2024-2025學(xué)年貴州省高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年貴州省高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)框涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)框．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共19個(gè)小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，，則直線l的斜率為（）A. B. C.3 D.【正確答案】C【分析】利用斜率坐標(biāo)公式計(jì)算得解.【詳解】由直線l經(jīng)過點(diǎn)，，得直線l的斜率.故選：C2.已知集合，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)必要不充分條件的判定方法進(jìn)行判斷.【詳解】先看充分性：因?yàn)?，但，所以“”不是“”的充分條件；再看必要性：因?yàn)?，，所以“”是“”的充分條件，即“”是“”的必要條件.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.已知數(shù)據(jù)，，…，的極差為4，方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的極差和方差分別是（）A.4，2 B.4，18 C.12，2 D.12，18【正確答案】D【分析】根據(jù)極差和方差的性質(zhì)運(yùn)算可得.【詳解】新數(shù)據(jù)的極差是原數(shù)據(jù)極差的3倍，所以新數(shù)據(jù)的極差為：；新數(shù)據(jù)的方程是原數(shù)據(jù)方差的倍，所以新數(shù)據(jù)的方差為.故選：D4.在正方體中，直線與平面所成角的正切值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】連接交于點(diǎn)，連接，易證平面，可得為直線與平面所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，進(jìn)而結(jié)合勾股定理及直角三角形中正切函數(shù)的定義即可計(jì)算求解.【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，連接，在正方體中，，平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，平面，所以平面，所以為直線與平面所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，則，在中，.故選：B.5.已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)的定義列方程，確定各函數(shù)零點(diǎn)的正負(fù)情況，即可比較的大小.【詳解】顯然：函數(shù)，，在定義域內(nèi)都是增函數(shù)，又，而中的，令，，，的大小順序?yàn)椋?，故選：B．6.已知點(diǎn)，，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)投影向量的求法求得正確答案.【詳解】,所以在上的投影向量為.故選：D7.若直線與圓有交點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)題意可知，圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，進(jìn)而可以列出不等式.【詳解】的圓心為，半徑r=1，圓心到直線的距離，依題意，圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，所以，即.故選：A8.已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.12【正確答案】C【分析】令，利用判別式法即可.【詳解】令，則，由，得，整理得，，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)滿足等式，所以，解得，則的最大值為，此時(shí)，.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題中的真命題是（）A.若直線a不在平面內(nèi)，則a∥B.若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則l∥C.若l∥，則直線l與平面內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn)D.平行于同一平面的兩直線可以相交【正確答案】CD【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)可判斷AB錯(cuò)誤，C正確，在長(zhǎng)方體中，存在與相交，且都與平面平行，可得D正確.【詳解】對(duì)于A，直線a不在平面內(nèi)，直線a也可能與平交，故A是假命題；對(duì)于B，直線l與平交時(shí)，l上也有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，故B是假命題；對(duì)于C，l∥時(shí)，l與沒有公共點(diǎn)，所以l與內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn)，故C是真命題；對(duì)于D，在長(zhǎng)方體中，與都與平面平行，且與相交，故D是真命題.故選：CD10.甲、乙兩人各投籃1次，已知甲命中的概率為，乙命中的概率為，且他們是否命中相互獨(dú)立，則（）A.恰好有1人命中的概率為 B.恰好有1人命中的概率為C.至多有1人命中概率為 D.至少有1人命中的概率為【正確答案】BD【分析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】對(duì)于AB，由題意，恰好有1人命中的概率為，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，至多有1人命中包含0人命中和恰好1人命中，因此至多有1人命中的概率為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，至少有1人命中包含恰好1人命中和2人都命中，因此至少有1人命中的概率為，故D正確.故選：BD.11.“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)，的曼哈頓距離為.在此定義下以下結(jié)論正確的是（）A.已知點(diǎn)，，滿足B.已知點(diǎn)，滿足的點(diǎn)軌跡圍成的圖形面積為2C.已知點(diǎn)，，不存在動(dòng)點(diǎn)滿足方程：D.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為【正確答案】ABD【分析】A選項(xiàng)：根據(jù)定義計(jì)算即可；B選項(xiàng)：根據(jù)定義得到，分類討論的正負(fù)得到軌跡圖形，然后求面積即可；C選項(xiàng)：根據(jù)定義得到，然后利用特殊值的思路判斷即可；D選項(xiàng)：根據(jù)幾何的思路得到當(dāng)垂直直線，平行x軸時(shí)，最小，然后求最小值即可.【詳解】A選項(xiàng)：由題意得，故A正確；B選項(xiàng)：設(shè)，，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；所以點(diǎn)的軌跡圍成的圖形是以為邊長(zhǎng)的正方形，所以面積為2，故B正確；C選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，所以存使，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)；如圖，過點(diǎn)作平行于x軸的直線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，表示的長(zhǎng)度，因?yàn)橹本€的方程為，所以，，即，，當(dāng)固定點(diǎn)時(shí)，為定值，此時(shí)為零時(shí)，最小，即平行于x軸，所以當(dāng)垂直直線時(shí)，最小，如下圖所示，此時(shí)，，根據(jù)直線的斜率為-2，得，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)虛部是______．【正確答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，進(jìn)而結(jié)合虛部的定義求解即可.【詳解】由，則復(fù)數(shù)的虛部是.故答案為.13.若向量，則稱為在基底下的坐標(biāo)．已知向量在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為______．【正確答案】【分析】結(jié)合題意，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得，進(jìn)而求得坐標(biāo).【詳解】由題意，，設(shè)，則，解得，則，所以在基底下的坐標(biāo)為.故答案為.14.已知某三棱臺(tái)的高為，上、下底面分別為邊長(zhǎng)為和的正三角形，若該三棱臺(tái)的各頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為__________．【正確答案】【分析】求出三棱臺(tái)上下底面正三角形外接圓的半徑，確定球心位置，結(jié)合球的截面圓性質(zhì)求出球半徑，再由球的表面積公式可得結(jié)果.【詳解】依題意，該三棱臺(tái)為正三棱臺(tái)，設(shè)為三棱臺(tái)，如圖，上底面正外接圓的半徑是，為正外接圓圓心，下底面正外接圓的半徑是，為正外接圓圓心，由正三棱臺(tái)的性質(zhì)知，其外接球的球心在直線上，令該球半徑為，于是，或，解得，所以球的表面積是．故四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，，．（1）求函數(shù)的定義域A；（2）實(shí)數(shù)，且，求的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)函數(shù)有意義求解定義域即可；（2）結(jié)合（1）可知，，，進(jìn)而代值計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意，，由，解得，則函數(shù)的定義域?yàn)?【小問2詳解】由（1）知，，又，則，則，所以16.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知向量，，其中，．（1）求角；（2）若是銳角三角形，求的周長(zhǎng)的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)，可得，結(jié)合為三角形內(nèi)角，可求角.（2）利用正弦定理表示出，結(jié)合輔助角公式和角的取值范圍，可求的取值范圍，進(jìn)而求出三角形周長(zhǎng)的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所?又為三角形內(nèi)角，所以.【小問2詳解】由正弦定理：，所以，.又是銳角三角形，且，所以，且.所以.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的周長(zhǎng).17.設(shè)圓C的半徑為r，圓心C是直線與直線的交點(diǎn).（1）若圓C過原點(diǎn)O，求圓C的方程；（2）已知點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)M，使，求r的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求出圓C的圓心和半徑，即可求得答案；（2）先求出點(diǎn)M的軌跡方程，判斷該軌跡和圓C有交點(diǎn)，即可列出不等關(guān)系，求得答案.【小問1詳解】由得，所以圓心，又∵圓C過原點(diǎn)O，∴，∴圓C的方程為.【小問2詳解】設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)得，∴點(diǎn)M在以為圓心，半徑為2的圓上.又∵點(diǎn)M在圓上，故圓與有交點(diǎn)，∴，即，即.18.如圖，在直三棱柱中，，，P為上的動(dòng)點(diǎn)，Q為棱的中點(diǎn)．（1）設(shè)平面平面，若P為的中點(diǎn)，求證：；（2）設(shè)，問線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【正確答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【分析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，易證四邊形為平行四邊形，可得，進(jìn)而得到平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)求證即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量及平面列出方程組求解即可.【小問1詳解】證明：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)镻為的中點(diǎn)，Q為的中點(diǎn)，所以，，，在直三棱柱中，，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以.【小問2詳解】在直三棱柱中，平面，，故可以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，則，，又，則，所以，若平面，則，則，解得，所以線段上存在點(diǎn)P，使得平面，此時(shí).19.材料：我們把經(jīng)過兩條直線：，：的交點(diǎn)的直線方程叫做共點(diǎn)直線系方程，其交點(diǎn)稱作共點(diǎn)直線系方程的“共點(diǎn)”，共點(diǎn)直線系方程也可表示為：（其中，且該方程不表示）．問題：已知圓M：．求：（1）求共點(diǎn)直線系方程的“共點(diǎn)”的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)為第（1）問中的“共點(diǎn)”，點(diǎn)N為圓上一動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若有唯一一組非零實(shí)數(shù)對(duì)滿足關(guān)于實(shí)數(shù)的方程：．設(shè)過點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線的方程．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）解方程組可得點(diǎn)坐標(biāo).（2）確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓外的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離的最值可求解.（3）把轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和到直線的距離相等，根據(jù)非零實(shí)數(shù)對(duì)唯一存在可求的值，進(jìn)而確定的值；再判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可確定過點(diǎn)的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線所在的方程.