高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六幾何第3講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系含答案及解析

第3講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 2【考點(diǎn)一】弦長(zhǎng)問題 2【考點(diǎn)二】面積問題 4【考點(diǎn)三】中點(diǎn)弦問題 5【專題精練】 7考情分析：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考的必考內(nèi)容，涉及直線與圓錐曲線的相交、相切、弦長(zhǎng)、面積以及中點(diǎn)弦等問題，難度中等．真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．二、解答題2．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知和為橢圓上兩點(diǎn).(1)求C的離心率;(2)若過P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求的方程．3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．(1)求；(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】弦長(zhǎng)問題核心梳理：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，則|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2).一、單選題1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）橢圓，其右焦點(diǎn)為，若直線過點(diǎn)與交于，則最小值為（

）A． B．1 C． D．22．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線的同一支交于，兩點(diǎn)，且，則線段的長(zhǎng)度為（

）A． B．9 C． D．6二、多選題3．（2024·山東·二模）已知拋物線焦點(diǎn)為，過點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）的直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別交于兩點(diǎn)，，則（

）A． B．直線過定點(diǎn)C．的最小值為 D．的最小值為4．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測(cè)）已知直線經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，且與在第四象限交于點(diǎn)的左、右焦點(diǎn)分別為，則（

）A．離心率為 B．的周長(zhǎng)為C．以為直徑的圓過點(diǎn) D．三、填空題5．（23-24高三上·北京東城·期末）已知雙曲線：，則雙曲線的漸近線方程是；直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，則.6．（2024·黑龍江·二模）已知拋物線，經(jīng)過焦點(diǎn)斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則的值為.規(guī)律方法：(1)設(shè)直線方程時(shí)，需考慮特殊直線，如直線的斜率不存在、斜率為0等．(2)涉及直線與圓錐曲線相交時(shí)，Δ>0易漏掉．(3)|AB|＝x1＋x2＋p是拋物線過焦點(diǎn)的弦的弦長(zhǎng)公式，其他情況該公式不成立．【考點(diǎn)二】面積問題一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與交于兩點(diǎn)，四邊形的周長(zhǎng)為，若的面積是的面積的2倍（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（

）A． B． C． D．2．（2024·天津·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)到的距離為6，雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)向雙曲線的漸近線作垂線，垂足為，則與雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積的最大值為（

）．A．2 B． C． D．3二、多選題3．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形．已知拋物線，阿基米德三角形，弦過的焦點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 B．的準(zhǔn)線方程為C．若，則的斜率為 D．面積的最小值為164．（2024·廣東·三模）已知橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)分別為?兩個(gè)焦點(diǎn)分別為是上任意一點(diǎn)，則（

）A．的離心率為 B．的周長(zhǎng)為C．面積的最大值為 D．三、填空題5．（2024·湖南常德·三模）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別相交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線的另一交點(diǎn)為，若為等腰三角形，且的面積是的面積的2倍，則雙曲線C的離心率為.6．（2024·江西南昌·二模）如圖，有一張較大的矩形紙片分別為AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，.將矩形按圖示方式折疊，使直線AB（被折起的部分）經(jīng)過P點(diǎn)，記AB上與點(diǎn)重合的點(diǎn)為，折痕為.過點(diǎn)再折一條與BC平行的折痕，并與折痕交于點(diǎn)，按上述方法多次折疊，點(diǎn)的軌跡形成曲線.曲線在點(diǎn)處的切線與AB交于點(diǎn)，則的面積的最小值為.規(guī)律方法：圓錐曲線中求解三角形面積的方法(1)常規(guī)面積公式：S＝eq\f(1,2)×底×高．(2)正弦面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC.(3)鉛錘水平面面積公式：①過x軸上的定點(diǎn)：S＝eq\f(1,2)a|y1－y2|(a為x軸上定長(zhǎng))；②過y軸上的定點(diǎn)：S＝eq\f(1,2)a|x1－x2|(a為y軸上定長(zhǎng))．【考點(diǎn)三】中點(diǎn)弦問題核心梳理：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線E上兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)C(x0，y0)，直線AB的斜率為k.若E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則k＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；若E的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則k＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；若E的方程為y2＝2px(p>0)，則k＝eq\f(p,y0).一、單選題1．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，一組斜率的平行直線與橢圓相交，則這些直線被橢圓截得的段的中點(diǎn)所在的直線方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東肇慶·一模）已知直線：與雙曲線：交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高二下·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列命題正確的是（

）A．雙曲線的離心率B．為定值C．AB的最小值為3D．若直線與雙曲線的漸近線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則4．（23-24高二上·浙江寧波·階段練習(xí)）已知斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．為定值 B．線段的中點(diǎn)在一條定直線上C．為定值 D．為定值（為拋物線的焦點(diǎn)）三、填空題5．（23-24高三上·湖南婁底·期末）已知雙曲線，直線和相互平行，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線和交于點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）.若直線的斜率為3，直線是坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率，則雙曲線的離心率的取值范圍為.6．（2023·北京朝陽·二模）已知圓A：，拋物線C：，則圓心A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為；過圓心A的直線與圓A相交于P，Q兩點(diǎn)，與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，若，則.規(guī)律方法：處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法專題精練專題精練一、單選題1．（2024·四川內(nèi)江·三模）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若為直角三角形，則的面積為（

）A． B．1或 C． D．1或2．（2024·陜西銅川·三模）已知原點(diǎn)為，橢圓與直線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線l的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，過A作x軸的垂線與E的漸近線交于M、N兩點(diǎn)，若則E的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．[3，2]4．（2023·陜西商洛·三模）如圖，已知過原點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，雙曲線的右支上一點(diǎn)滿足，若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．5．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的的弦中最短的弦長(zhǎng)為8，點(diǎn)在上，是線段上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值為（

）A． B． C． D．6．（2024·甘肅蘭州·三模）過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，已知，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．87．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓過點(diǎn)，其右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)．那么以下說法正確的是（

）A．設(shè)是半焦距到的其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離，那么必然有B．到直線的距離不是定值C．和沒有交點(diǎn)D．三角形面積的取值范圍是8．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，則內(nèi)切圓的半徑等于（

）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高三上·廣東肇慶·階段練習(xí)）已知是橢圓：（）位于第一象限上的一點(diǎn)，，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)在的平分線上，的平分線與軸交于點(diǎn)，為原點(diǎn)，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的面積為B．的離心率為C．點(diǎn)到軸的距離為D．10．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線與雙曲線，其中，則下列說法中正確的是（

）A．雙曲線的焦距之比為B．雙曲線的離心率相同，漸近線也相同C．過上的任一點(diǎn)引的切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)為線段的中點(diǎn)D．斜率為的直線與，的右支由上到下依次交于點(diǎn)，則11．（2024·河北唐山·二模）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．以為直徑的圓與相切C．以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn) D．為直角三角形三、填空題12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，平行于軸的直線與交于點(diǎn)，平行于軸的直線與交于點(diǎn)，直線與直線在第一象限交于點(diǎn)，且，，，，若過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的方程為．13．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線：（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，，過左焦點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（在第一象限），是的中點(diǎn)，若是等邊三角形，則直線的斜率為．14．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且.記點(diǎn)的軌跡為曲線，若直線與曲線交于兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則直線的斜率為.四、解答題15．（2020·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的頂點(diǎn)是橢圓的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線的方程；(2)已知?jiǎng)又本€過點(diǎn)，交拋物線于、兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為中點(diǎn)，①求證：；②是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，說明理由.16．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）已知，我們稱雙曲線與橢圓互為“伴隨曲線”，點(diǎn)為雙曲線和橢圓的下頂點(diǎn).(1)若為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，證明：直線，的交點(diǎn)在雙曲線上；(2)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為，雙曲線的一條漸近線方程為，若為雙曲線的上焦點(diǎn)，直線經(jīng)過且與雙曲線上支交于，兩點(diǎn)，記的面積為，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），的面積為.（i）求雙曲線的方程；（ii）證明：.17．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為．過F作兩條互相垂直的直線，，且直線與交于M，N兩點(diǎn)，直線與交于E，P兩點(diǎn)，M，E均在第一象限．設(shè)A，B分別為弦MN，EP的中點(diǎn)，直線ME與直線NP交于點(diǎn)H．(1)求的方程．(2)直線AB是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．(3)證明：點(diǎn)H在直線上．18．（2023·河北保定·三模）設(shè)橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，離心率為，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓上異于的兩動(dòng)點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.直線與軸相交于點(diǎn)，求的面積的最大值.19．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線與直線，分別與拋物線交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D（A，D在x軸同側(cè)）．當(dāng)經(jīng)過T的焦點(diǎn)F且垂直于x軸時(shí)，．

(1)求拋物線T的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)線段AC與BD交于點(diǎn)H，線段AB與CD的中點(diǎn)分別為M，N①求證：M，H，N三點(diǎn)共線；②若，求四邊形ABCD的面積

第3講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 10【考點(diǎn)一】弦長(zhǎng)問題 10【考點(diǎn)二】面積問題 15【考點(diǎn)三】中點(diǎn)弦問題 22【專題精練】 28考情分析：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考的必考內(nèi)容，涉及直線與圓錐曲線的相交、相切、弦長(zhǎng)、面積以及中點(diǎn)弦等問題，難度中等．真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．二、解答題2．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知和為橢圓上兩點(diǎn).(1)求C的離心率;(2)若過P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求的方程．3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．(1)求；(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．參考答案：題號(hào)1答案C1．C【分析】可利用三邊斜率問題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)，由面積公式求出，由勾股定理得出，結(jié)合第一定義再求出.【詳解】如下圖：由題可知，點(diǎn)必落在第四象限，，設(shè)，，由，求得，因?yàn)?，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，則由得，由得，則，由雙曲線第一定義可得：，，所以雙曲線的方程為.故選：C2．(1)(2)直線的方程為或.【分析】（1）代入兩點(diǎn)得到關(guān)于的方程，解出即可；（2）方法一：以為底，求出三角形的高，即點(diǎn)到直線的距離，再利用平行線距離公式得到平移后的直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到點(diǎn)坐標(biāo)，則得到直線的方程；方法二：同法一得到點(diǎn)到直線的距離，再設(shè)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離和點(diǎn)在橢圓上得到方程組，解出即可；法三：同法一得到點(diǎn)到直線的距離，利用橢圓的參數(shù)方程即可求解；法四：首先驗(yàn)證直線斜率不存在的情況，再設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，得到點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可；法五：首先考慮直線斜率不存在的情況，再設(shè)，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式即可得到答案；法六：設(shè)線法與法五一致，利用水平寬乘鉛錘高乘表達(dá)面積即可.【詳解】（1）由題意得，解得，所以.（2）法一：，則直線的方程為，即，，由（1）知，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，此時(shí)該平行線與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)，設(shè)該平行線的方程為：，則，解得或，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，解得或，即或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立得，，此時(shí)該直線與橢圓無交點(diǎn).綜上直線的方程為或.法二：同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，則，解得或，即或，以下同法一.法三：同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，其中，則有，聯(lián)立，解得或，即或，以下同法一；法四：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，，符合題意，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程有，則，其中，即，解得或，，，令，則，則同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，則，解得，此時(shí)，則得到此時(shí)，直線的方程為，即，綜上直線的方程為或.法五：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，到距離，此時(shí)不滿足條件.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)，令，，消可得，，且，即，，到直線距離，或，均滿足題意，或，即或.法六：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，到距離，此時(shí)不滿足條件.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，令，則，聯(lián)立，則有，，其中，且，則，則，解的或，經(jīng)代入判別式驗(yàn)證均滿足題意.則直線為或，即或.3．(1)(2)【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長(zhǎng)即可得出；（2）設(shè)直線：，利用，找到的關(guān)系，以及的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．【詳解】（1）設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因?yàn)?，解得：．?）因?yàn)?，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，因?yàn)?，所以，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當(dāng)時(shí)，的面積．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)向量的數(shù)量積為零找到的關(guān)系，一是為了減元，二是通過相互的制約關(guān)系找到各自的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面積的最小值.4．(1)；(2)．【分析】（1）由點(diǎn)在雙曲線上可求出，易知直線l的斜率存在，設(shè)，，再根據(jù)，即可解出l的斜率；（2）根據(jù)直線的斜率之和為0可知直線的傾斜角互補(bǔ)，根據(jù)即可求出直線的斜率，再分別聯(lián)立直線與雙曲線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程以及的長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)A到直線的距離，即可得出的面積．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線．易知直線l的斜率存在，設(shè)，，聯(lián)立可得，，所以，，且．所以由可得，，即，即，所以，化簡(jiǎn)得，，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，與題意不符，舍去，故．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】常規(guī)轉(zhuǎn)化不妨設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)?，所以，由?）知，，當(dāng)均在雙曲線左支時(shí)，，所以，即，解得（負(fù)值舍去）此時(shí)PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無交點(diǎn)，舍去；當(dāng)均在雙曲線右支時(shí)，因?yàn)?，所以，即，即，解得（?fù)值舍去），于是，直線，直線，聯(lián)立可得，，因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為，所以，，同理可得，，．所以，，點(diǎn)到直線的距離，故的面積為．［方法二］：設(shè)直線AP的傾斜角為，，由，得，由，得，即，聯(lián)立，及得，，同理，，，故，而，，由，得，故【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：由第一問結(jié)論利用傾斜角的關(guān)系可求出直線的斜率，從而聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形面積，思路清晰直接，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；法二：前面解答與法一求解點(diǎn)坐標(biāo)過程形式有所區(qū)別，最終目的一樣，主要區(qū)別在于三角形面積公式的選擇不一樣．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】弦長(zhǎng)問題核心梳理：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，則|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2).一、單選題1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）橢圓，其右焦點(diǎn)為，若直線過點(diǎn)與交于，則最小值為（

）A． B．1 C． D．22．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線的同一支交于，兩點(diǎn)，且，則線段的長(zhǎng)度為（

）A． B．9 C． D．6二、多選題3．（2024·山東·二模）已知拋物線焦點(diǎn)為，過點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）的直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別交于兩點(diǎn)，，則（

）A． B．直線過定點(diǎn)C．的最小值為 D．的最小值為4．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測(cè)）已知直線經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，且與在第四象限交于點(diǎn)的左、右焦點(diǎn)分別為，則（

）A．離心率為 B．的周長(zhǎng)為C．以為直徑的圓過點(diǎn) D．三、填空題5．（23-24高三上·北京東城·期末）已知雙曲線：，則雙曲線的漸近線方程是；直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，則.6．（2024·黑龍江·二模）已知拋物線，經(jīng)過焦點(diǎn)斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則的值為.參考答案：題號(hào)1234答案BCACDBC1．B【分析】由題意當(dāng)為通徑時(shí)，即垂直軸時(shí)，其長(zhǎng)度最小，由此即可得解．【詳解】要使AB最小，即為和焦點(diǎn)在的軸垂直的直線截得的線段長(zhǎng)．右焦點(diǎn)為，直線為，聯(lián)立此直線和橢圓解得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故AB最小值為1．故選：B．2．C【分析】根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)過的直線為，與雙曲線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，計(jì)算可得．【詳解】雙曲線中，，，則，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)過的直線為，聯(lián)立，可得，則設(shè)Ax1,y1，B由，可得，即有，②由①②可得，，所以，解得（負(fù)值已舍去），，所以．故選：C．3．ACD【分析】設(shè)直線與拋物線聯(lián)立可得拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)，由可得，從而求得的值，即可判斷A；設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，從而可確定直線所過的頂點(diǎn)，即可判斷B；根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系求解，結(jié)合基本不等式得求得最值，即可判斷C；根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算可得，結(jié)合基本不等式的最值，即可判斷D.【詳解】設(shè)直線與拋物線聯(lián)立可得：，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解，故A正確；由A可知，，設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立可得，，設(shè)，所以，同理可得，所以,直線，即，所以直線過定點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.4．BC【分析】根據(jù)題設(shè)可求基本量，從而可判斷A的正誤，結(jié)合橢圓的定義可判斷B的正誤，結(jié)合焦點(diǎn)三角形的特征可判斷C的正誤，求出的坐標(biāo)后利用弦長(zhǎng)公式可求判斷D的正誤.【詳解】不妨設(shè)為上頂點(diǎn)，如圖，對(duì)于A，直線經(jīng)過的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，所以，則，所以離心率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由橢圓的定義知可知，的周長(zhǎng)為，B正確；對(duì)于C，由A中分析可得，所以，所以，則以為直徑的圓過點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，由A中分析可知的方程為，由解得或，則，所以，D錯(cuò)誤．故選：BC.5．【分析】由已知可判斷雙曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，可知，，表示漸近線方程即可；由可求的值，從而得到交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到距離.【詳解】由雙曲線：知雙曲線的焦點(diǎn)在軸，且，，即，，所以雙曲線的漸近線方程為；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，所以.故答案為：；.6．【分析】聯(lián)立直線方程和拋物線方程后求出中垂線方程和AB，再求出后可求的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為0,1，故.設(shè)Ax1,y1則由可得，，又，所以，又，所以，故的中垂線的方程為：，令，則，故，所以.故答案為：.規(guī)律方法：(1)設(shè)直線方程時(shí)，需考慮特殊直線，如直線的斜率不存在、斜率為0等．(2)涉及直線與圓錐曲線相交時(shí)，Δ>0易漏掉．(3)|AB|＝x1＋x2＋p是拋物線過焦點(diǎn)的弦的弦長(zhǎng)公式，其他情況該公式不成立．【考點(diǎn)二】面積問題一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與交于兩點(diǎn)，四邊形的周長(zhǎng)為，若的面積是的面積的2倍（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（

）A． B． C． D．2．（2024·天津·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)到的距離為6，雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)向雙曲線的漸近線作垂線，垂足為，則與雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積的最大值為（

）．A．2 B． C． D．3二、多選題3．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形．已知拋物線，阿基米德三角形，弦過的焦點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 B．的準(zhǔn)線方程為C．若，則的斜率為 D．面積的最小值為164．（2024·廣東·三模）已知橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)分別為?兩個(gè)焦點(diǎn)分別為是上任意一點(diǎn)，則（

）A．的離心率為 B．的周長(zhǎng)為C．面積的最大值為 D．三、填空題5．（2024·湖南常德·三模）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別相交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線的另一交點(diǎn)為，若為等腰三角形，且的面積是的面積的2倍，則雙曲線C的離心率為.6．（2024·江西南昌·二模）如圖，有一張較大的矩形紙片分別為AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，.將矩形按圖示方式折疊，使直線AB（被折起的部分）經(jīng)過P點(diǎn)，記AB上與點(diǎn)重合的點(diǎn)為，折痕為.過點(diǎn)再折一條與BC平行的折痕，并與折痕交于點(diǎn)，按上述方法多次折疊，點(diǎn)的軌跡形成曲線.曲線在點(diǎn)處的切線與AB交于點(diǎn)，則的面積的最小值為.參考答案：題號(hào)1234答案CAADABD1．C【分析】先根據(jù)四邊形的周長(zhǎng)結(jié)合橢圓的定義求出，聯(lián)立方程，根據(jù)直線與橢圓相交求出的范圍，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式分別求出點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離，再根據(jù)即可得解.【詳解】因?yàn)樗倪呅蔚闹荛L(zhǎng)為，所以，所以，聯(lián)立消去整理得，，解得，又，所以，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，易知，，則，，所以，解得或（舍）.故選：C．2．A【分析】利用拋物線的定義及焦半徑公式先求，再由雙曲線的性質(zhì)，基本不等式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)，易知，，即，而雙曲線的一條漸近線為，易知，所以，由雙曲線的性質(zhì)可知，由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào).故選：A3．AD【分析】設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，直線，聯(lián)立方程組，求得，，求得，兩點(diǎn)處的切線方程，可求得點(diǎn)判斷A；求得準(zhǔn)線方程判斷B；由，可求得，進(jìn)而可求得，判斷C；，，進(jìn)而可得，可求的最小值，判斷D.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)Ax1,y1聯(lián)立，消去，得，，所以，，由，得，則點(diǎn)處的切線：①，同理點(diǎn)處的切線：②，聯(lián)立①②，得，，所以，點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，準(zhǔn)線方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，，得，所以，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，點(diǎn)到直線的距離為：，所以，當(dāng)時(shí)，的面積有最小值16.故D正確.故選：AD.4．ABD【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，求出其長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)及半焦距，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷得解.【詳解】橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，對(duì)于A，的離心率為，A正確；對(duì)于B，的周長(zhǎng)為，B正確；對(duì)于C，，設(shè)，，則面積的最大值為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，因此，D正確.故選：ABD

5．或【分析】由雙曲線的定義和等腰三角形的定義，結(jié)合三角形的余弦定理和離心率公式，計(jì)算可得所求值．【詳解】設(shè)，，由雙曲線的定義可得，，由的面積是的面積的2倍，可得，又為等腰三角形，可得，或，當(dāng)，即，可得，，，，在中，，在中，，化為，即；當(dāng)，即，可得，，，，在中，，在中，，化為，即．故答案為：或．6．/【分析】先根據(jù)題意得出Q的軌跡是以P為焦點(diǎn)、直線AB為準(zhǔn)線的拋物線，進(jìn)而得出曲線E的方程，然后建立坐標(biāo)系求出點(diǎn)Q處的切線方程進(jìn)而求出點(diǎn)N，從而求出，再利用導(dǎo)數(shù)工具研究其最值問題即可求解.【詳解】連接PQ，由題PQ與MQ關(guān)于對(duì)稱，，所以Q在以P為焦點(diǎn)、直線AB為準(zhǔn)線的拋物線上，如圖，以PO中點(diǎn)G為原點(diǎn)，過G與AB平行的直線為軸，與AB垂直的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，直線AB：，所以拋物線方程為：，即，則，由上可設(shè)，則拋物線在Q點(diǎn)處切線斜率為，所以拋物線在Q點(diǎn)處切線方程為，則令，，所以由題意，且，所以，故對(duì)恒成立，所以時(shí)單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，；時(shí)，，所以時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減，所以，則，所以的面積的最小值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：將求面積轉(zhuǎn)化成求面積是解決面積最值的關(guān)鍵.規(guī)律方法：圓錐曲線中求解三角形面積的方法(1)常規(guī)面積公式：S＝eq\f(1,2)×底×高．(2)正弦面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC.(3)鉛錘水平面面積公式：①過x軸上的定點(diǎn)：S＝eq\f(1,2)a|y1－y2|(a為x軸上定長(zhǎng))；②過y軸上的定點(diǎn)：S＝eq\f(1,2)a|x1－x2|(a為y軸上定長(zhǎng))．【考點(diǎn)三】中點(diǎn)弦問題核心梳理：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線E上兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)C(x0，y0)，直線AB的斜率為k.若E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則k＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；若E的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則k＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；若E的方程為y2＝2px(p>0)，則k＝eq\f(p,y0).一、單選題1．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，一組斜率的平行直線與橢圓相交，則這些直線被橢圓截得的段的中點(diǎn)所在的直線方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東肇慶·一模）已知直線：與雙曲線：交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高二下·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列命題正確的是（

）A．雙曲線的離心率B．為定值C．AB的最小值為3D．若直線與雙曲線的漸近線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則4．（23-24高二上·浙江寧波·階段練習(xí)）已知斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．為定值 B．線段的中點(diǎn)在一條定直線上C．為定值 D．為定值（為拋物線的焦點(diǎn)）三、填空題5．（23-24高三上·湖南婁底·期末）已知雙曲線，直線和相互平行，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線和交于點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）.若直線的斜率為3，直線是坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率，則雙曲線的離心率的取值范圍為.6．（2023·北京朝陽·二模）已知圓A：，拋物線C：，則圓心A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為；過圓心A的直線與圓A相交于P，Q兩點(diǎn)，與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，若，則.參考答案：題號(hào)1234答案CBABDBC1．C【分析】根據(jù)題意，設(shè)斜率的平行直線與橢圓相交于，且中點(diǎn)為，結(jié)合“點(diǎn)差法”，即可求解.【詳解】設(shè)斜率的平行直線與橢圓相交于，且中點(diǎn)為，可得.由，兩式相減得，整理得，可得，即這些直線被橢圓截得的段的中點(diǎn)所在的直線方程為.故選：C.2．B【分析】根據(jù)點(diǎn)差法得到，然后結(jié)合的坐標(biāo)和直線的斜率得到，即可得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：設(shè)Ax1,y1，B兩式相減可得，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，且直線：，可得，，，即有，即，雙曲線的漸近線方程為．經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).故選：B．3．ABD【分析】利用點(diǎn)到直線的距離求出，可求出離心率，判斷A，利用點(diǎn)到線距離結(jié)合在雙曲線上證明為定值判斷B，聯(lián)立方程組解出交點(diǎn)坐標(biāo)求出的距離的最小值判斷C，對(duì)D選項(xiàng)，設(shè)、，則，由，兩式相加和兩式相減化簡(jiǎn)可得，，從而得到，可判斷D.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，圓與漸近線相切，則，即，所以，則，故A正確；由A選項(xiàng)可得雙曲線的兩條漸近線方程為，設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則，所以點(diǎn)到兩漸近線的距離，，所以為定值，故B正確；過與漸近線垂直的方程分別與漸近線組成方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，，解得交點(diǎn)，同理得，因?yàn)闉殡p曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，所以，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)，設(shè)、，則，又、在雙曲線的兩條漸近線上，則，兩式相減可得，即，兩式相加可得，即，又，，所以，故D正確.故選：ABD4．BC【分析】分析可知，，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可判斷A選項(xiàng)；求出線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可判斷B選項(xiàng)；利用斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理可判斷C選項(xiàng)；利用拋物線的焦半徑公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】若，則直線與拋物線y2=2pxp>0不合乎題意，則，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，對(duì)于A選項(xiàng)，不一定是定值，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為Px0,y為定值，故線段的中點(diǎn)在定直線上，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，為定值，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，不一定為定值，D錯(cuò).故選：BC.5．【分析】首先，故，其次由題意由點(diǎn)差法得①，同理②，由三點(diǎn)共線，所以，代入得，結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】由題意，，故，設(shè)的中點(diǎn)的中點(diǎn)，則，兩式相減，得，化簡(jiǎn)得，所以，所以①，同理②，因?yàn)椋匀c(diǎn)共線，所以，將①②代入得，即，因?yàn)椋?，所以，所以雙曲線的離心率為.所以雙曲線的離心率的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵是用點(diǎn)差法來得到①，同理②，結(jié)合三點(diǎn)共線以及離心率公式即可順利得解.6．【分析】由題設(shè)有且半徑，拋物線準(zhǔn)線為，即可得A到拋物線C準(zhǔn)線的距離，根據(jù)對(duì)稱性令和在兩側(cè)，易知為中點(diǎn)，設(shè)直線聯(lián)立拋物線，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求.【詳解】由題設(shè)且半徑，拋物線準(zhǔn)線為，則A到拋物線C準(zhǔn)線的距離為，又，故A在拋物線內(nèi)部，若拋物線上任意點(diǎn)，則其到A的距離，所以圓A在拋物線內(nèi)部，如上圖示：由對(duì)稱性，不妨令和在兩側(cè)，由易知：為中點(diǎn)，若直線為，聯(lián)立拋物線得，所以，則，，而，即，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，故，所以.故答案為：4，規(guī)律方法：處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法專題精練專題精練一、單選題1．（2024·四川內(nèi)江·三模）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若為直角三角形，則的面積為（

）A． B．1或 C． D．1或2．（2024·陜西銅川·三模）已知原點(diǎn)為，橢圓與直線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線l的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，過A作x軸的垂線與E的漸近線交于M、N兩點(diǎn)，若則E的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．[3，2]4．（2023·陜西商洛·三模）如圖，已知過原點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，雙曲線的右支上一點(diǎn)滿足，若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．5．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的的弦中最短的弦長(zhǎng)為8，點(diǎn)在上，是線段上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值為（

）A． B． C． D．6．（2024·甘肅蘭州·三模）過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，已知，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．87．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓過點(diǎn)，其右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)．那么以下說法正確的是（

）A．設(shè)是半焦距到的其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離，那么必然有B．到直線的距離不是定值C．和沒有交點(diǎn)D．三角形面積的取值范圍是8．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，則內(nèi)切圓的半徑等于（

）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高三上·廣東肇慶·階段練習(xí)）已知是橢圓：（）位于第一象限上的一點(diǎn)，，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)在的平分線上，的平分線與軸交于點(diǎn)，為原點(diǎn)，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的面積為B．的離心率為C．點(diǎn)到軸的距離為D．10．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線與雙曲線，其中，則下列說法中正確的是（

）A．雙曲線的焦距之比為B．雙曲線的離心率相同，漸近線也相同C．過上的任一點(diǎn)引的切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)為線段的中點(diǎn)D．斜率為的直線與，的右支由上到下依次交于點(diǎn)，則11．（2024·河北唐山·二模）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．以為直徑的圓與相切C．以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn) D．為直角三角形三、填空題12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，平行于軸的直線與交于點(diǎn)，平行于軸的直線與交于點(diǎn)，直線與直線在第一象限交于點(diǎn)，且，，，，若過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的方程為．13．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線：（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，，過左焦點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（在第一象限），是的中點(diǎn)，若是等邊三角形，則直線的斜率為．14．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且.記點(diǎn)的軌跡為曲線，若直線與曲線交于兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則直線的斜率為.四、解答題15．（2020·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的頂點(diǎn)是橢圓的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線的方程；(2)已知?jiǎng)又本€過點(diǎn)，交拋物線于、兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為中點(diǎn)，①求證：；②是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，說明理由.16．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）已知，我們稱雙曲線與橢圓互為“伴隨曲線”，點(diǎn)為雙曲線和橢圓的下頂點(diǎn).(1)若為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，證明：直線，的交點(diǎn)在雙曲線上；(2)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為，雙曲線的一條漸近線方程為，若為雙曲線的上焦點(diǎn)，直線經(jīng)過且與雙曲線上支交于，兩點(diǎn)，記的面積為，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），的面積為.（i）求雙曲線的方程；（ii）證明：.17．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為．過F作兩條互相垂直的直線，，且直線與交于M，N兩點(diǎn)，直線與交于E，P兩點(diǎn)，M，E均在第一象限．設(shè)A，B分別為弦MN，EP的中點(diǎn)，直線ME與直線NP交于點(diǎn)H．(1)求的方程．(2)直線AB是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．(3)證明：點(diǎn)H在直線上．18．（2023·河北保定·三模）設(shè)橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，離心率為，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓上異于的兩動(dòng)點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.直線與軸相交于點(diǎn)，求的面積的最大值.19．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線與直線，分別與拋物線交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D（A，D在x軸同側(cè)）．當(dāng)經(jīng)過T的焦點(diǎn)F且垂直于x軸時(shí)，．

(1)求拋物線T的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)線段AC與BD交于點(diǎn)H，線段AB與CD的中點(diǎn)分別為M，N①求證：M，H，N三點(diǎn)共線；②若，求四邊形ABCD的面積．參考答案：題號(hào)12345678910答案DBACBBCCACDBCD題號(hào)11答案AC1．D【分析】分以及兩種情況分別進(jìn)行求解即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，若（?dāng)時(shí)，面積一樣），則，，所以；若，設(shè)，則，所以，故，符合題意；綜上：的面積為1或.故選：D2．B【分析】設(shè)，則，由點(diǎn)差法求解離心率即可.【詳解】設(shè)，則，則，兩式相減可得，，即，即，，故.故選：B3．A【分析】首先求出，再結(jié)合題干中的條件可知，通過解不等式可得的取值范圍，結(jié)合雙曲線的離心率公式可得答案.【詳解】由題意得，漸近線,將代入得坐標(biāo)為,所以,因?yàn)檩S，所以,由已知可得,兩邊同時(shí)除以得,所以，即，解得,所以，而雙曲線的離心率，故選：A.4．C【分析】取的中點(diǎn)，連接，利用兩角和的正切公式求出，即直線的斜率為，再設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，從而求出離心率.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，所以直線的斜率為，設(shè)，，則，由，得到，所以，所以，則.故選：C5．B【分析】由題意得，得的方程為，設(shè)，由得，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，易知為銳角，當(dāng)取最大值時(shí)，直線的斜率也最大，運(yùn)用斜率公式結(jié)合基本不等式可得，即當(dāng)取最大值時(shí)，由同角基本關(guān)系求出即可.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)的的弦中最短的弦長(zhǎng)為8，所以，即的方程為．設(shè)，由是線段上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，得，所以，故，即，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，易知為銳角，當(dāng)取最大值時(shí)，直線的斜率也最大，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，，，即的最大值為．故選：B．6．B【分析】設(shè)直線的方程為，利用設(shè)而不求法求弦長(zhǎng)AB的表達(dá)式，再求線段的垂直平分線，由條件列方程求可得結(jié)論.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知：直線的斜率不為，但可以不存在，且直線與拋物線必相交，可設(shè)直線的方程為，Ax1,聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，即，設(shè)的中點(diǎn)為Px0,y0，則可知線段的垂直平分線方程為，因?yàn)樵诰€段的垂直平分線上，則，可得，聯(lián)立方程，解得，故選：B.7．C【分析】將點(diǎn)代入橢圓方程中，得到，運(yùn)用特殊值法、點(diǎn)到直線距離公式、配方法、基本不等式逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，不妨設(shè)，，那么，，A注意到當(dāng)?shù)臅r(shí)候，但是，從而A錯(cuò)誤B直線是，計(jì)算，B錯(cuò)誤．C，從而有，同理．顯然曲線在直線所圍成的矩形內(nèi)，橢圓在直線所圍成的矩形內(nèi)，由，顯然橢圓和沒有交點(diǎn)．C正確·D因?yàn)?，所以，從而，D錯(cuò)誤故選：C8．C【分析】求出漸近線方程，與直線聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的三邊長(zhǎng)，及點(diǎn)到直線的距離，利用等面積法即可求解內(nèi)切圓的半徑.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，

聯(lián)立方程，解得同理聯(lián)立，解得，不妨設(shè)，則，點(diǎn)到直線的距離，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則有，即，解得.故選：C9．ACD【分析】根據(jù)中位線及橢圓的定義，利用等邊三角可求出PF1，，再由余弦定理可得關(guān)系，即可判斷B，再由三角形面積公式判斷A，利用等面積法判斷C，由角平分線定理求出即可判斷D.【詳解】如圖，設(shè)，，延長(zhǎng)交于點(diǎn).

由題意知，為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，又，所以是等邊三角形，則化簡(jiǎn)得即在中，由余弦定理得，所以，即.因?yàn)?，所以，，所以，，故B錯(cuò)誤.的面積為，故A正確.設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，所以，則，故C正確.因?yàn)槭堑钠椒志€，所以，所以，則，故D正確.故選：ACD10．BCD【分析】由題意、，根據(jù)雙曲線的幾何意義即可判斷AB；設(shè)切線方程為，分別聯(lián)立、，利用韋達(dá)定理計(jì)算即可，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷C；由選項(xiàng)C的分析，結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可判斷D.【詳解】A：的焦距為，的焦距為，所以兩雙曲線的焦距之比為，故A錯(cuò)誤；B：的漸近線方程為，離心率為，的漸近線方程為，離心率為，所以兩雙曲線的漸近線方程相等，離心率也相等，故B正確；C：設(shè)切線方程為，聯(lián)立，，得，又直線與相切，所以；聯(lián)立，，得，所以，所以，即為的中點(diǎn)，故C正確；D：由選項(xiàng)C的分析知，，所以，得，又，所以，故D正確.故選：BCD11．AC【分析】設(shè)過點(diǎn)的直線為，聯(lián)立直線和拋物線的方程求出可判斷A；以為直徑的圓的圓心為和半徑，再求出圓心到準(zhǔn)線的距離為，即可判斷B；求出圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，可判斷C；取特列可判斷D.【詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線為，對(duì)于A，聯(lián)立，得，，，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，的中點(diǎn)為，所以以為直徑的圓的圓心為，又，設(shè)圓的半徑為，則，所以，又圓心到準(zhǔn)線的距離為，而，因?yàn)?，所以，所以以為直徑的圓與相離，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，，所以，所以，所以以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)槁?lián)立，得，若，則上述方程為，解得：或，取，則，則，取，則，則，又拋物線過焦點(diǎn)F1,0，所以，，，所以不為直角三角形，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．【分析】設(shè)，根據(jù)已知條件求出，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出、，由此即可確定橢圓的方程，方法一：利用點(diǎn)差法求出直線斜率，即可求出的方程；方法二：點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立得，利用韋達(dá)定理表示出，結(jié)合即可求出進(jìn)而求出的方程.【詳解】設(shè)，由，，，，得，，所以，所以，，代入的方程得，解得，故的方程為．解法一

易知的斜率存在且不為0，設(shè)Ax1則，，兩式相減得，由點(diǎn)為的中點(diǎn)得，，則的斜率為，所以的方程為，即．解法二

易知的斜率存在且不為，設(shè)的方程為，代入的方程并整理得，需滿足，設(shè)Ax1,y1,Bx解得，所以的方程為，即．故答案為：13．【詳解】

設(shè)雙曲線的半焦距為，，根據(jù)題意得．又，∴．在中，由余弦定理得，，即，解得，則．設(shè)，，則，，兩式相減可得，所以．設(shè)，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，，又，所以．故答案為：.14．/0.5【分析】設(shè)直線，則，結(jié)合已知用表示出的坐標(biāo)，消去參數(shù)即可得曲線的方程，由點(diǎn)差法即可得解.【詳解】顯然斜率均存在，設(shè)直線，則，聯(lián)立，得，同理，設(shè)，則，化簡(jiǎn)可得，曲線.設(shè)，則，兩式相減可得，，則.故答案為：.15．(1)(2)①證明見解析；②存在，【分析】（1）由題意，設(shè)拋物線方程由，得由此能求出拋物線的方程；（2）①設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，由于為中點(diǎn)，則,故當(dāng)軸時(shí)由拋物線的對(duì)稱性知，當(dāng)不垂直軸時(shí)，設(shè)，由，得，由此能夠證明.②設(shè)存在直線滿足題意，則圓心，過作直線的垂線，垂足為，故，由此能夠推出存在直線：滿足題意．【詳解】（1）由題意，可設(shè)拋物線方程為．由，可得，拋物線的焦點(diǎn)為1,0，，拋物線的方程為；（2）①設(shè)Ax1,由于為中點(diǎn)且，則，故當(dāng)軸時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性知，一定有，當(dāng)不垂直軸時(shí)，顯然直線的斜率不為，設(shè)，由，得，，則，則，，所以，則，綜上證知，；②設(shè)存在直線滿足題意，設(shè)圓心，過作直線的垂線，垂