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文檔簡(jiǎn)介
《第1章特殊平行四邊形》
一、選擇題
1.下列給出的條件中,不能判斷四邊形ARCD是平行四邊形的是()
A.AB〃CD,AD=BCB.ZA=ZC,ZB=ZDC.AB〃CD,AD//BC
D.AB=CD,AD=BC
2.下列說(shuō)法中,錯(cuò)誤的是()
A.平行四邊形的對(duì)角線互相平分
B.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
C.菱形的對(duì)角線互相垂直
D.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
3.如圖,把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后,點(diǎn)D、C分別落在D'、C'的
A.50°B.55°C.60°D.65°
4.如圖,口ABCD中,EF過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)0,AB=4,AD=3,0F=l.3,則四
邊形BCEF的周長(zhǎng)為()
A.8.3B.9.6C.12.6D.13.6
5.如圖,已知某廣場(chǎng)菱形花壇ABCD的周長(zhǎng)是24米,ZBAD=60°,則花
壇對(duì)角線AC的長(zhǎng)等于()
A.6畬米B.6米C.3正米D.3米
6.已知一矩形的兩邊長(zhǎng)分別為10cm和15cm,其中一個(gè)內(nèi)角的平分線分
長(zhǎng)邊為兩部分,這兩部分的長(zhǎng)為()
A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm和8cm
7.如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分,要使它成為矩形,那么需要添
加的條件是
A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD
8.如圖,D是AABC內(nèi)一點(diǎn),BD1CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H
分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn),則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是()
B
A.7B.9C.10D.11
9.如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度后得到正方形
AB'C'),邊B'C'與DC交于點(diǎn)0,則四邊形AB'0D的周長(zhǎng)是()
A.2V2B.3C.V2D.1+V2
10.如圖,正方形ABCD的面積為4,4ABE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形
ABCD內(nèi),在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小,則這個(gè)最小值為
()
A.2B.3C.2V3D.代
二、填空題
11.(5分)已知菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為2cm,3cm,則它的面積是_
cm2.
12.(5分)如圖,在矩形ABCD中,AC、BD相交于點(diǎn)。且AC=8,如果/
A0D=60°,那么AD=
13.(5分)如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,H為AD
邊中點(diǎn),菱形ABCD的周長(zhǎng)為28,則0H的長(zhǎng)等于.
14.(5分)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,以對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)
正方形,再以對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH,如此下去,第n個(gè)正
方形的邊長(zhǎng)為.
三、解答題(15題12分,16題12分,17題16分)
15.如圖,已知平行四邊形ABCD,DE是NADC的角平分線,交BC于點(diǎn)E.
(1)求證:CD=CE;
(2)若BE=CE,ZB=80°,求NDAE的度數(shù).
16.如圖,將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊,使點(diǎn)A落在平面上的F
點(diǎn)處,DF交BC于點(diǎn)E
(1)求證:△DCEgABFE;
(2)若CD=2,ZADB=30°,求BE的長(zhǎng).
17.已知,如圖1,BD是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線,BE平分NDBC
交DC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F,使CF=CE,連接DF,交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
(1)求證:△BCEgADCF;
(2)求CF的長(zhǎng);
(3)如圖2,在AB上取一點(diǎn)H,且BH二CF,若以BC為x軸,AB為y軸建
立直角坐標(biāo)系,問(wèn)在直線BD上是否存在點(diǎn)P,使得以B、H、P為頂點(diǎn)的
三角形為等腰三角形?若存在,直接寫(xiě)出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo);若不
存在,說(shuō)明理由.
《第1章特殊平行四邊形》
參考答案與試題解析
一、選擇題
1.下列給出的條件中,不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是()
A.AB〃CD,AD=BC3.ZA=ZC,NB=NDC.AB〃CD,AD〃BC
D.AB=CD,AD=BC
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定.
【分析】直接根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可.
【解答】解:平行四邊形的定義:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四
邊形????c能判斷,
平行四邊形判定定理1,兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;.??B
能判斷;
平行四邊形判定定理2,兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;???D
能判定;
平行四邊形判定定理3,對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形;
平行四邊形判定定理4,一組對(duì)邊平行相等的四邊形是平行四邊形;
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】此題是平行四邊形的判定,解本題的關(guān)鍵是掌握和靈活運(yùn)用平行
四邊形的5個(gè)判斷方法.
2.下列說(shuō)法中,錯(cuò)誤的是()
A.平行四邊形的對(duì)角線互相平分
R.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
C.菱形的對(duì)角線互相垂直
D.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì);平行四邊形的判定與性質(zhì).
【分析】根據(jù)平行四邊形和菱形的性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析從而得到最后
答案.
【解答】解:根據(jù)平行四邊形和菱形的性質(zhì)得到ABC均正確,而D不正確,
因?yàn)閷?duì)角線互相垂直的四邊形也可能是梯形,
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了平行四邊形和特殊平行四邊形的特性,并利用性質(zhì)解
題.平行四邊形基本性質(zhì):①平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行;②平行四邊
形的兩組對(duì)邊分別相等;③平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等;④平行四邊
形的對(duì)角線互相平分.菱形的特性是:四邊相等,對(duì)角線互相垂直平分.
3.如圖,把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后,點(diǎn)D、C分別落在D'、C'的
位置,若NEFB=65°,則NAED'等于()
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題).
【專題】數(shù)形結(jié)合.
【分析】首先根據(jù)AD〃BC,求出NFED的度數(shù),然后根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì),
折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等,則可
知NFED=NFED',最后求得NAED'的大小.
【解答】解:???AD〃BC,
.,.ZEFB=ZFED=65°,
由折疊的性質(zhì)知,NFED二NFED'=65°,
???NAED'=180°-2ZFED=50°.
故NAED'等于50。.
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了:1、折疊的性質(zhì);2、矩形的性質(zhì),平行線的性質(zhì),
平角的概念求解.
4.如圖,口ABCD中,EF過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)0,AB=4,AD=3,0F=1.3,則四
邊形BCEF的周長(zhǎng)為()
A.8.3B.9.6C.12.6D.13.6
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱性,可知EF把平行四邊形分成兩個(gè)
相等的部分,先求平行四邊形的周長(zhǎng),再求EF的長(zhǎng),即可求出四邊形BCEF
的周長(zhǎng).
【解答】解:根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱性得:OF=OE=1.3,
???門(mén)ABCD的周長(zhǎng)二(4+3)X2=14
???四邊形BCEF的周長(zhǎng)[XQABCD的周長(zhǎng)+2.6=9.6.
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì),并利用性質(zhì)解題.平行四邊
形基本性質(zhì):
①平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行;②平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等;
③平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等;④平行四邊形的對(duì)角線互相平分.平
行四邊形是中心對(duì)稱圖形.
5.如圖,已知某廣場(chǎng)菱形花壇ABCD的周長(zhǎng)是24米,ZBAD=60°,則花
壇對(duì)角線AC的長(zhǎng)等于()
AR
A.6正米B.6米C.3立米D.3米
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).
【專題】應(yīng)用題.
【分析】由四邊形ARCD為菱形,得到四條邊相等,對(duì)角線垂直且互相平
分,根據(jù)NBAD=60°得到三角形ABD為等邊三角形,在直角三角形ABO
中,利用勾股定理求出0A的長(zhǎng),即可確定出AC的長(zhǎng).
【解答】解:?.?四邊形ABCD為菱形,
AAC±BD,0A=OC,OB=OD,AB=BC=CD=AD=24+4=6(米),
VZBAD=60°,
:?△ABD為等邊三角形,
BD=AB=6(米),0D=0B=3(米),
在RtZSAOB中,根據(jù)勾股定理得:在刃6?-3KJ(米),
則AC=20A=6立米,
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理,菱形的性質(zhì),以及等邊三角形的判定與性
質(zhì),熟練掌握菱形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
6.已知一矩形的兩邊長(zhǎng)分別為10cm和15cm,其中一個(gè)內(nèi)角的平分線分
長(zhǎng)邊為兩部分,這兩部分的長(zhǎng)為()
A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm和8cm
【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)已知條件以及矩形性質(zhì)證AABE為等腰三角形得到AB二AE,
注意“長(zhǎng)和寬分別為15cm和10cm”說(shuō)明有2種情況,需要分類討論.
【解答】解:如圖,?.?矩形ABCD中,BE是角平分線.
JZABE=ZEBC.
???AD〃BC.
,ZAEB=ZEBC.
AZAEB=ZABE
AAB=AE.
當(dāng)AB=15cm口寸:則AE=15cm,不滿足題意.
當(dāng)AB二10cm時(shí):AE=10cm,貝!JDE=5cm.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)與等腰三角形的判定與性質(zhì).注意出現(xiàn)角
平分線,出現(xiàn)平行線時(shí),一般出現(xiàn)等腰三角形,需注意等腰三角形相等邊
的不同.
7.如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分,要使它成為矩形,那么需要添
加的條件是
()
A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AOBD
【考點(diǎn)】矩形的判定.
【分析】由四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分,可得四邊形ABCD是平行四邊
形,再添加AC=BD,可根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形證明四邊形
ABCD是矩形.
【解答】解:可添加AOBD,
???四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分,
???四邊形ABCD是平行四邊形,
???AC=BD,根據(jù)矩形判定定理對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形,
???四邊形ABCD是矩形,
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的判定,關(guān)鍵是矩形的判定:
①矩形的定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形;
②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形;
③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.
8.如圖,D是4ABC內(nèi)一點(diǎn),BD±CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H
分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn),則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是()
A.7B.9C.10D.11
【考點(diǎn)】三角形中位線定理;勾股定理..
【專題】計(jì)算題.
【分析】根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng),根據(jù)三角形的中位線定理得到
HG二,BOEF,EH=FG4AD,求出EF、HG、EH、FG的長(zhǎng),代入即可求出四邊
形EFGH的周長(zhǎng).
【解答】W:VBD±DC,BD=4,CD=3,由勾股定理得:BC二屈布至5,
VE>F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn),
AHG=1BC=EF,EH=FG=1AD,
VAD=6,
AEF=HG=2.5,EH=GF=3,
J四邊形EFGH的周長(zhǎng)是EF+FG+HG+EH=2X(2.5+3)=11.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)勾股定理,三角形的中位線定理等知識(shí)點(diǎn)的理解
和掌握,能根據(jù)三角形的中位線定理求出EF、HG、EH、FG的長(zhǎng)是解此題
的關(guān)鍵.
9.如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度后得到正方形
AB'C'D',邊B'C與DC交于點(diǎn)0,則四邊形AB'0D的周長(zhǎng)是()
A.2&B.3C.V2D.1+^2
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】當(dāng)AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度后,剛回落在正方形對(duì)角線AC上,
可求三角形與邊長(zhǎng)的差B'C,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),勾股定理
可求B'0,0D,從而可求四邊形AB'0D的周長(zhǎng).
【解答】解:連接B,C,
???旋轉(zhuǎn)角NBAB'=45°,ZBAC=45°,
???B'在對(duì)角線AC上,
VAB=AB,=1,用勾股定理得AO后,
???B'C=V2-1,
在等腰RtZ\0B,C中,OB'=B'C=V2-h
在直角三角形OB'C中,由勾股定理得0C二正(訛-1)=2-亞,
AOD=1-OC=V2-1
???四邊形AB'0D的周長(zhǎng)是:2AD+OB'+0D=2+亞-1+&-1=2后.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),特殊三角形邊長(zhǎng)的求
法.連接B’C構(gòu)造等腰Rt^OB'C是解題的關(guān)鍵.
10.如圖,正方形ABCD的面積為4,Z\ABE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形
ABCD內(nèi),在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小,則這個(gè)最小值為
()
A.2B.3C.2V3D.V3
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題;正方形的性質(zhì).
【專題】幾何圖形問(wèn)題.
【分析】由于點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱,所以連接BE,與AC的交點(diǎn)即為P
點(diǎn).此時(shí)PD+PE=BE最小,而B(niǎo)E是等邊4ABE的邊,BE=AB,由正方形ABCD
的面積為4,可求出AB的長(zhǎng),從而得出結(jié)果.
【解答】解:連接而,與AC交于點(diǎn)F.
丁點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱,
APD=PB,
JPD+PE=PB+PE=BE最小.
;正方形ABCD的面積為4,
AAB=2.
又〈△ABE是等邊三角形,
ABE=AB=2.
???所求最小值為2.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查軸對(duì)稱--最短路線問(wèn)題,要靈活運(yùn)用對(duì)稱性解決
此類問(wèn)題.
二、填空題
11.已知菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為2cm,3cm,則它的面積是3cm2.
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).
【分析】由知菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為2cm,3cm,根據(jù)菱形的面積等
于對(duì)角線乘積的一半,即可求得答案.
【解答】解:I菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為2cm,3cm,
???它的面積是:-^X2X3=3(cm2).
故答案為:3.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì).注意菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半.
12.如圖,在矩形ABCD中,AC、BD相交于點(diǎn)。且AO8,如果NA0D=60°,
那么那二4
【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等可得OA=OD=,AC,然后判斷出
△AOD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的三邊都相等解答即可.
【解答】解:在矩形ABCD中,OA=OD=-^AC=1X8=4,
VZA0D=60°,
:.AAOD是等邊三角形,
AAD=0A=4.
故答案為:4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的對(duì)角線互相平分且相等的性質(zhì),等邊三角形的
判定與性質(zhì),比較簡(jiǎn)單,熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
13.如圖,在菱形ARCD中,對(duì)角線AC、RD相交于點(diǎn)0,H為ADii中點(diǎn),
菱形ABCD的周長(zhǎng)為28,則0H的長(zhǎng)等于3.5.
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì);直角三角形斜邊上的中線;三角形中位線定理.
【分析】由菱形的四邊相等求出邊長(zhǎng),再根據(jù)對(duì)角線互相垂直得出N
A0D=90°,然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)果.
【解答】解:???四邊形ABCD是菱形,
???AB=BC=CD=DA,AC1BD,
AZA0D=90°,
VAB+BC+CD+DA=28,
AAD=7,
???H為AD邊中點(diǎn),
A0H=^AD=3.5;
故答案為:3.5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì);熟練掌
握菱形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
14.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,以對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形,
再以對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH,如此下去,第n個(gè)正方形的邊
長(zhǎng)為一(W)….
【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì).
【專題】壓軸題;規(guī)律型.
【解答】解:.??四邊形ABCD為正方形,
???AB=BC=1,ZB=90°,
AAC2=12+12,AC=V2;
同理可求:AE=(V2)>HE=(V2)
???第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)(亞)一.
故答案為(V2)n-1.
【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理及其應(yīng)用問(wèn)題;應(yīng)牢固
掌握正方形有關(guān)定理并能靈活運(yùn)用.
三、解答題(15題12分,16題12分,17題16分)
15.(?株洲)如圖,已知平行四邊形ABCD,DE是NADC的角平分線,交
BC于點(diǎn)E.
(1)求證:CD=CE;
(2)若BE=CF,ZB=80°,求NDAE的度數(shù).
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).
【專題】計(jì)算題;證明題.
【分析】(1)根據(jù)DE是NADC的角平分線得到N1=N2,再根據(jù)平行四
邊形的性質(zhì)得到N1二N3,所以N2=N3,根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證;
(2)先根據(jù)BE二CE結(jié)合CD=CE得到aABE是等腰三角形,求出NBAE的度
數(shù),再根據(jù)平行四邊形鄰角互補(bǔ)得到NBAD=100。,所以NDAE可求.
【解答】(1)證明:如圖,在平行四邊形ABCD中,
?.?AD〃BC
AZ1=Z3
又???/1二/2,
AZ2=Z3,
ACD=CE;
(2)解:???四邊形ABCD是平行四邊形,
???AB=CD,AD〃BC,
又〈CD=CE,BE=CE,
AAB=BE,
AZRAE=ZREA.
VZB=80°,
AZBAE=50°,
AZDAE=180°-50°-80°=50°.
【點(diǎn)評(píng)】(1)由角平分線得到相等的角,再利用平行四邊形的性質(zhì)和等
角對(duì)等邊的性質(zhì)求解;
(2)根據(jù)"BE=CE"得出AB=BE是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
16.(?樂(lè)山)如圖,將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊,使點(diǎn)A落在平
面上的F點(diǎn)處,DF交BC于點(diǎn)E.
(1)求證:4DCE之ABFE;
(2)若CD=2,ZADB=30°,求BE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題);全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)由AD〃BC,知NADB=NDBC,根據(jù)折疊的性質(zhì)NADB=/BDF,
所以NDBC=NBDF,得BE=DE,即可用AAS證△DCE^^BFE;
(2)在RtZ\BCD中,CD=2,ZADB=ZDBC=30°,知BC=2T,在RtZ\BCD
中,CD=2,ZEDC=30°,知CE=華,所以BE=BC-EC二年.
【解答】解:(1)VAD/7BC,
???ZADB=ZDBC,
根據(jù)折疊的性質(zhì)NAD3=NBDF,NF=NA=NC=90°,
???NDBONBDF,
ABE=DE,
在ADCE和aBFE中,
'NBEF=NDEC
<ZF=ZC,
BE=DE
AADCE^ABFE;
(2)在RtABCD中,
VCD=2,ZADB=ZDBC=30°,
ABC=2V3,
在Rt^ECD中,
VCD=2,ZEDC=30°,
ADE=2EC,
/.(2EC)2-EC2=CD2,
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等角對(duì)等邊、
平行線的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用,熟練的運(yùn)用折疊的性質(zhì)是解決本
題的關(guān)鍵.
17.(春?歷下區(qū)期末)已知,如圖1,BD是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)
角線,BE平分NDBC交DC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F,使CF二CE,連接DF,
交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
(1)求證:△BCEZZXDCF;
(2)求CF的長(zhǎng);
(3)如圖2,在AB上取一點(diǎn)H,且BH二CF,若以BC為x軸,AB為y軸建
立直角坐標(biāo)系,問(wèn)在直線BD上是否存在點(diǎn)P,使得以B、H、P為頂點(diǎn)的
三角形為等腰三角形?若存在,直接寫(xiě)出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo);若不
存在,說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】四邊形綜合題.
【分析】(1)利用正方形的性質(zhì),由全等三角形的判定定理SAS即可證
得4BCE之Z\DCF;
(2)通過(guò)△DBGgZiFBG的對(duì)應(yīng)邊相等知BD二BF=加;然后由CF=BF-BC=
即可求得;
(3)分三種情況分別討論即可求得.
【解答】(1)證明:如圖1,
在aBCE和aDCF中,
rBC=DC
<ZBCE=ZDCF=90°,
CE=CF
AABCE^ADCF(SAS);
(2)證明:如圖1,
〈BE平分NDBC,OD是正方形ABCD的對(duì)角線,
AZEBC=|ZDBC=22.5°,
由⑴知△BCEgZkDCF,
AZEBC=ZFDC=22.5°(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等);
???ZBGD=90°(三角形內(nèi)角和定理),
/.ZRGF=90°;
在△DBG和△FBG中,
'/DBG二NFBG
<BG=BG,
ZBGD=ZBGF
.,.△DBG^AFBG(ASA),
???BD=BF,DG=FG(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等),
VBD^AB^AD^,
ABF=V2,
JCF=BF-BC=V2-1;
(3)解:如圖2,VCF=V2-1,BH=CF
JBH=V2-1,
①當(dāng)BH=BP時(shí),貝UBP/加
VZPBC=45°,
設(shè)P(x,x),
A2x2=(A/2-1)2,
解得x=l-乎或-1+寫(xiě)
???P(1一冬1一堂)或(一1+寫(xiě)-1+號(hào));
②當(dāng)BH=HP時(shí),貝ijHP=PB=V2-1,
YNABD=45。,
???△PBH是等腰直角三角形,
???P(V2-hV2-1);
③當(dāng)PH=PR時(shí),*/NABD=45°,
是等腰直角三角形,
.?.p,
22
綜上,在直線BD上是否存在點(diǎn)P,使得以B、H、P為頂點(diǎn)的三角形為等
腰三角形,所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(1考,1-爭(zhēng)、(-1+冬
-1+茅、(&-1,11)、(返A(chǔ)年).
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合題,考查了正方形的性質(zhì),三角形全等的判
定和性質(zhì),等腰三角形的判定,熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.
《第1章特殊的平行四邊形》
一、選擇題(請(qǐng)把答案填寫(xiě)到下面指定位置,每小題3分,共36分)
1.矩形,菱形,正方形都具有的性質(zhì)是()
A.每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角B.對(duì)角線相等
C.對(duì)角線互相平分D.對(duì)角線互相垂直
2.如圖,在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,若BD、AC
的和為18cm,CD:DA=2:3,AA0B的周長(zhǎng)為13cm,那么BC的長(zhǎng)是()
D
B*------------------C
A.6cmB.9cmC.3cmD.12cm
3.在RtaABC中,/ACB=90。,ZA=30°,AO^cm,則AB邊上的中線
長(zhǎng)為()
A.1cmB.1.5cmC.2cmD.V3cm
4.如圖,矩形ABCD中,E在AD上,且EF1EC,EF=EC,DE=2,矩形的周
長(zhǎng)為16,則AE的長(zhǎng)是()
A.3B.4C.5D.7
5.下列說(shuō)法正確的是()
A.對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是菱形
B.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形
C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是平行四邊形
D.對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形
6.已知:如圖,在矩形ABCD中,BC=2,AE1BD,垂足為E,NBAE=30°,
A.2V3B?立C?卓D.烏
ZJ
7.用兩個(gè)全等的直角三角形拼成下列圖形:①平行四邊形;②矩形;③
菱形;④正方形;⑤等腰三角形;⑥等邊三角形.則一定可以拼成的圖形
是()
A.①④⑤B.②⑤⑥C.①②③D.①②⑤
8.如圖為菱形ABCD與AABE的重疊情形,其中D在BE上.若AB=17,BD=16,
AE=25,則DE的長(zhǎng)度為何?()
A.8B.9C.11D.12
9.如圖,在矩形ABCD中,AB=10,BO5,點(diǎn)E、F分別在AB、CD上,將
矩形ABCD沿EF折疊,使點(diǎn)A、D分別落在矩形ABCD外部的點(diǎn)」、D1處,
則陰影部分圖形的周長(zhǎng)為()
A.15B.20C.25D.30
10.如圖,矩形ABCD的長(zhǎng)為a,寬為b,如果S1=524以+54),則S1()
DC
C.-^-abD--^~ab
Jz
A.③B.①②C.②③D.③④
12.如圖,正方形ABCD中,AB=3,點(diǎn)E在邊CD上,且CD=3DE.將AADE
沿AE對(duì)折至△AFE,延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG,CF.下列結(jié)論:
①點(diǎn)G是BC的中點(diǎn);②FG=FC;③NGAE=45°.
其中正確的是()
A.①②B.①③C.②③D.①②③
二、填空題:
13.等邊三角形、平行四邊形、矩形、正方形四個(gè)圖形中,既是軸對(duì)稱圖
形又是中心對(duì)稱圖形的是.
14.如圖所示,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,試添加一
個(gè)條件:,使得平行四邊形ABCD為菱形.
對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E、F分別是
AO、AD的中點(diǎn),若AH=6cm,RC=8cm,則△AEF的周長(zhǎng)二cm.
16.如圖在菱形ABCD中,ZB=ZEAF=60°,NBAE=20°,則NCEF的大
小為
三、解答題:(共52分)
17.如圖,BD是△ABC的角平分線,它的垂直平分線分別交AB,BD,BC
于點(diǎn)E,F,G,連接ED,DG.請(qǐng)判斷四邊形EBGD的形狀,并說(shuō)明理由.
18.如圖,已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn),連接AE、
CF.
(1)證明:四邊形AECF是矩形;
(2)若AB=8,求菱形的面積.
19.已知:如圖,在四邊形ABCD中,點(diǎn)G在邊BC的延長(zhǎng)線上,CE平分
ZBCD,CF平分NGCD,EF〃BC交CD于點(diǎn)0.
(1)求證:0E=0F;
(2)若點(diǎn)0為CD的中點(diǎn),求證:四邊形DECF是矩形.
20.點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊CD、BC±,已知aMCN的周長(zhǎng)等于
正方形ABCD周長(zhǎng)的一半,求NMAN的度數(shù).
21.如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,NBAD的角平分線AE交CD亍點(diǎn)F,
交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:BE=CD;
(2)連接BF,若BFLAE,ZBEA=60°,ABE,求平行四邊形ABCD的面
22.已知:如圖,在矩形ABCD中,M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn),E、F
分別是線段BM、CM的中點(diǎn).
(1)求證:BM=CM;
(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形,并證明你的結(jié)論;
(3)當(dāng)AD:AB=時(shí),四邊形MENF是正方形(只寫(xiě)結(jié)論,不需證明).
1Mp
23.如圖,把△EFP放置在菱形ABCD中,使得頂點(diǎn)E,F,P分別在線段
AB,AD,AC上,已知EP二FP二6,EF二6“,NBAD=60°,且AB>6加?
(1)求NEPF的大小;
(2)若AP=8,求AE+AF的值.
EB
《第1章特殊的平行四邊形》
參考答案與試題解析
一、選擇題(請(qǐng)把答案填寫(xiě)到下面指定位置,每小題3分,共36分)
1.矩形,菱形,正方形都具有的性質(zhì)是()
A.每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角B.對(duì)角線相等
C.對(duì)角線互相平分3.對(duì)角線互相垂直
【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì);菱形的性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【分析】矩形,菱形,正方形都是特殊的平行四邊形,因而平行四邊形具
有的性質(zhì)就是矩形,菱形,正方形都具有的性質(zhì).
【解答】解:矩形,菱形,正方形都具有的性質(zhì):對(duì)角線互相平分.故選
C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是對(duì)矩形,矩形,菱形,正方形的性質(zhì)的理解.
2.如圖,在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,若BD、AC
的和為18cm,CD:DA=2:3,AA0B的周長(zhǎng)為13cm,那么BC的長(zhǎng)是()
A.6cmB.9cmC.3cmD.12cm
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),先求出AB的長(zhǎng),再根據(jù)所給比值,求
出AD的長(zhǎng),進(jìn)一步求解BC即可.
【解答】解:I平行四邊形ABCD
?,.()A+OB二卷(BD+AC)=9cm
XVAAOB的周長(zhǎng)為13cm,
/.AB=CD=4cm,
XVCD:DA=2:3,
/.BC=AD=6cm
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì),并利用性質(zhì)解題.平行四邊
形基本性質(zhì):①平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行;②平行四邊形的兩組對(duì)邊
分別相等;③平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等;④平行四邊形的對(duì)角線互
相平分.
3.在RtZ^ABC中,/ACB=90。,ZA=30°,AC二加cm,則AB邊上的中線
長(zhǎng)為()
A.1cmB.1.5cmC.2cmD.無(wú)cm
【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線.
【分析】設(shè)斜邊AB=2x,根據(jù)直角三角形30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的
一半可得BC=x,再利用勾股定理列式求出x的值,從而得到AB,然后根
據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答.
【解答】解:設(shè)斜邊AR=2x,
VZACB=90°,ZA=30°,
ABC=|AB=x,
由勾股定理得,AB2=AC2+BC2,
即(2x)2=(Vs)2+.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),直
角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的?半的性質(zhì)以及勾股定理,熟
記性質(zhì)并列出方程是解題的關(guān)鍵.
4.如圖,矩形ABCD中,E在AD上,且EFLEC,EF=EC,DE=2,矩形的周
長(zhǎng)為16,則AE的長(zhǎng)是()
A.3B.4C.5D.7
【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】計(jì)算題.
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和EF,EC,EF=EC求證△AEFg△DCE,可得AE=CD,
再利用矩形的周長(zhǎng)為16,即可求出AD,然后用AD減DE即可得出答案.
【解答】解:???矩形ABCD中,EF1EC,
.\ZDEC+ZDCE=90°,ZDEC+ZAEF=90°
JZAEF=ZDCE,
又???EF=EC,
AAAEF^ADCE,
AAE=CD,
??,矩形的周長(zhǎng)為16,即2CD+2AD=16,
???CD+AD=8,
AAD-2+AD=8,
AD=5,
JAE=AD-DE=5-2=3.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定與性質(zhì)和矩形性質(zhì)的理解
和掌握,解答此題的關(guān)鍵是求證4AEF絲Z^DCE.
5.下列說(shuō)法正確的是()
A.對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是菱形
B.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形
C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是平行四邊形
D.對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形
【考點(diǎn)】正方形的判定;平行四邊形的判定;菱形的判定;矩形的判定.
【分析】分別根據(jù)菱形、正方形、平行四邊形和矩形的判定逐項(xiàng)判斷即可.
【解答】解:
對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形,更不一定是菱形,
故A不正確;
對(duì)角線互相垂直平分的四邊形為菱形,但不一定是正方形,故B不正確;
對(duì)角線互相垂直的四邊形,其對(duì)角線不一定會(huì)平分,故不一定是平行四邊
形,故C不正確;
對(duì)角線互相平分說(shuō)明四邊形為平行四邊形,又對(duì)角線相等,可知其為矩形,
故D正確;
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行四邊形及特殊平行四邊形的判定,掌握平行四
邊形及特殊平行四邊形的對(duì)角線所滿足的條件是解題的關(guān)鍵.
6.已知:如圖,在矩形ABCD中,BC=2,AE.LBD,垂足為E,ZBAE=30°,
AD
那么4ECD的面積是()
B
A.2V3B?bC?卓D.*
乙o
【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì);含30度角的直角三角形.
【分析】根據(jù)已知條件,先求Rt4AED的面積,再證明4ECD的面積與它
相等.
【解答】解:如圖:
過(guò)點(diǎn)C作CF_LBD于F.
,矩形ABCD中,BC=2,AE±BD,
AZABE=ZCDF=60°,AB=CD,AD=BO2,NAEB=NCFD=90°.
AAABE^ACDF.
AAE=CF.
S△AED=4-ED?AE,S^EcrF^-EDeCF
**?SAAED=SACDE***AE=1,DE-A/3,
???△ECD的面積是零.故選C.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了學(xué)生的識(shí)圖能力,解題的關(guān)鍵是要注意問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.此
題還考查了直角三角形的性質(zhì),直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊是斜
邊的一半.
7.用兩個(gè)全等的直角三角形拼成下列圖形:①平行四邊形;②矩形;③
菱形;④正方形;⑤等腰三角形;⑥等邊三角形.則一定可以拼成的圖形
是()
A.①④⑤R.②⑤⑥C.①②③D.①②⑤
【考點(diǎn)】圖形的剪拼.
【分析】此題需要?jiǎng)邮植僮骰虍?huà)圖,用完全相同的直角三角形一定可以拼
成平行四邊形、矩形、等腰三角形.
【解答】解:根據(jù)題意,用形狀和大小完全相同的直角三角形一定能拼出
平行四邊形、矩形和等腰三角形,共3種圖形.
畫(huà)出圖形如下所示:
平行四邊形矩形等腰二角形
故選D
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的剪拼,同時(shí)考查了學(xué)生的動(dòng)手操作能力和想象
觀察能力,難度一般.
8.如圖為菱形ABCD與Z\ABE的重疊情形,其中D在BE上,若AB=17,BD=16,
AE=25,則DE的長(zhǎng)度為何?()
A
A.8B.9C.11D.12
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì);勾股定理.
【專題】壓軸題.
【分析】首先連接AC,設(shè)AC交BD于。點(diǎn),由四邊形ABCD為菱形,利用
菱形對(duì)角線互相垂直且平分的性質(zhì)及勾股定理,即可求得DE的長(zhǎng)度.
【解答】解:連接K,設(shè)AC交BD于。點(diǎn),
???四邊形ABCD為菱形,
AAC1BD,且B0=DO二竽二8,
在AAOD中,
VZA0D=90°,
**-AO=7AD2-OD^Vn2-82=15,
在aAOE中,
VZA0E=90°,
?二OE=VAE2-A02=7252-152=20,
又OD=8,
ADE=OE-0D=20-8=12.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理與菱形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合
思想的應(yīng)用.
9.如圖,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,點(diǎn)E、F分別在AB、CD±,將
矩形ABCD沿EF折疊,使點(diǎn)A、D分別落在矩形ABCD外部的點(diǎn)A-口處,
則陰影部分圖形的周長(zhǎng)為()
A.15B.20C.25D.30
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題).
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì),得AE=AE,A.DFAD,D,F=DF,則陰影部分的周
長(zhǎng)即為矩形的周長(zhǎng).
【解答】解:根據(jù)折疊的性質(zhì),得
AE二AE,A。尸AD,DF=DF.
則陰影部分的周長(zhǎng)二矩形的周長(zhǎng)=2(10+5)=30.
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了翻折變換,關(guān)鍵是要能夠根據(jù)折疊的性質(zhì)得到對(duì)
應(yīng)的線段相等,從而求得陰影部分的周長(zhǎng).
10.如圖,矩形ABCD的長(zhǎng)為a,寬為b,如果S]=S2=£(S3+SP,貝)
C.|abD.
o,
【考點(diǎn)】三角形的面積.
【專題】計(jì)算題.
【分析】連接DB,由S矩形ABCD=S1+S2+S3+S4,5”2二去b利用則SaDCbJab,
同理EB=5AE,求得S3,然后即可求得S“.
【解答】解:S矩形ABCD=S1+S2+S3+S4
~2(S3+S4)+-2(S3+Sp+Ss+Sq
=2(S3+S4)
二ab
??63+Sq二5ab
??S]+S2=oab
連接DB,如圖,則SADCB=|ab
CF:BC=S2:=Vabi,公二1:2
???FB=1BC
同理,EB=1AE
???S4^C4^4ab
J3乙LLLo
13
?二S^—ab-s=—ab,
r4/O3
故選A
【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生對(duì)三角形面積的理解和掌握,此題關(guān)鍵是連接DB,
有一定難度,屬于難題.
A.③B.①②C.②③D.③④
【分析】分別根據(jù)矩形、菱形及正方形的性質(zhì)進(jìn)行逐?判斷即可.
【解答】解:①錯(cuò)誤,例如等腰梯形;
②錯(cuò)誤,例如對(duì)角線互相垂直的等腰梯形;
③正確,符合正方形的判定定理;
④正確,符合菱形的性質(zhì).
故選D.
12.如圖,正方形AECD中,AB=3,點(diǎn)E在邊CD上,且CD=3DE.將AADE
沿AE對(duì)折至△AFE,延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG,CF.下列結(jié)論:
①點(diǎn)G是BC的中點(diǎn);②FG=FC;③NGAE=45°.
其中正確的是()
A.①②B.①③C.②③D.①②③
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題);正方形的性質(zhì).
【分析】①如圖1,根據(jù)正方形邊長(zhǎng)求DE的長(zhǎng),由折疊得:AD=AF二3,
DE=EF=1,根據(jù)HL證明RtZ\ABGgRtZXAFG,BG=FG,設(shè)BG=x,在直角4EGC
中利用勾股定理列方程求出x的值,比較BG和CG的大??;
②如圖2,作輔助線,根據(jù)平行線分線段成比例定理列式求FH和GH的長(zhǎng),
根據(jù)勾股定理求FC,發(fā)現(xiàn)FGWFC;
③如圖1,根據(jù)正方形的內(nèi)角為90°,及/DAE=NFAE,NBAG二NFAG,得
ZGAE=45°.
【解答】解:①如圖1,??,四邊形ABCD是正方形,
ACD=AB=3,
VCD=3DE,
ADE=1,
ACE=2,
由折疊得:DE=EF=1,AD=AF=3,
AAB=AF,
VZB=ZAFG=90°,AG=AG,
ARtAABG^RtAAFG,
ARG=FG,
設(shè)BG=x,則CG=3-x,FG=x,
由勾股定理得:EG2=CG2+EC2,
(x+1)2=22+(3-x)2,
解得:xj
ABG=|,
?o33
.?CG=3方亍
???點(diǎn)G是BC的中點(diǎn);
所以①正確;
②如圖2,過(guò)F作FHJLBC于H,
???FH〃DC,
.FHJFJH
**EC=GE=GC,
???FH《GH端,
???F(>je)2+e)2二等
由①得FG二BG二5
???FGWFC,
所以②不正確;
③如圖1,VZDAE=ZFAE,NBAG=NFAG,
/.ZRAG+ZDAE=ZFAG+ZFAE,
VZDAB=90°,
AZEAG=-^ZDAB=45°,
所以③正確;
故結(jié)論正確的是:①③,
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形和折疊的性質(zhì),明確折疊前后的對(duì)應(yīng)角相等,
正方形的四邊相等且四個(gè)角都是直角;利用勾股定理列方程求邊的長(zhǎng)度,
恰當(dāng)?shù)刈鬏o助線,構(gòu)建平行線,根據(jù)平行線分線段成比例定理列比例式求
邊長(zhǎng);從而比較邊的大小關(guān)系.
二、填空題:
13.等邊三角形、平行四邊形、矩形、正方形四個(gè)圖形中,既是軸對(duì)稱圖
形又是中心對(duì)稱圖形的是矩形、正方形.
【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形;軸對(duì)稱圖形.
【分析】根據(jù)把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與
原來(lái)的圖形重合,那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做時(shí)稱中
心;軸對(duì)稱圖形的概念:
如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個(gè)圖形
叫做軸對(duì)稱圖形進(jìn)行分析即可.
【解答】解:等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形;
平行四邊形是中心對(duì)稱圖形,不是軸對(duì)稱圖形;
矩形是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形;
正方形是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形;
故答案為:矩形、正方形.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形,軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵
是尋找對(duì)稱軸,圖形兩部分折疊后可重合,中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中
心,旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.
14.如圖所示,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,試添加一
個(gè)條件:AD=DC,使得平行四邊形ABCD為菱形.
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定;平行四邊形的性質(zhì).
【專題】開(kāi)放型.
【分析】根據(jù)菱形的定義得出答案即可.
【解答】解:???鄰邊相等的平行四邊形是菱形,
???平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,試添加一個(gè)條件:可以
為:AD=DC;
故答案為:ADRC.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的判定以及平行四邊形的性質(zhì),根據(jù)菱形的
定義得出是解題關(guān)鍵.
15.如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)(),點(diǎn)E、F分別是
AO、AD的中點(diǎn),若A3=6cm,BC=8cm,則△AEF的周長(zhǎng)二9cm.
【考點(diǎn)】三角形中位線定理;矩形的性質(zhì).
【分析】先求出矩形的對(duì)角線A3根據(jù)中位線定理可得出EF,繼而可得
出4AEF的周長(zhǎng).
【解答】解:在Rt^ABC中,AC=VAB2+BC^10CIH,
???點(diǎn)E、F分別是AO、AD的中點(diǎn),
,EF是AAOD的中位線,EF-^OD二;BDEcqcm,AF*D=卻O4cm,
AE二點(diǎn)\0得Ao|cnb
/.△AEF的周長(zhǎng)=AE+AF+EF=9cm.
故答案為:9.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理及矩形的性質(zhì),解答
本題需要我們熟練掌握三角形中位線的判定與性質(zhì).
16.如圖在菱形ABCD中,ZB=ZEAF=60°,ZBAE=20°,則NCEF的大
小為20。.
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).
【專題】數(shù)形結(jié)合.
【分析】首先證明△ABEgZXACF,然后推出AE二AF,證明4AEF是等邊三
角形,得NAEF=60°,最后求出NCEF的度數(shù).
【解答】解:連接AC,
在菱形ABCD中,AB=CB,
VZB=60°,
/.ZBAC=60°,AABC是等邊三角形,
VZEAF=60°,
JZBAC-NEAONEAF-ZEAC,
即:ZBAE=ZCAF,
在△ARE和AACF中,
rZBAE=ZCAF
<AB=AC,
ZB=ZACF
AAABE^AACF(ASA),
AAE=AF,
又NEAF=ND=60°,則AAEF是等邊三角形,
AZAFE=60°,
又NAEC=NB+NBAE=80°,
則NCEF=800-60°=20°.
故答案為:20°.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定以及三角形的內(nèi)角
和定理,有一定的難度,解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線,然后熟練掌
握菱形的性質(zhì).
三、解答題:(共52分)
17.如圖,BD是AABC的角平分線,它的垂直平分線分別交AB,BD,BC
于點(diǎn)E,F,G,連接ED,DG.請(qǐng)判斷四邊形EBGD的形狀,并說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】結(jié)論四邊形EBGD是菱形.只要證明BE=ED二DG二GB即可.
【解答】解:四邊形EBGD是菱形.
理由:TEG垂直平分BD,
AEB=ED,GB=GD,
AZEBD=ZEDB,
VZEBD=ZDBC,
AZEDF=ZGBF,
在aEFD和AGFR中,
'NEDF二NGBF
<ZEFD=ZGFB,
DF=BF
AAEFD^AGFB,
AED=BG,
ABE=ED=DG=GB,
???四邊形EBGD是菱形.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性
質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí),解題的關(guān)鍵是求出△EFD^^GFB.
18.如圖,已知菱形ARCD,AB=AC,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn),連接AF、
CF.
(1)證明:四邊形AECF是矩形;
(2)若AB=8,求菱形的面積.
【考點(diǎn)】矩形的判定;勾股定理;菱形的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】(1)根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB=BC,然后判斷出AABC
是等邊三角形,然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE_LBC,Z
AEC=90°,再根據(jù)菱形的對(duì)邊平行且相等以及中點(diǎn)的定義求出AF與EC
平行且相等,從而判定出四邊形AECF是平行四邊形,再根據(jù)有一個(gè)角是
直角的平行四邊形是矩形即可得證;
(2)根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)度,然后利用菱形的面積等于底乘以高計(jì)
算即可得解.
【解答】(1)證明:??,四邊形ABCD是菱形,
AAB=BC,
又〈AB=AC,
:?△ABC是等邊三角形,
???E是BC的中點(diǎn),
/.AF±RC(等腰三角形三線合一),
AZ1=90°,
YE、F分別是BC、A3的中點(diǎn),
AAF=|AD,EC=|BC,
???四邊形ABCD是菱形,
???AD〃BC且AD=BC,
???AF〃EC且AF=EC,
???四邊形AECF是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊
形),
又.??/1=90°,
???四邊形AECF是矩形(有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形);
(2)解:在Rt^ABE中,AE=標(biāo)二近,
所以,S菱形ABO)=8X4V^32加.
RE
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定,菱形的性質(zhì),平行四邊形的判定,勾股
定理的應(yīng)用,等邊三角形的判定與性質(zhì),證明得到四邊形AECF是平行四
邊形是解題的關(guān)鍵,也是突破口.
19.已知:如圖,在四邊形ABCD中,點(diǎn)G在邊BC的延長(zhǎng)線上,CE平分
ZBCD,CF平分NGCD,EF〃BC交CD于點(diǎn)().
(1)求證:OE-OF;
(2)若點(diǎn)0為CD的中點(diǎn),求證:四邊形DECF是矩形.
【考點(diǎn)】矩形的判定;平行四邊形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】(1)由于CE平分NBCD,那么NDCE=NBCE,而EF〃BC,于是
ZOEC=ZBCE,等量代換NOEC二NDCE,那么0E=0C,同理0C=OF,等量代
換有OE=OF;
(2)由于。是CD中點(diǎn),故0D=03而0E=OF,那么易證四邊形DECF是平
行四邊形,又CE、CF是NBCD、NDCG的角平分線,ZBCD+ZDCG=180°
那么易得NECF=90°,從而可證四邊形DECF是矩形.
【解答】證明:(1);CE平分/BCD、CF平分NGCD,
???NBCE=NDCE,ZDCF=ZGCF,(1分)
???EF〃BC,
???NBCE=NFEC,ZEFC=ZGCF,(1分)
/.ZDCE=ZFEC,NEFONDCF,(1分)
A0E=0C,0F=0C,
?,.()E=OF;(2分)
(2)???點(diǎn)0為CD的中點(diǎn),
A0D=0C,
又0E=0F,
???四邊形DECF是平行四邊形,(2分)
TCE平分NBCD、CF平分NGCD,
???ZDCE-yZBCD,ZDCF=i-ZDCG,(2分)
/.ZDCE+ZDCF=y(ZBCD+yZDCG)=90°,(2分)
即NECF=90。,
???四邊形DECF是矩形.(1分)
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等角對(duì)等邊、等量
代換、平行四邊形的判定、矩形的判定.
20.點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊CD、BC上,已知aMCN的周長(zhǎng)等于
正方形ABCD周長(zhǎng)的一半,求NMAN的度數(shù).
D.M
/
-
【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì).
【專題】計(jì)算題.
【分析】先利用△MCN的周長(zhǎng)等于正方形ABCD周長(zhǎng)的一半可得到
MN=DM+BN,4ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE,如圖,利用旋轉(zhuǎn)的
性質(zhì)得AE=AM,BE=DM,ZABE=ZADM,NMAE=90°,接著證明
AEN得到NMAN二NEAN,從而得到4m二24即;45°.
【解答】解::△MCN的周長(zhǎng)等于正方形ABCD周長(zhǎng)的一半,
JMN+CM+CN=CD+CB,
AMN=DM+BN,
VAD=AB,ZDAB=90°,
??.△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AABE,如圖,
AAE=AM,BE=DM,ZABE=ZADM,ZMAE=90°,
VZABC=90°,
???點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上,
???EN=BE+NB=DM+BN=MN,
在△AMN和AAEN中
'AM二AE
<AN=AN,
MN二EN
???AAMN^AAEN,
???ZMAN=ZEAN,
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì):正方形的四條邊都相等,四個(gè)角都是
直角;正方形的兩條對(duì)角線相等,互相垂直平分,并且每條對(duì)角線平分一
組對(duì)角;正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).解決
本題的關(guān)鍵是構(gòu)建△AEN與AAMN全等.
21.如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,NBAD的角平分線AE交CD于點(diǎn)F,
交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:BE=CD;
(2)連接BF,若BFJLAE,ZBEA=60°,AB=4,求平行四邊形ABCD的面
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線得出NBAE二NBEA,即可得
出AB=BE;
(2)先證明4ABE是等邊三角形,得出AE=AB=4,AF=EF=2,由勾股定理
求出RF,由AAS證明△ADF/ZXECF,得出aADF的面積二△ECF的面積,
因此平行四邊形ABCD的面積=AABE的面積二如E?BF,即可得出結(jié)果.
【解答】(1)證明:???四邊形ABCD是平行四邊形,
.?.AD〃BC,AB〃CD,AB=CD,
???NB+NC=180°,ZAEB=ZDAE,
???AE是/BAD的平分線,
AZBAE=ZDAE,
AZBAE=ZAEB,
AAB=BE,ABE=CD;
(2)解:VAB=BE,ZBEA=60°,
.?.△ABE是等邊三角形,
AAE=AB=
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