備戰(zhàn)2025年高考二輪復習數(shù)學專題突破練6

專題突破練(分值:82分)學生用書P149一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2024·河北承德二模)在△ABC中,D為BC中點,連接AD,設(shè)E為AD中點,且BA=x,BE=y,則BC=()A.4x+2y B.-4x+yC.-4x-2y D.4y-2x答案D解析由于BE=12(BA+BD)=12BA+14BC,所以BC=4BE2.(2024·江蘇南京二模)已知向量a=(1,2),b=(x,x+3).若a∥b,則x=()A.-6 B.-2 C.3 D.6答案C解析由a∥b,知1·(x+3)=2·x,解得x=3.故選C.3.(2024·湖南長沙二模)在邊長為1的正六邊形A1A2A3A4A5A6中,A1A4·A.2 B.-2 C.23 D.-23答案B解析如圖,易知△A3OA4,△A1OA6為正三角形,則|A1A4|=|A3A6|=2所以A1A4·A3A6=|A1A4||A3A6|cos4.(2024·浙江紹興二模)已知e1,e2是單位向量,且它們的夾角是60°,若a=2e1+e2,b=λe1-e2,且a⊥b,則λ=()A.25 B.45 C.1 D答案B解析由a⊥b得,a·b=(2e1+e2)·(λe1-e2)=2λe12+(λ-2)e1·e2-e22=0,即2λ+λ-22-1=0,解得5.(2024·山東濱州二模)已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則c·(b-a)=()A.4B.1C.-1D.-4答案A解析建立平面直角坐標系如圖所示,可知a=(-1,-2),b=(-2,1),c=(2,2),則b-a=(-1,3),所以c·(b-a)=-2+6=4.故選A.6.(2024·江蘇揚州模擬)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=3,且a與b的夾角為5π6,則|2a-b|=(A.12 B.13 C.1 D.答案B解析根據(jù)題意,a·b=|a||b|cos5π6=1×3×-32=-32,則|2a-7.(2024·廣東茂名模擬)如圖,已知正六邊形ABCDEF的邊長為4,對稱中心為O,以O(shè)為圓心作半徑為2的圓,點M為圓O上任意一點,則AD·CM的取值范圍為(A.[-24,16] B.[0,32]C.[-32,0] D.[-123,0]答案C解析連接OM,OC,設(shè)<AD,OM>=θ,依題意,AD=8,OC=4,<AD,則AD·CM=AD·(OM-OC)=AD·OM-AD·OC=8×2cosθ由θ∈[0,π],得-1≤cosθ≤1,所以-32≤AD·CM≤故選C.8.(2024·湖南邵陽一模)如圖,四邊形ABCD是正方形,M,N分別是BC,DC的中點,若AB=λAM+μAN,λ,μ∈R,則2λ-μ的值為()A.43 B.52 C.-23答案D解析AB=AM+MB所以34所以AB=所以λ=43,μ=-23,2λ-μ=故選D.二、選擇題:本題共2小題,每小題6分,共12分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.(2024·浙江溫州模擬預(yù)測)已知單位向量a,b,c共面,則下列說法中正確的是()A.若|a+b|=|a-b|,則a∥bB.若|a+b|=|a-b|,則a⊥bC.若a+b+c=0,則<a,c>=πD.若a+b+c=0,則<b,c>=2答案BD解析由|a+b|=|a-b|,可得(a+b)2=(a-b)2,即a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b,可得a·b=0,所以a⊥b,故A不正確,B正確.因為向量a,b,c為單位向量,可得|a|=|b|=|c|=1.又a+b+c=0,可得b=-(a+c),則b2=a2+c2+2a·c,即|b|2=|a|2+|c|2+2a·c,可得a·c=-12所以cos<a,c>=a·c|因為<a,c>∈[0,π],所以<a,c>=2π3,故C由a+b+c=0,可得a=-(b+c),則|a|2=|b|2+|c|2+2b·c,可得b·c=-12所以cos<b,c>=b·c|因為<b,c>∈[0,π],所以<b,c>=2π3,故D故選BD.10.(2024·山東濟寧模擬)如圖2,這是一個邊長為20厘米的正六邊形的軟木鍋墊ABCDEF,則下列選項正確的是()圖1圖2A.向量BF在向量DE上的投影向量為-3B.AD-BEC.|AC+AED.點P是正六邊形內(nèi)部(包括邊界)的動點,AP·AB的最小值為答案ABD解析以A為原點,以AB所在直線為x軸,AE所在直線為y軸,建立平面直角坐標系,如圖所示.對于A,由圖可知B(20,0),F(-10,103),D(20,203),E(0,203),所以BF=(-30,103),DE=(-20,0),故向量BF在向量DE上的投影向量為BF·DE|DE|2對于B,由圖可知A(0,0),C(30,103),所以AD=(20,203),BE=(-20,203),CF=(-40,0),所以AD-BE+CF=(20+20-40,203-203+0)=(0,0)=0,對于C,AC=(30,103),AE=(0,203),|AC+AE|=302+(30對于D,設(shè)P(x,y),則AP=(x,y),AB=(20,0),所以AP·AB=20x.因為點P是正六邊形內(nèi)部(包括邊界)的動點,所以-10≤x≤30,所以當x=-10時,AP·AB有最小值,最小值為-200,故選ABD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.11.(2024·山東濰坊三模)已知向量a=(1,2),b=(4,-2),c=(1,λ),若c·(2a+b)=0,則實數(shù)λ=.

答案-3解析2a+b=(2,4)+(4,-2)=(6,2),c·(2a+b)=(1,λ)·(6,2)=6+2λ=0,解得λ=-3.12.(2024·湖北武漢期末)設(shè)P為△ABC所在平面內(nèi)一點,滿足AP·BC=BP·AC=0,答案0解析由AP·BC=0,得PA·(PC-PB)=0由BP·AC=0,得PB·(PC-PA)=0于是PA·所以CP·AB=-PC·(PB-PA)=-13.(2024·山東泰安二模)已知在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上,則AP·AD的最大值為;若AP=mAB+nAD(m,n∈R),則m+n的最大值為答案92解析如圖,以B為原點,以BC,BA所在的直線為x軸、y軸,建立平面直角坐標系,則B(0,0),A(0,1),D(3,1),C(3,0),AD=(3,0).設(shè)圓的半徑為r,∵BC=3,CD=1,∴BD=(3)2∴12BC·CD=12BD·解得r=32∴圓的方程為(x-3)2+y2=34設(shè)∠PCE=θ,則點P的坐標為(32cosθ+3,32sinθ),θ∈[0,2π],則AP=(32cosθ+3,32sinθ-1),AP·AD=3(32cosθ+3)=3∵AP=mAB+nAD(m,n∈R),AB=(0,-1),∴AP=(32cosθ+3,32sinθ-1)=m(0,-1)+n(3,0)=(3∴12cosθ+1=n,-32sinθ+1∴m+n=12cosθ-32sinθ+2=cos(θ+π3)+2.∵-1≤cos(θ+π3∴1≤m+n≤3,故m+n的最大值為3.四、解答題:本題共1小題,共15分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.14.(15分)(2024·湖南長沙一模)“費馬點”是由數(shù)學家費馬提出,該問題是:“在一個三角形內(nèi)求作一點,使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數(shù)學家托里拆利給出了解答,當△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時,使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的點O即為費馬點;當△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時,最大內(nèi)角的頂點為費馬點.試用以上知識解決下面問題:已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且cos2B+cos2C-cos2A=1.(1)求A;(2)若bc=2,設(shè)點P為△ABC的費馬點,求PA·解(1)由cos2B+cos2C-cos2A=1,得1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A=1,故sin2A=sin2B+sin2C.由正弦定理可得a2=b2