《計算機控制技術(shù)》課件第3章 連續(xù)控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計

第3章連續(xù)控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計3.1系統(tǒng)響應(yīng)指標(biāo)與輸入信號3.2時域分析法3.3頻率響應(yīng)分析法3.4用頻率法校正系統(tǒng)3.1系統(tǒng)響應(yīng)指標(biāo)與輸入信號

控制系統(tǒng)的輸出又稱為時間響應(yīng)，由第1章可知，輸出響應(yīng)按時間順序可以劃分為動態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩個過程。動態(tài)過程是指系統(tǒng)的輸出從輸入信號r(t)作用的初始時刻起，到接近最終狀態(tài)的隨時間變化的響應(yīng)過程；穩(wěn)態(tài)過程是指時間t趨于無窮時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。本節(jié)將討論動態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩個過程的性能指標(biāo)和典型輸入信號等有關(guān)內(nèi)容。3.1.1系統(tǒng)的性能指標(biāo)性能指標(biāo)是衡量系統(tǒng)性能的一組參數(shù)。對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)的要求，常由系統(tǒng)在一定的典型輸入信號作用下的具體性能指標(biāo)來表示。性能指標(biāo)有許多形式，這里著重討論時域的瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)。在系統(tǒng)穩(wěn)定工作的條件下，系統(tǒng)的瞬態(tài)性能通常用系統(tǒng)在初始條件為零的情況下對單位階躍輸入信號的響應(yīng)特性(簡稱單位階躍響應(yīng))來衡量，如圖3―1所示。圖3―1單位階躍輸出響應(yīng)

這時，瞬態(tài)響應(yīng)主要有以下幾個性能指標(biāo)。

(1)超調(diào)量δ%：響應(yīng)曲線超過穩(wěn)態(tài)值(或給定值)所達到的最大值，常以百分數(shù)表示，又稱最大百分比超調(diào)量，即

(3―1)

式中,c(tp)為輸出量的最大值；c(∞)為輸出量的穩(wěn)態(tài)值。一般情況下，要求δ%值在5％～35％之間。

(2)延遲時間td:響應(yīng)曲線到達穩(wěn)態(tài)值50％所需的時間。

(3)上升時間tr:被控制量第一次達到穩(wěn)態(tài)值c(∞)所需的時間。對于無振蕩的系統(tǒng)，常把響應(yīng)曲線由穩(wěn)態(tài)值的10％到90％所經(jīng)歷的時間叫做上升時間。

(4)峰值時間tp：被控制量達到最大值所需的時間。(5)過渡過程時間或調(diào)節(jié)時間ts：在單位階躍響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)值c(∞)附近，取±5％(或取±2％)作為誤差帶，響應(yīng)曲線達到并不再超出該誤差帶所需的最小時間，稱為調(diào)節(jié)時間或過渡過程時間。

(6)穩(wěn)態(tài)誤差ess

：對單位負反饋系統(tǒng)，當(dāng)時間t趨于無窮時，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的實際值(即穩(wěn)態(tài)值，記作c(∞))與期望值(即輸入量1(t))之差，定義為穩(wěn)態(tài)誤差，即

ess

＝e(∞)＝1(t)－c(∞)

(3―2)

顯然，當(dāng)c(∞)＝1時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。(7)振蕩次數(shù)N:在調(diào)節(jié)時間ts之內(nèi)，被調(diào)量偏離穩(wěn)態(tài)值的振蕩次數(shù)。上述幾項指標(biāo)中，延遲時間td、上升時間tr和峰值時間tp均表征系統(tǒng)響應(yīng)初始段的快慢；調(diào)節(jié)時間ts表示系統(tǒng)過渡過程持續(xù)的時間，從總體上反映了系統(tǒng)的快速性；而超調(diào)量δ％和振蕩次數(shù)N反映了系統(tǒng)響應(yīng)過程的平穩(wěn)性；穩(wěn)態(tài)誤差ess則反映了系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)輸入信號最終的穩(wěn)態(tài)精度。

當(dāng)然，調(diào)節(jié)時間同時也受系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。這些指標(biāo)不一定全部都要采用，有時可根據(jù)使用條件和實際情況，只對其中幾個重要的性能指標(biāo)提出要求。下面我們以超調(diào)量δ％、調(diào)節(jié)時間ts和穩(wěn)態(tài)誤差ess

這三項指標(biāo)，來評價系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的平穩(wěn)性、快速性和穩(wěn)態(tài)精度。3.1.2典型輸入信號系統(tǒng)的動態(tài)過程不僅取決于系統(tǒng)本身的特性，還與外加輸入信號的形式有關(guān)。輸入信號不同，系統(tǒng)的響應(yīng)也不同。一個控制系統(tǒng)的實際輸入信號往往具有多種形式，并且也常常難于事先確定，這就給系統(tǒng)的分析和設(shè)計帶來很多不便。為了便于分析和比較不同系統(tǒng)的性能，通常考慮某些典型輸入信號對系統(tǒng)的影響。所以，對系統(tǒng)性能的分析和要求，也歸結(jié)為系統(tǒng)在典型輸入信號作用下應(yīng)具有的響應(yīng)形式。1.階躍信號這是最常用的一種輸入信號。階躍信號的表達式為

當(dāng)A＝1時，則稱為單位階躍信號，常用r(t)＝1(t)表示，如圖3―2(a)所示。2.斜坡信號斜坡信號在t＝0時為零，并隨時間線性增加，所以也叫等速度信號。它等于階躍信號對時間的積分，而它對時間的導(dǎo)數(shù)就是階躍信號。斜坡信號的表達式為當(dāng)A＝1時，則稱為單位斜坡信號，如圖3―2(b)所示。圖3―2典型輸入信號形式3.拋物線信號拋物線信號也叫等加速度信號，它可以通過對斜坡信號的積分而得。拋物線信號的表達式為當(dāng)A＝1時，則稱為單位拋物線信號，如圖3―2(c)所示。4.脈沖信號單位脈沖信號的表達式為

該函數(shù)的拉氏變換為R(s)=1。其圖形如圖3―2(d)所示。這是一寬度為ε，高度為1/ε的矩形脈沖，當(dāng)ε→0時，就得理想的單位脈沖信號，記為r(t)＝δ(t)。

分析系統(tǒng)特性究竟采用哪一種或哪幾種典型輸入信號，取決于系統(tǒng)在正常工作情況下最常見的輸入信號形式。如果控制系統(tǒng)的輸入量是隨時間逐漸加強的函數(shù)，則用斜坡函數(shù)是比較合適的。同樣，如果系統(tǒng)的輸入信號是突然加入的作用量，則可采用階躍函數(shù)信號；而當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號是沖激輸入量時，則采用脈沖函數(shù)較為合適。一旦控制系統(tǒng)在試驗信號的基礎(chǔ)上設(shè)計出來后，那么系統(tǒng)對實際輸入信號的響應(yīng)特性通常也能夠滿足要求。利用這些典型輸入信號，人們就能夠在同一基礎(chǔ)上去比較不同系統(tǒng)的性能。

3.2時域分析法

我們已知,在時間域內(nèi)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差和瞬態(tài)響應(yīng)三方面的性能都可以通過求解系統(tǒng)運動的微分方程得到。微分方程的解，則由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)、初始條件以及輸入信號的形式所決定。

求解系統(tǒng)的微分方程，可以得到系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的精確表達式和響應(yīng)曲線，以直觀地反映出系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)。為了求取滿意的動態(tài)響應(yīng)，可以改變系統(tǒng)的有關(guān)參數(shù)，重新進行計算，這就是研究系統(tǒng)的一種時域方法，也是其他各種分析方法的基礎(chǔ)。本節(jié)首先討論一階、二階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，然后討論如何處理高階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)問題，同時還要研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題以及系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。3.2.1系統(tǒng)的階躍響應(yīng)分析一般認為，跟蹤和復(fù)現(xiàn)階躍輸入對系統(tǒng)來說是較為嚴格的工作條件：輸入的初始變化率為無窮大，進入穩(wěn)態(tài)則又要求保持跟蹤的不變性。因此，我們對系統(tǒng)動態(tài)特性的討論主要是針對階躍響應(yīng)。另外，在工程上，許多高階系統(tǒng)常?？梢越茷橐浑A、二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)，因此，深入研究一階、二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)有著廣泛的實際意義。1.一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)可用一階微分方程描述其動態(tài)過程的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)，這是工程中最基本、最簡單的系統(tǒng)。一些控制元部件及簡單系統(tǒng)(如RC網(wǎng)絡(luò)、發(fā)電機、空氣加熱器、液面控制系統(tǒng)等)都是一階系統(tǒng)。

1)一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，如圖3―3所示。其閉環(huán)傳遞函數(shù)(3―3)圖3―3一階控制系統(tǒng)

式中,T＝1/K。T為時間常數(shù)，是表征系統(tǒng)慣性的一個主要參數(shù)，所以一階系統(tǒng)也稱為慣性環(huán)節(jié)。對于不同的系統(tǒng)，時間常數(shù)T具有不同的物理意義，但是一般說來，它總是具有時間“秒”的量綱。2)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)因為單位階躍輸入的拉氏變換R(s)＝1/s，則式(3―3)可寫成取C(s)的拉氏反變換，可得單位階躍響應(yīng)則

(3―4)或?qū)懗蓤D3―4一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

時間常數(shù)T與輸出值有確定的對應(yīng)關(guān)系，當(dāng)時間為T的整倍數(shù)時，相應(yīng)的輸出值均標(biāo)注在圖3―4中。

可以用實驗方法，根據(jù)這些值鑒別和確定被測系統(tǒng)是否為一階系統(tǒng)，或求出時間常數(shù)T。由于一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)沒有超調(diào)量，因此其性能指標(biāo)主要是調(diào)節(jié)時間ts，它表征系統(tǒng)過渡過程進行的快慢。參照ts的定義和圖3―4，

可取

ts

＝3T(單位為s)(對應(yīng)5％誤差帶)

或

ts

＝4T(單位為s)(對應(yīng)2％誤差帶)

顯然，系統(tǒng)的時間常數(shù)T越小，調(diào)節(jié)時間ts越小，響應(yīng)過程的快速性也越好。由式(3―2)及式(3―4)可求出，圖3―3所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是沒有穩(wěn)態(tài)誤差的。即

ess

＝1－c(∞)＝1－1＝0【例3―1】

一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3―5所示。試求該系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間ts，如果要求ts≤0.1s，

試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)應(yīng)取何值？解首先由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖寫出閉環(huán)傳遞函數(shù):

由閉環(huán)傳遞函數(shù)得到時間常數(shù)T＝0.1s，因此調(diào)節(jié)時間

ts＝3T＝0.3s(取5%誤差帶)圖3―5非單位反饋一階系統(tǒng)

閉環(huán)傳遞函數(shù)分子上的數(shù)值10稱為閉環(huán)放大系數(shù)，相當(dāng)于閉環(huán)串接一個K＝10的放大器。而且，單位階躍響應(yīng)為故調(diào)節(jié)時間ts與K＝10無關(guān)，只取決于時間常數(shù)T。

下面來求滿足ts≤0.1s的反饋系數(shù)值。假設(shè)反饋系數(shù)為Kf＞0，那么同樣可由結(jié)構(gòu)圖寫出閉環(huán)傳遞函數(shù):

其中T=1/100Kf(單位為s)，且K=1/Kf，根據(jù)題意要求ts≤0.1s，(取5%誤差帶)所以Kf≥0.3。2.二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。它在控制系統(tǒng)中應(yīng)用極為廣泛，例如，RLC網(wǎng)絡(luò)、忽略電樞電感后的電動機、彈簧―質(zhì)量―阻尼器系統(tǒng)、扭轉(zhuǎn)彈簧系統(tǒng)等等。此外，在一定條件下，許多高階系統(tǒng)往往可以簡化成二階系統(tǒng)來處理。因此，把二階系統(tǒng)的響應(yīng)特性視為一種基準(zhǔn)，詳細研究和分析二階系統(tǒng)的特性，具有重要的實際意義。

1)二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以圖1―5、圖2―13所示隨動系統(tǒng)為例進行研究。這里把圖2―13(a)進一步轉(zhuǎn)化成圖3―6(b)。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(3―5)圖3―6一般形式的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

為了使研究的結(jié)論具有普遍性，將式(3―5)寫成典型形式：或標(biāo)準(zhǔn)形式

(3―6)(3―7)

實際上，任何一個二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)都可化為式(3―7)的形式。由式(3―7)描述的系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

s2+2ζωns+ω2n=0

此方程有兩個特征根(系統(tǒng)閉環(huán)極點)，為

顯然，阻尼比ζ不同，特征根的性質(zhì)就不同，系統(tǒng)的響應(yīng)特性也就不同。二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點在s平面上的分布及其單位階躍響應(yīng)如圖3―7所示。圖3―7二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點分布及其單位階躍響應(yīng)2)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖3―7給出了二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點分布及其單位階躍響應(yīng)，下面分別對二階系統(tǒng)在0＜ζ＜1，

ζ＝1和ζ＞1三種情況下的階躍響應(yīng)進行討論。

(1)0＜ζ＜1時，稱為欠阻尼情況。系統(tǒng)的特征根為一對共軛復(fù)數(shù)，即式中，稱為有阻尼振蕩頻率，為閉環(huán)極點的虛部。按式(3―7)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)可寫為(3―8)

在初始條件為零，輸入信號為單位階躍信號r(t)＝1(t)時，系統(tǒng)的輸出為式中，

(3―10)

由式(3―10)可見，系統(tǒng)的響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量與瞬態(tài)分量兩部分組成，穩(wěn)態(tài)分量值等于1，瞬態(tài)分量是一個衰減的振蕩過程，其幅值按指數(shù)曲線(響應(yīng)曲線的包絡(luò)線)衰減；其振蕩頻率就是有阻尼振蕩頻率ωd，而兩者均由參數(shù)ζ和ωn決定，如圖3―7(a)所示。若ζ＝0，則稱為無阻尼情況，系統(tǒng)的特征根為一對共軛純虛根，即s1,2

＝±jωn，此時單位階躍響應(yīng)為

c(t)＝1-cosωnt

系統(tǒng)等幅振蕩，其振蕩頻率就是無阻尼自然振蕩頻率ωn，如圖3―7(d)所示，此時可認為δ％＝100％，

ts＝∞；當(dāng)系統(tǒng)有一定阻尼時，ωd總是小于ωn。

(2)ζ＝1時，稱為臨界阻尼情況。此時系統(tǒng)有兩個相等的負的實數(shù)特征根，即

s1＝s2＝-ωn

輸入信號為單位階躍信號r(t)＝1(t)時，系統(tǒng)輸出為

系統(tǒng)時間響應(yīng)處于振蕩與不振蕩的臨界狀態(tài)，故稱為臨界阻尼狀態(tài)，既無超調(diào)，也無振蕩，是一個單調(diào)的響應(yīng)過程，如圖3―7(b)所示。(3)ζ＞1時，稱為過阻尼情況。當(dāng)阻尼比ζ＞1時，系統(tǒng)有兩個不相等的負實數(shù)根，即為了便于書寫，令和，在單位階躍輸入作用下，輸出為

系統(tǒng)的響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量值等于1，瞬態(tài)分量是由兩個衰減的指數(shù)項組成的。當(dāng)ζ較大時，一個特征根靠近虛軸，另一個特征根遠離虛軸。遠離虛軸的特征根對響應(yīng)的影響很小，可以忽略不計，這時二階系統(tǒng)可近似為一個一階慣性環(huán)節(jié)。

圖3―7(c)表示過阻尼二階系統(tǒng)的根的分布和響應(yīng)曲線。顯然，響應(yīng)曲線無超調(diào)，具有單調(diào)特征，而且過程拖得比ζ＝1時長。

3)二階系統(tǒng)的響應(yīng)性能指標(biāo)通常,工程實際中往往習(xí)慣把二階系統(tǒng)調(diào)整為欠阻尼過程，因為此時系統(tǒng)的響應(yīng)較快，且平穩(wěn)性也較好。而過阻尼和臨界阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)過程，雖然平穩(wěn)性好，但響應(yīng)過程太緩慢。所以，根據(jù)欠阻尼響應(yīng)來評價二階系統(tǒng)的響應(yīng)特性，具有較大的實際意義。

對于單位階躍輸入作用下的欠阻尼系統(tǒng)，參照對圖3―1的指標(biāo)定義，免去推導(dǎo)過程，其性能指標(biāo)介紹如下：

(1)上升時間tr:(3―11)

顯然，當(dāng)阻尼比ζ不變時，如果無阻尼振蕩頻率ωn增大，那么上升時間tr就會縮短，從而加快系統(tǒng)響應(yīng)速度；當(dāng)ωn不變時，阻尼比ζ越小，上升時間就越短。(2)峰值時間tp:(3―12)

式(3―12)表明，峰值時間tp與有阻尼振蕩頻率ωd成反比，等于阻尼振蕩周期的一半。

(3)最大超調(diào)量δ%:

(3―13)

由式(3―13)可見，超調(diào)量完全由阻尼比ζ決定，與ωn無關(guān)。ζ越大，超調(diào)量越??；ζ越小，超調(diào)量越大?；蛘哒f，閉環(huán)極點越接近虛軸，超調(diào)量越大。δ％與ζ的關(guān)系曲線見圖3―8。(4)調(diào)節(jié)時間ts:(3―14)

由此可見，調(diào)節(jié)時間與閉環(huán)極點的實部數(shù)值(ζωn)成反比，實部數(shù)值越大，即極點離坐標(biāo)原點越遠，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間越短，過渡過程結(jié)束得越快。

(5)穩(wěn)態(tài)精度:對于輸出響應(yīng)為式(3―10)的系統(tǒng)，誤差為(3―15)

由式(3―15)可看出，系統(tǒng)的誤差也是衰減的振蕩過程，當(dāng)t→∞時，穩(wěn)態(tài)誤差ess＝0。圖3―8δ%與ζ的關(guān)系曲線【例3―2】

在圖3―9所示的隨動系統(tǒng)中，當(dāng)給定系統(tǒng)輸入為單位階躍函數(shù)時，試計算當(dāng)放大器增益KA＝200時，輸出響應(yīng)的性能指標(biāo)tp、ts和δ％。如果將放大器增益增大到KA＝1500或減小到KA＝13.5，那么對響應(yīng)的動態(tài)性能又有什么影響？解將圖3―9與二階系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖(圖3―6(b))

進行比較，可得將KA＝200代入上面兩式得圖3―9隨動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖ω2n＝1000，ωn＝31.6rad/s，ζ＝0.545則系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

然后，對照標(biāo)準(zhǔn)形式求得ζ、ωn，再把ζ、ωn代入相應(yīng)的指標(biāo)公式(3―12)、(3―13)和(3―14)，求得

當(dāng)KA＝1500時，同樣可計算出

ωn＝86.2rad/s，ζ＝0.2

則有

tp＝0.037s，ts＝0.2s，δ％＝52.7%

可見，KA增大，使ζ減小而ωn增大，因而使δ％增大，tp減小，而調(diào)節(jié)時間ts則沒有多大變化。圖3―10隨動系統(tǒng)在不同KA下的階躍響應(yīng)

當(dāng)KA減小到KA＝13.5時，同樣可計算得到ωn＝8.22rad/s，ζ＝2.1。系統(tǒng)成為過阻尼二階系統(tǒng)，峰值和超調(diào)量不再存在。由響應(yīng)曲線圖3―10可見，上升時間tr比上面兩種情況大得多，雖然響應(yīng)無超調(diào)，但過渡過程過于緩慢，也就是系統(tǒng)跟蹤輸入很慢，這也是不希望的。3.高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)在工程應(yīng)用中，實際系統(tǒng)往往是一個高階系統(tǒng)。高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)一般可以寫成如下形式:(3―16)

式中,m≤n，-zi(i＝1，2，…，m)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點，-pi(i＝1，2，…，n)是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。在實際系統(tǒng)控制中，閉環(huán)極點通常各不相同。在單位階躍函數(shù)作用下，輸出可寫為

(3―17)

式中,K*=bm/an，q+2l＝n。將式(3―17)展開為部分分式，得

(3―18)求拉氏反變換，得到它的單位階躍響應(yīng)為

t≥0

(3―19)

由式(3―19)可見，高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是由穩(wěn)態(tài)分量A0、一階慣性和二階振蕩環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響應(yīng)分量疊加構(gòu)成的。各分量的相對大小由系數(shù)Ai、Bi和Ci決定，所以求出了各個分量的值，就可得到高階系統(tǒng)總的輸出響應(yīng)。分析上述表達式，可得以下結(jié)論：

(1)當(dāng)閉環(huán)極點為實數(shù)時，對應(yīng)單調(diào)響應(yīng)分量；當(dāng)閉環(huán)極點為共軛復(fù)數(shù)時，對應(yīng)振蕩響應(yīng)分量。(2)如果所有閉環(huán)極點都具有負實部，即所有閉環(huán)極點都在s左半平面，這時系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其穩(wěn)態(tài)輸出為A0＝b0/a0。閉環(huán)極點離虛軸越遠，則相應(yīng)的分量衰減越快。

(3)式(3―18)中Ai的值(為各極點之留數(shù))不僅和s平面中極點位置有關(guān)，還與零點位置有關(guān)。若某極點-pi遠離原點或遠離其他極點和原點，則相應(yīng)的系數(shù)Ai越小，該瞬態(tài)分量對系統(tǒng)的影響就小。

若某極點-pi遠離零點、越接近其他極點和原點，則相應(yīng)的系數(shù)Ai越大，該瞬態(tài)分量影響也就越大。若一對零點、極點相距很近(稱為耦極子)，則在輸出c(t)中與該極點對應(yīng)的分量就幾乎被消除。

(4)系統(tǒng)的零點、極點共同決定了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀。根據(jù)上文所述，對于系數(shù)很小(影響很小)的分量、遠離虛軸衰減很快的分量常?？梢院雎?，因而高階系統(tǒng)的性能就可用低階系統(tǒng)來近似估計。(5)若系統(tǒng)中距虛軸最近的極點的負實部比其他極點的負實部大很多(5倍以上)，并且附近又沒有零點，則這一極點(或共軛復(fù)數(shù)極點)被稱為主導(dǎo)極點。系統(tǒng)的響應(yīng)特性主要由主導(dǎo)極點所決定，這一分量衰減最慢。一般情況下，高階系統(tǒng)具有振蕩性，所以主導(dǎo)極點常常是共軛復(fù)數(shù)極點。找到了一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點，高階系統(tǒng)就可以近似地當(dāng)作二階系統(tǒng)來分析，相應(yīng)的性能指標(biāo)都可以按二階系統(tǒng)近似估計。3.2.2控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最重要的問題，也是對系統(tǒng)最基本的要求?？刂葡到y(tǒng)在實際運行中，總會受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動，例如負載或能源的波動，環(huán)境條件的改變，系統(tǒng)參數(shù)的變化等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，當(dāng)它受到擾動時，系統(tǒng)中各物理量就會偏離其平衡工作點，并隨時間推移而發(fā)散，即使擾動消失了，也不可能恢復(fù)原來平衡狀態(tài)。因此，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是控制理論的基本任務(wù)之一。1.穩(wěn)定性的概念穩(wěn)定性的概念可以通過圖3―11所示的方法加以簡單說明?？紤]置于水平面上的圓錐體，其底部朝下時，若將它稍微傾斜，外作用力撤消后，經(jīng)過若干次擺動，它仍會返回到原來狀態(tài)。而當(dāng)圓錐體尖部朝下放置時，由于只有一點能使圓錐體保持平衡，所以在受到任何極微小的擾動后，它就會傾倒，如果沒有外力作用，就再也不能回到原來的狀態(tài)了。

圖3―11圓錐體的穩(wěn)定性

根據(jù)上述討論，可以將系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為:系統(tǒng)在受到外作用力后，偏離了正常工作點，而當(dāng)外作用力消失后，系統(tǒng)能夠返回到原來的工作點，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。在前面討論高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)時已知，線性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以根據(jù)閉環(huán)極點在s平面內(nèi)的位置予以確定。

我們不做推導(dǎo)，直接給出如下結(jié)論：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是它的所有特征根均為負實數(shù)，或具有負的實數(shù)部分。由于系統(tǒng)特征方程式的根在s平面上是一個點，所以上述結(jié)論又可以這樣說：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是它的所有特征根均位于s左半平面。又由于系統(tǒng)特征方程式的根就是系統(tǒng)的極點，所以系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件就是所有極點均位于s平面的左半部分。

對于線性定常系統(tǒng)，由于系統(tǒng)特征方程根是由特征方程的結(jié)構(gòu)(即方程的階數(shù))和系數(shù)決定的，因此系統(tǒng)的穩(wěn)定性與輸入信號和初始條件無關(guān)，僅由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定。以上提出的判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件是系統(tǒng)特征方程根，但是，要解四次或更高次的特征方程式的根是相當(dāng)麻煩的，往往需要求助于數(shù)字計算機。所以，就有人提出了在不解特征方程式的情況下，求解特征方程根在s平面上分布的方法。下面就介紹常用的勞斯判據(jù)方法，并且略去證明過程。2.勞斯判據(jù)

1)系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步判別已知系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

D(s)=ansn+an-1sn-1

+…+a1s+a0=0

式中所有系數(shù)均為實數(shù)，且an＞0，則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是上述系統(tǒng)特征方程的所有系數(shù)均為正數(shù)。

根據(jù)這一原則，在判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，可首先檢查系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是否都為正數(shù)，假如有任何系數(shù)為負數(shù)或等于零(缺項)，則系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。但是，假如特征方程的所有系數(shù)均為正數(shù)，并不能肯定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，還要做進一步的判別。因為上述所說的原則只是系統(tǒng)穩(wěn)定性的必要條件，而不是充分必要條件。2)勞斯判據(jù)這是1877年由勞斯(Routh)提出的代數(shù)判據(jù)。

(1)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為

ansn+an-1sn-1

+…+a1s+a0=0

設(shè)各項系數(shù)均為正數(shù)。(2)按特征方程的系數(shù)列寫勞斯陣列表:

其中

各行系數(shù)一直計算到其余項為0，按此規(guī)律一直計算到s0行為止。在上述計算過程中，為了簡化數(shù)值運算，可將某一行中的各系數(shù)均乘一個正數(shù)，不會影響穩(wěn)定性結(jié)論。

(3)考察陣列表第一列系數(shù)的符號。假若勞斯陣列表中第一列系數(shù)均為正數(shù)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即特征方程所有的根均位于s平面的左半平面；假若第一列系數(shù)有負數(shù)，則第一列系數(shù)符號的改變次數(shù)等于s右半平面上根的個數(shù)。【例3―3】已知系統(tǒng)特征方程為

s4＋6s3＋12s

2＋11s＋6＝0

試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解從系統(tǒng)特征方程看出，它的所有系數(shù)均為正實數(shù)，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。列寫勞斯陣列表如下：

第一列系數(shù)均為正實數(shù)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。事實上，特征方程可因式分解為

(s＋2)(s＋3)(s2＋s＋1)＝0

其根為-2，-3，，均具有負實部，所以系統(tǒng)穩(wěn)定?！纠?―4】已知系統(tǒng)特征方程為

s5＋3s4＋2s3＋s2＋5s＋6＝0

試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解列寫勞斯陣列表如下：(各系數(shù)均已乘3)(各系數(shù)均已乘5/2)(各系數(shù)均已乘11)

勞斯陣列表第一列有負數(shù)，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由于第一列系數(shù)的符號改變了兩次(5→-11→174)，所以，系統(tǒng)特征方程有兩個根的實部為正。

(4)兩種特殊情況。在勞斯陣列表的計算過程中，可能會出現(xiàn)下列情況。

a.勞斯陣列表中某一行的第一個系數(shù)為零，其余各系數(shù)不為零(或沒有其余項)，這時可用一個很小的正數(shù)ε來代替這個零，從而使勞斯陣列表可以繼續(xù)運算下去(否則下一行將出現(xiàn)∞)。

如果ε的上下兩個系數(shù)均為正數(shù)，則說明系統(tǒng)特征方程有一對虛根，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)；如果ε的上下兩個系數(shù)的符號不同，則說明這里有一個符號變化過程，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，不穩(wěn)定根的個數(shù)由符號變化次數(shù)決定?！纠?―5】設(shè)系統(tǒng)特征方程如下，試分析根的分布情況。

s3＋2s2＋s＋2＝0

解勞斯陣列表為

s3

1

1s2

2

2s1ε

s0

2

由于ε的上下兩個系數(shù)(2和2)符號相同，則說明有一對虛根存在。事實上，上述特征方程可因式分解為(s2＋1)(s＋2)＝0

b.若勞斯陣列表中某一行(設(shè)為第k行)的所有系數(shù)均為零，則說明在根平面內(nèi)存在一些大小相等，并且關(guān)于原點對稱的根。在這種情況下可做如下處理：①利用第(k-1)行的系數(shù)構(gòu)成輔助多項式，它的次數(shù)總是偶數(shù)的；②求輔助多項式對s的導(dǎo)數(shù)，將其系數(shù)構(gòu)成新行，代替第k行；③繼續(xù)計算勞斯陣列表；④關(guān)于原點對稱的根可通過令輔助多項式等于零求得?！纠?―6】

設(shè)系統(tǒng)特征方程為s5＋2s4＋3s3＋6s2-4s-8＝0,試分析根的分布情況。

解勞斯陣列表如下:s5

1

3

-4s4

2

6

-8→輔助多項式

2s4+6s2-8s3

0

0

0

↓求導(dǎo)數(shù)

8

12

0←構(gòu)成新行

8s3+12s

s2

3

-8s1

100/3s0

-8

勞斯陣列表第一列變號一次，故有一個根在右半平面。由輔助多項式

2s4＋6s2－8＝0

可得s1,2

＝±1，s3,4

＝±j2，它們均關(guān)于原點對稱，其中一個根在s平面的右半平面。應(yīng)用勞斯判據(jù)不僅可以判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也可用來分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響。【例3―7】

設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)如圖3―12

所示，如果要求系統(tǒng)穩(wěn)定，試確定K的取值范圍。解其閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為

s3＋6s2＋5s＋K＝0圖3―12求K的穩(wěn)定范圍

列寫勞斯陣列表

若要使系統(tǒng)穩(wěn)定，其充要條件是勞斯陣列表的第一列均為正數(shù)，即

所以0＜K＜30，其穩(wěn)定的臨界值為Kc＝30。由此可以看出，為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)的K值有一定限制。但是在后面章節(jié)的討論中，為了降低穩(wěn)態(tài)誤差，則要求增大K值，兩者是矛盾的。為了滿足兩方面的要求，就必須采取校正的方法來處理。3.2.3反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差是對系統(tǒng)精度的一種衡量，它表達了系統(tǒng)實際輸出值與希望輸出值之間的最終偏差。實際上，系統(tǒng)固有的結(jié)構(gòu)和特性，決定了系統(tǒng)在不同的輸入信號作用下會有不同的穩(wěn)態(tài)誤差。同時，系統(tǒng)靜態(tài)特性的不穩(wěn)定和參數(shù)變化等因素也會導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生一定的穩(wěn)態(tài)誤差。1.穩(wěn)態(tài)誤差的概念如圖3―13所示，對于單位反饋系統(tǒng)或隨動系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差定義為

它表示穩(wěn)態(tài)時系統(tǒng)實際輸出值與希望輸出值之間的偏差。圖3―13單位反饋系統(tǒng)圖3―14非單位反饋系統(tǒng)

有很多系統(tǒng)是非單位反饋系統(tǒng)，如圖3―14所示，這時，穩(wěn)態(tài)誤差可以定義為(3―20)

實際上，單位反饋系統(tǒng)可以看成是非單位反饋系統(tǒng)的一種特例，此時的H(s)＝1。所以按照非單位反饋系統(tǒng)定義系統(tǒng)的誤差e(t)更具有一般性，即

e(t)＝r(t)-b(t)或E(s)＝R(s)-B(s)

由式(2―14)得出誤差信號e(t)與輸入信號r(t)之間的傳遞函數(shù)為(3―21)

根據(jù)終值定理，穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

(3―22)

由式(3―22)可知，穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)。系統(tǒng)在某種典型信號作用下能正常工作，穩(wěn)態(tài)誤差ess

維持在一定范圍，但在另一種典型信號作用下穩(wěn)態(tài)誤差ess

很大，甚至隨著時間越來越大，則系統(tǒng)就不能正常工作。所以在規(guī)定穩(wěn)態(tài)誤差要求時，要指明輸入信號類型。當(dāng)輸入信號的形式確定后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差將只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。2.穩(wěn)態(tài)誤差的計算若控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

則說明系統(tǒng)有γ個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)。因為系統(tǒng)的類型常按其開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)分類，所以稱此系統(tǒng)為γ型系統(tǒng)，當(dāng)γ＝0，1，2，…時，則分別稱之為0型，1型，2型，…(即γ型系統(tǒng))。實際系統(tǒng)中經(jīng)常取γ≤2。G(s)的其他零點、極點對分類沒有影響。1)單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)系統(tǒng)輸入為單位階躍信號，R(s)＝1/s，按式(3―22)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為令

Kp=G(s)H(s)=G(0)H(0)

Kp定義為位置誤差系數(shù)，它實際上等于系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。因此

對于0型系統(tǒng)，則

Kp＝K(γ＝0)

對于1型或1型以上的系統(tǒng)，則

Kp＝∞(γ≥1)ess

＝0

由上述分析可知，由于0型系統(tǒng)中沒有積分環(huán)節(jié)，對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，其值基本上與系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)K成反比，K越大，ess

越小，但總有誤差，除非K為無窮大。所以這種沒有積分環(huán)節(jié)的0型系統(tǒng)，又常稱為有差系統(tǒng)。若要求系統(tǒng)對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則系統(tǒng)必須是1型或1型以上的，即前向通道中必須具有積分環(huán)節(jié)。2)單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)參考輸入為單位斜坡信號時，R(s)＝1/s2，由式(3―22)求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

令

,Kv定義為速度誤差系數(shù)，所以

對于0型系統(tǒng)

Kv＝0(γ＝0)ess

＝∞

對于1型系統(tǒng)

Kv＝K(γ＝1)

對于2型或2型以上的系統(tǒng)，則

Kv＝∞(γ≥2)ess

＝0

以上分析表明，0型系統(tǒng)對于等速度輸入(斜坡輸入)不能緊跟，最后穩(wěn)態(tài)誤差為∞。1型系統(tǒng)的輸出能跟蹤等速度輸入，但總有一定誤差，為使穩(wěn)態(tài)誤差不超過系統(tǒng)的規(guī)定值，K值必須足夠大。對于2型或2型以上的系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差為零，這種系統(tǒng)有時稱為二階無差系統(tǒng)。3)單位拋物線信號(等加速度信號)輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)參考輸入為單位拋物線信號時，R(s)＝1/s3，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為對于0型或1型系統(tǒng)

Ka＝0(γ＝0,1)ess

＝∞

對于2型系統(tǒng)

Ka＝K(γ＝2)

對于3型或3型以上的系統(tǒng)，則

Ka＝∞(γ≥3)ess

＝0

所以當(dāng)輸入為單位拋物線信號時，0型或1型系統(tǒng)都不能滿足要求，2型系統(tǒng)能工作，但要有足夠大的Ka或K。只有3型或3型以上的系統(tǒng)，系統(tǒng)輸出才能緊跟輸入，且穩(wěn)態(tài)誤差為零。但是必須指出，當(dāng)前向通道積分環(huán)節(jié)數(shù)增多時，會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)輸入信號是上述典型信號的組合時，為使系統(tǒng)滿足穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的要求，γ值應(yīng)按最復(fù)雜的輸入信號來選定(例如輸入信號包含有階躍和等速度信號時，γ值必須大于或等于1)。

綜上所述，表3―1概括了不同類型系統(tǒng)在不同的輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。

表3―1系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess

計算公式【例3―8】已知兩個系統(tǒng)如圖3―15所示，當(dāng)參考輸入r(t)＝4＋6t＋3t2時，試分別求出兩個系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖3―15例3―8的系統(tǒng)

解系統(tǒng)(a)為1型系統(tǒng)，其Ka＝0，不能緊跟r(t)中的3t2分量，所以

ess＝∞

系統(tǒng)(b)為2型系統(tǒng)，其Ka＝K＝10/4，所以

該例說明，當(dāng)輸入為階躍、斜坡和拋物線信號的組合時，拋物線信號分量要求系統(tǒng)型號最高。系統(tǒng)(b)的型號為2，能跟隨輸入信號中的拋物線信號分量，但仍有穩(wěn)態(tài)誤差。而系統(tǒng)(a)，由于型號較低，故不能跟隨拋物線信號分量，穩(wěn)態(tài)誤差為∞。3.擾動輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差一般情況下，系統(tǒng)除受到輸入信號的作用外，還可能承受各種擾動信號的作用，如系統(tǒng)負載的變化，電壓的波動，以及工況引起的參數(shù)變化等等。在這些擾動信號的作用下，系統(tǒng)也將產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，稱為擾動穩(wěn)態(tài)誤差。通常認為系統(tǒng)的負載變化往往是系統(tǒng)的主要擾動，假設(shè)主擾動N(s)的作用點如圖3-16

所示，現(xiàn)在分析它對輸出或穩(wěn)態(tài)誤差的影響。圖3-16

由式(2―15)求得系統(tǒng)輸出為

式中，G2(s)=1,Φn(s)為輸出與擾動之間的傳遞函數(shù)。誤差與輸出和擾動之間的關(guān)系為穩(wěn)態(tài)時

若擾動為單位階躍信號，n(t)＝1(t)，且

G(0)H(0)>>>1，則

由此可見，在擾動作用點以前的系統(tǒng)前向通道G(s)中的放大系數(shù)越大，則由擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差就越小。對于無差系統(tǒng)，即型號為1型或1型以上的系統(tǒng)，G(0)＝∞，擾動不影響穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。所以，為了降低主擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差，常采用增大擾動點以前的前向通道放大系數(shù)或在擾動點以前引入積分環(huán)節(jié)的辦法，但是，這樣同樣會給系統(tǒng)穩(wěn)定工作帶來困難。4.關(guān)于降低穩(wěn)態(tài)誤差的問題為了使穩(wěn)態(tài)誤差滿足要求，以上分析已提出了可以采取的措施，并指出了降低誤差與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的矛盾。概括起來，降低穩(wěn)態(tài)誤差的措施有以下幾種。

(1)增大系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)可以增強系統(tǒng)對參考輸入的跟隨能力；增大擾動作用點以前的前向通道放大系數(shù)可以降低擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差。

(2)增加前向通道中積分環(huán)節(jié)數(shù)，使系統(tǒng)型號提高，可以消除不同輸入信號時的穩(wěn)態(tài)誤差。

但是，增加前向通道中積分環(huán)節(jié)數(shù)，或增大開環(huán)放大系數(shù)，都使閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點發(fā)生變化，從而降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性，甚至造成系統(tǒng)不穩(wěn)定，所以為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須同時對系統(tǒng)進行校正。當(dāng)然，保證元件有一定的精度和穩(wěn)定的性能，尤其是反饋通道元件，也有利于降低系統(tǒng)的誤差。

(3)采用復(fù)合控制的原理，對誤差信號進行補償，是提高穩(wěn)態(tài)精度很有效的方法。有時也稱為前饋控制。①按擾動信號復(fù)合控制。圖3―17表示了一個按擾動信號復(fù)合的控制系統(tǒng)。圖3―17按擾動信號復(fù)合的控制系統(tǒng)

圖中G(s)為被控對象的傳遞函數(shù)，Gc(s)為控制器傳遞函數(shù)，Gn(s)為干擾信號N(s)影響系統(tǒng)輸出的干擾通道的傳遞函數(shù)，GN(s)為順饋控制器的傳遞函數(shù)。如果擾動量是可測的，并且Gn(s)是已知的話，則可通過適當(dāng)選擇GN(s)，消除擾動所引起的誤差。按系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可求出C(s)與N(s)的關(guān)系為

若取GN(s)使

Gn(s)＋G(s)GN(s)＝0

即

則可消除擾動對系統(tǒng)的影響，其中包括對穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響，從而提高系統(tǒng)的精度。②按參考輸入信號復(fù)合控制。為了提高系統(tǒng)對參考輸入的跟蹤能力，也可按參考輸入順饋來消除或降低誤差。其原理與按擾動順饋相同，如圖3―18所示，只是GN(s)的輸入不是N(s)而是R(s)。此時確定傳遞函數(shù)GN(s)的方法是，使系統(tǒng)在參考輸入作用下的誤差為零。按系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，可求出E(s)與R(s)的關(guān)系為圖3―18按參考輸入順饋的復(fù)合控制系統(tǒng)則可以消除由參考輸入所引起的誤差。令1-GN(s)G(s)H(s)＝0，即3.3頻率響應(yīng)分析法

在經(jīng)典控制理論中，人們研究并運用了很多間接方法來進行系統(tǒng)的分析和綜合，更廣泛的是采用頻率法或根軌跡法來分析研究系統(tǒng)。這兩種方法的共同點都是不需要像時域法那樣，通過求解高階微分方程式去直接研究系統(tǒng)參數(shù)對動態(tài)響應(yīng)的影響，而是通過開環(huán)或閉環(huán)傳遞函數(shù)間接地分析系統(tǒng)參數(shù)對響應(yīng)的影響。

利用頻率響應(yīng)分析可以方便地選擇系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，以滿足所要求的性能指標(biāo)。當(dāng)采用正弦信號發(fā)生器和精密測量裝置時，可通過試驗，簡便而精確地求得環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而避開數(shù)學(xué)推導(dǎo)。從這個意義上講，頻域分析法更具有工程實用價值。3.3.1頻率響應(yīng)的基本概念

1.頻率特性定義系統(tǒng)對正弦函數(shù)輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)。我們下面仍然以例2―1(例2―3)中簡單的RC網(wǎng)絡(luò)為例，說明頻率特性的概念。圖2―1所示的RC網(wǎng)絡(luò)電路，若給網(wǎng)絡(luò)輸入正弦電壓，即R為輸入電壓的振幅，則由傳遞函數(shù)得到電容兩端的輸出電壓為

式中的第一項為瞬態(tài)分量，第二項為穩(wěn)態(tài)分量，當(dāng)時間趨于無窮時，第一項趨于零，所以網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)輸出仍然是與輸入電壓同頻率的正弦電壓，即

uc(t)=Csin(ωt+φ)

輸出的相角滯后為

φ(ω)＝-arctanωT

顯然，C(ω)和φ(ω)都是頻率ω的函數(shù)，用函數(shù)可表示如下：

式中，輸出電壓的幅值

上式能完整地描述RC網(wǎng)絡(luò)在正弦函數(shù)作用下，穩(wěn)態(tài)輸出電壓的幅值和相角隨輸入電壓頻率ω變化的情況，因此，將G(jω)稱做網(wǎng)絡(luò)的頻率特性。這個結(jié)論具有普遍的意義。事實上，對于任何線性定常系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號為典型正弦函數(shù)時，由實驗可以證明，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量也是一個與輸入同頻率的正弦函數(shù)，但其幅值和相位與輸入正弦函數(shù)的幅值和相位不同。系統(tǒng)頻率特性的一般形式為在式(3―23)中(3―23)(3―24)(3―25)

式(3―24)表示了輸出振幅與輸入振幅之比，稱為幅頻特性，它描述了系統(tǒng)(或部件)對不同頻率的正弦輸入信號在穩(wěn)態(tài)情況下的振幅放大(或衰減)特性。而式(3―25)表示了輸出對輸入的相角差，稱為相頻特性，它描述了系統(tǒng)對不同頻率的正弦輸入信號在相位上產(chǎn)生的相角滯后或超前的特性。幅頻特性及相頻特性統(tǒng)稱為頻率特性。所以，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的幅值為

C(ω)＝R|G(jω)|＝R·A(ω)

我們已知，線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為在零初始條件下系統(tǒng)輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，而穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性可以定義為系統(tǒng)輸出的傅氏變換與輸入的傅氏變換之比，即將s=jω代入傳遞函數(shù)就可以得到系統(tǒng)的頻率特性表達式。比較RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)和頻率特性也可以說明這一點。系統(tǒng)的頻率特性與傳遞函數(shù)、微分方程一樣，都能表征系統(tǒng)的運動規(guī)律，它是頻域中描述系統(tǒng)運動規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。這三種數(shù)學(xué)模型之間存在圖3―19所示關(guān)系。圖3―19微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性三種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系2.對數(shù)頻率特性對數(shù)幅頻特性定義為

L(ω)=20lgA(ω)=20lg|G(jω)|(3―26)

頻率特性幅值的對數(shù)值常用分貝(dB)表示。對數(shù)頻率特性就是將對數(shù)幅頻特性表達式(3―26)和相頻特性表達式(3―25)兩條曲線表示在對數(shù)坐標(biāo)中，稱為對數(shù)頻率特性曲線，又稱對數(shù)坐標(biāo)圖或波德(Bode)圖。在實際應(yīng)用中，經(jīng)常采用這種曲線來表示系統(tǒng)的頻率特性。

在對數(shù)坐標(biāo)圖中，曲線的橫坐標(biāo)是角頻率ω，單位是弧度/秒(rad/s)，采用對數(shù)比例尺(按對數(shù)分度)?？v坐標(biāo)表示對數(shù)頻率特性的函數(shù)值：L(ω)的單位是分貝(dB)，φ(ω)的單位是度(°)，都采用普通比例尺(按線性分度)，因此又稱為半對數(shù)坐標(biāo)。對數(shù)幅頻特性的坐標(biāo)如圖3―20所示。圖3―20對數(shù)分度和線性分度

與線性分度比較，對數(shù)坐標(biāo)的ω每變化10倍，橫坐標(biāo)就增加一個單位長度。這個單位長度代表10倍頻的距離，故稱之為“十倍頻”或“十倍頻程”(用dec表示)。圖中縱坐標(biāo)L(ω)稱為增益的分貝值，A(ω)每變化十倍，L(ω)變化20dB。至于相頻特性φ(ω)，其橫坐標(biāo)與幅頻特性的橫坐標(biāo)相同，其縱坐標(biāo)表示相角位移。使用對數(shù)頻率特性表示法的第一個優(yōu)點是在研究頻率范圍很寬的頻率特性時，縮小了比例尺，在一張圖上，既畫出了頻率特性的中、高頻率段，又能清楚地畫出其低頻段。在分析和設(shè)計系統(tǒng)時，低頻段特性也是很重要的。

對數(shù)頻率特性表示法的第二個優(yōu)點是可以大大簡化繪制系統(tǒng)頻率特性的工作。因為系統(tǒng)往往是由許多環(huán)節(jié)串聯(lián)構(gòu)成的，設(shè)Gi(jω)=Ai(ω)ejφ(ω)(i=1,2,…,n)，則串聯(lián)后的開環(huán)系統(tǒng)頻率特性為

G(jω)=G1(jω)G2(jω)…Gn(jω)=A(ω)ejφ(ω)

式中，A(ω)=A1(ω)A2(ω)…An(ω),且

φ(ω)=φ1(ω)+φ2(ω)+…+φn(ω)(3―27)

繪制對數(shù)幅頻特性時，由于

L(ω)=lgA(ω)=lgA1(ω)+lgA2(ω)+…+lgAn(ω)(3―28)

將乘除運算變成了加減運算，這樣，如果繪出各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性，然后進行加減，就能得到串聯(lián)各環(huán)節(jié)所組成的系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性。這給分析和設(shè)計控制系統(tǒng)帶來很多方便。我們首先介紹7種典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線，再討論由這些典型環(huán)節(jié)構(gòu)成的開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線的畫法及其特點。3.3.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性

1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性為

L(ω)＝20lgK

對數(shù)幅頻特性曲線是一條與0dB線平行且高度為20lgK的直線。K＞1時，直線在0dB線之上；K＜1時，直線在0dB線之下。對數(shù)相頻特性為0°，波德圖如圖3―21所示。圖3―21比例環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線2.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)1/s的對數(shù)幅頻特性為(3―29)

這是一條在ω＝1處穿過橫軸的直線，直線的斜率可由下式求出：

上式表明，頻率每變化10倍，則對數(shù)幅值下降20dB，稱直線的斜率為-20dB/dec。在對數(shù)幅頻特性圖中，雖然ω為對數(shù)分度，但是對于x＝lgω卻是線性均勻分度，所以當(dāng)L(ω)與lgω成線性關(guān)系時，lgω的系數(shù)就表述了該直線的斜率，例如式(3―29)表示直線的斜率為-20dB/dec。相頻特性是-90°且平行于橫軸的直線，如圖3―22所示。圖3―22積分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線3.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性為(3―30)在ω<<1/T的低頻段(即ΩT<<1，幅頻特性可近似為(3―31)

故在低頻段，幅頻特性是與橫軸0dB重合的直線。在ω1/T的頻段內(nèi)，對數(shù)幅頻特性可近似為(3―32)

這是一條在ω＝1/T處穿越橫軸，斜率為-20dB/dec的直線。

在實際應(yīng)用中，經(jīng)常把頻率ωｎ＝1/T稱為幅頻特性曲線的轉(zhuǎn)折頻率，在低、高頻段分別由式(3―31)和(3―32)這兩條直線——幅頻特性的漸近線來代替式(3―30)描述的精確曲線。由這兩條線段構(gòu)成慣性環(huán)節(jié)的近似對數(shù)幅頻特性曲線，顯然，在頻率為ωｎ＝1/T時，曲線的誤差最大，誤差為

在ω＝0.1/T～10/T頻段內(nèi)的誤差見表3―2。表3―2慣性環(huán)節(jié)漸近幅頻特性誤差表

由表3―2可看出，在頻率ω＝0.1/T和ω＝10/T處，幅值的精確值與近似值誤差僅為-0.04dB，在頻段［0.1/T，10/T］之外的誤差更小。所以，用一階慣性環(huán)節(jié)的漸近線代替精確曲線誤差很??；若要獲得較精確的幅頻特性曲線，只需在頻段［0.1/T，10/T］內(nèi)對漸進特性進行修正即可。

慣性環(huán)節(jié)的相頻特性可根據(jù)φ(ω)＝-arctanωT

繪制。ω→0時，φ(ω)→0°，ω→∞時，φ(ω)→-90°；而在轉(zhuǎn)折頻率ωｎ＝1/T處，φ(ω)＝-45°，且在該點斜對稱。慣性環(huán)節(jié)的波德圖如圖3―23所示。慣性環(huán)節(jié)相頻特性數(shù)據(jù)見表3―3。圖3―23慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線表3―3慣性環(huán)節(jié)相頻特性表4.振蕩環(huán)節(jié)由振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性(3―33)得到振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性為

由對數(shù)頻率特性表達式(3―33)可看出，在ω<<1/T的低頻段(即ΩT<<1)，幅頻特性可近似為(3―34)

故在低頻段，幅頻特性是與橫軸0dB重合的直線。在ω>>1/T的頻段內(nèi)，對數(shù)幅頻特性可近似為(3―35)

這是一條在1/T處穿越橫軸，斜率為-40dB/dec的直線。與一階慣性系統(tǒng)分析類似，還是以頻率ωｎ＝1/T為幅頻特性曲線的轉(zhuǎn)折頻率，在低、高頻段分別由式(3―34)和(3―35)這兩條直線——幅頻特性的漸近線來代替式(3―33)描述的精確曲線。由這兩條線段構(gòu)成慣性環(huán)節(jié)的近似對數(shù)幅頻特性曲線，如圖3―24所示。但是，用振蕩環(huán)節(jié)的漸近線代替精確曲線時，其誤差隨ζ值不同有較大的差別。圖3―24振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線

若分別用L(ω)、La(ω)和ΔL(ω)表示振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性的精確值、近似值及它們之間的誤差值，則有

ΔL(ω)＝L(ω)－La(ω)

即(3―36)

由式(3―36)知，振蕩環(huán)節(jié)的漸近幅頻特性曲線與精確曲線間的誤差是頻率ω和阻尼比ζ的函數(shù)。由ΔL(ω)的表達式可繪制誤差曲線，如圖3―25所示。從圖中可知，誤差主要發(fā)生在轉(zhuǎn)折頻率ωｎ＝1/T處及其左右各一個十倍頻程內(nèi)。ζ越小，誤差值就越大。當(dāng)ζ＝1(有兩個相等的負實數(shù)特征根)時，最大誤差位于ωｎ＝1/T處，為-6dB，而在ζ＝0.4～0.8范圍內(nèi)，最大誤差為±3dB左右，此時用漸近線代替精確曲線誤差仍然不是很大。圖3―25振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性的誤差曲線

由振蕩環(huán)節(jié)的相頻特性

φ(jω)=-arctan(2ζωT/(1-ω2T2))

可將二階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線繪制在圖3―24中。由于相頻特性也是頻率ω和阻尼比ζ的函數(shù)，所以φ(ω)曲線形狀隨著ζ取值的不同而異，但是都有當(dāng)ω→0時，φ(ω)→0°，ω→∞時，φ(ω)→-180°，而且在轉(zhuǎn)折頻率ωｎ＝1/T處都通過-90°，并且曲線在該點關(guān)于-90°線斜對稱。

綜合以上討論可知，在對數(shù)坐標(biāo)中繪制的典型環(huán)節(jié)頻率特性有如下特點：

(1)比例環(huán)節(jié)和純積分的幅頻、相頻的精確曲線都是直線段。

(2)一階慣性和二階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線可以ωｎ＝1/T為轉(zhuǎn)折頻率，用分段漸近線近似精確曲線：分段漸近線在低頻段都與0dB線重合；在轉(zhuǎn)折頻率ωｎ之后的高頻段，漸近線亦為直線段，其斜率與階次有關(guān)，一階慣性為-1×20dB/dec，二階振蕩為-2×20dB/dec＝-40dB/dec，因此，斜率又可以分別寫為-1和-2。(3)分段漸近線的精確程度與ζ值有關(guān)，最大誤差一般發(fā)生在轉(zhuǎn)折頻率ωｎ附近，而在(0.1～10)ωｎ范圍之外，誤差可以忽略。

(4)相頻特性曲線雖非直線段，但都是在ωｎ＝1/T處關(guān)于-45°或-90°線斜對稱。

(5)當(dāng)轉(zhuǎn)折頻率ωｎ＝1/T改變時，相頻特性曲線和幅頻特性曲線相應(yīng)地左移或右移，但其形狀不變。

(6)如果兩個系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的頻率特性互為倒數(shù)，則其對數(shù)頻率特性互為負數(shù)，L(ω)和φ(ω)將分別以橫軸0dB線和0°線互為鏡對稱。

第(6)點很容易證明。若設(shè)

因此，與積分、一階慣性、二階振蕩環(huán)節(jié)分別具有互為倒數(shù)關(guān)系的純微分、一階微分和二階微分環(huán)節(jié)的討論方法，與前面完全類似。下面只給出一階微分和二階微分環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性表達式和曲線圖形(分別如圖3―26、3―37所示)，推導(dǎo)過程可由讀者自行完成。圖3―26一階微分的對數(shù)頻率特性曲線圖3―27二階微分的對數(shù)頻率特性曲線3.3.3開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性掌握了典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線的畫法，可以很方便地繪制開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線(波德圖)。設(shè)開環(huán)系統(tǒng)由n個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，這些環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)分別為G1(s)，G2(s)，…，Gn(s)，則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

G(s)＝G1(s)·G2(s)·…·Gn(s)

由式(3―27)和(3―28)可知，由n個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的開環(huán)系統(tǒng)，其對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線可由各典型環(huán)節(jié)相應(yīng)的曲線疊加得到?！纠?―9】已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制開環(huán)系統(tǒng)波德圖。

解開環(huán)系統(tǒng)由比例、積分、慣性、一階微分和二階振蕩5個環(huán)節(jié)組成，有3個轉(zhuǎn)折頻率，分別是ω1＝1/2＝0.5，ω２＝1/0.5＝2，ω３＝1/0.125＝８，且ζ=0.2。開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性分別為

利用典型環(huán)節(jié)的直線或分段直線特性，可以在不同的頻率范圍內(nèi)，求L(ω)的漸近特性。①在ω≤ω1頻率范圍內(nèi)(稱為低頻段)，漸近線表達式為

L(ω)=L1(ω)+L2(ω)=20lg4-20lgω

所以，低頻段斜率為-20dB/dec。求出在ω1＝0.5處，L(ω)＝18dB。按照點斜式可以繪出ω≤ω1低頻段的漸近線。②在ω1≤ω≤ω2的頻率范圍內(nèi)，L4＝L5＝0，漸近線表達式為

L(ω)=L1(ω)+L2(ω)+L3(ω)=20lg2-40lgω

這是一條斜率為-40dB/dec的直線，在ω2＝2處，L(ω)＝-6dB。③在ω2≤ω≤ω3的頻率范圍內(nèi)，漸近線表達式為

L(ω)=L1(ω)+L2(ω)+L3(ω)+L4(ω)=-20lgω

這是一條斜率為-20dB/dec的直線。在ω3＝8處，L(ω)＝-18dB。④在ω≥ω3的頻率范圍內(nèi)，漸近線表達式為

L(ω)=L1(ω)+L2(ω)+L3(ω)+L4(ω)+L5(ω)=20lg64-60lgω

直線的斜率為-60dB/dec。圖3―28例3―9的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線圖3―28例3―9的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線

根據(jù)以上分析，畫出L(ω)的漸近特性，如圖3―28(a)中實線所示。對數(shù)相頻特性曲線可分別將積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)的相頻特性曲線畫出，慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)可根據(jù)表3―3確定幾個點，振蕩環(huán)節(jié)可根據(jù)圖3―27和ζ的值確定幾點，再連接成光滑的曲線。將各環(huán)節(jié)的相頻特性曲線疊加起來，就可得到開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性，如圖3―28(b)所示。

事實上，因為L(ω)的漸近線是分頻段按直線段疊加組成的，而且L