備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專題突破練7

專題突破練(分值:82分)學(xué)生用書P151一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2024·廣東韶關(guān)模擬)已知sinα=-35,且π<α<3π2,則tanαA.-45 B.-34 C.答案C解析由sinα=-35,π<α<3π2,得cosα=-1-sin2α=-45,所以2.(2024·浙江杭州期中)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-1,3),則cos(π+αA.12 B.-12 C.14 D答案B解析由題可得,cos(π+α)cosπ2+α-cosα=-cosα-sinα-cosα=cosαsinα+cosα.已知角3.(2024·安徽黃山一模)已知sinαsinβ=15,cos(α-β)=35,則cos(α+β)=(A.-15 B.15 C.1825 D答案B解析因?yàn)閟inαsinβ=15,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ+15=35,解得cosαcosβ=25,故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ4.(2024·福建漳州一模)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,A(-1,2),B(2,2),射線OB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)最小角θ,使得OB與OA重合,則tanθ=()A.3 B.2 C.4 D.5答案A解析如圖,設(shè)角α,β終邊上的點(diǎn)分別為A,B,A(-1,2),B(2,2),則tanα=2-1=-2,tanβ=22=1.因?yàn)樯渚€OB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)最小角θ,使得OB與OA重合,所以α=β+θ,所以tanθ=tan(α-β)=tan故選A.5.(2024·河北滄州二模)化簡(jiǎn)cos20°-sin30°cos40A.1 B.3 C.2 D.2答案B解析由題得cos20=cos=sin60°sin40°sin40°cos60°=tan6.(2024·江西鷹潭一模)已知θ∈0,π2,tanθ+π4=-23tanA.-12 B.-35 C.3 D答案D解析因?yàn)閠anθ+π4=-23tanθ,所以tanθ+11-tanθ=-23tanθ,整理可得2tan2θ-5tanθ-3=0.又θ∈0,π2,所以cosθ+π2cos2θ2sinθ+π4=-sinθ(cos7.(2024·江蘇南通二模)若cosα,cosα-π6,cosα+π3成等比數(shù)列,則A.34 B.-36 C.13 D答案B解析由cosα,cosα-π6,cosα+π3成等比數(shù)列,得cos2α-即12[1+cos2α-π3]=cosα(12cosα-32sinα),則12+14cos2α+34sin2α=14+14cos2α-38.(2024·河南新鄉(xiāng)二模)已知sin(130°+α)=2cos20°cosα,則tan(α+45°)=()A.-2+3 B.2-3C.2+3 D.-2-3答案A解析由題得,sin(130°+α)=sin[150°+(α-20°)]=12cos(α-20°)-32sin(α-2cos20°cosα=cos(α+20°)+cos(α-20°).因?yàn)閟in(130°+α)=2cos20°cosα,所以12cos(α-20°)-32sin(α-20°)=cos(α+20°)+cos(α-20°),所以-12cos(α-20°)-32sin(α-20°)=cos(即cos[120°+(α-20°)]=cos(α+20°),即cos(100°+α)=cos(α+20°),所以100°+α=α+20°+k·360°或100°+α+α+20°=k·360°,k∈Z,所以α=-60°+k·180°,k∈Z,故tanα=tan(-60°+k·180°)=-3,k∈Z,所以tan(α+45°)=-3+11+3=3二、選擇題:本題共2小題,每小題6分,共12分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.(2024·廣東佛山一模)已知角θ的終邊過點(diǎn)P(3,4),則()A.cos2θ=-725 B.tan2θ=-C.cosθ2=25答案ABD解析因?yàn)榻铅鹊慕K邊過點(diǎn)P(3,4),所以cosθ=332+42=35,sinθ=432+42=45,tanθ=43,所以cos2θ=2cos2θ-1=2×925-1因?yàn)?kπ<θ<2kπ+π2(k∈Z),所以kπ<θ2<kπ+π4(k∈Z),即角θ2的終邊位于第一象限或第三象限,所以tanθ2>0,但cosθ2>0或cosθ2<由tanθ=2tanθ21-tan2θ2=43,得2tan2θ2+3tanθ2-2=0,解得tanθ2=-10.(2024·河北保定二模)一般地,任意給定一個(gè)角α∈R,它的終邊OP與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo),無論是橫坐標(biāo)x還是縱坐標(biāo)y,都是唯一確定的,所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y都是角α的函數(shù).下面給出這些函數(shù)的定義:①把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù),記作sinα,即y=sinα;②把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù),記作cosα,即x=cosα;③把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y的倒數(shù)叫做α的余割,記作cscα,即1y=cscα④把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的倒數(shù)叫做α的正割,記作secα,即1x=secα下列結(jié)論正確的有()A.csc5π4B.cosα·secα=1C.函數(shù)f(x)=secx的定義域?yàn)閧x|x≠kπ,k∈Z}D.sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5答案ABD解析由題得,csc5π4=1sin5πcosα·secα=cosα·1cosα=1,故B函數(shù)f(x)=secx的定義域?yàn)閧x|x≠kπ+π2,k∈Z},故C錯(cuò)誤sec2α+sin2α+csc2α+cos2α=1+1cos2α+1sin2α=當(dāng)sin2α=±1時(shí),等號(hào)成立,故D正確.故選ABD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.11.(2024·上海奉賢二模)已知α∈[0,π],且2cos2α-3cosα=5,則α=.

答案π解析已知2cos2α-3cosα=5,由倍角公式得4cos2α-3cosα-7=(4cosα-7)(cosα+1)=0.由α∈[0,π],cosα∈[-1,1],解得cosα=-1,則α=π.12.已知α,β∈0,π2,且sinα-sinβ=-12,cosα-cosβ=12,則tanα+tan答案8解析由題可知sinα-sinβ=-cosα+cosβ,所以sinα+cosα=sinβ+cosβ,所以2sinα+π4因?yàn)棣?β∈0,所以α+π4∈π4,又α≠β,所以α+π4+β+π4=π,故α+β=所以sinα-sinβ=sinα-cosα=-12兩邊平方后得sin2α-2sinαcosα+cos2α=14故sinαcosα=38,則tanα+tanβ=tanα+113.(2024·河北邯鄲二模)正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形,其與黃金分割有著密切的聯(lián)系,在如圖所示的五角星中,以A,B,C,D,E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形,設(shè)∠CAD=α,則cosα+cos2α+cos3α+cos4α=,cosαcos2αcos3α·cos4α=.

答案01解析由題可得,正五角星可分割成5個(gè)三角形和1個(gè)正五邊形,五個(gè)三角形各自的內(nèi)角之和為180°,則正五邊形的內(nèi)角和180°×(5-2)=180°×3=540°,每個(gè)角為540°5=108°.因?yàn)槿切问堑妊切?底角是五邊形的外角,即底角為180°-108°=72°.又三角形內(nèi)角和為180°,那么三角形頂角,即五角星尖角為180°-72°×2=36°,即∠CAD=α=則cosα+cos2α+cos3α+cos4α=cos36°+cos72°+cos108°+cos144°=cos36°+cos72°+cos(180°-72°)+cos(180°-36°)=cos36°+cos72°-cos72°-cos36°=0,cosαcos2αcos3αcos4α=cos36°cos72°cos108°cos144°=(cos36°cos72°)2.因?yàn)閏os36°cos72°=2sin36°所以cosαcos2αcos3αcos4α=116四、解答題:本題共1小題,共15分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.14.(15分)已知α,β∈0,π2,sin(2α+β)=2sinβ,求tanβ的最大值.解因?yàn)棣?β∈0,π2,sin(2α+β)=2sinβ,所以sin[(α+β)+α]=2sin[(α+β)-α],sin(α+β)cosα