北師版八年級數學知識點及經典例題

北師版八年級數學知識點及經典例題八年級上冊專題一勾股定理(已知兩邊求第三邊)基礎篇勾股定理：如右圖，直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c,則有a2+b2=c2。（一）．勾股定理證明：已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊為a、b、c。求證：a2＋b2=c2。分析：⑴準備多個三角形模型，最好是有顏色的吹塑紙，讓學生拼擺不同的形狀，利用面積相等進行證明。⑵拼成如圖所示，其等量關系為：4S△+S小正=S大正解：由面積相等得4×ab＋（b－a）2=c2，化簡可證a2+b2=c2（二）．勾股數：具有a2+b2=c2特性的正整數；例如：32+42=52所以3,4,5是勾股數.例1：在ABC中,∠C=90°，若a2+b2=c2,(1)若a=3，b=4,則c=__5_.(2)若a=6,c=10,則b=____8__.(3)若c=13，a：b=5:12，則a=__5_，b=__12_.例2：填入勾股數；（1）8、15、_17__；（2）3、4、__5___；（3）7、24、_25__；（4）6、8、_10__。自測題：1、在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，則c=17。2、在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，則c=5。3、在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，則a=6，b=8。二．勾股定理逆定理:三角形的三邊a,b,c滿足a2+b2=c2,則這個三角形是直角三角形;較大邊c所對的角是直角.三．互逆定理:如果一個定理的逆命題經過證明是真命題,那么它也是一個定理,這兩個定理叫做互逆定理,其中一個叫做另一個的逆定理.例4：ADADC64491.已知:直角三角形的三邊長分別是3,4,X,則X2=___7或25_____。2.在△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，則最大邊上的高是___2.4_____．3.如右圖，兩個正方形的面積分別為64，49，則AC=17.ABC341312D4.如圖，有一塊地，已知，AD=4m，ABC341312DBC=12m。求這塊地的面積。解：s=12×5÷2=30（m2）30-6=24（m2）DDABC5.如圖在△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，D為垂足，AC=3cm,BC=4cm.求①△ABC的面積；②斜邊AB的長；③斜邊AB上的高CD的長。解：①s=4×3÷2=6（cm2）②AB=5cm③CD=2.4cm專題二勾股定理(方程思想解答折疊問題)方程思想：直角三角形中，當無法已知兩邊求第三邊時，應采用間接求法：靈活地尋找題中的等量關系，利用勾股定理列方程。A例1：如右圖,鐵路上A、B兩點相距25km,C、D為兩村莊,DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，現在要在鐵路AB上建一個土特產品收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站建在距A站多少千米處？A解：設AE=x,則EB=(25-X)由CE2=EB2+BC2得CE2=DE2=152+X2所以AE=10（KM）CDCDBE第8題圖Ｄx6x8-x46例2：如右圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6㎝，BC=8㎝?，F將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長．解：設CD=X,方程為X2+42=（8-x)2X=3cmAABCDEF810106X8-X48-X例3：折疊矩形ABCD的一邊AD,點D落在BC邊上的點F處,已知AB=8CM,BC=10CM,求.CF和EC的長.解：設EC=X,方程為（8-x)2=X2+42X=3cm所以FC=4cmEC=3cmBA15BA155C例1：如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點B離點C5cm,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，1０２０1０２０解：如下圖分析所示第一個圖形的值為152+202=252所以最短距離為25cm101020B5B51020ACEFE1020ACFAECB2015105例2：如圖,一圓柱高8cm,底面半徑2cm,一只螞蟻從點A爬到點B處吃食,要爬行的最短路程(∏取3）是(B)A.20cmB.10cmC.14cmD.無法確定BBB8OA2蛋糕AC８周長的一半６專題四實數分類題一．實數的分類（按定義分類）例如：1，2，3萬，200%例如：5.2，20%，例如：，例如：1，2，3萬，200%例如：5.2，20%，例如：，π例如：-1，-2，-3萬，-200%例如：-5.2，-20%，例如：-，-π（按正負分類）----2．相反數：互為相反數 ；0的相反數是0；3．絕對值：03．絕對值：04．倒數：互為倒數 沒有倒數.例1：把下列各數分別填入相應的集合里：有理數集合：｛，，，，｝；無理數集合：｛，，｝；負實數集合：｛，，｝；自測題：1.在，，，，，0，，中，其中：整數有；無理數有；有理數有。例2：的相反數是；絕對值是。例3：如圖，數軸上與1，對應的點分別為A、B，點B關于A點的對稱點為C，設點C表示的數為，求∣-∣+的值。CAB01解：1-x=得x=1-+1X=2-所以：∣-∣+=例4：.已知，、互為相反數，、互為倒數，m的絕對值等于1，求的值。解：由題意知a+b=0cd=1m=±1當m=-1時，有=-2當m=1時，有=0專題五實數（平方根）一．定義：±.性質：1.一個正數有兩個平方根，且它們互為相反數；例如：9的平方根是±32.0的平方根是0；3.負數沒有平方根。4.正數a的正的平方根，叫做a的算術平方根，記著。例如：4的平方根是+25.()2=a(a≥0)6.=66.=6．絕對值：0例1：填空題(1)的平方根是_________；(2)(－)2的算術平方根是_________；(3)一個正數的平方根是2a－1與－a+2，則a=_________，這個正數是_________；(4)的算術平方根是_________；(5)9－2的算術平方根是_________；(6)的值等于_________，的平方根為_________；(7)(－4)2的平方根是_________，算術平方根是_________.答案：(1)±(2)(3)－19(4)(5)(6)2±(7)±44例2：已知（1-2a)2+=0,求ab的值。解：由題意知a=，b=2所以ab=×2=1學會分析在哪兩個數的范圍之內。例3：確定的值在哪兩個整數之間。解：因為9〈13〈16所以〈〈即：3〈〈4例4：求下列各式中的X(1)9X2=25(2)(X+3)2-16=0解：x2=解：(X+3)2=16X=±x+3=±4當x+3=4時解x=1當x+3=-4時解x=-7提高篇：一個數X的平方根是2a-3與5-a，求a的值和這個數。解得：（2a-3）=-（5-a）所以a=-2，這個數是49.若4，=2，且ab〉0，則a-b=0若5x+4的平方根是±1，則x=-△ABC的三邊長為a，b，c，且a，b滿足+b2-4b+4=0求c的取值范圍。解：因為+（b-2)2=0所以a=1，b=2〈而C〈解之得1〈C〈3〈已知（a+b+2）（a+b-2）=45，求a+b的算術平方根。解：（a+b）2-4=45（a+b）2=49所以a+b的算術平方根為9專題六實數（立方根）定義：.性質：1.正數有一個正的立方根。例如：2.負數有一個負的立方根。例如：3.0的立方根就是0本身。例如：例1：求下列各式的值：(1)(2)；；(3)；(4)；答案：(1)10(2)(3)(4)1例2：已知X-2的平方根是±2,2X+Y+7的立方根是3，求X2+Y2的平方根。解：X-2=4X=62X+Y+7=27Y=8所以X2+Y2=100,即求100的平方根為±10.例3：求下列各式中的X解：8x3=-27解：（x-3)3=27x-3=3X=x=6提高篇例4：(1)的立方根是2。(2)的平方根是±2。(3)的平方根是。（4）（4)2的算術平方根是4。（5）的倒數是。（6）的相反數是。例5：已知，求解：x=64y=5z=3所以例6：設x、y是有理數，并且滿足等式，求2x+y的值。解：由題意知所以2x+y的值為7或-13專題七實數（無理數計算）解題模板：（1）（2）（3）（4）(5)(6)基礎題：例1：化簡求值。（2）（3）（5）（6）例2：化簡求值。2=（2）（3）（4）專題八圖形的平移與旋轉（平移、旋轉和軸對稱）1、平移（1）平移的概念：在平面內，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移。（2）平移的性質：a、平移不改變圖形的形狀和大小，改變的是圖形的位置。b、對應點之間所連的線段平行且相等。c、對應線段平行且相等，對應角相等。（3）平移的作圖a、平移2個要素：方向，距離b、關鍵是找對應點，方法可以利用對應點之間所連的線段平行且相等；也可利用對應線段平行且相等。2、旋轉（1）旋轉的概念：在平面內，將一個圖形繞某個點（指旋轉中心）沿某個方向（順時針或逆時針）轉動一定的角度，這樣的圖形運動叫做旋轉。（2）旋轉的性質：a、旋轉也不改變圖形的形狀和大小，改變的是圖形的位置。b、對應線段相等、對應角相等。c、對應點與旋轉中心的連線所成的角叫旋轉角。旋轉角相等。（3）旋轉的作圖a、旋轉的3個要素：旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度。b、關鍵也是找對應點，緊扣旋轉角相等和對應線段相等這一性質。3、常見的圖形變換方式：平移，旋轉，對稱（或折疊）常考題型：1、下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）答案：B如圖，以點為為旋轉中心，將按順時針方向旋轉，得到．若，則=度．3、正方形ABCD在坐標系中的位置如圖所示，將正方形ABCD繞D點順時針方向旋轉后，B點的坐標為（）A．B．C．D．【關鍵詞】坐標和旋轉變換【答案】D4、（2010年山東省濟南市）如圖，ΔABC與ΔA’B’C’關于直線l對稱，則∠B的度數為（）A．50°B．30°C．100°D．90°【關鍵詞】軸對稱【答案】CABCDE5、如右圖，∠A=90°，BD是△ABC的角平分線，DE是BC的垂直平分線，求∠ABCDE．O（1）作出“三角旗”繞O點按逆時針旋轉90°后的圖案．（2）作出四邊形ABCD關于x、y軸的對稱圖形。．O7、如右圖，等腰三角形的一個角是80°，則它的底角是（）A、50°或80°B、80°C、50°D、20°或80°ABCDE8、如右圖，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BDABCDEA．20°B．25°C．30°D．40°9.如右圖，中，，，垂直平分，則的度數為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．專題九四邊形性質探索一、四邊形的相關概念1、四邊形在同一平面內，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形。2、四邊形具有不穩(wěn)定性3、四邊形的內角和定理及外角和定理四邊形的內角和定理：四邊形的內角和等于360°。四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。推論：多邊形的內角和定理：n邊形的內角和等于180°；多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。4、設多邊形的邊數為n，則多邊形的對角線共有條。從n邊形的一個頂點出發(fā)能引（n-3）條對角線，將n邊形分成（n-2）個三角形。二、平行四邊形1、平行四邊形的定義兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形的性質（1）平行四邊形的對邊平行且相等。（2）平行四邊形相鄰的角互補，對角相等（3）平行四邊形的對角線互相平分。（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。常用點：（1）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段的中點是對角線的交點，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。3、平行四邊形的判定（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（3）定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（5）定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、兩條平行線的距離兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。平行線間的距離處處相等。5、平行四邊形的面積S平行四邊形=底邊長×高=ah三、矩形1、矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質（1）矩形的對邊平行且相等（2）矩形的四個角都是直角（3）矩形的對角線相等且互相平分（4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到矩形四個頂點的距離相等）；對稱軸有兩條，是對邊中點連線所在的直線。3、矩形的判定（1）定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形（2）定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形4、矩形的面積S矩形=長×寬=ab四、菱形1、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質（1）菱形的四條邊相等，對邊平行（2）菱形的相鄰的角互補，對角相等（3）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。3、菱形的判定（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形4、菱形的面積S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半五、正方形1、正方形的定義有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形的性質（1）正方形四條邊都相等，對邊平行（2）正方形的四個角都是直角（3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角（4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線。3、正方形的判定判定一個四邊形是正方形的主要依據是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證它是菱形。先證它是菱形，再證它是矩形。4、正方形的面積設正方形邊長為a，對角線長為bS正方形=六、梯形（一）1、梯形的相關概念一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底。梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。梯形的兩底的距離叫做梯形的高。2、梯形的判定（1）定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形是梯形。（2）一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。（二）直角梯形的定義：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分類如下：一般梯形梯形直角梯形特殊梯形等腰梯形（三）等腰梯形1、等腰梯形的定義兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性質（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。（2）等腰梯形同一底上的兩個角相等，同一腰上的兩個角互補。（3）等腰梯形的對角線相等。（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。3、等腰梯形的判定（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形（3）對角線相等的梯形是等腰梯形。（選擇題和填空題可直接用）（四）梯形的面積（1）如圖，（2）梯形中有關圖形的面積：①；②；③七、中心對稱圖形1、定義在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180°，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。2、性質（1）關于中心對稱的兩個圖形是全等形。（2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。（3）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。3、判定如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱。?？碱}型：1.若一個多邊形的內角和等于，則這個多邊形的邊數是（）A．5 B．6 C．7 D．82.在ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，則∠D=（）（A）36°（B）108°（C）72°（D）60°3.平行四邊形的周長為24cm，相鄰兩邊長的比為3：1，那么這個平行四邊形較短的邊長為（）．（A）6cm（B）3cm（C）9cm（D）12cm4.已知菱形兩個鄰角的比是1∶5，高是8cm，則菱形的周長是（）A.16cm B.32cmC.64cm D.128cm5.已知菱形的周長為40cm，兩對角線長的比是3∶4，則兩對角線的長分別是（）A.6cm，8cm B.3cm，4cmC.12cm，16cmD.24cm，32cm6．菱形的面積為24cm2，一條對角線的長為6cm，則另一條對角線長為_____cm，邊長為_____cm，高為_____cm.7．在ABCD中，若∠A+∠C=120°，則∠A=_______，∠B=_________．8．在ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，則ABCD的周長為_______cm．9．已知O是ABCD的對角線交點，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，則△AOD的周長是________．10．已知平行四邊形的面積是144cm2，相鄰兩邊上的高分別為8cm和9cm，則這個平行四邊形的周長為________．11.一個菱形的兩條對角線的長分別是6cm，8cm，則這個菱形的面積等于＿＿。12.菱形的一個內角為120°，較短的對角線長為10cm，那么菱形的周長為＿＿＿cm。13.在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，M是AB的中點，且OM＝4cm，則菱形的周長為＿＿＿。14.中心對稱圖形的對應點連線經過，并且被平分。15.如右圖，把矩形沿對折后使兩部分重合，若，則=（）A．110°B．115°C．120°D．130°16.在□ABCD中，E、F分別在DC、AB上，且DE=BF，求證：四邊形AFCE是平行四邊形。17.如右圖，在□ABCD中，E、F分別是BC、AD上的點，且AE∥CF，AE與CF相等嗎？說明理由.18.如右圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥AC，CE∥DB，DE、CE交于E，求證：四邊形DOCE是菱形．19.已知：如圖，在△ABC中，中線BE，CD交于點O，F，G分別是OB，OC的中點．求證：四邊形DFGE是平行四邊形．專題十位置的確定一、在平面內，確定物體的位置一般需要兩個數據。二、平面直角坐標系及有關概念1、平面直角坐標系在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸，組成平面直角坐標系。其中，水平的數軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；x軸和y軸統(tǒng)稱坐標軸。它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。2、為了便于描述坐標平面內點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x軸和y軸上的點（坐標軸上的點），不屬于任何一個象限。3、點的坐標的概念對于平面內任意一點P,過點P分別x軸、y軸向作垂線，垂足在上x軸、y軸對應的數a，b分別叫做點P的橫坐標、縱坐標，有序數對（a，b）叫做點P的坐標。點的坐標用（a，b）表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內點的坐標是有序實數對，當時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標。平面內點的與有序實數對是一一對應的。4、不同位置的點的坐標的特征平面直角坐標系把平面分成四個象限。從右上角開始按逆時針方向，依次為：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。（1）、各象限內點的坐標的特征點P(x,y)在第一象限點P(x,y)在第二象限點P(x,y)在第三象限點P(x,y)在第四象限（2）、坐標軸上的點的特征點P(x,y)在x軸上，x為任意實數注意:坐標軸上的點不屬于任何象限。點P(x,y)在y軸上注意:坐標軸上的點不屬于任何象限。點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標為（0，0）即原點（3）、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線（直線y=x）上x與y相等點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數（4）、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同。位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。（5）、關于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標的特征點P與點p’關于x軸對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數，即點P（x，y）關于x軸的對稱點為P’（x，-y）點P與點p’關于y軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數，即點P（x，y）關于y軸的對稱點為P’（-x，y）點P與點p’關于原點對稱橫、縱坐標均互為相反數，即點P（x，y）關于原點的對稱點為P’（-x，-y）(6)、點到坐標軸及原點的距離點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：（1）點P(x,y)到x軸的距離等于（2）點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于（3）點P(x,y)到原點的距離等于三、坐標變化與圖形變化的規(guī)律：坐標（x，y）的變化圖形的變化x×a或y×a被橫向或縱向拉長（壓縮）為原來的a倍x×a，y×a放大（縮?。樵瓉淼腶倍x×（-1）或y×（-1）關于y軸或x軸對稱x×（-1），y×（-1）關于原點成中心對稱x+a或y+a沿x軸或y軸平移a個單位x+a，y+a沿x軸平移a個單位，再沿y軸平移a個單?？碱}型：已知點，它到x軸的距離是__________，它到y(tǒng)軸的距離是__________，它到原點的距離是_____________.若點與關于y軸對稱，則x=_______，y=________.若點在x軸上，則點M的坐標為_____________.已知點且AB∥x軸，若AB=4，則點B的坐標為___________.在平面直角坐標系中，點原點在第________象限.已知□ABCD的對角線AC與BD相交于坐標原點O，若點A的坐標為，則點C的坐標為（）A. B. C. D.平面直角坐標系中，一個四邊形各頂點坐標分別為，，，，則四邊形ABCD的形狀是（）梯形 B.平行四邊形 C.正方形 D.無法確定若，且，則點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.如圖,在所給的直角坐標系中,作出點A(2,-3),B(3,-5),C(0,-3),D(-2,-4)的點,并答出點P、G、M的坐標.10.已知平面上A（4,6），B（0,2），C（6,0）,求△ABC的面積。11.如圖，已知ABCD是平行四邊形，△DCE是等邊三角形，A（﹣，0），B（3，0），D（0，3），求E點的坐標．專題十一函數一、函數：一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果給定一個x值，相應地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。二、自變量取值范圍使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。一般從整式（取全體實數），分式（分母不為0）、二次根式（被開方數為非負數）、實際意義幾方面考慮。三、函數的三種表示法及其優(yōu)缺點（1）關系式（解析）法兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做關系式（解析）法。（2）列表法把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。（3）圖象法用圖象表示函數關系的方法叫做圖象法。四、由函數關系式畫其圖像的一般步驟（1）列表：列表給出自變量與函數的一些對應值（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。五、正比例函數和一次函數1、正比例函數和一次函數的概念一般地，若兩個變量x，y間的關系可以表示成（k，b為常數，k0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量，y為因變量）。特別地，當一次函數中的b=0時（即）（k為常數，k0），稱y是x的正比例函數。2、一次函數的圖像:所有一次函數的圖像都是一條直線3、一次函數、正比例函數圖像的主要特征：一次函數的圖像是經過點（0，b）的直線；正比例函數的圖像是經過原點（0，0）的直線。k的符號b的符號函數圖像圖像特征k>0b>0y0x圖像經過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。b<0y0x圖像經過一、三、四象限，y隨x的增大而增大。K<0b>0y0x圖像經過一、二、四象限，y隨x的增大而減小b<0y0x圖像經過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。注：當b=0時，一次函數變?yōu)檎壤瘮担壤瘮凳且淮魏瘮档奶乩?、正比例函數的性質一般地，正比例函數有下列性質：（1）當k>0時，圖像經過第一、三象限，y隨x的增大而增大；（2）當k<0時，圖像經過第二、四象限，y隨x的增大而減小。5、一次函數的性質一般地，一次函數有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小6、正比例函數和一次函數解析式的確定確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數定義式（k0）中的常數k。確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式（k0）中的常數k和b。解這類問題的一般方法是待定系數法。7、一次函數與一元一次方程的關系：任何一個一元一次方程都可轉化為：kx+b=0（k、b為常數，k≠0）的形式．而一次函數解析式形式正是y=kx+b（k、b為常數，k≠0）．當函數值為0時，即kx+b=0就與一元一次方程完全相同．結論：由于任何一元一次方程都可轉化為kx+b=0（k、b為常數，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以轉化為：當一次函數值為0時，求相應的自變量的值．從圖象上看，這相當于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點的橫坐標值．8、確定函數解析式一．根據直線的解析式和圖像上一個點的坐標，確定函數的解析式例1、若函數y=3x+b經過點（2，-6），求函數的解析式。分析：因為，函數y=3x+b經過點（2，-6），所以，點的坐標一定滿足函數的關系式，所以，只需把x=2，y=-6代入解析式中，就可以求出b的值。函數的解析式就確定出來了。解：因為，函數y=3x+b經過點（2，-6），所以，把x=2，y=-6代入解析式中，得：-6=3×2+b，解得：b=-12，所以，函數的解析式是：y=3x-12.二、根據直線經過兩個點的坐標，確定函數的解析式例2、直線y=kx+b的圖像經過A（3，4）和點B（2，7），求函數的表達式。分析：把點的坐標分別代入函數的表達式，用含k的代數式分別表示b，因為b是同一個，這樣建立起一個關于k的一元一次方程，這樣就可以把k的值求出來，然后，就轉化成例1的問題了。解：因為，直線y=kx+b的圖像經過A（3，4）和點B（2，7），所以，4=3k+b，7=2k+b，所以，b=4-3k，b=7-2k，所以，4-3k=7-2k，解得：k=-3，所以，函數變?yōu)椋簓=-3x+b，把x=3，y=4代入上式中，得：4=-3×3+b，解得：b=13，所以，一次函數的解析式為：y=-3x+13。三．根據直線的對稱性，確定函數的解析式例3、已知直線y=kx+b與直線y=-3x+7關于y軸對稱，求k、b的值。因為，y=kx+b，所以，x=，因為，y=-3x+7，所以，x=，因為，直線y=kx+b與直線y=-3x+7關于y軸對稱，所以，兩直線上點的坐標，都滿足縱坐標相同，橫坐標坐標互為相反數，所以，=-=，比較對應項，得：y-b=y-7，k=3，所以，k=3，b=7。?？碱}型：1.若y=(m－1)x是正比例函數，則m的值為（）A.1 B.－1 C.1或－1D.或－2.若一次函數y=(2－m)x+m的圖象經過第一、二、四象限時，m的取值范圍是________。3.若一次函數y=kx+b中，y隨x的增大而減小，則（）A.k＜0,b＜0 B.k＜0,b＞0C.k＜0,b≠0 D.k＜0,b為任意數已知直線y=(5－3m)x+m－4與直線y=x+6平行，求此直線的解析式________。5.已知函數y=(m2+2m)x+(2m－3)是x的一次函數，則常數m的值為（）A.－2 B.1 C.－2或－1 D.2或－16.函數y=2x+1與y=－x+6的圖象的交點坐標是（）A.(－1,－1) B.(2,5) C.(1,6) D.(－2,5)7.直線y=kx+2過點（-1，0），則k的值是 （）A．2B．-2C．-1D．18.把直線y＝eq\f(2,3)x＋1向上平移3個單位所得到的解析式為______________。9.(1)函數中，自變量x的取值范圍是；(2)函數中，自變量x的取值范圍是。10.已知一次函數的圖象經過（3，5）和（－4，－9）兩點．求這個一次函數的解析式；（2）若點（a，2）在這個函數圖象上，求a的值．11.一次函數的圖象過點M(3,2),N(－1,－6)兩點.(1)求函數的表達式；(2)畫出該函數的圖象.12.如右圖，直線與相交于點P，的函數表達式y(tǒng)=2x+3,點P的橫坐標為-1,且交y軸于點A(0，－1)．求直線的函數表達式.13.如圖，一次函數y=ax+b圖象經過點（1，2）、點（－1，6）。求：（1）這個一次函數的解析式；（2）一次函數圖象與兩坐標軸圍成的面積；14.有一種節(jié)能型轎車的油箱最多可裝天燃氣50升，加滿燃氣后，油箱中的剩余燃氣量y（升）與轎車行駛路程x（千米）之間的關系如圖所示，根據圖象回答下列問題：（1）一箱天燃氣可供轎車行駛多少千米？（2）轎車每行駛200千米消耗燃料多少升？（3）寫出y與x之間的關系式；（0≤x≤1000）專題十二二元一次方程組一、二元一次方程：含有兩個未知數，并且所含有的未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程。二元一次方程組：含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。二元一次方程的一個解：適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的一個解。二元一次方程組的解：二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。二元一次方程組的解法：解二元一次方程組的基本思想是消去一個未知數轉化成一元一次方程求解。二元一次方程組的解法有三種：(1)代入消元法；(2)加減消元法；(3)圖象法．二、代入消元法：將其中一個方程中的某個未知數用只含另一個未知數的代數式表示出來，并代入另一個方程中，從而消去一個未知數，將二元一次方程組化為一元一次方程，這種解方程的方法叫做代入消元法，簡稱代入法。用代入法解二元一次方程組的步驟：1、求表達式：選取一個系數較為簡單的方程進行變形，用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數。2、代入消元：將求得的表達式代入另一個方程，得到一個一元一次方程，求解該方程可得一個未知數的值。3、解這個一元一次方程。4、將求出的未知數的值代入變形后的方程，求出另一個未知數的值，從而得到方程組的解。三、加減消元法：使兩個方程的某一未知數的系數絕對值相等，然后將兩個方程相加或相減，消去其中此未知數，轉化為一元一次方程，這種解方程的方法叫做加減消元法，簡稱加減法。用加減法解二元一次方程組的步驟：1、變換系數：將每個方程分別變形，用適當的數乘以方程的兩邊，使兩個方程中某個未知數系數的絕對值相等。2、加減消元：把兩個方程的左右兩邊分別相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程，求解可得一個未知數的值。3、代回求解：將求出的未知數的值代入任意一個方程中，求出另一個未知數的值，從而得到方程組的解。四、一次函數與二元一次方程（組）的關系：（1）一次函數與二元一次方程的關系：直線y=kx+b上任意一點的坐標都是它所對應的二元一次方程kx-y+b=0的解（2）一次函數與二元一次方程組的關系：二元一次方程組的解可看作兩個一次函數和的圖象的交點。當函數圖象有交點時，說明相應的二元一次方程組有解；當函數圖象（直線）平行即無交點時，說明相應的二元一次方程組無解。五、用圖象法解二元一次方程組二元一次方程組的解就是對應的兩個一次函數的圖象的交點坐標，同樣，兩個一次函數圖象的交點坐標，就是對應的二元一次方程組的解．因此，先把二元一次方程組中的兩個方程化為y=klx+b1(k1≠O)和y=k2x+b2(k2≠O)的形式，然后畫出圖象，找到交點的坐標，該交點的坐標就是二元一次方程組的解。?？碱}型：1.已知方程2x+3y－4=0，用含x的代數式表示y為：y=_______；用含y的代數式表示x為：x=________．2．在二元一次方程－x+3y=2中，當x=4時，y=_______；當y=－1時，x=______．3．若x3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，則m=_____，n=______．4．已知是方程x－ky=1的解，那么k=_______．5．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，則k=_____．6.下列方程：（1）x=x-1;（2）=1;（3）m2-1=n;（4）5xy=7;（5）7x2+5y=2（6）11x=6y+5;其中是二元一次方程的有。7．圖中兩直線L1，L2的交點坐標可以看作方程組()的解．A．B.C．D.8．把方程x+1=4y+化為y=kx+b的形式，正確的是()A．y=x+1B．y=x+C．y=x+1D．y=x+9．若直線y=+n與y=mx-1相交于點(1，-2)，則()．A．m=，n=-B．m=，n=-1；C．m=-1，n=-D．m=-3，n=-10．直線y=x-6與直線y=-x-的交點坐標是()．A．(-8，-10)B．(0，-6)；C．(10，-1)D．以上答案均不對11.甲、乙兩地相距360千米，一輪船往返于甲、乙兩地之間，順流用18小時，逆流用24小時，若設船在靜水中的速度為x千米/時，水流速度為y千米/時，在下列方程組中正確的是（）A. B.C. D.12.已知5|x+y－3|+(x－y)2=0，則()A.x=1B.x=2C.x=0D.x=y=0y=2y=0y=13.已知代數式與是同類項，那么的值分別是()A． B． C． D．14.解下面的二元一次方程組(1)(2)(3)(4)(5)15.2008年北京奧運會，中國運動員獲得金、銀、銅牌共100枚，金牌數位列世界第一．其中金牌比銀牌與銅牌之和多2枚，銀牌比銅牌少7枚．問金、銀、銅牌各多少枚？16.二元一次方程組的解x，y的值相等，求k．17.如圖所示，求兩直線的解析式及圖像的交點坐標．18.如圖，L1，L2分別表示一種白熾燈和一種節(jié)能燈的費用y(費用=燈的售價+電費，單位：元)與照明時間x(h)的函數圖像，假設兩種燈的使用壽命都是2000h，照明效果一樣．(1)根據圖像分別求出L1，L2的函數關系式．(2)當照明時間為多少時，兩種燈的費用相等?(3)小亮房間計劃照明2500h，他買了一個白熾燈和一個節(jié)能燈，請你幫他設計最省錢的用燈方法(直接給出答案，不必寫出解答過程)．19.有一個兩位數，個位數比十位數大5，如果把這兩個數的位置對換，那么所得的新數與原數的和是143.求這個兩位數.20.某校辦工廠去年的總收入比總支出多50萬元，今年的總收入比去年增加10%，總支出節(jié)約20%，因而總收入比總支出多100萬元.求去年的總收入和總支出.21.甲、乙兩人的年收入之比為5：4，年支出之比為3：2，一年后兩人各余1500元，求這兩個人的年收入。甲、乙兩人在A地，丙在B地，他們三人同時出發(fā)，甲、乙與丙相向而行，甲每分走120米，乙每分走130米，丙每分走150米.已知丙遇上乙后，又過了5分鐘遇到甲，求A、B兩地的距離.專題十三數據的代表一、算術平均數：一般地，對于n個數xl，x2，…，xn我們把1/n（x1+x2+…+xn)叫做這n個數的算術平均數，簡稱平均數，記為二、加權平均數：在n個數據中，如果xl出現f1次，x2出現f2次，…，xk出現fk次（這里fl+f2+…+fk=n），那么這n個數據的平均數為=l/n(x1f1+x2f2+…+xkfk)就叫做這n個數據的加權平均數算術平均數是加權平均數的特殊情況。三、中位數：將一組數據按照大小順序排列，若數據的個數是奇數，則最中間的那個數據就是該組數據的中位數；若數據的個數是偶數，則最中間兩個數據的平均數就是該組數據的中位數.四、眾數：一組數據中出現次數最多的那個數據叫做這組數據的眾數。五、平均數、中位數和眾數的區(qū)別與聯系：聯系：平均數、中位數和眾數都是數據的代表，它們能充分反映一組數據的“平均水平”．區(qū)別：(1)平均數反映一組數據的平均水平，與這組數據中的每個數據都有關，所以最為重要．平均數的優(yōu)點是所有數據都參與運算，它能充分利用數據所提供的信息，在實際生活中經常利用，但易受極端值的影響。(2)中位數受極端值的影響較小，當一組數據的個別數據變動較大時，一般用它來描述集中趨勢．中位數的優(yōu)點是計算簡單，不受極端值影響較小，缺點是不能充分利用數據所提供的信息。(3)眾數只與數據出現的次數有關，不受個別數據影響，有時是我們最關心的．眾數的優(yōu)點是它是人們尤為關心的，它是一組數據中出現次數最多的一個數，缺點是當各個數據出現次數大致相等時，眾數就沒有什么意義了。?？碱}型：1.數據5、3、2、1、4的平均數是（）A.2B.5C.4D.32.某電視臺舉辦的青年歌手電視大獎賽上，六位評委給3號選手的評分如下：90、96、91、96、95、94，這組數據的中位數是（）A.95B.94C.94.5D.963.某校四個科技興趣小組在“科技活動周”上交的作品數分別如下：10、10、x、8，已知這組數據的眾數與平均數相等，則這組數據的中位數是（）A.8B.9C.10D.124.某班一次語文測驗的成績如下：得100分的7人，90分的14，80分的17人，70分的8人，60分的2人，50分2人，這里80分是（）A.平均數B.是眾數不是中位數C.是眾數也是中位數D.是中位數不是眾數5.某班30個同學的成績如下：7656807871789079928381938486986175849073808684888190789289100。請計算這次考試全班分數的平均數、中位數和眾數。隨機抽取某城市一年（以365天計）中的30天的日平均氣溫狀況統(tǒng)計如下：溫度（℃）10141822263032天數3557622請根據上述數據回答下列問題：（1）估計該城市年平均氣溫大約是多少？（2）寫出該數據的中位數、眾數；（3）計算該城市一年中約有幾天的日平均氣溫為26℃？（4）若日平均氣溫在17℃～23℃為市民“滿意溫度”，則這組數據中達到市民“滿意溫度”的有幾天？八年級下冊：一元一次不等式和一元一次不等式組一般地，用符號“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）連接的式子叫做不等式。能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解.不等式的解不唯一，把所有滿足不等式的解集合在一起，構成不等式的解集.求不等式解集的過程叫解不等式.④由幾個一元一次不等式組所組成的不等式組叫做一元一次不等式組.⑤不等式組的解集:一元一次不等式組各個不等式的解集的公共部分。等式基本性質1：在等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或整式，所得的結果仍是等式.2：在等式的兩邊都乘以或除以同一個數（除數不為0），所得的結果仍是等式.不等式的基本性質性質1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變.（注：移項要變號，但不等號不變。）性質2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變.性質3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.不等式的基本性質<1>、若a>b,則a+c>b+c；<2>、若a>b,c>0則ac>bc若c<0,則ac<bc不等式的其他性質：反射性：若a>b,則b<a;傳遞性:若a>b,且b>c,則a>c 解不等式的步驟:1、去分母;2、去括號;3、移項合并同類項;YY（元）x（件）o44002003題圖4、系數化為1。解不等式組的步驟:1、解出不等式的解集2、在同一數軸表示不等式的解集。?？碱}型：若代數式的值不小于-3，則t的取值范圍是_________．2.；并把解集在數軸上表示出來.3.如圖，反映的是某公司產品的銷售收入與銷售量的關系，反映的該公司產品的銷售成本與銷售量的關系，根據圖象判斷該公司盈利時銷售量為（）(A)小于4件(B)等于4件(C)大于4件(D)大于或等于4件4.若>-1，則多項式的值為（）(A)正數(B)負數(C)非負數(D)非正數5.某超市從廠家以每件21元的價格購進一批商品，該超市可以自行定價，但物價局限定每件商品加價不能超過售價的20%，則這批商品的售價不能超過____________元.：分解因式一、提公因式法：1、ma+mb+mc=m（a+b+c）公式法：2、a2－b2=（a+b）（a－b）3、a2±2ab+b2=（a±b）把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式。1、把幾個整式的積化成一個多項式的形式，是乘法運算.2、把一個多項式化成幾個整式的積的形式，是因式分解.3、ma+mb+mcm（a+b+c）4、因式分解與整式乘法是相反方向的變形。把多項式的各項都含有的相同因式，叫做這個多項式的各項的公因式.提公因式法分解因式就是把一個多項式化成單項式與多項式相乘的形式.找公因式的一般步驟：（1）若各項系數是整系數，取系數的最大公約數；（2）取相同的字母，字母的指數取較低的；（3）取相同的多項式，多項式的指數取較低的.（4）所有這些因式的乘積即為公因式.分解因式的一般步驟為:若有“-”先提取“-”，若多項式各項有公因式,則再提取公因式.若多項式各項沒有公因式,則根據多項式特點,選用平方差公式或完全平方公式.（3）每一個多項式都要分解到不能再分解為止.五、形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子稱為完全平方式.分解因式的方法：1、提公因式法。2、運用公式法。?？碱}型：1．把多項式－8a2b3c＋16a2b2c2－24a3bc3分解因式，應提的公因式是()，A.－8a2bcB.2a2b2c3C.－4abcD.24a3b3c32.若是完全平方式，則的值是（）(A)-1(B)7(C)7或-1(D)5或1.3、分解因式；：分式1°對于任意一個分式，分母都不能為零.2°分式與整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母.3°分式的值為零含兩層意思：分母不等于零；分子等于零。（中B≠0時，分式有意義；分式中，當B=0分式無意義;當A=0且B≠0時，分式的值為零。）常考知識點：1、分式的意義,分式的化簡。2、分式的加減乘除運算。3、分式方程的解法及其利用分式方程解應用題。?？碱}型：1.若分式的值為零，則x等于（）A.2B.-2C.D.02.若分式的值為正數，則x應滿足的條件是___________________________.3.解關于x的方程產生增根，則常數的值等于（）(A)-1(B)-2(C)1(D)24.若4x-3y=0，則=___________.5.解分式方程：：相似圖形一、定義如果a與b的比值和c與d的比值相等，那么=或a∶b=c∶d,這時組成比例的四個數a,b,c,d叫做比例的項，兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內項.即a、d為外項，c、b為內項.如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB、CD的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比（ratio）AB∶CD=m∶n，或寫成=，其中，線段AB、CD分別叫做這兩個線段比的前項和后項.如果把表示成比值k，則=k或AB=k?CD如果四條線段a,b,c,d中，如果a與b的比等于c與d的比，即,那么這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段，簡稱比例線段.黃金分割的定義：在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果=,那么稱線段AB被點C黃金分割（goldensection）,點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.其中≈0.618.引理：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例.相似多邊形：對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似比：相似多邊形對應邊的比叫做相似比二、比例的基本性質：1、若ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么=.如果=（b,d都不為0），那么ad=bc.2、合比性質：如果=,那么=。3、等比性質：如果==…=（b+