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2024—2025學(xué)年度高一第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)時(shí)量:120分鐘滿分:150分得分:__________.一?選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是特合題目要求的.1.已知集合或,則圖中的陰影部分表示的集合為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出,再根據(jù)補(bǔ)集的含義即可得到答案.【詳解】由題意得或,由圖知陰影部分表示的在中的補(bǔ)集,則陰影部分表示的集合為.故選:C.2.若集合,則()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分別計(jì)算出每項(xiàng)中、的對(duì)應(yīng)的值后,檢驗(yàn)其是否符合即可得解.【詳解】對(duì)A:有,解得,由時(shí),,故,故A錯(cuò)誤;對(duì)B:有,解得,由時(shí),,故,故B正確;對(duì)C:有,解得,由時(shí),,故,故C錯(cuò)誤;對(duì)D:有,解得,由時(shí),,故,故D錯(cuò)誤.故選:B.3.設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分別得出及時(shí)的與的關(guān)系,結(jié)合充分條件與必要條件定義即可判斷.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),有,若,則,故“”是“”的充分不必要條件.故選:A.4.已知函數(shù)的定義域是,則函數(shù)的定義域是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域和被開(kāi)方數(shù)大于等于以及分母不等于得到不等式組,解出即可.【詳解】由題意得-1≤x+1≤4x-1>0,解得,則其定義域?yàn)?故選:D.5.已知函數(shù),且對(duì)任意,都有,則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得函數(shù)在上單調(diào)遞增,結(jié)合二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性可得不等式組,解出即可得.【詳解】由對(duì)任意,都有,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,故有,解得.故選:D6.已知,則下列不等式成立的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合偶函數(shù)定義與二次函數(shù)單調(diào)性,可得為偶函數(shù)及其單調(diào)性,則可結(jié)合,,log23>32從而得解【詳解】定義域?yàn)镽,有,故為偶函數(shù),則,當(dāng)時(shí),有,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,由log2又,即log23>故.故選:A.7.已知函數(shù)對(duì)任意,總有.若存在使得不等式成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得函數(shù)在上單調(diào)遞增,即可得存在,使得成立,即有恒成立,解出即可得.【詳解】由函數(shù)對(duì)任意,總有,故在上單調(diào)遞增,即存在,使得,即成立,即有恒成立,解得.
故選:C.8.已知函數(shù)是定義在上增函數(shù),當(dāng)時(shí),.若,其中,則()A.4 B.5 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意,用列舉法一一驗(yàn)證即可.【詳解】由題意可知,所以,即,所以.若,得,所以,矛盾.若,得,所以,這與是0,+∞上的增函數(shù)矛盾.所以.所以,得;所以,得;所以,得.因?yàn)?,且,,從而,故選:C.二?多選題(本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.)9.已知甲?乙兩城相距,兩個(gè)旅行者分別騎自行車和摩托車從甲城到乙城,他們所行駛的路程和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,有人根據(jù)此圖,提出了如下觀點(diǎn),其中正確的觀點(diǎn)有()A.騎自行車者和騎摩托車者都是變速運(yùn)動(dòng)B.騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā),晚到C.騎摩托車者在出發(fā)后追上了騎自行車者D.騎摩托車者在出發(fā)后與騎自行車者速度一樣【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)路程與時(shí)間的函數(shù)圖象,由知摩托車是勻速運(yùn)動(dòng);兩函數(shù)交點(diǎn)說(shuō)明行駛路程相等;圖象與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為出發(fā)時(shí)間,與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為到達(dá)時(shí)間,即可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)A:騎摩托車者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是線段,所以是勻速運(yùn)動(dòng),故A錯(cuò)誤;對(duì)B:由時(shí)間軸上,自行車、摩托車對(duì)應(yīng)函數(shù)的起止點(diǎn)及其所對(duì)應(yīng)的時(shí)間值,可得騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā),晚到,故B正確;對(duì)C:兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)著,結(jié)合圖象知C正確;對(duì)D:騎摩托車者在出發(fā)后追上自行車,而它們的車速不同,故D錯(cuò)誤.故選:BC.10.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),下列結(jié)論正確的有()A.B.C.是偶函數(shù)D.若,則【答案】AC【解析】【分析】由冪函數(shù)定義可得A;結(jié)合圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)可得解析式及其定義域,即可得B;結(jié)合偶函數(shù)的定義計(jì)算即可得C;結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)與冪函數(shù)單調(diào)性計(jì)算即可得D.【詳解】對(duì)A:由題意可得,解得,即,故A正確;對(duì)B:由,其定義域?yàn)?,故B錯(cuò)誤;對(duì)C:由,故是偶函數(shù),故C正確;對(duì)D:由,故在0,+∞上單調(diào)遞減,又是偶函數(shù),故可得,對(duì),即有,整理得,解得,由、可得、,故,故D錯(cuò)誤.故選:AC.11.用表示不超過(guò)的最大整數(shù),例如,,.已知,則(
)A.B.為奇函數(shù)C.,都有D.與圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為【答案】ACD【解析】【分析】A、B由函數(shù)新定義及奇偶性定義判斷;C作差法比較大??;D令可得,結(jié)合新定義求得,討論求的根,即可判斷.【詳解】A:,對(duì);B:,錯(cuò);C:,則,對(duì)于,都有,故,對(duì);D:令,又,所以,可得,當(dāng)時(shí),滿足,即2為圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo);當(dāng)時(shí),,則,即為圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo);當(dāng)時(shí),,則,故1不為圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo);當(dāng)時(shí),,則,即為圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo);綜上,圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為,對(duì).故選:ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:D選項(xiàng),注意令結(jié)合分類討論求對(duì)應(yīng)根為關(guān)鍵.三?填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分.)12.______.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】.故答案為:6.13.已知兩個(gè)正實(shí)數(shù),滿足,且不等式有解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】借助基本不等式“1”的活用可得不等式有解等價(jià)于有解,解出即可得.【詳解】由均為正實(shí)數(shù),且,故,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,則不等式有解等價(jià)于有解,即有,解得或.故答案為:.14.已知函數(shù)為上的奇函數(shù),函數(shù),若在上的值域?yàn)?,則在上的值域?yàn)開(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由奇函數(shù)的對(duì)稱性可設(shè)的值域?yàn)?m,mm>0,結(jié)合題意及二次函數(shù)的性質(zhì)可得且或,解出即可得.【詳解】,若,則,由函數(shù)為上的奇函數(shù),則可設(shè)的值域?yàn)?m,mm>0,則有且或,解得,經(jīng)檢驗(yàn),滿足題意,故的值域?yàn)?故答案為:.四?解答題(本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.)15.已知函數(shù).(1)求集合;(2)設(shè),若中恰好有2個(gè)元素,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析;(2)或.【解析】【分析】(1)分、、解出不等式即可得解;(2)結(jié)合(1)中所得分類討論,結(jié)合中恰有2個(gè)整數(shù)元素即可得解.【小問(wèn)1詳解】,令,解或.當(dāng)時(shí),有恒成立,故;當(dāng)時(shí),有,故或;當(dāng)時(shí),有,故或.綜上所述,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),或;當(dāng)時(shí),或.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí),,則,不符合要求;當(dāng)時(shí),或,則,由中恰好有2個(gè)元素,故,則,解得;當(dāng)時(shí),或,則,由中恰好有2個(gè)元素,故,則,解得;綜上所述,或.16.已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù),且.(1)求;(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,并用定義證明;(3)解關(guān)于的不等式.【答案】(1),(2)在區(qū)間上單調(diào)遞增,證明見(jiàn)解析(3)【解析】【分析】(1)結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)與計(jì)算即可得解;(2)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性定義,令,得到的正負(fù)即可得;(3)結(jié)合奇函數(shù)與單調(diào)性定義計(jì)算即可得解.【小問(wèn)1詳解】由函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù),可得,即,由,則,解得,故,檢驗(yàn):當(dāng)時(shí),有,函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù),符合要求,故,;【小問(wèn)2詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增,證明如下:由(1)得,令,則,由,故、、、,故,即當(dāng)時(shí),,故在區(qū)間上單調(diào)遞增;【小問(wèn)3詳解】由,即,由在區(qū)間上單調(diào)遞增,故有,解得.17.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求在區(qū)間上的最小值;(2)若,總存在,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)令,求出的單調(diào)性,求出在區(qū)間上的最小值;(2)由題意得在的值域包含于在的值域,分、和三種情況并結(jié)合單調(diào)性求解.【小問(wèn)1詳解】,令,,所以,在單調(diào)遞增,所以,所以在區(qū)間上的最小值為;【小問(wèn)2詳解】由題意得在的值域包含于在的值域,由二次函數(shù)的性質(zhì)得的值域?yàn)?,?dāng)時(shí),符合題意,當(dāng)時(shí),,可知函數(shù)單調(diào)遞增,所以,所以,所以,當(dāng)時(shí),為對(duì)勾函數(shù),,所以,,此時(shí),所以,又,可知無(wú)解;綜上,.18.對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量含污物體進(jìn)行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:)為.要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙:分兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)?設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是,用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,其中是該物體初次清洗后的清潔度.(1)分別求出方案甲以及時(shí)方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少;(2)若采用方案乙,當(dāng)為某固定值時(shí),如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最?。俊敬鸢浮浚?)兩種方案的用水量分別為19和,方案乙的用水量較少(2)第一次與第二次用水量分別為和時(shí),用水量最小【解析】【分析】(1)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為,由求出,進(jìn)而可知方案乙初次用水量為3,第二次的用水量滿足方程,從而可求出,從而比較可得結(jié)論;(2)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與,求出和的關(guān)系式,當(dāng)為定值時(shí)結(jié)合基本不等式求出的最小值即可得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為,則由題意得,解得,由,可令,解得,即方案乙初次用水量為3,第二次用水量滿足,解得,所以,即兩種方案的用水量分別為19和,因?yàn)闀r(shí),,所以,所以方案乙用水量較少;【小問(wèn)2詳解】設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與,類似(1)得,所以,當(dāng)為定值時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí)不合題意舍去,或,將代入,得,所以時(shí)總用水量最少,此時(shí)第一次與第二次用水量分別為和,最少用水量為.19.我們知道,奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.類比奇函數(shù)的定義,我們可以定義中心對(duì)稱函數(shù):設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,若?duì),都有,則稱函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù),其中為函數(shù)的對(duì)稱中心.比如,函數(shù)就是中心對(duì)稱函數(shù),其對(duì)稱中心為.且中心對(duì)稱函數(shù)具有如下性質(zhì):若為函數(shù)的對(duì)稱中心,則函數(shù)為奇函數(shù).(1)已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,且當(dāng)時(shí),,求的值.(2)已知函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù),有唯一的對(duì)稱中心,請(qǐng)寫(xiě)出對(duì)稱中心并證明;(3)求數(shù)組的個(gè)數(shù),其中,且為中心對(duì)稱函數(shù).【答案】(1),(2)對(duì)稱中心為,證明見(jiàn)解析(3)【解析】【分析】(1)由題意可得,借助賦值法,分別令、,結(jié)合所給函數(shù)計(jì)算即可得;(2)結(jié)合中心對(duì)稱函數(shù)定義,得到定義域后,證明即可得;(3)結(jié)合中心對(duì)稱函數(shù)定義,設(shè)其對(duì)稱中心為,則得到其定義域關(guān)于中心對(duì)稱,從而得到,再結(jié)合范圍,分、、分類討論后解出相應(yīng)不等式組即可得.【小問(wèn)1詳解】由函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)
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