是所以由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為.追問：解答完成之后思考，求解的依據(jù)是什么？據(jù)此求解的步驟是什么？這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān)？師生活動：對于這些問題，學(xué)生能夠求出周期，但是不清楚如何規(guī)范地表達，這是本例的難點所在，教師要基于學(xué)生課堂上的生成，給出分析求解的思路和程序，并加以示范，幫助學(xué)生理解.對于周期問題,求解的步驟如下：第一步，先用換元法轉(zhuǎn)換.比如對于“（2）”，令2x=t，所以；第二步，利用已知三角函數(shù)的周期找關(guān)系.有，代入可得；第三步，根據(jù)定義變形.變形可得，于是就有；第四步，確定結(jié)論.根據(jù)定義可知其周期為π.周期與自變量的系數(shù)有關(guān).仿照上述分析過程可得函數(shù)的周期為.一般地，如果函數(shù)的周期是，那么函數(shù)的周期是.設(shè)計意圖：通過例題深化對周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具體步驟，進而幫助學(xué)生理解函數(shù)的周期，為后續(xù)學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.例2下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請寫出取最大值、最小值時自變量x的集合，并求出最大值、最小值.（1）;（2）.解：容易知道，這兩個函數(shù)都有最大值、最小值.（1）使函數(shù)取得最大值的x的集合，就是使函數(shù)取得最大值的x的集合；使函數(shù)取得最小值的x的集合，就是使函數(shù)取得最小值的x的集合.函數(shù)的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.（2）令，使函數(shù)取得最大值的z的集合，就是使取得最小值的z的集合.由得所以，使函數(shù)，取得最大值的x的集合是.同理，使函數(shù)取得最小值的x的集合是.函數(shù)的最大值是3，最小值是-3.師生活動：學(xué)生先獨立完成，然后展示交流解題思路和結(jié)果，學(xué)生點明換元法及其重要作用.本例中，對于（1），因為1是確定值，因此問題轉(zhuǎn)化為求的最值；對于（2）令，轉(zhuǎn)化為求的最值.設(shè)計意圖：鞏固對最值概念的理解，初步感受換元法在求解三角函數(shù)問題中的作用.例3不通過求值，比較下列各組數(shù)的大?。海?）與；（2）與.解：（1）因為正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以（2）因為且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以即師生活動：學(xué)生獨立完成，教師進行指導(dǎo).本例中，對于（1），可直接應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解；對于（2），首先要將所給的角化簡，使之位于同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，即轉(zhuǎn)化為第（1）題之后求解.設(shè)計意圖：初步應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解決比較大小的問題例4求函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間.分析：令，，當(dāng)自變量x的值增大時，z的值也隨之增大，因此若函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上也一定單調(diào)遞增.解：令，，則.因為，的單調(diào)遞增區(qū)間是，且由，得.所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.師生活動：師生共同分析此問題，然后共同完成求解.本題中，令，，當(dāng)自變量x的值增大時，z的值也隨之增大，因此若函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)遞增，則函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上也一定單調(diào)遞增.在解題完成后，教師可進一步提出此問題的變式問題：求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.此辨識問題讓學(xué)生獨立完成，可能會有一部分學(xué)生出錯，教師要引導(dǎo)學(xué)生將正確和錯誤解答進行對比分析.設(shè)計意圖：類比例3求解，進一步熟悉換元轉(zhuǎn)化的思想方法；通過變換自變量系數(shù)的符號，提高學(xué)生思維的