2025屆山西省忻州一中等高三下學期聯(lián)合考試數(shù)學試題含解析

2025屆山西省忻州一中等高三下學期聯(lián)合考試數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面2．在三棱錐中，，且分別是棱，的中點，下面四個結(jié)論：①；②平面；③三棱錐的體積的最大值為；④與一定不垂直.其中所有正確命題的序號是（）A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④3．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，若的最大值為2，則實數(shù)k的值為（）A．1 B． C．2 D．4．定義在R上的函數(shù)滿足，為的導函數(shù)，已知的圖象如圖所示，若兩個正數(shù)滿足，的取值范圍是（）A． B． C． D．5．某市氣象部門根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均數(shù)據(jù),繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯誤的是()A．各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關B．全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C．全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個D．從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢6．甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面，已知這三人都不會違約且無兩人同時到達，則甲第一個到、丙第三個到的概率是（）A． B． C． D．7．阿波羅尼斯（約公元前262~190年）證明過這樣的命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓.后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點，間的距離為2，動點與，的距離之比為，當，，不共線時，的面積的最大值是（）A． B． C． D．8．若集合，，則A． B． C． D．9．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，則輸出的結(jié)果為（）A． B．6 C． D．10．一場考試需要2小時，在這場考試中鐘表的時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．11．記集合和集合表示的平面區(qū)域分別是和,若在區(qū)域內(nèi)任取一點,則該點落在區(qū)域的概率為()A． B． C． D．12．已知復數(shù)滿足，(為虛數(shù)單位)，則()A． B． C． D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在平面四邊形中，點，是橢圓短軸的兩個端點，點在橢圓上，，記和的面積分別為，，則______.14．一次考試后，某班全班50個人數(shù)學成績的平均分為正數(shù)，若把當成一個同學的分數(shù)，與原來的50個分數(shù)一起，算出這51個分數(shù)的平均值為，則_________．15．在平面直角坐標系中，點的坐標為，點是直線：上位于第一象限內(nèi)的一點．已知以為直徑的圓被直線所截得的弦長為，則點的坐標__________．16．若非零向量，滿足，，，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求的最大值.18．（12分）已知在多面體中，平面平面，且四邊形為正方形，且//，，，點，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.19．（12分）已知拋物線，直線與交于，兩點，且.（1）求的值；（2）如圖，過原點的直線與拋物線交于點，與直線交于點，過點作軸的垂線交拋物線于點，證明：直線過定點.20．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，和均為邊長為的等邊三角形.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知曲線的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標方程與直線的普通方程；（2）已知點，直線與曲線交于、兩點，求.22．（10分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標中，曲線：.（1）當時，求與的交點的極坐標；（2）直線與曲線交于，兩點，線段中點為，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤．2、D【解析】

①通過證明平面，證得；②通過證明，證得平面；③求得三棱錐體積的最大值，由此判斷③的正確性；④利用反證法證得與一定不垂直.【詳解】設的中點為，連接，則，，又，所以平面，所以，故①正確；因為，所以平面，故②正確；當平面與平面垂直時，最大，最大值為，故③錯誤；若與垂直，又因為，所以平面，所以，又，所以平面，所以，因為，所以顯然與不可能垂直，故④正確.故選：D【點睛】本小題主要考查空間線線垂直、線面平行、幾何體體積有關命題真假性的判斷，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.3、B【解析】

畫出約束條件的可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】可行域如圖中陰影部分所示，，，要使得z能取到最大值，則，當時，x在點B處取得最大值，即，得；當時，z在點C處取得最大值，即，得（舍去）.故選:B.【點睛】本題考查由目標函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結(jié)合思想,分類討論是解題的關鍵,屬于中檔題.4、C【解析】

先從函數(shù)單調(diào)性判斷的取值范圍，再通過題中所給的是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來確定的取值范圍.【詳解】由的圖象知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，而，故由可知.故，又有，綜上得的取值范圍是.故選：C【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎知識，屬于中檔題.5、D【解析】

根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由繪制出的折線圖知：在A中，各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關，故A正確；在B中，全年中，2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大，故B正確；在C中，全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5個，故C正確；在D中，從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值，先上升后下降，故D錯誤.故選：D.【點睛】本題考查了折線圖，意在考查學生的理解能力.6、D【解析】

先判斷是一個古典概型，列舉出甲、乙、丙三人相約到達的基本事件種數(shù)，再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事件的種數(shù)，利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到達的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種，其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙，共1種，所以甲第一個到、丙第三個到的概率是.故選：D【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.7、A【解析】

根據(jù)平面內(nèi)兩定點，間的距離為2，動點與，的距離之比為，利用直接法求得軌跡，然后利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】如圖所示：設，，，則，化簡得，當點到（軸）距離最大時，的面積最大，∴面積的最大值是.故選：A.【點睛】本題主要考查軌跡的求法和圓的應用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.8、C【解析】

解一元次二次不等式得或，利用集合的交集運算求得.【詳解】因為或，，所以，故選C.【點睛】本題考查集合的交運算，屬于容易題.9、D【解析】

用列舉法，通過循環(huán)過程直接得出與的值，得到時退出循環(huán),即可求得.【詳解】執(zhí)行程序框圖，可得，，滿足條件，，，滿足條件，，，滿足條件，，，由題意，此時應該不滿足條件，退出循環(huán)，輸出S的值為.故選D．【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應用,正確依次寫出每次循環(huán)得到的與的值是解題的關鍵,難度較易.10、B【解析】

因為時針經(jīng)過2小時相當于轉(zhuǎn)了一圈的，且按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負角，綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因為時針旋轉(zhuǎn)一周為12小時，轉(zhuǎn)過的角度為，按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負角，所以經(jīng)過2小時，時針所轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.故選：B【點睛】本題主要考查正負角的定義以及弧度制，屬于基礎題.11、C【解析】

據(jù)題意可知，是與面積有關的幾何概率，要求落在區(qū)域內(nèi)的概率，只要求、所表示區(qū)域的面積，然后代入概率公式，計算即可得答案．【詳解】根據(jù)題意可得集合所表示的區(qū)域即為如圖所表示：的圓及內(nèi)部的平面區(qū)域，面積為，集合，，表示的平面區(qū)域即為圖中的，，根據(jù)幾何概率的計算公式可得，故選：C．【點睛】本題主要考查了幾何概率的計算，本題是與面積有關的幾何概率模型．解決本題的關鍵是要準確求出兩區(qū)域的面積．12、A【解析】，故，故選A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

依題意易得A、B、C、D四點共圓且圓心在x軸上，然后設出圓心，由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標，進一步得到D橫坐標，再由計算比值即可.【詳解】因為，所以A、B、C、D四點共圓，直徑為，又A、C關于x軸對稱，所以圓心E在x軸上，設圓心E為，則圓的方程為，聯(lián)立橢圓方程消y得，解得，故B的橫坐標為，又B、D中點是E，所以D的橫坐標為，故.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓中的四點共圓及三角形面積之比的問題，考查學生基本計算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想，本題關鍵是求出B、D橫坐標，是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.14、1【解析】

根據(jù)均值的定義計算．【詳解】由題意，∴．故答案為：1．【點睛】本題考查均值的概念，屬于基礎題．15、【解析】

依題意畫圖,設,根據(jù)圓的直徑所對的圓周角為直角,可得,通過勾股定理得,再利用兩點間的距離公式即可求出,進而得出點坐標.【詳解】解:依題意畫圖,設以為直徑的圓被直線所截得的弦長為,且,又因為為圓的直徑,則所對的圓周角,則,則為點到直線：的距離.所以,則.又因為點在直線：上,設,則.解得,則.故答案為:【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系,考查了兩點間的距離公式,點到直線的距離公式,是基礎題.16、1【解析】

根據(jù)向量的模長公式以及數(shù)量積公式，得出，解方程即可得出答案.【詳解】，即解得或（舍）故答案為：【點睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積公式以及模長公式的應用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)單調(diào)遞減可知導函數(shù)恒小于等于，采用參變分離的方法分離出，并將的部分構(gòu)造成新函數(shù)，分析與最值之間的關系；（2）通過對的導函數(shù)分析，確定有唯一零點，則就是的極大值點也是最大值點，計算的值并利用進行化簡，從而確定.【詳解】（1）由題意知，在上恒成立，所以在上恒成立.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.（2）當時，.則，令，則，所以在上單調(diào)遞減.由于，，所以存在滿足，即.當時，，；當時，，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，因為，所以，所以，所以.【點睛】（1）求函數(shù)中字母的范圍時，常用的方法有兩種：參變分離法、分類討論法；（2）當導函數(shù)不易求零點時，需要將導函數(shù)中某些部分拿出作單獨分析，以便先確定導函數(shù)的單調(diào)性從而確定導函數(shù)的零點所在區(qū)間，再分析整個函數(shù)的單調(diào)性，最后確定出函數(shù)的最值.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）構(gòu)造直線所在平面，由面面平行推證線面平行；（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量，再由法向量之間的夾角，求得二面角的余弦值.【詳解】（1）過點交于點，連接，如下圖所示：因為平面平面，且交線為,又四邊形為正方形，故可得，故可得平面，又平面，故可得.在三角形中，因為為中點，，故可得//，為中點；又因為四邊形為等腰梯形，是的中點，故可得//；又，且平面，平面,故面面，又因為平面，故面.即證.（2）連接，，作交于點，由（1）可知平面，又因為//，故可得平面，則；又因為//，，故可得即，，兩兩垂直，則分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，設面的法向量為，則，，則，可取，設平面的法向量為，則，，則，可取，可知平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查由面面平行推證線面平行，涉及用向量法求二面角的大小，屬綜合基礎題.19、（1）；（2）見解析【解析】

（1）聯(lián)立直線和拋物線，消去可得，求出，，再代入弦長公式計算即可.（2）由（1）可得，設，計算直線的方程為，代入求出，即可求出，再代入拋物線方程，求出，最后計算直線的斜率，求出直線的方程，化簡可得到恒過的定點.【詳解】（1）由，消去可得，設，，則，.，解得或(舍去)，.（2）證明：由（1）可得，設，所以直線的方程為，當時，，則，代入拋物線方程，可得，，所以直線的斜率，直線的方程為，整理可得，故直線過定點.【點睛】本題第一問考查直線與拋物線相交的弦長問題，需熟記弦長公式.第二問考查直線方程和直線恒過定點問題，需有較強的計算能力，屬于難題.20、(1)見證明；(2)【解析】

(1)取的中點，連接，要證平面平面，轉(zhuǎn)證平面，即證，即可；(2)以為坐標原點，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面與平面的法向量，代入公式，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）取的中點，連接，因為均為邊長為的等邊三角形，所以，，且因為，所以，所以，又因為，平面，平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.（2）因為，為等邊三角形，所以，又因為，所以，，在中，由正弦定理，得：，所以.以為坐標原點，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，設平面的法向量為，則，即，令，則平面的一個法向量為，依題意，平面的一個法向量所以故二面角的余弦值為.【點睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立