專題11 幾何壓軸中的實踐與操作題型（解析版）

專題11幾何壓軸中的實踐與操作題型對于實踐操作型問題，在解題過程中學生能夠感受到數(shù)學學習的情趣與價值，經歷“數(shù)學化”和“再創(chuàng)造”的過程，不斷提高自己的創(chuàng)新意識與綜合能力，這是《全日制義務教育數(shù)學課程標準(實驗稿)》的基本要求之一，因此，近年來實踐操作性試題受到命題者的重視，多次出現(xiàn).圖形的設計與操作問題，主要分為如下一些類型：1．已知設計好的圖案，求設計方案(如：在什么基本圖案的基礎上，進行何種圖形變換等)．2．利用基本圖案設計符合要求的圖案(如：設計軸對稱圖形，中心對稱圖形，面積或形狀符合特定要求的圖形等)．3．圖形分割與重組(如：通過對原圖形進行分割、重組，使形狀滿足特定要求)．4．動手操作(通過折疊、裁剪等手段制作特定圖案)．解決這樣的問題，除了需要運用各種基本的圖形變換(平移、軸對稱、旋轉、位似)外，還需要綜合運用代數(shù)、幾何知識對圖形進行分析、計算、證明，以獲得重要的數(shù)據(jù)，輔助圖案設計．由于折疊操作相當于構造軸對稱變換，因此折疊問題中，要充分利用軸對稱變換的特性，以獲得更多的圖形信息．必要時，實際動手配合上理論分析比單純的理論分析更為快捷有效． （2022·寧夏·中考真題）綜合與實踐知識再現(xiàn)如圖，中，，分別以、、為邊向外作的正方形的面積為、、．當，時，______．問題探究如圖，中，．（1）如圖，分別以、、為邊向外作的等腰直角三角形的面積為、、，則、、之間的數(shù)量關系是______．（2）如圖，分別以、、為邊向外作的等邊三角形的面積為、、，試猜想、、之間的數(shù)量關系，并說明理由．實踐應用（1）如圖，將圖中的繞點逆時針旋轉一定角度至，繞點順時針旋轉一定角度至，、相交于點．求證：；（2）如圖，分別以圖中的邊、、為直徑向外作半圓，再以所得圖形為底面作柱體，、、為直徑的半圓柱的體積分別為、、．若，柱體的高，直接寫出的值．問題探究：（1）；（2）；理由見解析；實踐應用：（1）見解析；（2）．知識再現(xiàn)：利用勾股定理和正方形的面積公式可求解；問題探究：(1)利用勾股定理和直角三角形的面積公式可求解；(2)過點D作DG⊥BC交于G，分別求出，，，由勾股定理可得，即可求S4+S5=S6；實踐應用：(1)設AB=c，BC=a，AC=b，則HN=a+b-c，F(xiàn)G=c-a，MF=c-b，可證明△HNP是等邊三角形，四邊形MFGP是平行四邊形，則，，再由，可證明．(2)設AB=c，BC=a，AC=b，以AB為直徑的圓的面積為S3、以BC為直徑的圓的面積為S1、以AC為直徑的圓的面積為S2，可得S1+S2=S3，又由，即可求．【答案】知識再現(xiàn)；【詳解】知識再現(xiàn)：解：中，，，，，，，故答案為：；問題探究：解：中，，，，，故答案為：；解：中，，，過點作交于，在等邊三角形中，，，，，同理可得，，，；實踐應用：證明：設，，，，，，是等邊三角形，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，四邊形是平行四邊形，，，是直角三角形，，，；解：設，，，以為直徑的圓的面積為、以為直徑的圓的面積為、以為直徑的圓的面積為，是直角三角形，，，，，，，，，，，．本題考查四邊形的綜合應用，熟練掌握直角三角形的勾股定理，等邊三角形的性質，圓的性質，圓柱的體積，平行線的性質是解題的關鍵．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）問題提出：某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形中心O處，并繞點O逆時針旋轉，探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若將三角板的頂點P放在點O處，在旋轉過程中，當與重合時，重疊部分的面積為__________；當與垂直時，重疊部分的面積為__________；一般地，若正方形面積為S，在旋轉過程中，重疊部分的面積與S的關系為__________；(2)類比探究：若將三角板的頂點F放在點O處，在旋轉過程中，分別與正方形的邊相交于點M，N．①如圖2，當時，試判斷重疊部分的形狀，并說明理由；②如圖3，當時，求重疊部分四邊形的面積（結果保留根號）；(3)拓展應用：若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心O處，該銳角記為（設），將繞點O逆時針旋轉，在旋轉過程中，的兩邊與正方形的邊所圍成的圖形的面積為，請直接寫出的最小值與最大值（分別用含的式子表示），（參考數(shù)據(jù)：）（1）如圖1，若將三角板的頂點P放在點O處，在旋轉過程中，當OF與OB重合時，OE與OC重合，此時重疊部分的面積=△OBC的面積=正方形ABCD的面積=1；當OF與BC垂直時，OE⊥BC，重疊部分的面積=正方形ABCD的面積=1；一般地，若正方形面積為S，在旋轉過程中，重疊部分的面積S1與S的關系為S1=S．利用全等三角形的性質證明即可；（2）①結論：△OMN是等邊三角形．證明OM=ON，可得結論；②如圖3中，連接OC，過點O作OJ⊥BC于點J．證明△OCM≌△OCN（SAS），推出∠COM=∠CON=30°，解直角三角形求出OJ，即可解決問題；（3）如圖4-1中，過點O作OQ⊥BC于點Q，當BM=CN時，△OMN的面積最小，即S2最小．如圖4-2中，當CM=CN時，S2最大．分別求解即可．【答案】(1)1,1，(2)①是等邊三角形，理由見解析；②(3)【詳解】（1）如圖1，若將三角板的頂點P放在點O處，在旋轉過程中，當OF與OB重合時，OE與OC重合，此時重疊部分的面積=△OBC的面積=正方形ABCD的面積=1；當OF與BC垂直時，OE⊥BC，重疊部分的面積=正方形ABCD的面積=1；一般地，若正方形面積為S，在旋轉過程中，重疊部分的面積S1與S的關系為S1=S．理由：如圖1中，設OF交AB于點J，OE交BC于點K，過點O作OM⊥AB于點M，ON⊥BC于點N．∵O是正方形ABCD的中心，∴OM=ON，∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，∴四邊形OMBN是矩形，∵OM=ON，∴四邊形OMBN是正方形，∴∠MON=∠EOF=90°，∴∠MOJ=∠NOK，∵∠OMJ=∠ONK=90°，∴△OMJ≌△ONK（AAS），∴S△PMJ=S△ONK，∴S四邊形OKBJ=S正方形OMBN=S正方形ABCD，∴S1=S．故答案為：1，1，S1=S．（2）①如圖2中，結論：△OMN是等邊三角形．理由：過點O作OT⊥BC，∵O是正方形ABCD的中心，∴BT=CT，∵BM=CN，∴MT=TN，∵OT⊥MN，∴OM=ON，∵∠MON=60°，∴△MON是等邊三角形；②如圖3中，連接OC，過點O作OJ⊥BC于點J．∵CM=CN，∠OCM=∠OCN，OC=OC，∴△OCM≌△OCN（SAS），∴∠COM=∠CON=30°，∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°，∵OJ⊥CB，∴∠JOM=90°-75°=15°，∵BJ=JC=OJ=1，∴JM=OJ?tan15°=2-，∴CM=CJ-MJ=1-（2-）=-1，∴S四邊形OMCN=2××CM×OJ=-1．（3）如圖4，將沿翻折得到，則，此時則當在上時，比四邊形的面積小，

設，則當最大時，最小，，即時，最大，此時垂直平分，即，則如圖5中，過點O作OQ⊥BC于點Q，，BM=CN當BM=CN時，△OMN的面積最小，即S2最?。赗t△MOQ中，MQ=OQ?tan=tan，∴MN=2MQ=2tan，∴S2=S△OMN=×MN×OQ=tan．如圖6中，同理可得，當CM=CN時，S2最大．則△COM≌△CON，∴∠COM=，∵∠COQ=45°，∴∠MOQ=45°-，QM=OQ?tan（45°-）=tan（45°-），∴MC=CQ-MQ=1-tan（45°-），∴S2=2S△CMO=2××CM×OQ=1-tan（45°-）．本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質，旋轉變換，全等三角形的判定和性質，四邊形的面積等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．1．（2022·內蒙古通遼·模擬預測）綜合實踐問題情境在圖所示的直角三角形紙片中，是斜邊的中點．數(shù)學老師讓同學們將繞中點做圖形的旋轉實驗，探究旋轉過程中線段之間的關系．解決問題（1）“實踐小組”的同學們將以點為中心按逆時針旋轉，當點的對應點與重合時，與它的對應邊交于點．他們發(fā)現(xiàn)：．請你幫助他們寫出證明過程．數(shù)學思考（2）在圖的基礎上，“實踐小組”的同學們繼續(xù)將以點為中心進行逆時針旋轉，當?shù)膶厱r，設與交于點，與交于點．他們認為．他們的認識是否正確？請說明理由．再探發(fā)現(xiàn)（3）解決完上面兩個問題后，“實踐小組”的同學們在圖中連接，他們認為，與也具有一定的數(shù)量關系．請你寫出這個數(shù)量關系______．（不要求證明）【答案】（1）見解析；（2）正確，理由見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質可得，根據(jù)等邊對等角、旋轉的性質可得，又，根據(jù)等腰三角形三線合一可證；（2）過點O作，，垂足分別為N，M，利用“角邊角”證明，推出，再利用“角角邊”證明，推出，，進而證明四邊形正方形，通過等量代換可得，再利用相似三角形的性質得出，即可證明；（3）利用正方形的性質可得，再結合（2）的結論可得．【詳解】解：（1）證明如下：是斜邊的中點，，，，由旋轉的性質可得，是的中點，，，又，；（2）他們的認識正確，理由如下：，，，，．如圖，過點O作，，垂足分別為N，M，，，，，由旋轉的性質可得，，，，，四邊形矩形．，，，在和中，，，

，，四邊形正方形．，，，，，，；（3）如圖，連接．由（2）知四邊形正方形，，，即，．故答案為：．2．（2022·山西·山西實驗中學?？寄M預測）綜合與實踐：問題情境：在綜合與實踐課上，數(shù)學老師出示了一道思考題：如圖，在正方形中，是射線上一動點，以為直角邊在邊的右側作等腰直角三角形，使得，，且點恰好在射線上．(1)如圖1，當點在對角線上，點在邊上時，那么與之間的數(shù)量關系是_________；探索發(fā)現(xiàn)：(2)當點在正方形外部時如圖2與圖3，（1）中的結論是否還成立？若成立，請利用圖2進行證明；若不成立，請說明理由；問題解決：(3)如圖4，在正方形中，，當是對角線的延長線上一動點時，連接，若，求的面積．【答案】(1)；(2)成立，證明見解析；(3)．【分析】（1）連接，根據(jù)正方形的性質和是等腰直角三角形，證得，可得，即可；（2）連接，根據(jù)正方形的性質和是等腰直角三角形，證得，可得，即可；（3）連接交于點，過點作交直線于點，根據(jù)正方形的性質，可得，再證得，可得，，在中，根據(jù)勾股定理可得，即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴．即；故答案為：；（2）解：（1）中的結論還成立，證明如下：如圖2，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴．即；（3）解：如圖4，連接交于點，過點作交直線于點，∵四邊形是正方形，，∴，，，∴，，∴，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，在中，由勾股定理得，，設，∴，解得，，（舍去），即，∴．3．（2022·廣東深圳·?？寄M預測）【操作與發(fā)現(xiàn)】如圖①，在正方形ABCD中，點N，M分別在邊BC、CD上．連接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞點A順時針旋轉90°，點D與點B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而可得：DM+BN＝MN．(1)【實踐探究】在圖①條件下，若CN＝6，CM＝8，則正方形ABCD的邊長是______．(2)如圖②，在正方形ABCD中，點M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN，求證：M是CD的中點．(3)【拓展】如圖③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，點M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，則DM的長是______．【答案】(1)12(2)見解析(3)8【分析】（1）利用旋轉的性質結合SAS可以證明△ANM≌△ANE，從而得到DM+BN＝MN，設正方形ABCD的邊長為x，則BN＝x﹣6，DM＝x﹣8，利用勾股定理求得MN=10，從而列得方程求解即可求出正方形邊長．（2）根據(jù)設BN＝m，DM＝n，則MN＝m+n，利用tan∠BAN，可得正方形邊長為3m，從而得到CM=3m-n，CN＝2m，根據(jù)勾股定理得到：，代入可得關于m，n得方程，繼而得到3m＝2n，最后代入CM=3m-n得到DM＝CM，即M是CD的中點．（3）延長AB至P，使BP＝BN＝4，過P作BC的平行線交DC的延長線于Q，延長AN交PQ于E，連接EM，將圖③補充成邊長為16的正方形，從而得到與前兩問的圖形，利用可得△ABN∽△APE，繼而求出PE的長度，從而利用前面的結論，并利用勾股定理列方程即可求出結果．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，由旋轉的性質得：△ABE≌△ADM，∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，即∠EAM＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠MAN＝∠EAN，在△AMN和△AEN中，，∴△AMN≌△AEN（SAS），∴MN＝EN，∵EN＝BE+BN＝DM+BN，∴MN＝BN+DM，在Rt△CMN中，由勾股定理得：∴MN10，則BN+DM＝10，設正方形ABCD的邊長為x，則BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8，∴x﹣6+x﹣8＝10，解得：x＝12，即正方形ABCD的邊長是12；故答案為：12；（2）證明：設BN＝m，DM＝n，由（1）可知，MN＝BN+DM＝m+n，∵∠B＝90°，tan∠BAN，∴tan∠BAN，∴AB＝3BN＝3m，∴CN＝BC﹣BN＝2m，CM＝CD﹣DM＝3m﹣n，在Rt△CMN中，由勾股定理得：∴，整理得：3m＝2n，∴CM＝2n﹣n＝n，∴DM＝CM，即M是CD的中點；（3）解：延長AB至P，使BP＝BN＝4，過P作BC的平行線交DC的延長線于Q，延長AN交PQ于E，連接EM，如圖③所示：則四邊形APQD是正方形，∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝12+4＝16，設DM＝a，則MQ＝16﹣a，∵PQBC，∴△ABN∽△APE，∴，∴PEBN，∴EQ＝PQ﹣PE＝16，由（1）得：EM＝PE+DMa，在Rt△QEM中，由勾股定理得：，解得：a＝8，即DM的長是8；故答案為：8．4．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）綜合與實踐如圖①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為Rt△ABC的斜邊上的中線，在證明CD=AD=BD的過程中，我們可以延長CD到E，使得CD=DE，連接BE．很容易證明∠ACD≌△BED，進而證明△ABC≌△ECB，所以AB=CE，所以CD=AD=BD．我們可以得到直角三角形的性質：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半．實踐操作：將兩個全等的Rt△ABD，Rt△ACE拼在一起，如圖②，△ABD不動．問題解決：（1）將△ACE繞點A逆時針旋轉，連接DE，M是DE的中點，連接MB，MC，如圖③，求證：MB=MC；拓展延伸：（2）若將圖②中的CE向上平移，且∠CAE不變，連接DE，M是DE的中點，連接MB，MC，如圖④，則線段MB，MC的數(shù)量關系為；問題再探：（3）在（2）的條件下，若∠CAE改變大小，如圖⑤，其他條件不變，請你判斷線段MB，MC的數(shù)量關系還成立嗎?請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）MB=MC；（3）成立，理由見解析．【分析】（1）由旋轉得到，，繼而證明，再證明，接著由得到；（2）由平移的性質得到，繼而得到，接著由得到；（3）延長BM交CE于點F，證明，由此得到MB=MF，再結合直角三角形斜邊中線的性質解得即可．【詳解】解：（1）由題意知Rt△ABD≌Rt△ACE旋轉M是DE的中點（2）由題意，平移M是DE的中點故答案為：；（3）成立，理由如下，如圖，延長BM交CE于點F，平移M是DE的中點．5．（2022·河南南陽·統(tǒng)考二模）綜合與實踐【動手操作】如圖①，四邊形ABCD是一張矩形紙片，，．先將矩形ABCD對折，使BC與AD重合，折痕為MN，沿MN剪開得到兩個矩形．矩形AMND保持不動，將矩形MBCN繞點M逆時針旋轉，點N的對應點為．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖②，當點C與點D重合時，交AD于點E，BC交MN于點F，此時兩個矩形重疊部分四邊形MEDF的形狀是______，面積是______；（2）如圖③，當點N'落在AD邊上時，BC恰好經過點N，與DN交于點G，求兩個矩形重疊部分四邊形的面積；【引申探究】（3）當點落在矩形的對角線MD所在的直線上時，直線與直線DN交于點G，請直接寫出線段DG的長．【答案】（1）菱形，（2）（3）【分析】（1）先證△BFM≌△NFD，可得MF=FD，同理可證ME=ED，再證△BFM≌△AEM，可得ME=MF，即有ME=ED=DF=MF，則可知四邊形MEDF是菱形；由AD=AE+ED=5，AM=3，DE=ME，即ED=5-AE=ME，在Rt△AEM中，，即可得，解得：，進而求出ED，則菱形的面積可求；（2）先求出，進而求出，再證明即可求解；（3）分兩種情況討論，第一種當點在在線段MD上時，第二種情況當點在DM的延長線上時，兩種情況均是先先利用勾股定理求出MD，進而求出，再證明即可求解．【詳解】（1）根據(jù)題意有AM=BM=AB=DC=DN=NC=3，∵在矩形AMND和矩形MBCN′中，∠B=∠N=90°=∠A，∵∠BFM=∠NFD，∴△BFM≌△NFD，∴MF=FD，同理可證ME=ED，∵∠AME+∠EMF=∠AMN=90°=∠EMB=∠EMF+∠BMF，∴∠AME=∠BMF，∴結合∠B=∠A，AM=MB可得△BFM≌△AEM，∴ME=MF，∴ME=ED=DF=MF，∴四邊形MEDF是菱形，∵AD=AE+ED=5，AM=3，DE=ME，即ED=5-AE=ME，∴在Rt△AEM中，，∴，解得：，∴ED=5-AE=，∴菱形MEDF的面積為，故答案為：菱形，；（2）由折疊得，，∴在中，．∴．由題知，∴，，∴，∴．∴，即，解得．∴．（3）如圖，第一種當點在線段MD上時∵AD=5，AM=3，∴在Rt△ADM中，，∵BC=AD==5，∴，根據(jù)矩形的性質可知∠AMD=∠MDG，∠A==∠90°，∴，∴，即：，第二種情況當點在DM的延長線上時，如圖：同理可求得，綜上所述：DG為．6．（2022·山西大同·統(tǒng)考二模）綜合與實踐在一次綜合實踐活動課上，數(shù)學王老師給每