專題15勾股定理中的最短路徑模型(原卷版+解析)

專題15勾股定理中的最短路徑模型勾股定理中的最短路線問題通常是以“兩點之間，線段最短”為基本原理推出的。人們在生產、生活實踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題。對于數學中的最短路線問題可以分為兩大類：第一類為在同一平面內；第二類為空間幾何體中的最短路線問題，對于平面內的最短路線問題可先畫出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對于幾何題內問題的關鍵是將立體圖形轉化為平面問題求解，然后構造直角三角形，利用勾股定理求解。模型1.圓柱中的最短路徑模型【模型解讀】圓柱體中最短路徑基本模型如下：計算跟圓柱有關的最短路徑問題時，要注意圓柱的側面展開圖為矩形，利用兩點之間線段最短結合勾股定理進行求解，注意展開后兩個端點的位置，有時候需要用底面圓的周長進行計算，有時候需要用底面圓周長的一半進行計算。注意：1）運用勾股定理計算最短路徑時，按照展開—定點—連線—勾股定理的步驟進行計算；2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長度后乘以圈數?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短。例1．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，圓柱的底面周長為32cm，高為24cm，從圓柱底部A處沿側面纏繞一圈絲線到頂部B處做裝飾（點B在點A的正上方），則這條絲線的最小長度為（

）A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm例2．（2023·重慶·八年級期末）如圖，圓柱形玻璃杯高，底面周長為，在外側距下底處有一只蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上端距開口處的外側點處有一只蒼蠅，蜘蛛捕到蒼蠅的最短路線長是______．例3．（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級新鄉(xiāng)市第十中學?？计谀┤鐖D，小冰想用一條彩帶纏繞圓柱4圈，正好從A點繞到正上方的B點，已知知圓柱底面周長是3m，高為16m，則所需彩帶最短是（）m．

A．8 B．5 C．20 D．10模型2.長方體中的最短路徑模型【模型解讀】長方體中最短路徑基本模型如下：計算跟長方體有關的最短路徑問題時，要熟悉長方體的側面展開圖，利用兩點之間線段最短結合勾股定理進行求解，注意長方體展開圖的多種情況和分類討論。注意：1）長方體展開圖分類討論時可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進行討論；2）兩個端點中有一個不在定點時討論方法跟第一類相同?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短。例1．（2023·四川樂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，長方體的底面是邊長為的正方形，高為．如果從點開始經過4個側面纏繞2圈到達點，那么所用細線最短需要cm．例2．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）小南同學報名參加了學校的攀巖選修課，攀巖墻近似一個長方體的兩個側面，如圖所示，他根據學過的數學知識準確地判斷出：從點A攀爬到點B的最短路徑為________米．例3．（2023春·廣東八年級課時練習）棱長分別為兩個正方體如圖放置，點P在上，且，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點P，需要爬行的最短距離是______．例4．（2023春·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個長方體木柜（木柜與墻面和地面均沒有縫腺），一只螞蟻從柜角處沿著木柜表面爬到柜角處．若，，，則螞蟻爬行的最短路程是（

）A． B． C． D．12模型3.階梯中的最短路徑模型【模型解讀】階梯中最短路徑基本模型如下：注意：展開—定點—連線—勾股定理【最值原理】兩點之間線段最短。例1．（2023秋·山東棗莊·八年級?？奸_學考試）如圖一個三級臺階，它的每一級的長寬高分別是5，3和1，和是這個臺階的兩個相對的端點，點上有一只螞蟻，想到點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到點的最短路程長為（

）

A．10 B．11 C．12 D．13例2．（2023春·四川成都·九年級?？茧A段練習）如圖所示，是長方形地面，長，寬．中間豎有一堵磚墻高．一只螞蚱從點爬到點，它必須翻過中間那堵墻，則它要走的路程s取值范圍是________．例3．（2023春·重慶八年級課時練習）在一個長為米,寬為米的長方形草地上,如圖堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側棱長平行且大于場地寬，木塊的主視圖是邊長為1米的正三角形，一只螞蟻從點處到處需要走的最短路程是______米．模型4.將軍飲馬與最短路徑模型【模型解讀】將軍飲馬與最短路徑基本模型如下：解決線段之和最小值問題：對稱+連線，根據兩點之間線段最短解決。注意：立體圖形中從外側到內側最短路徑問題需要先作對稱，再運用兩點之間線段最短的原理結合勾股定理求解?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短。例1．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長為，在杯內壁離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對的點處，則螞蟻從外壁處到內壁處所走的最短路程為___________．（杯壁厚度不計）

例2．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，開口玻璃罐長、寬、高分別為16、6和6，在罐內點E處有一小塊餅干碎末，此時一只螞蟻正好在罐外長方形的中心H處，螞蟻到達餅干的最短距離是多少（）A． B． C． D．17例3．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級校考階段練習）如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

課后專項訓練1．（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）現有一個圓柱體水晶杯（容器厚度忽略不計），其底面圓的周長為，高為，在杯子內壁離容器底部的點B處有一滴蜂蜜，與蜂蜜相對，此時一只螞蟻正好在杯子外壁，離容器上沿的點A處，則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為（

）

A． B． C． D．2．（2022秋·福建寧德·八年級?？茧A段練習）如圖，正方體的棱長為，是正方體的一個頂點，是側面正方形對角線的交點，一只螞蟻在正方體的表面上爬行，從點爬到點的最短路徑是（

）A． B． C． D．3．（2023·江西景德鎮(zhèn)·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20、3、2，A和B是這個臺階兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是（

）

A．20 B．15 C．25 D．274．（2023秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）一個長方體盒子的長、寬、高分別為，，，點離點的距離是，一只螞蟻想從盒底的點沿盒的表面爬到點，螞蟻爬行的最短路程是（

）

A． B． C． D．5．（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，圓柱形玻璃容器高18cm，底面圓的周長為48cm，在外側底部點A處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側頂端的點B處有一只蒼蠅，則蜘蛛捕獲蒼蠅所走的最短路線長度（

）

A．52cm B．30cm C．cm D．60cm6．（2022秋·河南鶴壁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在長為3，寬為2，高為1的長方體中，一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著長方體的表面爬行到頂點B，那么它爬行的最短路程是．7．（2023春·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，圓柱的底面半徑為，高為，螞蟻在圓柱側面爬行，從點A爬到點B的最短路程是．

8．（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，圓柱的底面直徑為，高，按如圖所示的方式纏繞細線，纏繞一周（不記接頭）至少需要長的細線．

9．（2022秋·黑龍江大慶·七年級大慶市第三十六中學?？计谀┰诘酌嬷睆綖?cm，高為3cm的圓柱體側面上，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數纏繞，則絲帶的最短長度為（π取3）10．（2023·四川成都·八年級?？茧A段練習）如圖一只螞蟻從長為4cm，寬為3cm，高為2cm的長方體紙箱A點沿紙箱爬到B點，那么它爬行的最短路線的長是_________cm11．（2023·四川成都·八年級?？茧A段練習）一個長方體形盒子的長、寬、高分別為8cm，8cm，12cm，一只螞蟻想從盒底的點爬到盒頂的點，螞蟻要爬行的最短行程是______cm．12．（2023·四川成都·八年級校聯考階段練習）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長為，在杯內壁離底的點處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點處，則螞蟻從外壁處到內壁處的最短距離為_______（杯壁厚度不計）．13．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U形池，該U形池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為的半圓，其邊緣，點E在上，，一滑板愛好者從U形池內側的點A滑到點E，則他滑行的最短距離約為m．（取3）

14．（2023春·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在圓柱的截面中，，，動點P從A點出發(fā)，沿著圓柱的側面移動到的中點S的最短距離為．15．（2023春·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，點，，的坐標分別為，，，則周長的最小值為．16．（2023春·湖南永州·八年級?？茧A段練習）如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，則它爬行的最短距離為．

17．（2023春·安徽六安·八年級?？计谥校┤鐖D，長方體盒子的長、寬、高分別是，在的中點處有一滴蜜糖，一只小蟲從處沿盒子表面爬到處去吃，求小蟲爬行的最短路程．

18．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖1，一只螞蟻要從圓柱的下底面的點A爬到上底面的點B處，求它爬行的最短距離.已知圓柱底面半徑為R，高度為h.小明同學在研究這個問題時，提出了兩種可供選擇的方案，方案1：沿ACB爬行；方案2：沿圓柱側面展開圖的線段AB爬行，如圖2.（取3）(1)當，時，哪種方式的爬行距離更近？(2)當，時，哪種方式的爬行距離更近？(3)當與滿足什么條件時，兩種方式的爬行距離同樣遠？

19．（2023春·安徽蚌埠·八年級?？计谥校┤鐖D，A，B兩個村莊在河CD的同側，兩村莊的距離為a千米，，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個村莊的飲水問題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，B兩村輸送水．(1)在圖上作出向A，B兩村鋪設水管所用材料最省時的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）；(2)經預算，修建水廠需20萬元，鋪設水管的所有費用平均每千米為3萬元，其他費用需5萬元，求完成這項工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬元．20．（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，為線段上一動點，分別過點B、D作，，連接、．已知，，，設．(1)用含的代數式表示的長為________；(2)求的最小值________；(3)根據（2）中的規(guī)律和結論，請模仿圖1在網格中（圖2）構圖并求代數式的最小值．

專題15勾股定理中的最短路徑模型勾股定理中的最短路線問題通常是以“兩點之間，線段最短”為基本原理推出的。人們在生產、生活實踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題。對于數學中的最短路線問題可以分為兩大類：第一類為在同一平面內；第二類為空間幾何體中的最短路線問題，對于平面內的最短路線問題可先畫出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對于幾何題內問題的關鍵是將立體圖形轉化為平面問題求解，然后構造直角三角形，利用勾股定理求解。模型1.圓柱中的最短路徑模型【模型解讀】圓柱體中最短路徑基本模型如下：計算跟圓柱有關的最短路徑問題時，要注意圓柱的側面展開圖為矩形，利用兩點之間線段最短結合勾股定理進行求解，注意展開后兩個端點的位置，有時候需要用底面圓的周長進行計算，有時候需要用底面圓周長的一半進行計算。注意：1）運用勾股定理計算最短路徑時，按照展開—定點—連線—勾股定理的步驟進行計算；2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長度后乘以圈數?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短。例1．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，圓柱的底面周長為32cm，高為24cm，從圓柱底部A處沿側面纏繞一圈絲線到頂部B處做裝飾（點B在點A的正上方），則這條絲線的最小長度為（

）A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm【答案】B【分析】要求絲線的長，需將圓柱的側面展開，進而根據“兩點之間線段最短”得出結果，在求線段長時，借助于勾股定理．【詳解】解：如圖，把圓柱的側面展開，得到矩形，則從圓柱底部處沿側面纏繞一圈絲線到頂部處做裝飾，這條絲線的最小長度是長方形的對角線的長．圓柱的底面周長是，高是，，．故選B．【點睛】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，圓柱的側面展開圖是一個矩形，此矩形的長等于圓柱底面周長，寬等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．例2．（2023·重慶·八年級期末）如圖，圓柱形玻璃杯高，底面周長為，在外側距下底處有一只蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上端距開口處的外側點處有一只蒼蠅，蜘蛛捕到蒼蠅的最短路線長是______．【答案】15【分析】展開后連接，求出的長就是捕獲蒼蠅的蜘蛛所走的最短路徑，過S作于E，求出、，根據勾股定理求出SF即可．【詳解】解：如圖展開后連接，求出的長就是捕獲蒼蠅的蜘蛛所走的最短路徑，過S作于E，則（），（），在中，由勾股定理得：（），故答案為15．【點睛】本題考查勾股定理、平面展開-最短路線問題，關鍵是構造直角三角形，題目比較典型，難度適中．例3．（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級新鄉(xiāng)市第十中學校考期末）如圖，小冰想用一條彩帶纏繞圓柱4圈，正好從A點繞到正上方的B點，已知知圓柱底面周長是3m，高為16m，則所需彩帶最短是（）m．

A．8 B．5 C．20 D．10【答案】C【分析】把曲面展開變?yōu)槠矫?，利用兩點間線段最短，再根據勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，線段即為所需彩帶最短，由圖可知，，∴由勾股定理得，，故選C．

【點睛】本題考查兩點間線段最短和勾股定理在生活中的應用．將曲面問題變?yōu)槠矫鎲栴}是解答本題關鍵．模型2.長方體中的最短路徑模型【模型解讀】長方體中最短路徑基本模型如下：計算跟長方體有關的最短路徑問題時，要熟悉長方體的側面展開圖，利用兩點之間線段最短結合勾股定理進行求解，注意長方體展開圖的多種情況和分類討論。注意：1）長方體展開圖分類討論時可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進行討論；2）兩個端點中有一個不在定點時討論方法跟第一類相同?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短。例1．（2023·四川樂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，長方體的底面是邊長為的正方形，高為．如果從點開始經過4個側面纏繞2圈到達點，那么所用細線最短需要cm．【答案】【分析】根據從點開始經過4個側面纏繞2圈到達點，則展開后，，由勾股定理計算出的長，即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：，從點開始經過4個側面纏繞2圈到達點，展開后，，由勾股定理得：，故答案為：．【點睛】本題考查了平面展開—最短路線問題和勾股定理的應用，能正確畫出圖形是此題的關鍵．例2．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）小南同學報名參加了學校的攀巖選修課，攀巖墻近似一個長方體的兩個側面，如圖所示，他根據學過的數學知識準確地判斷出：從點A攀爬到點B的最短路徑為________米．【答案】【分析】利用立體圖形路徑最小值為展開平面圖的兩點間距離，再根據勾股定理求解即可．【詳解】解：平面展開圖為：（米），故答案為．【點睛】本題考查立體圖形中兩點間最短路徑問題，通用辦法是展開為平面圖形，兩點間最短路徑為兩點線段長度，利用水平距離和豎直距離得到直角三角形，勾股定理求出兩點線段長度．熟悉立體圖形中兩點間最短路徑問題的計算方法是解題的關鍵．例3．（2023春·廣東八年級課時練習）棱長分別為兩個正方體如圖放置，點P在上，且，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點P，需要爬行的最短距離是______．【答案】cm．【分析】求出兩種展開圖的值，比較即可判斷；【詳解】解：如圖，有兩種展開方法：方法一∶，方法二∶．故需要爬行的最短距離是cm．故答案為：cm．【點睛】本題考查平面展開-最短問題，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．例4．（2023春·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個長方體木柜（木柜與墻面和地面均沒有縫腺），一只螞蟻從柜角處沿著木柜表面爬到柜角處．若，，，則螞蟻爬行的最短路程是（

）A． B． C． D．12【答案】A【分析】求出螞蟻沿著木柜表面經線段到，以及螞蟻沿著木柜表面經線段到的距離，再進行比較即可．【詳解】解：螞蟻沿著木柜表面經線段到，爬過的路徑的長是，螞蟻沿著木柜表面經線段到，爬過的路徑的長是．，最短路徑的長是．故選A．【點睛】此題考查了長方體展開圖的對角線長度求法，這種題型經常在中考中出現，也是易錯題型，希望能引起同學們的注意．模型3.階梯中的最短路徑模型【模型解讀】階梯中最短路徑基本模型如下：注意：展開—定點—連線—勾股定理【最值原理】兩點之間線段最短。例1．（2023秋·山東棗莊·八年級?？奸_學考試）如圖一個三級臺階，它的每一級的長寬高分別是5，3和1，和是這個臺階的兩個相對的端點，點上有一只螞蟻，想到點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到點的最短路程長為（

）

A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據兩點之間線段最短進行解答．【詳解】解：如圖所示，

∵三級臺階平面展開圖為長方形，寬為5，長為，∴螞蟻沿臺階面爬行到點最短路程是此長方形的對角線長，由勾股定理得，則螞蟻沿著臺階面爬到點最短路程是13．故選：D．【點睛】本題考查了平面展開圖中的最短路徑問題，熟練掌握平面展開圖及勾股定理是解決本題的關鍵．例2．（2023春·四川成都·九年級校考階段練習）如圖所示，是長方形地面，長，寬．中間豎有一堵磚墻高．一只螞蚱從點爬到點，它必須翻過中間那堵墻，則它要走的路程s取值范圍是________．【答案】【分析】連接，利用勾股定理求出的長，再把中間的墻平面展開，使原來的長方形長度增加而寬度不變，求出新長方形的對角線長即可得到范圍．【詳解】解：如圖所示，將圖展開，圖形長度增加，原圖長度增加，則，連接，四邊形是長方形，，寬，，螞蚱從點爬到點，它要走的路程．故答案為：．【點睛】本題考查的是平面展開最短路線問題及勾股定理，根據題意畫出圖形是解答此題的關鍵．例3．（2023春·重慶八年級課時練習）在一個長為米,寬為米的長方形草地上,如圖堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側棱長平行且大于場地寬，木塊的主視圖是邊長為1米的正三角形，一只螞蟻從點處到處需要走的最短路程是______米．【答案】【分析】如圖，將木塊展開，相當于長方形草地的長多了正三角形的一個邊長，長方形的長為米，因為長方形的寬為3米，一只螞蟻從點處到處需要走的最短路程是對角線，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，將木塊展開，相當于長方形草地的長多了正三角形的一個邊長，長方形的長為米，長方形的寬為3米，一只螞蟻從點處到處需要走的最短路程是對角線，米，故答案為．【點睛】本題主要考查勾股定理的應用，根據題意將木塊展開，再利用兩點之間線段最短是解題關鍵．模型4.將軍飲馬與最短路徑模型【模型解讀】將軍飲馬與最短路徑基本模型如下：解決線段之和最小值問題：對稱+連線，根據兩點之間線段最短解決。注意：立體圖形中從外側到內側最短路徑問題需要先作對稱，再運用兩點之間線段最短的原理結合勾股定理求解?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短。例1．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長為，在杯內壁離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對的點處，則螞蟻從外壁處到內壁處所走的最短路程為___________．（杯壁厚度不計）

【答案】10【分析】如圖（見解析），將玻璃杯側面展開，作關于的對稱點，根據兩點之間線段最短可知的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，將玻璃杯側面展開，作關于的對稱點，作，交延長線于點，連接，

由題意得：，，∵底面周長為，，，由兩點之間線段最短可知，螞蟻從外壁處到內壁處所走的最短路程為，故答案為：10．【點睛】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵．同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力．例2．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，開口玻璃罐長、寬、高分別為16、6和6，在罐內點E處有一小塊餅干碎末，此時一只螞蟻正好在罐外長方形的中心H處，螞蟻到達餅干的最短距離是多少（）A． B． C． D．17【答案】C【分析】做此題要把這個長方體中螞蟻所走的路線放到一個平面內，在平面內線段最短，根據勾股定理即可計算．【詳解】解：①若螞蟻從平面和平面經過，螞蟻到達餅干的最短距離如圖1：，②若螞蟻從平面和下底面平面經過，則螞蟻到達餅干的最短距離如圖2：∵∴螞蟻到達餅干的最短距離是，故選：C．【點睛】考查了平面展開?最短路徑問題，此題的關鍵是明確兩點之間線段最短這一知識點，然后把立體的長方體放到一個平面內，求出最短的線段．例3．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級?？茧A段練習）如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

【答案】【分析】如圖（見詳解），將小河看成直線，由題意先作A關于的對稱點，連接，構建直角三角形，則就是最短路線；在中，，，，利用勾股定理即可求出．【詳解】如圖，做出點A關于小河的對稱點，連接交MN于點P，則就是牧童要完成這件事情所走的最短路程長度．

由題意知：，，，在中，由勾股定理求得，則他要完成這件事情所走的最短路程是．【點睛】本題考查了軸對稱—最短路線問題，掌握軸對稱的性質和勾股定理是解題的關鍵．課后專項訓練1．（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）現有一個圓柱體水晶杯（容器厚度忽略不計），其底面圓的周長為，高為，在杯子內壁離容器底部的點B處有一滴蜂蜜，與蜂蜜相對，此時一只螞蟻正好在杯子外壁，離容器上沿的點A處，則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】將圓柱體水晶杯側面展開，作A關于的對稱點，根據兩點之間線段最短可知的長度即為所求．【詳解】解：如圖是柱體水晶杯側面展開圖的一半，

作A關于的對稱點，連接，交于點F，連接，則，．作交的延長線于點D，則四邊形是矩形，∴，．∵，∴即為最短距離，∵底面周長為，∴∵高為，在容器內壁離容器底部的點B處有一滴蜂蜜，此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿與一滴蜂蜜相對的點A處，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵．2．（2022秋·福建寧德·八年級?？茧A段練習）如圖，正方體的棱長為，是正方體的一個頂點，是側面正方形對角線的交點，一只螞蟻在正方體的表面上爬行，從點爬到點的最短路徑是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意畫出相鄰的兩個展開圖，過作于，根據勾股定理即可得到結論．【詳解】解：如圖，過作于，在中，，，（），從點爬到點的最短路徑是，故選：A．【點睛】本題考查了最短路線問題，勾股定理，將平面展開，構造直角三角形是解題的關鍵．3．（2023·江西景德鎮(zhèn)·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20、3、2，A和B是這個臺階兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是（

）

A．20 B．15 C．25 D．27【答案】C【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據兩點之間線段最短進行解答．【詳解】解：如圖所示，

∵三級臺階平面展開圖為長方形，長為20，寬為，∴螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長，由勾股定理得：，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是25．故選：C．【點睛】本題考查了平面展開中的最短路徑問題，熟練掌握平面展開圖及勾股定理是解決本題的關鍵．4．（2023秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）一個長方體盒子的長、寬、高分別為，，，點離點的距離是，一只螞蟻想從盒底的點沿盒的表面爬到點，螞蟻爬行的最短路程是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】將長方形的盒子按不同方式展開，得到不同矩形，求出不同矩形的對角線，最短者即為正確答案．【詳解】解：①只要把長方體的右側表面剪開與前面這個側面所在的平面形成個長方形，如圖：

長方體的寬為，高為點離點的距離是，，，在直角三角形中,根據勾股定理得：；②只要把長方體的右側表面剪開與上面這個側面所在的平面形成一個長方形,如圖：

長方體的寬為，高為點離點的距離是，，，在直角三角形中,根據勾股定理得：；③只要把長方體的上表面剪開與后面這個側面所在的平面形成一個長方形,如圖：長方體的寬為，高為點離點的距離是，，在直角三角形中,根據勾股定理得:，．螞蟻爬行的最短距離是．故選：．【點睛】本題考查的是平面展開最短路徑問題，根據題意畫出長方體的側面展開圖，解答時要進行分類討論，利用勾股定理是解題的關鍵．5．（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，圓柱形玻璃容器高18cm，底面圓的周長為48cm，在外側底部點A處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側頂端的點B處有一只蒼蠅，則蜘蛛捕獲蒼蠅所走的最短路線長度（

）

A．52cm B．30cm C．cm D．60cm【答案】B【分析】先把圓柱沿過B點的母線剪開，然后展開如圖，點為點A展開后的對應點，根據兩點之間線段最短得到最短路線長度為的長度，然后根據勾股定理計算的長即可．【詳解】解：把圓柱沿過B點的母線剪開，然后展開如圖，點為點A展開后的對應點，(cm)，cm,∴(cm)，∴蜘蛛捕獲蒼蠅所走的最短路線長度為30cm，故選：B．【點睛】此題考查了平面展開中的最短路徑問題，畫出正確的平面展開圖，在直角三角形中利用勾股定理求解是解題的關鍵．6．（2022秋·河南鶴壁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在長為3，寬為2，高為1的長方體中，一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著長方體的表面爬行到頂點B，那么它爬行的最短路程是．【答案】【分析】把此長方體的一面展開，然后在平面內，利用勾股定理求點A和B點間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離．應該是前面和上面展開，利用勾股定理可求得．【詳解】解：因為平面展開圖不唯一，故分情況分別計算，進行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線．（1）展開前面上面，由勾股定理得；（2）展開前面右面，由勾股定理得；（3）展開前面和左面，由勾股定理得．所以最短路徑的長為故答案為：．【點睛】本題考查了平面展開-最短路線問題，勾股定理應用．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關鍵．7．（2023春·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，圓柱的底面半徑為，高為，螞蟻在圓柱側面爬行，從點A爬到點B的最短路程是．

【答案】10【分析】將圓柱側面展開，由圖形可知螞蟻在圓柱側面爬行，從點A爬到點B的最短路程即為的長，再由勾股定理求出．【詳解】解：根據圓柱側面展開圖，圓柱的底面半徑為，高為，底面圓的周長為，，，由圖形可知螞蟻在圓柱側面爬行，從點A爬到點B的最短路程即為的長，，故答案為：．

【點睛】本題考查了平面展開最短路線問題，勾股定理，將立體圖形轉化成平面圖形求解是解題的關鍵．8．（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，圓柱的底面直徑為，高，按如圖所示的方式纏繞細線，纏繞一周（不記接頭）至少需要長的細線．

【答案】/20米【分析】將圓柱體的側面展開，根據勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】解：如圖，將圓柱體的側面展開，

∵圓柱的底面直徑為，∴，∴，∵，，∴，∴按如圖所示的方式纏繞細線，纏繞一周（不記接頭）至少需要繩子長度為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是將圓柱體的側面展開，找出最短距離．9．（2022秋·黑龍江大慶·七年級大慶市第三十六中學?？计谀┰诘酌嬷睆綖?cm，高為3cm的圓柱體側面上，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數纏繞，則絲帶的最短長度為（π取3）【答案】cm【分析】將圓柱體側面展開后利用兩點之間線段最短得到最短長度時的線段，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：由題意得，絲帶繞圓柱一圈半，側面展開后如圖所示：得到的矩形的長為圓柱底面周長的倍，即∴絲帶的最短長度為cm．【點睛】本題主要考查兩點間最短距離的計算，熟練掌握勾股定理及兩點之間最短距離的判斷是解決本題的關鍵．10．（2023·四川成都·八年級?？茧A段練習）如圖一只螞蟻從長為4cm，寬為3cm，高為2cm的長方體紙箱A點沿紙箱爬到B點，那么它爬行的最短路線的長是_________cm【答案】【分析】先將圖形展開，再根據兩點之間線段最短，再由勾股定理求解即可．【詳解】解：當如圖1所示時，（cm），當如圖2所示時，（cm），當如圖3所示時，（cm），∵，∴它所行走的最短路徑的長是cm．故答案為：．【點睛】本題考查的是平面展開-最短路徑問題，此類問題應先根據題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構造直角三角形解決問題是解題的關鍵．11．（2023·四川成都·八年級?？茧A段練習）一個長方體形盒子的長、寬、高分別為8cm，8cm，12cm，一只螞蟻想從盒底的點爬到盒頂的點，螞蟻要爬行的最短行程是______cm．【答案】20【分析】如圖所示，將長方體各個頂點標上字母，然后可分①情況一：經過前側和右側，②情況二：經過前側和上側，然后根據長方體展開圖及勾股定理可求解路線長，最后進行比較即可．【詳解】解：如圖所示，將長方體各個頂點標上字母，①情況一：經過前側和右側，如圖所示，∴；②情況二：經過前側和上側，如圖所示，∴，∴，故螞蟻爬行的最短路程為20cm；故答案為20．【點睛】本題主要考查立體幾何展開圖、實數的大小比較及勾股定理，熟練掌握立體幾何展開圖、實數的大小比較及勾股定理是解題的關鍵．12．（2023·四川成都·八年級校聯考階段練習）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長為，在杯內壁離底的點處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點處，則螞蟻從外壁處到內壁處的最短距離為_______（杯壁厚度不計）．【答案】【分析】將杯子側面展開，建立A關于EF的對稱點A′，根據兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．【詳解】解：由題意得，如圖為圓柱體展開圖，則作關于的對稱點，則螞蟻爬行最短路程為的長度，，過作于點，在中由勾股定理得：，，，，即螞蟻爬行最短距離為．【點睛】本題考查了平面展開---最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵．同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力．13．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U形池，該U形池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為的半圓，其邊緣，點E在上，，一滑板愛好者從U形池內側的點A滑到點E，則他滑行的最短距離約為m．（取3）

【答案】【分析】要求滑行的最短距離，需將該U形池的側面展開，進而根據兩點之間線段最短，得出結論．【詳解】解：U形池的側面展開圖如圖：

由題意，，，在中，，故答案為：．【點睛】本題考查了最短路徑問題，把U形池的側面展開矩形，化曲面為平面是解題的關鍵．14．（2023春·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在圓柱的截面中，，，動點P從A點出發(fā)，沿著圓柱的側面移動到的中點S的最短距離為．

【答案】20【分析】先把圓柱的側面展開，連接，利用勾股定理即可求得的長．【詳解】解：如圖，∵在圓柱的截面中，，，

∴，，∴，故答案為：20．【點睛】本題考查平面展開圖?最短路徑問題，根據題意畫出圓柱的側面展開圖，利用勾股定理求解是解題的關鍵．15．（2023春·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，點，，的坐標分別為，，，則周長的最小值為．【答案】【分析】由題意，，，，推出當最小時，的周長最小，欲求的最小值，相當于在軸上找一點，使得點到，的距離和最?。驹斀狻拷猓?，，，，，，當最小時，的周長最小，欲求的最小值，相當于在軸上找一點，使得點到，的距離和最小，如圖，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，此時的值最小，，的最小值，的周長的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱最短問題，勾股定理，坐標與圖形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．16．（2023春·湖南永州·八年級?？茧A段練習）如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，則它爬行的最短距離為．

【答案】13m/13米【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據兩點之間線段最短進行解答．【詳解】解：如圖所示，

臺階平面展開圖為長方形，，，則螞蟻沿臺階面爬行到點最短路程是此長方形的對角線長．由勾股定理得：，即，，故答案為：m．【點睛】本題主要考查了平面展開圖—最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據題意判斷出長方形的長和寬即可解答．17．（2023春·安徽六安·八年級校考期中）如圖，長方體盒子的長、寬、高分別是，在的中點處有一滴蜜糖，一只小蟲從處沿盒子表面爬到處去吃，求小蟲爬行的最短路程．

【答案】從E處爬到C處的最短路程是．【分析】據題意易知可分兩種情況進行展開，如圖所示，然后根據勾股定理求出最短路程，最