《2 從立體圖形到平面圖形》（同步訓練）初中數(shù)學七年級上冊-北師大版-2024-2025學年

《2從立體圖形到平面圖形》同步訓練(答案在后面)一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、下列哪一個圖形不是立體圖形？A.長方體B.正方體C.圓D.球體2、將一個立方體沿某一直線切一刀，可能得到的截面形狀不包括以下哪種？A.正方形B.長方形C.三角形D.圓3、一個正方體的每個面都是正方形，如果正方體的體積是64立方厘米，那么它的表面積是多少平方厘米？A.64B.96C.128D.2564、一個長方體的長、寬、高分別為3厘米、4厘米和5厘米，那么它的對角線長度是多少厘米？A.5B.7C.9D.115、下列立體圖形中，哪一個的平面展開圖不可能是矩形？A.正方體B.圓柱C.三棱柱D.圓錐6、如果將一個立方體沿某些邊剪開并完全展開，以下哪種形狀不會出現(xiàn)？A.由六個正方形組成的一條直線B.由六個正方形組成的T字形C.由六個正方形組成的L字形D.由六個正方形組成的U字形7、一個正方體的每個面都是正方形，如果這個正方體的體積是64立方厘米，那么它的每個面的面積是多少平方厘米？A.8平方厘米B.16平方厘米C.32平方厘米D.64平方厘米8、一個長方體的長、寬、高分別是3厘米、2厘米、1厘米，那么這個長方體的表面積是多少平方厘米？A.22平方厘米B.24平方厘米C.26平方厘米D.28平方厘米9、在觀察一個正方體時，如果我們只考慮它的頂點和邊，下面哪一個圖形不可能是這個正方體的一個投影？A.正方形B.長方形C.六邊形D.三角形10、如果一個圓柱體被一個垂直于其底面的平面切割，那么所得到的截面圖形是什么？A.圓B.橢圓C.矩形D.正方形二、計算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：一個正方體的棱長為5cm，請計算：（1）這個正方體的體積；（2）一個對角面的面積；（3）從一個頂點出發(fā)，延伸到對面的頂點的對角線長度。第二題：一個長方體的長、寬、高分別為3cm、2cm和4cm。請計算：（1）長方體的表面積；（2）長方體的體積。第三題：已知一個正方體的一個頂點為A，與之相鄰的三個頂點分別為B、C、D，若AB=3cm，AC=4cm，AD=5cm，求該正方體的體積。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：已知長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是一個正方形，AB=BC=5cm，高AA1=12cm。求：（1）長方體ABCD-A1B1C1D1的體積V；（2）長方體ABCD-A1B1C1D1的表面積S。第二題：已知長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，且AB=6cm，BC=8cm，高AA1=10cm?，F(xiàn)從點A出發(fā)，沿AA1方向切割長方體，切割面與底面ABCD平行，且切割面與側(cè)棱BB1、CC1、DD1都相交于點E、F、G。（1）求切割面與底面ABCD的交線EF的長度。（2）求切割面與長方體側(cè)面的交線EG的長度。第三題：已知一個正方體的棱長為5cm，求這個正方體的表面積和體積。第四題：已知一個正方體的每個面的邊長為a，請計算正方體的體積V以及它的表面積S。第五題：已知一個長方體，長為8cm，寬為6cm，高為5cm。求該長方體的表面積。第六題：已知一個正方體的邊長為3cm，現(xiàn)從正方體的一個頂點出發(fā)，沿相鄰的三條棱分別截取長度為1cm的小正方體。（1）求截去的小正方體的個數(shù)；（2）求截去后剩余部分的體積。第七題：已知一個正方體的一個頂點A，其三個相鄰頂點分別為B、C、D。如果頂點A到平面BCD的距離為3cm，求正方體的棱長。《2從立體圖形到平面圖形》同步訓練及答案解析一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、下列哪一個圖形不是立體圖形？A.長方體B.正方體C.圓D.球體答案：C解析：在選項中，長方體、正方體和球體都是三維空間中的立體圖形，它們有長度、寬度和高度。而圓是二維平面上的圖形，它只有長度和寬度（或稱為直徑和半徑），因此不屬于立體圖形。2、將一個立方體沿某一直線切一刀，可能得到的截面形狀不包括以下哪種？A.正方形B.長方形C.三角形D.圓答案：D解析：當我們考慮切割一個立方體時，根據(jù)切割的角度和位置不同，可以得到不同的截面形狀。如果我們平行于其中一個面切割，可以得到正方形或長方形；如果我們以一定角度斜切，則有可能得到三角形。但是，無論如何切割，由于立方體的所有邊都是直線段，所以不可能得到包含曲線的圓形作為截面。因此，正確答案為D.圓。3、一個正方體的每個面都是正方形，如果正方體的體積是64立方厘米，那么它的表面積是多少平方厘米？A.64B.96C.128D.256答案：C解析：正方體的體積公式是V=a3，其中a是正方體的棱長。由題意知，體積V=64正方體的表面積公式是S=6a2，將a4、一個長方體的長、寬、高分別為3厘米、4厘米和5厘米，那么它的對角線長度是多少厘米？A.5B.7C.9D.11答案：D解析：長方體的對角線長度可以通過勾股定理來計算。設(shè)長方體的對角線長度為d，那么根據(jù)勾股定理有：d2=3因此，d=50。由于50是一個無理數(shù)，我們可以用近似值來表示它，即d≈7.075、下列立體圖形中，哪一個的平面展開圖不可能是矩形？A.正方體B.圓柱C.三棱柱D.圓錐答案：D解析：A選項的正方體可以展開成由六個相同大小的正方形組成的平面圖形。B選項的圓柱可以展開成一個矩形（側(cè)面）加上兩個圓形底面，但如果我們只考慮側(cè)面，則它確實能形成一個矩形。C選項的三棱柱可以展開成兩個三角形和三個矩形，其中這三個矩形可以排列成一個更大的矩形。D選項的圓錐，其側(cè)面展開后會形成一個扇形，而不是矩形。因此，正確答案為D。6、如果將一個立方體沿某些邊剪開并完全展開，以下哪種形狀不會出現(xiàn)？A.由六個正方形組成的一條直線B.由六個正方形組成的T字形C.由六個正方形組成的L字形D.由六個正方形組成的U字形答案：A解析：立方體的平面展開圖，也稱為網(wǎng)狀圖，有多種可能的形式，但所有形式都必須滿足一些基本條件：每個正方形至少與另一個正方形共享一條邊，并且整個圖形不能自我重疊。對于選項：A選項描述的情況實際上是不可能的。因為如果六個正方形排成一條直線，那么它們無法折疊回成立方體。為了形成一個立方體，至少需要有一個正方形與其他四個正方形中的每一個共享一條邊，這在一條直線上是不可能實現(xiàn)的。B.C和D選項都是立方體合法的展開方式。例如，T字形、L字形和U字形都可以通過適當?shù)恼郫B過程變成立方體。因此，正確答案為A。7、一個正方體的每個面都是正方形，如果這個正方體的體積是64立方厘米，那么它的每個面的面積是多少平方厘米？A.8平方厘米B.16平方厘米C.32平方厘米D.64平方厘米答案：B解析：正方體的體積公式是邊長的三次方，即V=a3。已知體積V=64立方厘米，所以a3=8、一個長方體的長、寬、高分別是3厘米、2厘米、1厘米，那么這個長方體的表面積是多少平方厘米？A.22平方厘米B.24平方厘米C.26平方厘米D.28平方厘米答案：A解析：長方體的表面積公式是2lw+lh+wh，其中9、在觀察一個正方體時，如果我們只考慮它的頂點和邊，下面哪一個圖形不可能是這個正方體的一個投影？A.正方形B.長方形C.六邊形D.三角形答案：D解析：正方體有六個面，每個面都是正方形。當我們考慮正方體的投影時，我們可以得到以下幾種可能的形狀：如果我們正面或側(cè)面看正方體，我們會看到一個正方形（選項A）。如果我們以一定的角度觀看，使得正方體的一對相對的邊不平行于視線方向，那么我們可以看到一個長方形（選項B）。如果我們的視線方向與正方體的一個頂點相切，并且穿過三個相鄰的面，則可以得到一個六邊形的投影（選項C）。然而，無論從哪個角度觀察，都不可能只通過正方體的頂點和邊形成一個三角形的投影（選項D）。因此，正確答案為D。10、如果一個圓柱體被一個垂直于其底面的平面切割，那么所得到的截面圖形是什么？A.圓B.橢圓C.矩形D.正方形答案：A解析：當一個圓柱體被一個垂直于它底面的平面切割時，截面將會是一個圓形，這個圓形與圓柱體的底面是全等的。這是因為切割平面與底面平行，所以它會“復(fù)制”出底面的形狀（選項A）。其他選項如橢圓（選項B）、矩形（選項C）或正方形（選項D），只有在不同的切割方式下才可能出現(xiàn)，例如傾斜切割可能會產(chǎn)生橢圓，而沿側(cè)邊切割可能會產(chǎn)生矩形或正方形，但這些不是本題描述的垂直切割情況下的結(jié)果。因此，正確答案為A。二、計算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：一個正方體的棱長為5cm，請計算：（1）這個正方體的體積；（2）一個對角面的面積；（3）從一個頂點出發(fā)，延伸到對面的頂點的對角線長度。答案：（1）正方體的體積V=a3=5cm×5cm×5cm=125cm3（2）正方體一個面的面積A=a2=5cm×5cm=25cm2（3）正方體的對角線長度d=√(a2+a2+a2)=√(5cm2+5cm2+5cm2)=√(3×5cm2)=5√3cm解析：（1）正方體的體積計算公式為棱長的三次方，即V=a3。將棱長5cm代入公式，得到體積為125cm3。（2）正方體的一個面是一個正方形，面積計算公式為邊長的平方，即A=a2。將棱長5cm代入公式，得到面積為25cm2。（3）正方體的對角線長度可以通過勾股定理計算，正方體的每個對角面是一個等腰直角三角形，其對角線長度等于棱長的√3倍。因此，對角線長度d=a√3。將棱長5cm代入公式，得到對角線長度為5√3cm。第二題：一個長方體的長、寬、高分別為3cm、2cm和4cm。請計算：（1）長方體的表面積；（2）長方體的體積。答案：（1）長方體的表面積=2×(長×寬+長×高+寬×高)

=2×(3cm×2cm+3cm×4cm+2cm×4cm)

=2×(6cm2+12cm2+8cm2)

=2×26cm2

=52cm2（2）長方體的體積=長×寬×高

=3cm×2cm×4cm

=24cm3解析：（1）長方體的表面積由六個面組成，其中相對的面面積相等。因此，計算表面積時，只需計算三個不同面的面積，然后乘以2即可。在這個例子中，我們計算了長×寬、長×高和寬×高的面積，然后將它們相加并乘以2得到總表面積。（2）長方體的體積是長、寬和高的乘積。在這個題目中，我們直接將三個維度相乘得到體積。第三題：已知一個正方體的一個頂點為A，與之相鄰的三個頂點分別為B、C、D，若AB=3cm，AC=4cm，AD=5cm，求該正方體的體積。答案：該正方體的體積為60cm3。解析：首先，根據(jù)題意，AB=AC=AD，因此△ABD、△ABC、△ACD都是等腰直角三角形。由于AB=3cm，AC=4cm，AD=5cm，可以判斷出AB是直角邊，AD是斜邊，因此ABCD是一個直角三角形，且∠ABC=∠ACD=90°。由于△ABD、△ABC、△ACD都是等腰直角三角形，可以得出BC=BD=CD。因為ABCD是直角三角形，所以BC=BD=CD=4cm（AC的長度，因為AC是斜邊，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2，所以BC=√(AC2-AB2)=√(42-32)=√(16-9)=√7，但這里BC的長度實際上是AC的長度，即4cm）。因此，正方體的棱長為4cm。正方體的體積V可以通過公式V=a3計算，其中a是棱長。所以，V=43=64cm3。但是，這里有一個錯誤，因為正方體的棱長應(yīng)該是直角三角形ABD的斜邊長度，即AD的長度，所以棱長a=5cm。因此，正方體的體積應(yīng)該是V=53=125cm3。所以，正確答案是125cm3。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：已知長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是一個正方形，AB=BC=5cm，高AA1=12cm。求：（1）長方體ABCD-A1B1C1D1的體積V；（2）長方體ABCD-A1B1C1D1的表面積S。答案：（1）長方體的體積V可以通過底面積乘以高來計算，即V=底面積×高。底面ABCD是正方形，所以底面積為AB×BC=5cm×5cm=25cm2。因此，體積V=25cm2×12cm=300cm3。（2）長方體的表面積S由六個面的面積之和組成。其中，底面和頂面的面積各為25cm2，側(cè)面有四個，每個側(cè)面都是一個矩形，面積分別為AB×AA1和BC×AA1。所以，側(cè)面總面積為2×(AB×AA1+BC×AA1)=2×(5cm×12cm+5cm×12cm)=2×120cm2=240cm2。因此，表面積S=2×底面積+側(cè)面總面積=2×25cm2+240cm2=50cm2+240cm2=290cm2。解析：（1）首先，根據(jù)長方體的體積公式V=底面積×高，代入已知的底面積和高計算出體積。（2）其次，根據(jù)長方體的表面積公式S=2×底面積+側(cè)面總面積，分別計算底面積和四個側(cè)面的面積，然后將它們相加得到總的表面積。注意，這里要區(qū)分底面和側(cè)面，以及側(cè)面的面積計算要考慮長和高的乘積。第二題：已知長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，且AB=6cm，BC=8cm，高AA1=10cm?，F(xiàn)從點A出發(fā)，沿AA1方向切割長方體，切割面與底面ABCD平行，且切割面與側(cè)棱BB1、CC1、DD1都相交于點E、F、G。（1）求切割面與底面ABCD的交線EF的長度。（2）求切割面與長方體側(cè)面的交線EG的長度。答案：（1）切割面與底面ABCD的交線EF是切割面與底面的平行線段，因此EF的長度等于長方體的高AA1，即EF=10cm。（2）由于切割面與側(cè)棱BB1、CC1、DD1相交于點E、F、G，且切割面與底面ABCD平行，因此EF、FG、GH、HE四條線段分別平行于底面的邊AB、BC、CD、DA。由于ABCD是矩形，所以AB平行于CD，BC平行于DA。在直角三角形AEG中，AE是切割面與側(cè)棱BB1的交線，由于切割面與底面平行，所以AE與AA1平行，因此AE=AA1=10cm。同理，AG=AA1=10cm。在直角三角形ABE中，AB=6cm，AE=10cm，根據(jù)勾股定理，可以求出BE的長度：BE=√(AB^2-AE^2)=√(6^2-10^2)=√(36-100)=√(-64)（這里出現(xiàn)錯誤，因為AB^2-AE^2不可能為負數(shù)）這里出現(xiàn)了錯誤，因為在長方體中，AB^2-AE^2不可能為負數(shù)，說明題目中的數(shù)據(jù)可能存在問題或者理解有誤。正確的做法是，由于切割面與底面平行，切割面與側(cè)棱的交點到對應(yīng)底面頂點的距離與底面頂點到側(cè)棱頂點的距離相等，因此BE=AB=6cm。同理，由于切割面與底面平行，F(xiàn)G=BC=8cm。因此，EG=EF+FG=10cm+8cm=18cm。解析：（1）通過分析切割面與底面的平行關(guān)系，直接得出EF的長度等于長方體的高AA1。（2）通過分析切割面與側(cè)棱的交點關(guān)系，確定AE=AG=AA1，然后利用勾股定理求出BE的長度，最后通過切割面與底面的平行關(guān)系得出FG的長度，從而得出EG的長度。第三題：已知一個正方體的棱長為5cm，求這個正方體的表面積和體積。答案：表面積：150cm2體積：125cm3解析：首先，我們知道正方體的表面積公式為：S=6a2，其中a為正方體的棱長。代入題目中給定的棱長a=5cm，我們可以計算出正方體的表面積：S=6×52=6×25=150cm2接著，正方體的體積公式為：V=a3，同樣代入棱長a=5cm，我們可以計算出正方體的體積：V=53=5×5×5=125cm3因此，這個正方體的表面積為150cm2，體積為125cm3。第四題：已知一個正方體的每個面的邊長為a，請計算正方體的體積V以及它的表面積S。答案：V=a3S=6a2解析：首先，正方體的體積V可以通過計算它的一個面的面積a2乘以它的高度（即邊長a）得到，因此體積公式為V=a2*a=a3。其次，正方體的表面積S由它的六個面組成，每個面的面積都是a2。由于正方體有六個面，所以總表面積S為6個面的面積之和，即S=6*a2。綜上所述，正方體的體積是a的三次方，表面積是a的平方乘以6。第五題：已知一個長方體，長為8cm，寬為6cm，高為5cm。求該長方體的表面積。答案：長方體的表面積計算公式為：表面積=2×(長×寬+長×高+寬×高)。代入已知數(shù)據(jù)得：表面積=2×(8cm×6cm+8cm×5cm+6cm×5cm)

=2×(48cm2+40cm2+30cm2)

=2×118cm2

=236cm2所以，該長方體的表面積為236cm2。解析：本題考查的是長方體表面積的計算。根據(jù)長方體表面積的公式，我們需要分別計算長方體的三個不同面的面積，然后將這三個面積相加，并乘以2，得到長方體的總表面積。在本題中，長方體的三個不同面的面積分別為長×寬、長×高和寬×高，分別代入公式進行計算即可得到最終答案。注意，計算過程中單位要保持一致，本題中單位為平方厘米。第六題：已知一個正方體的邊長為3cm，現(xiàn)從正方體的一個頂點出發(fā)，沿相鄰的三條棱分別截取長度為1cm的小正方體。（1）求截去的小正方體的個數(shù)；（2）求截去后剩余部分的體積。答案：（1）截去的小正方體的個數(shù)是3個。解析：從正方體的一個頂點出發(fā)，沿相鄰的三條棱分別截取長度為1cm的小正方體，每