微積分基礎-答案1-4

#3若jf(x)dx=x2e2x+c，2xe2x(1+x)2x2e2x2xe2xxe2x4若f(x)3若jf(x)dx=x2e2x+c，2xe2x(1+x)2x2e2x2xe2xxe2x4若f(x)=x+xx(x>0)則jfr(x)dx=(A).A.x+-Jx+cB.x2+x+c33C,x2+—x2+c2D.1 23—x2+—x2+c2 35以下計算正確的是(A3xdx=d3ln3B．dx1+x2=d(1+x2)C. -dx=d、；xxxD. Inxdx=d(—)x6xf'(x)dx=(A)A.xf'(x)-f(x)+cxf'(x)+c1x2f'(x)+cD.(x+1)f'(x)+c解：’(x)dx=xcdf'(x)=xf'(x) jf'(x)dx=xf'(x)f(x)+c7dja2xdx=(A)．a(chǎn)2x-2a2xlnadxa2xdxa2xdx+c8果等式f(x)exdx=ex+°,則f(x)=(B)B.x21C.一x1D.—x21 1 1解：兩邊求導，得：f(x)ex=ex—x2三、計算題(每小題7分，共35分)%x3+xsinxi dx

TOC\o"1-5"\h\z3一、.'x3+xsinx 1,解：J dx=3dx一xdx+Jsinxdxx x? 23=3lnx-x2—cosx+c3J(2x-1)iodx解：J(2x-1)iodx=-J(2x-1)10d(2x-1)=---1-(2x-1)10+1+c2 210+1=.￡(2x-1)11+c221sin—J——xdxx21TOC\o"1-5"\h\zx 1.解：J dx=-Jsin cos—+cx2 xxxJxsin2xdx解：Jxsin2xdx=--Jxdcos2x=-—(xcos2x-Jcos2xdx)2 21125.Jxe-xdx25.Jxe-xdx解：Jxe-xdx=-Jxde-x=-(xe-x-Je-xdx)=-xe-x-e-x+c四、極值應用題（每小題12分，共24分）設矩形的周長為120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形的邊長為多少時，才能使圓柱體的體積最大。解：設矩形的一邊長為x厘米，則另一邊長為60-x厘米，以60-x厘米的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體，則體積V為：V=兀x2（60-x），即：V=60Kx2-nx3dV dV=120nx-3nx2,令=0,得：dx dxx=0（不合題意，舍去），x=40，這時60-x=20由于根據(jù)實際問題,有最大體積,故當矩形的一邊長為40厘米、另一邊長為60厘米時,才能使圓柱體的體積最大。欲用圍墻圍成面積為216平方米的一成矩形的土地,并在正中用一堵墻將其隔成兩塊,問這塊土地的長和寬選取多大尺寸,才能使所用建筑材料最??？解：設矩形的長為x米，則矩形的寬為竺米，從而所用建筑材料為：xTOC\o"1-5"\h\z216 648L=2x+3? ,即：L=2x+一xxdL 648 dL 216-—=2一 ,令％-=0得：x=18（取正值），這時 =12dx x2 dx x由于根據(jù)實際問題，確實有最小值，故當矩形的長為18米，寬為12米時，才能使所用建筑材料最省五、證明題（本題5分）函數(shù)f（x）=x—八在（—8,0）是單調(diào)增加的.證明：因為f（x）=1—八，當x￡（—8,0）時，f（x）=1—ex>0所以函數(shù)f（x）=x—ex在（—8,0）是單調(diào)增加的.微積分初步形成性考核作業(yè)（四）解答定積分及應用、微分方程一、填空題（每小題2分，共20分）12.J1(sinxcos2x-x2)dx=一-i 3.J2(x5—4x+cosx)dx=2正2.已知曲線y=f（x）在任意點x處切線的斜率為飛后，且曲線過（4,5）,則該曲線的方程TOC\o"1-5"\h\z23 1；是y=-x2——3 3.若J”5x3—3x+2)dx=4—15．6．由定積分的幾何意義知，JQ飛a2—x2dx=1Ka20 5．6．—Jeln(x2+1)dx=dx17．J0e2xdx一g8．微分方程y'=y,y(0)=1的特解為y=ex9．微分方程y'+3y=0的通解為y=a-3-10．微分方程（y"[3+4xy⑷=y7sinx的階數(shù)為4二、單項選擇題（每小題2分，共20分）1.在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點（1,4）的曲線為（A）．A.y=x2+3B.y=x2+4AA）．2.若J1(2x+k)dx=2,0A．1B．C．03．下列定積分中積分值為0的是（A）．1ex—e—xA.J——-——dx—1 2C.JK(x3+cosx)dx—KB．D．1ex+e—x1 __dx—1 2J兀(x2+sinx)dx—K5．6．8．9．4.設f（x）是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分Jaf（x）dx=（D）A.2J0f(x)dx-aK.J21sinxdx-(2A．0B．-aB．）．J0f(x)dx c.-aC．下列無窮積分收斂的是（B）.A．C．7．A．C．Jaf(x)dxD.0D．2J+sexdx0J+」dx1x下列無窮積分收斂的是（B）.J+"sinxdx0J+」dx1xB．D．J"e-xdx0J+s1B．上dx

xJ+se-2xdxD.J+s1上dx%x下列微分方程中，（D）是線性微分方程.A.yx2+lny=y'微分方程y'=0的通解為（c）.A.y=Cx10.下列微分方程中為可分離變量方程的是dyA.=x+y；dxdyC.——=xy+sinx；dxB．D．(B)y"sinx-y'ex=yInxdyB.=xy+y；dxdyD. -x(y+x)dx三、計算題（每小題7分，共56分）1．Jln2ex(1+ex)2dx解：Jln2ex(1+ex)2dx=卜2(1+ex)2d(1+ex)=3(1+ex)3ln22．Je1+5lnxdx1xD.y=0819—9—————3 3解：Je1+5lnxdx1x=Je(1+51nx)dInx=-Je(1+51nx)d(1+51nx)1 513．解：4．解：5．解：=_._(1+51nx)2=_(6-1)=-52 10 210J1xexdx0J1xexdx=J1xdex=xex00J兀-x,xsin—dx0 21兀xsinxdx=2J兀xsin02=-2(xcosX2-J1exdx=e-ex0-21兀xdcosX0 2-卜cos匕dx)=2,

0 20=4}cos0,.x=4sin—2④2xsinxdx0Z ￡2xsinxdx=-J2xdcosx=-(xcosx0 0自-J2cosxdx)0 0=sinxy76.求微分方程y'+x=x2+1滿足初始條件-⑴=4的特解?解：微分方程的通解為y=e-Jp(x)^^[Jq(x)eJp(x)dxdx+c]這里p(x)=-，q(x)=x2+1

x11 1代入得微分方程的通解為y=-(-x4+x2+°)x4 27將初始條件y⑴二4代入上式，解得°二111 1所以微分方程的特解為y二古x4+2x2+1)7.求微分方程y'--=2xsin2x的通解。

x解：微分方程的通解為y=e-JP(x)dx[Jq(x)eJp(x)dxdx+c]這里P(%)=-—,q(x)=2xsin2xx代入得微分方程的通解為y=x(-cos2x+c)四、證明題(本題4分)證明等式J0f(x)dx=Ja[f(-x)+f(x)]dx。證明：Jaf(x)dx=J0f(x)dx+Jaf(x)dx0令x=-t，則dx=dt，從而TOC