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河北省張家口市尚義縣第一中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)押題試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.己知四棱錐中,四邊形為等腰梯形,,,是等邊三角形,且;若點在四棱錐的外接球面上運動,記點到平面的距離為,若平面平面,則的最大值為()A. B.C. D.2.方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.103.已知角的頂點與坐標(biāo)原點重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,若點在角的終邊上,則()A. B. C. D.4.已知函數(shù)(,)的一個零點是,函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線,則當(dāng)取得最小值時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.() B.()C.() D.()5.已知圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.6.某人用隨機(jī)模擬的方法估計無理數(shù)的值,做法如下:首先在平面直角坐標(biāo)系中,過點作軸的垂線與曲線相交于點,過作軸的垂線與軸相交于點(如圖),然后向矩形內(nèi)投入粒豆子,并統(tǒng)計出這些豆子在曲線上方的有粒,則無理數(shù)的估計值是()A. B. C. D.7.如圖,在平面四邊形ABCD中,若點E為邊CD上的動點,則的最小值為()A. B. C. D.8.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有蒲生一日,長三尺莞生一日,長一尺蒲生日自半,莞生日自倍.問幾何日而長倍?”意思是:“今有蒲草第天長高尺,蕪草第天長高尺以后,蒲草每天長高前一天的一半,蕪草每天長高前一天的倍.問第幾天莞草是蒲草的二倍?”你認(rèn)為莞草是蒲草的二倍長所需要的天數(shù)是()(結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù),相關(guān)數(shù)據(jù):,)A. B. C. D.9.關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論:()①是偶函數(shù);②在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù);③在上的最大值為2;④在區(qū)間上有4個零點.其中所有正確結(jié)論的編號是()A.①②④ B.①③ C.①④ D.②④10.將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度后,得到函數(shù)的圖象,則“”是“是偶函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11.將函數(shù)向左平移個單位,得到的圖象,則滿足()A.圖象關(guān)于點對稱,在區(qū)間上為增函數(shù)B.函數(shù)最大值為2,圖象關(guān)于點對稱C.圖象關(guān)于直線對稱,在上的最小值為1D.最小正周期為,在有兩個根12.已知雙曲線的右焦點為,過的直線交雙曲線的漸近線于兩點,且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知是同一球面上的四個點,其中平面,是正三角形,,則該球的表面積為______.14.已知函數(shù),則曲線在點處的切線方程是_______.15.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的焦距為,若過右焦點且與軸垂直的直線與兩條漸近線圍成的三角形面積為,則雙曲線的離心率為____________.16.已知函數(shù),則的值為____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知三棱柱中,,是的中點,,.(1)求證:;(2)若側(cè)面為正方形,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系;曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1,曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).(Ⅰ)求曲線C1和C2的極坐標(biāo)方程:(Ⅱ)設(shè)射線θ=(ρ>0)分別與曲線C1和C2相交于A,B兩點,求|AB|的值.19.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù),試討論的單調(diào)性;(2)若,,求的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù)為實數(shù))的圖像在點處的切線方程為.(1)求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)函數(shù),證明時,.21.(12分)已知數(shù)列的前n項和,是等差數(shù)列,且.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)令.求數(shù)列的前n項和.22.(10分)已知()過點,且當(dāng)時,函數(shù)取得最大值1.(1)將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù),求函數(shù)的表達(dá)式;(2)在(1)的條件下,函數(shù),求在上的值域.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)平面平面,四邊形為等腰梯形,則球心在過的中點的面的垂線上,又是等邊三角形,所以球心也在過的外心面的垂線上,從而找到球心,再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示:取的中點,則是等腰梯形外接圓的圓心,取是的外心,作平面平面,則是四棱錐的外接球球心,且,設(shè)四棱錐的外接球半徑為,則,而,所以,故選:A.【點睛】本題考查組合體、球,還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.2、C【解析】
畫出函數(shù)和的圖像,和均關(guān)于點中心對稱,計算得到答案.【詳解】,驗證知不成立,故,畫出函數(shù)和的圖像,易知:和均關(guān)于點中心對稱,圖像共有8個交點,故所有解之和等于.故選:.【點睛】本題考查了方程解的問題,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力,確定函數(shù)關(guān)于點中心對稱是解題的關(guān)鍵.3、D【解析】
由題知,又,代入計算可得.【詳解】由題知,又.故選:D【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義,誘導(dǎo)公式,二倍角公式的應(yīng)用求值.4、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的一個零點是,得出,再根據(jù)是對稱軸,得出,求出的最小值與對應(yīng)的,寫出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得,,即,解得或(其中,).①又,即(其中).②由①②得或,即或(其中,,),因此的最小值為.因為,所以().又,所以,所以,令(),則().因此,當(dāng)取得最小值時,的單調(diào)遞增區(qū)間是().故選:B【點睛】此題考查三角函數(shù)的對稱軸和對稱點,在對稱軸處取得最值,對稱點處函數(shù)值為零,屬于較易題目.5、C【解析】
將圓,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,求得圓心為.根據(jù)圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱,則圓心在漸近線上,.再根據(jù)求解.【詳解】已知圓,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為:,所以圓心為.因為雙曲線,所以其漸近線方程為,又因為圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱,則圓心在漸近線上,所以.所以.故選:C【點睛】本題主要考查圓的方程及對稱性,還有雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.6、D【解析】
利用定積分計算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積,進(jìn)而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于的等式,解出的表達(dá)式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中,令,可得,則點,直線的方程為,矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為,矩形的面積為,由幾何概型的概率公式得,所以,.故選:D.【點睛】本題考查利用隨機(jī)模擬的思想估算的值,考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用,同時也考查了利用定積分計算平面區(qū)域的面積,考查計算能力,屬于中等題.7、A【解析】
分析:由題意可得為等腰三角形,為等邊三角形,把數(shù)量積分拆,設(shè),數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù),用函數(shù)可求得最小值。詳解:連接BD,取AD中點為O,可知為等腰三角形,而,所以為等邊三角形,。設(shè)=所以當(dāng)時,上式取最小值,選A.點睛:本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分,需要選擇合適的基底,再把其它向量都用基底表示。同時利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。8、C【解析】
由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長度,進(jìn)而可得:,解出即可得出.【詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長度分別為據(jù)題意得:,解得2n=12,∴n21.故選:C.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.9、C【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點對四個結(jié)論逐一分析,由此得出正確結(jié)論的編號.【詳解】的定義域為.由于,所以為偶函數(shù),故①正確.由于,,所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù),所以②錯誤.當(dāng)時,,且存在,使.所以當(dāng)時,;由于為偶函數(shù),所以時,所以的最大值為,所以③錯誤.依題意,,當(dāng)時,,所以令,解得,令,解得.所以在區(qū)間,有兩個零點.由于為偶函數(shù),所以在區(qū)間有兩個零點.故在區(qū)間上有4個零點.所以④正確.綜上所述,正確的結(jié)論序號為①④.故選:C【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.10、A【解析】
求出函數(shù)的解析式,由函數(shù)為偶函數(shù)得出的表達(dá)式,然后利用充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度,得到的圖象對應(yīng)函數(shù)的解析式為,若函數(shù)為偶函數(shù),則,解得,當(dāng)時,.因此,“”是“是偶函數(shù)”的充分不必要條件.故選:A.【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷,同時也考查了利用圖象變換求三角函數(shù)解析式以及利用三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù),考查運算求解能力與推理能力,屬于中等題.11、C【解析】
由輔助角公式化簡三角函數(shù)式,結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項.【詳解】函數(shù),則,將向左平移個單位,可得,由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,的對稱中心滿足,解得,所以A、B選項中的對稱中心錯誤;對于C,的對稱軸滿足,解得,所以圖象關(guān)于直線對稱;當(dāng)時,,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知,所以在上的最小值為1,所以C正確;對于D,最小正周期為,當(dāng),,由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,時僅有一個解為,所以D錯誤;綜上可知,正確的為C,故選:C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡,三角函數(shù)圖象平移變換,正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.12、B【解析】
先求出直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得A,B的縱坐標(biāo),利用,求出a,b的關(guān)系,即可求出該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線1(a>b>0)的漸近線方程為y=±x,∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍,∴kl,∴直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得y或y,∵,∴2?,∴ab,∴c=2b,∴e.故選B.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì),考查向量知識,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求得等邊三角形的外接圓半徑,利用勾股定理求得三棱錐外接球的半徑,進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】設(shè)是等邊三角形的外心,則球心在其正上方處.設(shè),由正弦定理得.所以得三棱錐外接球的半徑,所以外接球的表面積為.故答案為:【點睛】本小題主要考查幾何體外接球表面積的計算,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
求導(dǎo),x=0代入求k,點斜式求切線方程即可【詳解】則又故切線方程為y=x+1故答案為y=x+1【點睛】本題考查切線方程,求導(dǎo)法則及運算,考查直線方程,考查計算能力,是基礎(chǔ)題15、【解析】
利用即可建立關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點為,過右焦點且與軸垂直的直線與兩條漸近線分別交于兩點,則,,由已知,,即,所以,離心率.故答案為:【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,做此類題的關(guān)鍵是建立的方程或不等式,是一道容易題.16、4【解析】
根據(jù)的正負(fù)值,代入對應(yīng)的函數(shù)解析式求解即可.【詳解】解:.故答案為:.【點睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)取的中點,連接,,證明平面得出,再得出;(2)建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,計算,即可得出答案.【詳解】(1)證明:取的中點,連接,,,,,,,故,又,,平面,平面,,,分別是,的中點,,.(2)解:四邊形是正方形,,又,,平面,平面,在平面內(nèi)作直線的垂線,以為原點,以,,為所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,1,,,2,,,0,,,1,,,2,,,1,,設(shè)平面的法向量為,,,則,即,令可得:,,,,.直線與平面所成角的正弦值為,.【點睛】本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì),考查空間向量與空間角的計算,屬于中檔題.18、(Ⅰ),;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)根據(jù),可得曲線C1的極坐標(biāo)方程,然后先計算曲線C2的普通方程,最后根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式,可得結(jié)果.(Ⅱ)將射線θ=分別與曲線C1和C2極坐標(biāo)方程聯(lián)立,可得A,B的極坐標(biāo),然后簡單計算,可得結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)由所以曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的普通方程為則曲線的極坐標(biāo)方程為(Ⅱ)令,則,,則,即,所以,,故.【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,以及極坐標(biāo)方程中的幾何意義,屬基礎(chǔ)題.19、(1)答案不唯一,具體見解析(2)【解析】
(1)由于函數(shù),得出,分類討論當(dāng)和時,的正負(fù),進(jìn)而得出的單調(diào)性;(2)求出,令,得,設(shè),通過導(dǎo)函數(shù),可得出在上的單調(diào)性和值域,再分類討論和時,的單調(diào)性,再結(jié)合,恒成立,即可求出的取值范圍.【詳解】解:(1)因為,所以,①當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時,令,則;令,則,所以在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)因為,可知,,令,得.設(shè),則.當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,所以在上的值域是,即.當(dāng)時,沒有實根,且,在上單調(diào)遞減,,符合題意.當(dāng)時,,所以有唯一實根,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,,不符合題意.綜上,,即的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和根據(jù)恒成立問題求參數(shù)范圍,還運用了構(gòu)造函數(shù)法,還考查分類討論思想和計算能力,屬于難題.20、(1);函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)詳見解析.【解析】
試題分析:(1)由題得,根據(jù)曲線在點處的切線方程,列出方程組,求得的值,得到的解析式,即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)由(1)得根據(jù)由,整理得,設(shè),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值,即可作出證明.試題解析:(1)由題
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