深圳實驗學(xué)校2024屆九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷(含答案)

深圳實驗學(xué)校中學(xué)部2023-2024學(xué)年第一學(xué)期九年級10月月考數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共10小題）1．如圖，該幾何體是由六個小正方體組合而成的，它的俯視圖是（）A． B． C． D．答案：D．2．如圖是由五個大小相同的正方體搭成的幾何體，則關(guān)于它的視圖，下列說法正確的是（）A．主視圖的面積最小 B．左視圖的面積最小 C．俯視圖的面積最小 D．三個視圖的面積一樣大答案：B．3．如果mn＝ab（m、n、a、b均不為零），則下列比例式中錯誤的是（）A． B． C． D．答案：C．4．在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB各頂點的坐標(biāo)分別為：O（0，0），A（1，2），B（0，3），以O(shè)為位似中心，△OA′B′與△OAB位似，若B點的對應(yīng)點B′的坐標(biāo)為（0，－6），則A點的對應(yīng)點A′坐標(biāo)為（）A．（－2，－4） B．（－4，－2） C．（－1，－4） D．（1，－4）答案：A．5．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．答案：C．6．已知方程2x2＋3x－1＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，則x1＋x2＝（）A．－3 B．－1 C．－ D．－答案：C．7．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2＝3 B．x2＋y2＝0 C．2（x＋3）＝5x D．答案：A．8．如圖，點A是反比例函數(shù)圖象上任意一點，過點A分別作x軸，y軸的垂線，垂足為B，C，則四邊形OBAC的面積為（）A．1.5 B．3 C．6 D．9答案：B．9．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點A（1，4），B（4，1）兩點，當(dāng)一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值時，x的取值范圍是（）A．x＜1 B．1＜x＜4 C．x＞3 D．x＞4答案：B．10．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E，F(xiàn)，連接BD、DP，BD與CF相交于點H，給出下列結(jié)論：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1答案：B．二．填空題（共5小題）11．已知x＝－2是方程x2－ax＋7＝0的一個根，則a的值是．答案：－．12．如果關(guān)于x的一元二次方程3x2＋x－m＝0有兩個實數(shù)根，那么m的取值范圍是m≥－．13．如圖，已知舞臺AB長10米，如果報幕員從點A出發(fā)站在舞臺的黃金分割點P處，且AP＜BP，則報幕員應(yīng)走3.8米報幕（結(jié)果精確到0.1米）．14．如圖，A（0，2），D（1，0），以AD為邊作正方形ABCD，則點B的坐標(biāo)為（2，3）．15．如圖，正方形ABCD中，AD＝9，點E是對角線BD上一點，連接AE，過點E作EF⊥AE，交BC于點F，連接AF，交BD于點G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接AM，交EF于點N，若BF＝BC，則線段AM的長是．三．解答題（共7小題）16．解方程：x（x－2）＝x－2．解：x（x－2）－（x－2）＝0，（x－2）（x－1）＝0，x－2＝0或x－1＝0，所以x1＝2，x2＝1．17．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在CD邊上，CF＝AE，連接AF，BF．（1）求證：四邊形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四邊形BFDE的面積．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DF∥EB，AB＝CD，又∵CF＝AE，∴DF＝BE，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四邊形BFDE是矩形．（2）解：∵AF平分∠DAB，DC∥AB，∴∠DAF＝∠FAB，∠DFA＝∠FAB，∴∠DAF＝∠DFA，∵DF＝5，∴AD＝FD＝5，∵AE＝CF＝3，DE⊥AB，∴，∴矩形BFDE的面積是：DF?DE＝5×4＝20．18．已知，如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱AB＝6m，某一時刻AB在太陽光下的投影BC＝3m．（1）請你在圖中畫出此時DE在太陽光下的投影EF；（2）在測量AB的投影時，同時測量出DE在太陽光下的投影EF長為6m，請你計算DE的長．解：（1）（連接AC，過點D作DF∥AC，交直線BC于點F，線段EF即為DE的投影，如圖；（2）∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE．∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∴△ABC∽△DEF，∴＝，即＝∴DE＝12（m）．19．如圖，直線y＝x與雙曲線y＝（k≠0）交于A，B兩點，點A的坐標(biāo)為（m，－3），點C是雙曲線第一象限分支上的一點，連接BC并延長交x軸于點D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接寫出點B的坐標(biāo)；（2）點G是y軸上的動點，連接GB，GC，求GB＋GC的最小值；（3）P是x軸上的點，Q是平面內(nèi)一點，是否存在點P，Q，使得A，B，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）將點A的坐標(biāo)為（m，－3）代入直線y＝x中，得－3＝m，解得：m＝－2，∴A（－2，－3），∴k＝－2×（－3）＝6，∴反比例函數(shù)解析式為y＝，由，得或，∴點B的坐標(biāo)為（2，3）；（2）如圖1，作BE⊥x軸于點E，CF⊥x軸于點F，∴BE∥CF，∴△DCF∽△DBE，∴＝，∵BC＝2CD，BE＝3，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴C（6，1），作點B關(guān)于y軸的對稱點B′，連接B′C交y軸于點G，則B′C即為BG＋GC的最小值，∵B′（－2，3），C（6，1），∴B′C＝＝2，∴BG＋GC＝B′C＝2；（3）存在．理由如下：當(dāng)點P在x的正半軸上時，如圖2，設(shè)點P1的坐標(biāo)為（a，0），過點B作BE⊥x軸于點E，∵∠OEB＝∠OBP1＝90°，∠BOE＝∠P1OB，∴△OBE∽△OP1B，∴＝，∵B（2，3），∴OB＝＝，∴＝，∴a＝，∴點P1的坐標(biāo)為（，0），當(dāng)點P在x的負(fù)軸上時，如圖2，設(shè)點P2的坐標(biāo)為（a，0），過點A作AH⊥x軸于點H，同理證得點P2的坐標(biāo)為（－，0），當(dāng)四邊形AP3BQ3或是矩形四邊形AP4BQ4時，OA＝OP4＝，∴點P的坐標(biāo)為（－，0）或（，0），綜上所述，點P的坐標(biāo)為（，0）或（－，0）或（－，0）或（，0）．20．2020年4月，“一盔一帶”安全守護行動在全國各地積極開展．某品牌頭盔的銷量逐月攀升，已知4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月平均增長率；（2）若此頭盔的進價為30元/個，經(jīng)測算當(dāng)售價為40元/個時，月銷售量為300個；售價每上漲1元，則月銷售量減少10個，為使月銷售利潤達(dá)到3960元，并盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的售價應(yīng)定為多少元/個？解：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月平均增長率為x，根據(jù)題意得：150（1＋x）2＝216，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不符合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月平均增長率為20%；（2）設(shè)該品牌頭盔的售價定為y元/個，則每個頭盔的銷售利潤為（y－30）元，月銷售量為300－10（y－40）＝（700－10y）個，根據(jù)題意得：（y－30）（700－10y）＝3960，整理得：y2－100y＋2496＝0，解得：y1＝48，y2＝52，又∵要盡可能讓顧客得到實惠，∴y＝48．答：該品牌頭盔的售價應(yīng)定為48元/個．21．[知識鏈接]，“化歸思想”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的一種探究新知、解決問題的基本的數(shù)學(xué)思想方法，通過“轉(zhuǎn)化、化歸”通?？梢詫崿F(xiàn)化未知為已知，化復(fù)雜為簡單，從而使問題得以解決．在探究平行四邊形的性質(zhì)時，學(xué)習(xí)小組利用這種思想方法，發(fā)現(xiàn)并證明了如下有趣結(jié)論，平行四邊形兩條對角線的平方和等于四邊的平方和．請你根據(jù)學(xué)習(xí)小組的思路，完成下列問題：（1）[問題發(fā)現(xiàn)]：如圖1，學(xué)習(xí)小組首先通過對特殊平行四邊形——矩形（長方形）的研究發(fā)現(xiàn)在矩形ABCD中令A(yù)B＝a，BC＝b，則可求得AC2＋BD2＝2a2＋2b2；（用a、b的式子表示）（2）[問題探究]：如圖2，學(xué)習(xí)小組通過添加輔助線，嘗試將平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形，繼續(xù)對一般平行四邊形ABCD進行研究，如圖：分別過點A、D作BC邊的垂線，請你按照這種思路證明AC2＋BD2＝2（AB2＋BC2）；（3）[問題拓展]：如圖3，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，已知：AD＝3，BC＝8，（AB－AC）2＝10，請你添加合適的輔助線，構(gòu)造平行四邊形進行轉(zhuǎn)化，求AB?AC的值．（1）解：如圖①，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，∴AC2＝AB2＋BC2，∵AB＝a，BC＝b，∴AC2＋BD2＝2（AB2＋BC2）＝2a2＋2b2；答案：2a2＋2b2；（2）證明：如圖②，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，且AB＝DC，∴∠ABE＝∠DCF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AE＝DF，BE＝CF，在Rt△ACE中，由勾股定理，可得AC2＝AE2＋CE2＝AE2＋（BC－BE）2…①，在Rt△BDF中，由勾股定理，可得BD2＝DF2＋BF2＝DF2＋（BC＋CF）2＝DF2＋（BC＋BE）2…②，由①②，可得AC2＋BD2＝AE2＋DF2＋2BC2＋2BE2＝2AE2＋2BC2＋2BE2，在Rt△ABE中，由勾股定理，可得AB2＝AE2＋BE2，∴AC2＋BD2＝2AE2＋2BC2＋2BE2＝2（AE2＋BE2）＋2BC2＝2AB2＋2BC2；（3）解：如圖3，延長AD至點E，使AD＝DE，，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，又∵AD＝DE，∴四邊形ABEC是平行四邊形，由（2）可得AE2＋BC2＝2AB2＋2AC2，＝2（AB－AC）2＋4AB?AC，∵AE＝2AD＝6，∴AE2＝4AD2＝36，∵BC＝8，（AB－AC）2＝10，∴36＋64＝2×10＋4AB?AC，∴AB?AC＝20．22．通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的．下面是一個案例，請補充完整．?原題：如圖1，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF＝45°，連接EF，則EF＝BE＋DF，試說明理由．（1）思路梳理∵AB＝CD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°∠FDG＝180°，∴點F，D，G共線．根據(jù)SAS（從“SSS，ASA，AAS，SAS”中選擇填寫），易證△AFG≌△AFE，得EF＝BE＋DF．（2）類比引申如圖2，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系∠B＋∠D＝180°時，仍有EF＝BE＋DF．（3）聯(lián)想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D，E均在邊BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD，DE，EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程．（4）思維深化如圖4，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，點D，E均在直線BC上，點D在點E的左邊，且∠DAE＝30°，當(dāng)AB＝4，BD＝1時，直接寫出CE的長．解：（1）∵AB＝AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，點F、D、G共線，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，即：EF＝BE＋DF．答案：SAS，△AFE；（2）∠B＋∠D＝180°時，EF＝BE＋DF，理由如下：∵AB＝AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖2，∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵∠ADC＋∠B＝180°，∴∠FDG＝180°，點F、D、G共線，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，即：EF＝BE＋DF．答案：∠B＋∠D＝180°；（3）猜想：DE2＝BD2＋EC2．理由：把△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE′，連接DE′，如圖3，∴△AEC≌△ABE′，∴BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABC＋∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2＋BD2＝E′D2，又∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠EAC＝45°，∴∠E′AB＋∠BAD＝45°，即∠E′AD＝45°，在△AE′D和△AED中，，∴△AE′D≌△AED（SAS），∴DE＝DE′，∴DE2＝BD2＋EC2；（4）∵點D，E均在直線BC上，點D在點E的左側(cè)，BD＝1，∴分兩種情況：點D在BC邊上或點D在CB的延長線上，①當(dāng)點D在BC邊上時，如圖4－1，過點A作AF⊥BC于點F，過點D作DG⊥AB于點G，∵AB＝AC＝4，∠BAC＝60°，∴BF＝CF＝2，∠BAF＝∠CAF＝30°，AF＝BF＝2，∵∠AGD＝90°，∠B＝60°，BD＝1，∴BG＝BD＝，DG＝BG＝，∴AG＝AB－BG＝4－＝，∵∠DAE＝30°，∴∠DAF＋∠BAD＝∠DAF