高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題五概率與統(tǒng)計(jì)第3講統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的分析含答案及解析

第3講統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的分析（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 5【考點(diǎn)一】統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)字特征 5【考點(diǎn)二】回歸分析 8【考點(diǎn)三】獨(dú)立性檢驗(yàn) 12【專題精練】 14考情分析：高考對(duì)本講內(nèi)容的考查往往以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解與運(yùn)用、獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，常與概率綜合考查，中等難度．真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·全國(guó)·高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表畝產(chǎn)量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間2．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種3．（2022·全國(guó)·高考真題）某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：則（

）A．講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于B．講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于C．講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差二、解答題4．（2022·全國(guó)·高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計(jì)值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.8285．（2022·全國(guó)·高考真題）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)ｉ12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得．(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為．已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)．6．（2023·全國(guó)·高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?5.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)字特征核心梳理：1．頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標(biāo)之差表示組距，縱坐標(biāo)表示eq\f(頻率,組距)，頻率＝組距×eq\f(頻率,組距).2．在頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1.3．利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即眾數(shù)．(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和相等．(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．一、單選題1．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在一次射擊訓(xùn)練中各射靶20次，命中環(huán)數(shù)的頻率分布條形圖如下．設(shè)甲、乙命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)分別為，，方差分別為，，則（

）A．， B．，C．， D．，2．（2024·遼寧·一模）下圖是2022年5月一2023年5月共13個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車月度銷量及增長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)圖（單位：萬(wàn)輛），則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）（注：同比：和上一年同期相比）

A．2023年前5個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車的銷量超過(guò)214萬(wàn)輛B．這13個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車月度銷量的中位數(shù)為61.5萬(wàn)輛C．這13個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車月度銷量的眾數(shù)為52.2萬(wàn)輛D．和上一年同期相比，我國(guó)純電動(dòng)汽車月度銷量有增有減二、多選題3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）某地教師招聘考試，有3200人參加筆試，滿分為100分，筆試成績(jī)前20%（含20%）的考生有資格參加面試，所有考生的筆試成績(jī)和年齡分別如頻率分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖所示，則（

）A．90后考生比00后考生多150人 B．筆試成績(jī)的60%分位數(shù)為80C．參加面試的考生的成績(jī)最低為86分 D．筆試成績(jī)的平均分為76分4．（2024·廣東汕頭·一模）某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級(jí)中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績(jī)分布情況，計(jì)算得到這名學(xué)生中，成績(jī)位于80,90內(nèi)的學(xué)生成績(jī)方差為，成績(jī)位于內(nèi)的同學(xué)成績(jī)方差為.則（

）參考公式：樣本劃分為層，各層的容量?平均數(shù)和方差分別為：、、；、、.記樣本平均數(shù)為，樣本方差為，.A．B．估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為C．估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)诜旨耙陨系膶W(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為D．估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)诜旨耙陨系膶W(xué)生成績(jī)的方差為三、填空題5．（2024·甘肅白銀·三模）一組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為．6．（2024·山東濟(jì)寧·一模）2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)的得0分；③部分選對(duì)得部分分（若某小題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分；若某小題正確選項(xiàng)為三個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分）．已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小明同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機(jī)地選了兩個(gè)選項(xiàng)，第三小題隨機(jī)地選了一個(gè)選項(xiàng)，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為．7．（23-24高二上·湖北武漢·開(kāi)學(xué)考試）有一組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：3，5，，8，9，10，若其極差與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.8．（2023·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）某市統(tǒng)計(jì)高中生身體素質(zhì)的狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值不小于60就認(rèn)為身體素質(zhì)合格．現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值，經(jīng)計(jì)算，．若該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值服從正態(tài)分布，則估計(jì)該市高中生身體素質(zhì)的合格率為．（用百分?jǐn)?shù)作答，精確到0.1%）參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．規(guī)律方法：(1)對(duì)于給出的統(tǒng)計(jì)圖表，一定要結(jié)合問(wèn)題背景理解圖表意義．(2)頻率分布直方圖中縱坐標(biāo)不要誤以為是頻率．【考點(diǎn)二】回歸分析核心梳理：求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟(1)依據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系(有時(shí)可省略)．(2)計(jì)算出eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)).(3)寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程．一、單選題1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）某老師為了了解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)得分y（單位：分）與每天數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間x（單位：分鐘）是否存在線性關(guān)系，搜集了100組數(shù)據(jù)，并據(jù)此求得y關(guān)于x的線性回歸方程為.若一位同學(xué)每天數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間約80分鐘，則可估計(jì)這位同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椋?/p>

）A．106 B．122 C．136 D．1402．（2023·四川南充·一模）某商品的地區(qū)經(jīng)銷商對(duì)2023年1月到5月該商品的銷售情況進(jìn)行了調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)表．發(fā)現(xiàn)銷售量y（萬(wàn)件）與時(shí)間x（月）成線性相關(guān)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求得y與x的回歸直線方程為：．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）時(shí)間x（月）12345銷售量y（萬(wàn)件）11.62.0a3A．由回歸方程可知2024年1月份該地區(qū)的銷售量為6.8萬(wàn)件B．表中數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為C．D．由表中數(shù)據(jù)可知，y和x成正相關(guān)二、多選題3．（21-22高三上·重慶黔江·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變B．回歸直線恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心，且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)C．用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫回歸效果時(shí)，越接近1，說(shuō)明模型的擬合效果越好D．在列聯(lián)表中，的值越大，說(shuō)明兩個(gè)分類變量之間的關(guān)系越弱4．（2024·浙江·一模）為調(diào)研加工零件效率，調(diào)研員通過(guò)試驗(yàn)獲得加工零件個(gè)數(shù)與所用時(shí)間（單位：）的5組數(shù)據(jù)為：，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：，則（

）A．B．回歸直線必過(guò)點(diǎn)C．加工60個(gè)零件的時(shí)間大約為D．若去掉，剩下4組數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程會(huì)有變化三、填空題5．（23-24高二上·四川綿陽(yáng)·期末）某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù):單價(jià)(元)銷量(件)由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程，若在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，則它在回歸直線右上方的概率為6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某市一水果店為了了解柑橘的月銷售量（單位：千克）與月平均氣溫（單位：）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4個(gè)月的柑橘的月銷售量與當(dāng)月的平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x/181282月銷售量千克26456277由表中數(shù)據(jù)得到關(guān)于的線性回歸方程為，氣象部門預(yù)測(cè)2024年4月該市的平均氣溫為，據(jù)此估計(jì)該水果店2024年4月柑橘的銷售量為千克．四、解答題7．（2024·河南鄭州·三模）按照《中華人民共和國(guó)環(huán)境保護(hù)法》的規(guī)定，每年生態(tài)環(huán)境部都會(huì)會(huì)同國(guó)家發(fā)展改革委等部門共同編制《中國(guó)生態(tài)環(huán)境狀況公報(bào)》，并向社會(huì)公開(kāi)發(fā)布．下表是2017-2021年五年《中國(guó)生態(tài)環(huán)境狀況公報(bào)》中酸雨區(qū)面積約占國(guó)土面積的百分比：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代碼123456.45.55.04.83.8(1)求2017—2021年年份代碼與的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；(2)請(qǐng)用樣本相關(guān)系數(shù)說(shuō)明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用一元線性回歸模型進(jìn)行描述，并求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(3)預(yù)測(cè)2024年的酸雨區(qū)面積占國(guó)土面積的百分比．（回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：附：樣本相關(guān)系數(shù)，．8．（23-24高三上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）為了加快實(shí)現(xiàn)我國(guó)高水平科技自立自強(qiáng)，某科技公司逐年加大高科技研發(fā)投入.下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發(fā)投入y（單位：億元）的散點(diǎn)圖，其中年份代碼1～10分別對(duì)應(yīng)年份2013～2022.

根據(jù)散點(diǎn)圖，分別用模型①，②作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型，并進(jìn)行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下表所示的一些統(tǒng)計(jì)量的值：752.2582.54.512028.35表中，.(1)根據(jù)殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個(gè)更適宜作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型?并說(shuō)明理由；(2)（i）根據(jù)（1）中所選模型，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（ii）設(shè)該科技公司的年利潤(rùn)（單位：億元）和年研發(fā)投入y（單位：億元）滿足（且），問(wèn)該科技公司哪一年的年利潤(rùn)最大?附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)x1,y1，x2,y2，…，規(guī)律方法：(1)樣本點(diǎn)不一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，但點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上．(2)求eq\o(b,\s\up6(^))時(shí)，靈活選擇公式，注意公式的推導(dǎo)和記憶．(3)利用樣本相關(guān)系數(shù)判斷相關(guān)性強(qiáng)弱時(shí)，看|r|的大小，而不是r的大?。?4)區(qū)分樣本相關(guān)系數(shù)r與決定系數(shù)R2.(5)通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程求的都是估計(jì)值，而不是真實(shí)值．【考點(diǎn)三】獨(dú)立性檢驗(yàn)核心梳理：獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，計(jì)算χ2的值．(3)查表比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷．χ2越大，對(duì)應(yīng)假設(shè)事件H0成立(兩類變量相互獨(dú)立)的概率越小，H0不成立的概率越大．一、解答題1．（2024·安徽合肥·二模）樹(shù)人中學(xué)高三（1）班某次數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（滿分150分）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：性別參加考試人數(shù)平均成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差男3010016女209019在按比例分配分層隨機(jī)抽樣中，已知總體劃分為2層，把第一層樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把第二層樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為．(1)證明：；(2)求該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（精確到1）；(3)假設(shè)全年級(jí)學(xué)生的考試成績(jī)服從正態(tài)分布，以該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為和的估計(jì)值．如果按照的比例將考試成績(jī)從高分到低分依次劃分為四個(gè)等級(jí)，試確定各等級(jí)的分?jǐn)?shù)線（精確到1）．附：．2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）土壤食物網(wǎng)對(duì)有機(jī)質(zhì)的分解有兩條途徑，即真菌途徑和細(xì)菌途徑．在不同的土壤生態(tài)系統(tǒng)中，由于提供能源的有機(jī)物其分解的難易程度不同，這兩條途徑所起的作用也不同．以細(xì)菌分解途徑為主導(dǎo)的土壤，有機(jī)質(zhì)降解快，氮礦化率高，有利于養(yǎng)分供應(yīng)，以真菌途徑為主的土壤，氮和能量轉(zhuǎn)化比較緩慢，有利于有機(jī)質(zhì)存貯和氮的固持．某生物實(shí)驗(yàn)小組從一種土壤數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽查并統(tǒng)計(jì)了8組數(shù)據(jù)，如下表所示：編號(hào)12345678細(xì)菌百萬(wàn)個(gè)708090100110120130140真菌百萬(wàn)個(gè)8.010.012.515.017.521.027.039.0其散點(diǎn)圖如下，散點(diǎn)大致分布在指數(shù)型函數(shù)的圖象附近．(1)求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；(2)在做土壤相關(guān)的生態(tài)環(huán)境研究時(shí)，細(xì)菌與真菌的比值能夠反映土壤的碳氮循環(huán)．以樣本的頻率估計(jì)總體分布的概率，若該實(shí)驗(yàn)小組隨機(jī)抽查8組數(shù)據(jù)，再?gòu)闹腥芜x4組，記真菌（單位：百萬(wàn)個(gè)）與細(xì)菌（單位：百萬(wàn)個(gè)）的數(shù)值之比位于區(qū)間內(nèi)的組數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，3．（2024·江蘇南京·二模）某地5家超市春節(jié)期間的廣告支出x（萬(wàn)元）與銷售額y（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下：超市ABCDE廣告支出x24568銷售額y3040606070(1)從A，B，C，D，E這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬(wàn)元的超市個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及期望；(2)利用最小二乘法求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)廣告支出為10萬(wàn)元時(shí)的銷售額．附：線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．4．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）入冬以來(lái)，東北成為全國(guó)旅游和網(wǎng)絡(luò)話題的“頂流”．南方的小土豆們紛紛北上體驗(yàn)東北最美的冬天，這個(gè)冬天火的不只是東北的美食、東北人的熱情，還有東北的洗浴中心，擁擠程度堪比春運(yùn)，南方游客直接拉著行李箱進(jìn)入．東北某城市洗浴中心花式寵“且”，為給顧客更好的體驗(yàn)，推出了和兩個(gè)套餐服務(wù)，顧客可自由選擇和兩個(gè)套餐之一，并在App平臺(tái)上推出了優(yōu)惠券活動(dòng)，下表是該洗浴中心在App平臺(tái)10天銷售優(yōu)惠券情況．日期12345678910銷售量（千張）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4經(jīng)計(jì)算可得：，，．(1)因?yàn)閮?yōu)惠券購(gòu)買火爆，App平臺(tái)在第10天時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)異常，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購(gòu)買優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（結(jié)果中的數(shù)值用分?jǐn)?shù)表示）；(2)若購(gòu)買優(yōu)惠券的顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，并且套餐可以用一張優(yōu)惠券，套餐可以用兩張優(yōu)惠券，記App平臺(tái)累計(jì)銷售優(yōu)惠券為張的概率為，求；(3)記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列．①求的最值；②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列，若對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，（是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)），則稱數(shù)列收斂于．根據(jù)數(shù)列收斂的定義證明數(shù)列收斂．參考公式：，．規(guī)律方法：(1)χ2越大兩分類變量無(wú)關(guān)的可能性越小，推斷犯錯(cuò)誤的概率越小，通過(guò)表格查得無(wú)關(guān)的可能性．(2)在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)，并不是指兩個(gè)變量無(wú)關(guān)的可能性為0.01.專題精練專題精練一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了中國(guó)2018—2022年全部工業(yè)增加值（單位：萬(wàn)億元）及增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．2018—2022年中國(guó)的全部工業(yè)增加值逐年增加B．2018—2022年中國(guó)全部工業(yè)增加值的增長(zhǎng)率的極差為C．與上一年相比，2022年中國(guó)增加的全部工業(yè)增加值是2019年增加的全部工業(yè)增加值的2倍D．2018年中國(guó)全部工業(yè)增加值的增長(zhǎng)率比2018—2022年中國(guó)全部工業(yè)增加值的增長(zhǎng)率的最小值高2．（2024·四川遂寧·三模）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)某地快遞行業(yè)從業(yè)者進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖（圖1）、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖（圖2），則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占一半以上B．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的20%C．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運(yùn)營(yíng)崗位的“90后”的人數(shù)比“80前”的多D．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)比“80后”的多3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）某校為了解在校學(xué)生對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)文化的傳承認(rèn)知情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行中國(guó)傳統(tǒng)文化知識(shí)考試，并將這100名學(xué)生成績(jī)整理得到如下頻率分布直方圖．根據(jù)此頻率分布直方圖（分成40,50，50,60，60,70，，80,90，90,100六組），下列結(jié)論中不正確的是（

）A．圖中的B．若從成績(jī)?cè)冢?0,90，90,100內(nèi)的學(xué)生中采用分層抽樣抽取10名學(xué)生，則成績(jī)?cè)?0,90內(nèi)的有3人C．這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為65D．若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則這100名學(xué)生的平均成績(jī)約為68.24．（23-24高三上·湖北·期末）有一組樣本數(shù)據(jù)：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9.則關(guān)于該組數(shù)據(jù)的下列數(shù)字特征中，數(shù)值最大的為（

）A．平均數(shù) B．第50百分位數(shù) C．極差 D．眾數(shù)5．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知由小到大排列的個(gè)數(shù)據(jù)、、、，若這個(gè)數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的倍，則這個(gè)數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（

）A． B．6 C． D．46．（2024·浙江·二模）為了解某中學(xué)學(xué)生假期中每天自主學(xué)習(xí)的時(shí)間，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取高一學(xué)生40人，其每天學(xué)習(xí)時(shí)間均值為8小時(shí)，方差為0.5，抽取高二學(xué)生60人，其每天學(xué)習(xí)時(shí)間均值為9小時(shí)，方差為0.8，抽取高三學(xué)生100人，其每天學(xué)習(xí)時(shí)間均值為10小時(shí)，方差為1，則估計(jì)該校學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的方差為（

）A．1.4 B．1.45 C．1.5 D．1.557．（23-24高三下·山東·開(kāi)學(xué)考試）為研究某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積（單位：）與水生植物的株數(shù)（單位：株）之間的相關(guān)關(guān)系，收集了4組數(shù)據(jù)，用模型去擬合與的關(guān)系，設(shè)與的數(shù)據(jù)如表格所示：得到與的線性回歸方程，則（

）346722.54.57A．-2 B．-1 C． D．8．（21-22高二下·山東濱州·期末）針對(duì)時(shí)下的“短視頻熱”，某高校團(tuán)委對(duì)學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨(dú)立.若依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，則的最小值為（）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7 B．8 C．9 D．10二、多選題9．（2020·海南·高考真題）我國(guó)新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說(shuō)法正確的是A．這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加;B．這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量;C．第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過(guò)80%;D．第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量;10．（2024·安徽·三模）下列關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)的說(shuō)法中正確的是（

）A．某人在10次答題中，答對(duì)題數(shù)為，則答對(duì)7題的概率最大B．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則C．已知回歸直線方程為，若樣本中心為，則D．兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為，則越小，與之間的相關(guān)性越弱11．（2024·湖北·一模）某校為了解高一新生對(duì)數(shù)學(xué)是否感興趣，從400名女生和600名男生中通過(guò)分層抽樣的方式隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，將調(diào)查的結(jié)果得到如下等高堆積條形圖和列聯(lián)表，則（

）性別數(shù)學(xué)興趣合計(jì)感興趣不感興趣女生男生合計(jì)100參考數(shù)據(jù)：本題中0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．表中B．可以估計(jì)該校高一新生中對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣的女生人數(shù)比男生多C．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別與對(duì)數(shù)學(xué)的興趣有差異D．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別與對(duì)數(shù)學(xué)的興趣沒(méi)有差異三、填空題12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某農(nóng)業(yè)科研所在5塊面積相同的長(zhǎng)方形試驗(yàn)田中均種植了同-一種農(nóng)作物，每一塊試驗(yàn)田的施肥量x（單位：kg）與產(chǎn)量y（單位：kg）之間有如下關(guān)系：施肥量x/kg2040506080產(chǎn)量y/kg600800120010001400已知y與x滿足線性回歸方程，則當(dāng)施肥量為80kg時(shí)，殘差為.13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記樣本數(shù)據(jù)10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位數(shù)為a，平均數(shù)為b，則=．14．（2024·廣東廣州·一模）某校數(shù)學(xué)建模興趣小組收集了一組恒溫動(dòng)物體重（單位：克）與脈搏率（單位：心跳次數(shù)/分鐘）的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)生物學(xué)常識(shí)和散點(diǎn)圖得出與近似滿足（為參數(shù)）.令，，計(jì)算得，，.由最小二乘法得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則的值為；為判斷擬合效果，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程求得預(yù)測(cè)值，若殘差平方和，則決定系數(shù).（參考公式：決定系數(shù)）四、解答題15．（2024·浙江溫州·二模）紅旗淀粉廠2024年之前只生產(chǎn)食品淀粉，下表為年投入資金（萬(wàn)元）與年收益（萬(wàn)元）的8組數(shù)據(jù)：102030405060708012.816.51920.921.521.92325.4(1)用模擬生產(chǎn)食品淀粉年收益與年投入資金的關(guān)系，求出回歸方程；(2)為響應(yīng)國(guó)家“加快調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)”的號(hào)召，該企業(yè)又自主研發(fā)出一種藥用淀粉，預(yù)計(jì)其收益為投入的．2024年該企業(yè)計(jì)劃投入200萬(wàn)元用于生產(chǎn)兩種淀粉，求年收益的最大值．（精確到0.1萬(wàn)元）附：①回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，②1612920400109603③16．（23-24高三下·全國(guó)·開(kāi)學(xué)考試）2023年11月，世界首屆人工智能峰會(huì)在英國(guó)舉行，我國(guó)因?yàn)樵谠擃I(lǐng)域取得的巨大成就受邀進(jìn)行大會(huì)發(fā)言.為了研究不同性別的學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況，我市某著名高中進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男?女生各50人作為樣本.設(shè)事件“了解人工智能”，“學(xué)生為男生”，據(jù)統(tǒng)計(jì).(1)根據(jù)已知條件，填寫下列列聯(lián)表，是否有把握推斷該校學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況與性別有關(guān)？了解人工智能不了解人工智能合計(jì)男生女生合計(jì)(2)①現(xiàn)從所抽取的女生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再?gòu)倪@20人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送科普材料，求選取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人科普材料，記其中了解人工智能的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.參考公式：.常用的小概率值和對(duì)應(yīng)的臨界值如下表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

第3講統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的分析（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 9【考點(diǎn)一】統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)字特征 9【考點(diǎn)二】回歸分析 14【考點(diǎn)三】獨(dú)立性檢驗(yàn) 22【專題精練】 29考情分析：高考對(duì)本講內(nèi)容的考查往往以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解與運(yùn)用、獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，常與概率綜合考查，中等難度．真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·全國(guó)·高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表畝產(chǎn)量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間2．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種3．（2022·全國(guó)·高考真題）某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：則（

）A．講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于B．講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于C．講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差二、解答題4．（2022·全國(guó)·高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（ⅰ）證明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計(jì)值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.8285．（2022·全國(guó)·高考真題）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)ｉ12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得．(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為．已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)．6．（2023·全國(guó)·高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?5.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635參考答案：題號(hào)123答案CDB1．C【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；根據(jù)極差計(jì)算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.【詳解】對(duì)于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知,,所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，畝產(chǎn)量不低于的頻數(shù)為，所以低于的稻田占比為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，稻田畝產(chǎn)量的極差最大為，最小為，故C正確；對(duì)于D，由頻數(shù)分布表可得，平均值為，故D錯(cuò)誤.故選；C.2．D【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.故選：D.3．B【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】講座前中位數(shù)為,所以錯(cuò)；講座后問(wèn)卷答題的正確率只有一個(gè)是個(gè),剩下全部大于等于,所以講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對(duì)；講座前問(wèn)卷答題的正確率更加分散,所以講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所以C錯(cuò)；講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為，講座前問(wèn)卷答題的正確率的極差為,所以錯(cuò).故選:B.4．(1)答案見(jiàn)解析(2)（i）證明見(jiàn)解析；(ii)；【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求.【詳解】（1）由已知，又，，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.（2）(i)因?yàn)?，所以所以?ii)由已知，，又，，所以5．(1)；(2)(3)【分析】（1）計(jì)算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）代入題給相關(guān)系數(shù)公式去計(jì)算即可求得樣本的相關(guān)系數(shù)值；（3）依據(jù)樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值．【詳解】（1）樣本中10棵這種樹(shù)木的根部橫截面積的平均值樣本中10棵這種樹(shù)木的材積量的平均值據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為（2）則（3）設(shè)該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值為，又已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得，解之得．則該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量估計(jì)為6．(1)分布列見(jiàn)解析，(2)（i）；列聯(lián)表見(jiàn)解析，（ii）能【分析】（1）利用超幾何分布的知識(shí)即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.【詳解】（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計(jì)對(duì)照組61420實(shí)驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)字特征核心梳理：1．頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標(biāo)之差表示組距，縱坐標(biāo)表示eq\f(頻率,組距)，頻率＝組距×eq\f(頻率,組距).2．在頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1.3．利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即眾數(shù)．(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和相等．(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．一、單選題1．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在一次射擊訓(xùn)練中各射靶20次，命中環(huán)數(shù)的頻率分布條形圖如下．設(shè)甲、乙命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)分別為，，方差分別為，，則（

）A．， B．，C．， D．，2．（2024·遼寧·一模）下圖是2022年5月一2023年5月共13個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車月度銷量及增長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)圖（單位：萬(wàn)輛），則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）（注：同比：和上一年同期相比）

A．2023年前5個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車的銷量超過(guò)214萬(wàn)輛B．這13個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車月度銷量的中位數(shù)為61.5萬(wàn)輛C．這13個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車月度銷量的眾數(shù)為52.2萬(wàn)輛D．和上一年同期相比，我國(guó)純電動(dòng)汽車月度銷量有增有減二、多選題3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）某地教師招聘考試，有3200人參加筆試，滿分為100分，筆試成績(jī)前20%（含20%）的考生有資格參加面試，所有考生的筆試成績(jī)和年齡分別如頻率分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖所示，則（

）A．90后考生比00后考生多150人 B．筆試成績(jī)的60%分位數(shù)為80C．參加面試的考生的成績(jī)最低為86分 D．筆試成績(jī)的平均分為76分4．（2024·廣東汕頭·一模）某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級(jí)中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績(jī)分布情況，計(jì)算得到這名學(xué)生中，成績(jī)位于80,90內(nèi)的學(xué)生成績(jī)方差為，成績(jī)位于內(nèi)的同學(xué)成績(jī)方差為.則（

）參考公式：樣本劃分為層，各層的容量?平均數(shù)和方差分別為：、、；、、.記樣本平均數(shù)為，樣本方差為，.A．B．估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為C．估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)诜旨耙陨系膶W(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為D．估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)诜旨耙陨系膶W(xué)生成績(jī)的方差為三、填空題5．（2024·甘肅白銀·三模）一組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為．6．（2024·山東濟(jì)寧·一模）2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)的得0分；③部分選對(duì)得部分分（若某小題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分；若某小題正確選項(xiàng)為三個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分）．已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小明同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機(jī)地選了兩個(gè)選項(xiàng)，第三小題隨機(jī)地選了一個(gè)選項(xiàng)，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為．7．（23-24高二上·湖北武漢·開(kāi)學(xué)考試）有一組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：3，5，，8，9，10，若其極差與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.8．（2023·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）某市統(tǒng)計(jì)高中生身體素質(zhì)的狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值不小于60就認(rèn)為身體素質(zhì)合格．現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值，經(jīng)計(jì)算，．若該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值服從正態(tài)分布，則估計(jì)該市高中生身體素質(zhì)的合格率為．（用百分?jǐn)?shù)作答，精確到0.1%）參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．參考答案：題號(hào)1234答案ABBDBCD1．A【分析】觀察給定的圖表，利用眾數(shù)的意義運(yùn)動(dòng)員命中環(huán)數(shù)的集中與分散程度判斷即可.【詳解】根據(jù)圖表知，甲?乙命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)均為7環(huán)，則；甲運(yùn)動(dòng)員命中的環(huán)數(shù)比較分散，乙運(yùn)動(dòng)員命中的環(huán)數(shù)比較集中，則．故選：A2．B【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表數(shù)據(jù)一一分析即可.【詳解】2023年前5個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車的銷量為萬(wàn)輛，即2023年前5個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車的銷量超過(guò)214萬(wàn)輛，故A正確；將這13個(gè)月純電動(dòng)汽車的月度銷量由小到大依次排列為，，則中位數(shù)為其中第個(gè)數(shù)據(jù)，即萬(wàn)輛，故B錯(cuò)誤；這些數(shù)據(jù)中只有出現(xiàn)2次，其他數(shù)據(jù)均只出現(xiàn)1次，故眾數(shù)為萬(wàn)輛，故C正確；2023年1月的同比增長(zhǎng)率為負(fù)數(shù)，其它月份的同比增長(zhǎng)率為正數(shù)，故和上一年同期相比，我國(guó)純電動(dòng)汽車月度銷量有增有減，故D正確.故選：B.3．BD【分析】根據(jù)題意，由統(tǒng)計(jì)圖表中的數(shù)據(jù)，結(jié)合頻率分布直方圖的面積和百分位數(shù)，以及平均數(shù)的計(jì)算公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由年齡的扇形統(tǒng)計(jì)圖，可得90后的考生有人，00后的考生有人，可得人，所以A不正確；對(duì)于B中，由頻率分布直方圖性質(zhì)，可得，解得，則前三個(gè)矩形的面積和，所以試成績(jī)的分位數(shù)為分，所以B正確；對(duì)于C中，設(shè)面試成績(jī)的最低分為，由前三個(gè)矩形的面積和為，第四個(gè)矩形的面積為，則分，所以C不正確；對(duì)于D中，根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算公式，可得考試的平均成績(jī)?yōu)椋悍郑訢正確.故選：BD.4．BCD【分析】利用頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為，列等式求出實(shí)數(shù)的值，可判斷A選項(xiàng)；利用中位數(shù)的定義可判斷B選項(xiàng)；利用總體平均數(shù)公式可判斷C選項(xiàng)；利用方差公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為，則，解得，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，前兩個(gè)矩形的面積之和為，前三個(gè)矩形的面積之和為，設(shè)計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為，則，根據(jù)中位數(shù)的定義可得，解得，所以，估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，估計(jì)成績(jī)?cè)诜忠陨系耐瑢W(xué)的成績(jī)的平均數(shù)為分，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)诜旨耙陨系膶W(xué)生成績(jī)的方差為，D對(duì).故選：BCD.5．【分析】將數(shù)據(jù)從小到大重新排成一列，根據(jù)眾數(shù)及中位數(shù)的定義，即可求出結(jié)果.【詳解】將樣本數(shù)據(jù)，從小排到大得到，由眾數(shù)及中位數(shù)的定義知：眾數(shù)為，中位數(shù)為，故答案為：，.6．11【分析】列舉出所有的得分情況，再結(jié)合中位數(shù)的概念求答案即可.【詳解】由題意得小明同學(xué)第一題得6分；第二題選了2個(gè)選項(xiàng)，可能得分情況有3種，分別是得0分、4分和6分；第二題選了1個(gè)選項(xiàng)，可能得分情況有3種，分別是得0分、2分和3分；由于相同總分只記錄一次，因此小明的總分情況有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8種情況，所以中位數(shù)為，故答案為：11.7．/【分析】由極差和平均數(shù)求出，即可求出中位數(shù).【詳解】依題意可得極差為，平均數(shù)為，所以，解得，所以中位線為.故答案為：8．【分析】計(jì)算樣本的平均數(shù)和方差，由此估計(jì)，再結(jié)合參考數(shù)據(jù)求.【詳解】因?yàn)?00個(gè)數(shù)據(jù)，，，…，的平均值，方差，所以的估計(jì)值為，的估計(jì)值為．設(shè)該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值為X，由，得，所以．故答案為：.規(guī)律方法：(1)對(duì)于給出的統(tǒng)計(jì)圖表，一定要結(jié)合問(wèn)題背景理解圖表意義．(2)頻率分布直方圖中縱坐標(biāo)不要誤以為是頻率．【考點(diǎn)二】回歸分析核心梳理：求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟(1)依據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系(有時(shí)可省略)．(2)計(jì)算出eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)).(3)寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程．一、單選題1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）某老師為了了解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)得分y（單位：分）與每天數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間x（單位：分鐘）是否存在線性關(guān)系，搜集了100組數(shù)據(jù)，并據(jù)此求得y關(guān)于x的線性回歸方程為.若一位同學(xué)每天數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間約80分鐘，則可估計(jì)這位同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椋?/p>

）A．106 B．122 C．136 D．1402．（2023·四川南充·一模）某商品的地區(qū)經(jīng)銷商對(duì)2023年1月到5月該商品的銷售情況進(jìn)行了調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)表．發(fā)現(xiàn)銷售量y（萬(wàn)件）與時(shí)間x（月）成線性相關(guān)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求得y與x的回歸直線方程為：．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）時(shí)間x（月）12345銷售量y（萬(wàn)件）11.62.0a3A．由回歸方程可知2024年1月份該地區(qū)的銷售量為6.8萬(wàn)件B．表中數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為C．D．由表中數(shù)據(jù)可知，y和x成正相關(guān)二、多選題3．（21-22高三上·重慶黔江·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變B．回歸直線恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心，且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)C．用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫回歸效果時(shí)，越接近1，說(shuō)明模型的擬合效果越好D．在列聯(lián)表中，的值越大，說(shuō)明兩個(gè)分類變量之間的關(guān)系越弱4．（2024·浙江·一模）為調(diào)研加工零件效率，調(diào)研員通過(guò)試驗(yàn)獲得加工零件個(gè)數(shù)與所用時(shí)間（單位：）的5組數(shù)據(jù)為：，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：，則（

）A．B．回歸直線必過(guò)點(diǎn)C．加工60個(gè)零件的時(shí)間大約為D．若去掉，剩下4組數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程會(huì)有變化三、填空題5．（23-24高二上·四川綿陽(yáng)·期末）某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù):單價(jià)(元)銷量(件)由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程，若在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，則它在回歸直線右上方的概率為6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某市一水果店為了了解柑橘的月銷售量（單位：千克）與月平均氣溫（單位：）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4個(gè)月的柑橘的月銷售量與當(dāng)月的平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x/181282月銷售量千克26456277由表中數(shù)據(jù)得到關(guān)于的線性回歸方程為，氣象部門預(yù)測(cè)2024年4月該市的平均氣溫為，據(jù)此估計(jì)該水果店2024年4月柑橘的銷售量為千克．四、解答題7．（2024·河南鄭州·三模）按照《中華人民共和國(guó)環(huán)境保護(hù)法》的規(guī)定，每年生態(tài)環(huán)境部都會(huì)會(huì)同國(guó)家發(fā)展改革委等部門共同編制《中國(guó)生態(tài)環(huán)境狀況公報(bào)》，并向社會(huì)公開(kāi)發(fā)布．下表是2017-2021年五年《中國(guó)生態(tài)環(huán)境狀況公報(bào)》中酸雨區(qū)面積約占國(guó)土面積的百分比：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代碼123456.45.55.04.83.8(1)求2017—2021年年份代碼與的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；(2)請(qǐng)用樣本相關(guān)系數(shù)說(shuō)明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用一元線性回歸模型進(jìn)行描述，并求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(3)預(yù)測(cè)2024年的酸雨區(qū)面積占國(guó)土面積的百分比．（回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：附：樣本相關(guān)系數(shù)，．8．（23-24高三上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）為了加快實(shí)現(xiàn)我國(guó)高水平科技自立自強(qiáng)，某科技公司逐年加大高科技研發(fā)投入.下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發(fā)投入y（單位：億元）的散點(diǎn)圖，其中年份代碼1～10分別對(duì)應(yīng)年份2013～2022.

根據(jù)散點(diǎn)圖，分別用模型①，②作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型，并進(jìn)行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下表所示的一些統(tǒng)計(jì)量的值：752.2582.54.512028.35表中，.(1)根據(jù)殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個(gè)更適宜作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型?并說(shuō)明理由；(2)（i）根據(jù)（1）中所選模型，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（ii）設(shè)該科技公司的年利潤(rùn)（單位：億元）和年研發(fā)投入y（單位：億元）滿足（且），問(wèn)該科技公司哪一年的年利潤(rùn)最大?附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)x1,y1，x2,y2，…，參考答案：題號(hào)1234答案CAACBC1．C【分析】利用回歸方程經(jīng)過(guò)樣本中心可求，故可估計(jì)這位同學(xué)每天數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間約80分鐘后的數(shù)學(xué)成績(jī).【詳解】由題設(shè)可得，故，故，故，故當(dāng)時(shí)，，故選：C.2．A【分析】根據(jù)給定數(shù)據(jù)，結(jié)合回歸直線的特性逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】依題意，，而y與x的回歸直線方程為：，則，解得，，表中數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為，BC正確；由，得y和x成正相關(guān)，D正確；2024年1月份，即，由回歸直線方程，得，因此2024年1月份該地區(qū)的銷售量約為6.8萬(wàn)件，A錯(cuò)誤.故選：A3．AC【分析】對(duì)A：由方差的性質(zhì)即可判斷；對(duì)B：由回歸直線的性質(zhì)即可判斷；對(duì)C：利用相關(guān)指數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對(duì)D：由卡方的意義即可判斷.【詳解】對(duì)A：將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，數(shù)據(jù)的波動(dòng)性不變，故方差不變，故A正確；對(duì)B：回歸直線恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心正確，但不一定會(huì)過(guò)樣本點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫回歸效果時(shí)，越接近1，說(shuō)明模型的擬合效果越好，故C正確；對(duì)D：在列聯(lián)表中，的值越大，說(shuō)明兩個(gè)分類變量之間的關(guān)系越強(qiáng)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.4．BC【分析】求得數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)可判斷B；結(jié)合回歸方程可求出可判斷A；將代入回歸方程求得預(yù)測(cè)值可判斷C；根據(jù)恒過(guò)，可判斷D.【詳解】，，所以恒過(guò)，所以，解得：，故A錯(cuò)誤；B正確；所以，令，則，故加工60個(gè)零件的時(shí)間大約為，故C正確；因?yàn)楹氵^(guò)，所以剩下4組數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程不會(huì)有變化，故D錯(cuò)誤.故選:BC.5．/【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸方程，進(jìn)而確定在回歸直線右上方的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得概率.【詳解】由已知，，又樣本中心在回歸直線上，即，解得，所以回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在回歸直線上；當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在回歸直線左下方；當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在回歸直線右上方；當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在回歸直線右上方；當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在回歸直線右上方；當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在回歸直線左下方；所以個(gè)樣本點(diǎn)中在回歸直線右上方的有個(gè)，所以在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，則它在回歸直線右上方的概率為，故答案為：.6．72【分析】求出樣本中心，求出，求出線性回歸方程即可求解.【詳解】由題表得，，所以回歸直線過(guò)點(diǎn)，得，解得，則線性回歸方程為，所以當(dāng)時(shí)，，故估計(jì)該水果店2024年4月柑橘的銷售量為千克．故答案為：.7．(1)(2)(3)預(yù)測(cè)2024年的酸雨區(qū)面積占國(guó)土面積的百分比為2.15%【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)結(jié)合題中數(shù)據(jù)，求出相關(guān)數(shù)值，代入相關(guān)系數(shù)，即可得出答案；（2）由（1）知，接近1，即可說(shuō)明線性相關(guān)關(guān)系極強(qiáng)；根據(jù)（1）中求出的數(shù)據(jù)，即可求出，，進(jìn)而得到回歸直線方程；（3）將代入回歸直線方程，即可預(yù)測(cè)2024年的酸雨區(qū)面積占國(guó)土面積的百分比.【詳解】（1）由已知可得，，，由題可列下表：0121.30.4，．（2）由小問(wèn)1知，與的相關(guān)系數(shù)接近1，所以與之間具有極強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型進(jìn)行描述．由小問(wèn)1知，，，所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．（3）令，則，預(yù)測(cè)2024年的酸雨區(qū)面積占國(guó)土面積的百分比為2.15%．8．(1)選擇模型②更適宜，理由見(jiàn)解析(2)（i）；（ii）該公司2028年的年利潤(rùn)最大【分析】（1）根據(jù)殘差圖確定；（2）根據(jù)最小二乘法求非線性回歸方程即可求解；【詳解】（1）根據(jù)圖2可知，模型①的殘差波動(dòng)性很大，說(shuō)明擬合關(guān)系較差；模型②的殘差波動(dòng)性很小，基本分布在0的附近，說(shuō)明擬合關(guān)系很好，所以選擇模型②更適宜.（2）（i）設(shè)，所以，所以，，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為（ii）由題設(shè)可得，當(dāng)取對(duì)稱軸即，即時(shí)，年利潤(rùn)L有最大值，故該公司2028年的年利潤(rùn)最大.規(guī)律方法：(1)樣本點(diǎn)不一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，但點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上．(2)求eq\o(b,\s\up6(^))時(shí)，靈活選擇公式，注意公式的推導(dǎo)和記憶．(3)利用樣本相關(guān)系數(shù)判斷相關(guān)性強(qiáng)弱時(shí)，看|r|的大小，而不是r的大?。?4)區(qū)分樣本相關(guān)系數(shù)r與決定系數(shù)R2.(5)通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程求的都是估計(jì)值，而不是真實(shí)值．【考點(diǎn)三】獨(dú)立性檢驗(yàn)核心梳理：獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，計(jì)算χ2的值．(3)查表比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷．χ2越大，對(duì)應(yīng)假設(shè)事件H0成立(兩類變量相互獨(dú)立)的概率越小，H0不成立的概率越大．一、解答題1．（2024·安徽合肥·二模）樹(shù)人中學(xué)高三（1）班某次數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（滿分150分）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：性別參加考試人數(shù)平均成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差男3010016女209019在按比例分配分層隨機(jī)抽樣中，已知總體劃分為2層，把第一層樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把第二層樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為．(1)證明：；(2)求該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（精確到1）；(3)假設(shè)全年級(jí)學(xué)生的考試成績(jī)服從正態(tài)分布，以該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為和的估計(jì)值．如果按照的比例將考試成績(jī)從高分到低分依次劃分為四個(gè)等級(jí)，試確定各等級(jí)的分?jǐn)?shù)線（精確到1）．附：．2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）土壤食物網(wǎng)對(duì)有機(jī)質(zhì)的分解有兩條途徑，即真菌途徑和細(xì)菌途徑．在不同的土壤生態(tài)系統(tǒng)中，由于提供能源的有機(jī)物其分解的難易程度不同，這兩條途徑所起的作用也不同．以細(xì)菌分解途徑為主導(dǎo)的土壤，有機(jī)質(zhì)降解快，氮礦化率高，有利于養(yǎng)分供應(yīng)，以真菌途徑為主的土壤，氮和能量轉(zhuǎn)化比較緩慢，有利于有機(jī)質(zhì)存貯和氮的固持．某生物實(shí)驗(yàn)小組從一種土壤數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽查并統(tǒng)計(jì)了8組數(shù)據(jù)，如下表所示：編號(hào)12345678細(xì)菌百萬(wàn)個(gè)708090100110120130140真菌百萬(wàn)個(gè)8.010.012.515.017.521.027.039.0其散點(diǎn)圖如下，散點(diǎn)大致分布在指數(shù)型函數(shù)的圖象附近．(1)求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；(2)在做土壤相關(guān)的生態(tài)環(huán)境研究時(shí)，細(xì)菌與真菌的比值能夠反映土壤的碳氮循環(huán)．以樣本的頻率估計(jì)總體分布的概率，若該實(shí)驗(yàn)小組隨機(jī)抽查8組數(shù)據(jù)，再?gòu)闹腥芜x4組，記真菌（單位：百萬(wàn)個(gè)）與細(xì)菌（單位：百萬(wàn)個(gè)）的數(shù)值之比位于區(qū)間內(nèi)的組數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，3．（2024·江蘇南京·二模）某地5家超市春節(jié)期間的廣告支出x（萬(wàn)元）與銷售額y（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下：超市ABCDE廣告支出x24568銷售額y3040606070(1)從A，B，C，D，E這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬(wàn)元的超市個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及期望；(2)利用最小二乘法求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)廣告支出為10萬(wàn)元時(shí)的銷售額．附：線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．4．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）入冬以來(lái)，東北成為全國(guó)旅游和網(wǎng)絡(luò)話題的“頂流”．南方的小土豆們紛紛北上體驗(yàn)東北最美的冬天，這個(gè)冬天火的不只是東北的美食、東北人的熱情，還有東北的洗浴中心，擁擠程度堪比春運(yùn)，南方游客直接拉著行李箱進(jìn)入．東北某城市洗浴中心花式寵“且”，為給顧客更好的體驗(yàn)，推出了和兩個(gè)套餐服務(wù)，顧客可自由選擇和兩個(gè)套餐之一，并在App平臺(tái)上推出了優(yōu)惠券活動(dòng)，下表是該洗浴中心在App平臺(tái)10天銷售優(yōu)惠券情況．日期12345678910銷售量（千張）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4經(jīng)計(jì)算可得：，，．(1)因?yàn)閮?yōu)惠券購(gòu)買火爆，App平臺(tái)在第10天時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)異常，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購(gòu)買優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（結(jié)果中的數(shù)值用分?jǐn)?shù)表示）；(2)若購(gòu)買優(yōu)惠券的顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，并且套餐可以用一張優(yōu)惠券，套餐可以用兩張優(yōu)惠券，記App平臺(tái)累計(jì)銷售優(yōu)惠券為張的概率為，求；(3)記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列．①求的最值；②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列，若對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，（是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)），則稱數(shù)列收斂于．根據(jù)數(shù)列收斂的定義證明數(shù)列收斂．參考公式：，．參考答案：1．(1)證明見(jiàn)解析；(2)平均數(shù)為96分，標(biāo)準(zhǔn)差為18分；(3)將定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)．【分析】（1）利用平均數(shù)及方差公式即可求解；（2）利用平均數(shù)及方差公式，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差公式即可求解；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論及正態(tài)分布的特點(diǎn)即可求解.【詳解】（1），同理．所以.（2）將該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)記為，方差記為，則，所以又，所以．即該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為96分，標(biāo)準(zhǔn)差約為18分．（3）由（2）知，所以全年級(jí)學(xué)生的考試成績(jī)服從正態(tài)分布，所以．．故可將定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)．2．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，2【分析】（1）令，將指數(shù)型回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，利用最小二乘法的估計(jì)系數(shù)公式，即可求得答案；（2）確定真菌與細(xì)菌的數(shù)值之比位于區(qū)間內(nèi)的組數(shù)，即可確定X的取值，求出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列，即可求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由于，故，令，則，，則，，故，則關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為；（2）由已知圖表可知從第1組到第8組的真菌（單位：百萬(wàn)個(gè)）與細(xì)菌（單位：百萬(wàn)個(gè)）的數(shù)值之比依次為：，，故樣本中比值位于內(nèi)的組數(shù)有4組，則X的可能取值為：，則,，故X的分布列為：X01234P則.3．(1)X的分布列見(jiàn)解析，期望(2)；預(yù)測(cè)廣告費(fèi)支出10萬(wàn)元時(shí)的銷售額為87萬(wàn)元．【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的概率公式求解分布列，進(jìn)而可求解期望，（2）利用最小二乘法求解線性回歸方程即可.【詳解】（1）從A，B，C，D，E這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬(wàn)元的超市有C，D，E這3家超市，則隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3，，，的分布列為：123數(shù)學(xué)期望．（2），，，．關(guān)于的線性回歸方程為；在中，取，得．預(yù)測(cè)廣告費(fèi)支出10萬(wàn)元時(shí)的銷售額為87萬(wàn)元．4．(1)(2)(3)①最大值為，最小值為；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用最小二乘法，結(jié)合數(shù)據(jù)分析與公式的變換即可得解；（2）利用全概率公式得到，再兩次利用構(gòu)造法依次求得是常數(shù)列，是等比數(shù)列，從而得解；（3）①結(jié)合（2）中結(jié)論，分類討論為偶數(shù)與為奇數(shù)，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可得解；②理解數(shù)列收斂的定義，取，從而得證.【詳解】（1）剔除第10天數(shù)據(jù)的，，，，所以，故，所以．（2）由題意可知，其中，所以，又，所以是首項(xiàng)為的常數(shù)列，故，所以，又，所以是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，即.（3）①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，最大值為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，最小值為；綜上：數(shù)列的最大值為，最小值為.②證明：對(duì)任意總存在正整數(shù)，（其中表示取整函數(shù)），當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列收斂.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第2小問(wèn)求的常見(jiàn)思路是，利用獨(dú)立事件的概率公式、條件概率公式或全概率公式等得到關(guān)于的遞推式，再利用數(shù)列的構(gòu)造法即可得解.規(guī)律方法：(1)χ2越大兩分類變量無(wú)關(guān)的可能性越小，推斷犯錯(cuò)誤的概率越小，通過(guò)表格查得無(wú)關(guān)的可能性．(2)在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)，并不是指兩個(gè)變量無(wú)關(guān)的可能性為0.01.專題精練專題精練一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了中國(guó)2018—2022年全部工業(yè)增加值（單位：萬(wàn)億元）及增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．2018—2022年中國(guó)的全部工業(yè)增加值逐年增加B．2018—2022年中國(guó)全部工業(yè)增加值的增長(zhǎng)率的極差為C．與上一年相比，2022年中國(guó)增加的全部工業(yè)增加值是2019年增加的全部工業(yè)增加值的2倍D．2018年中國(guó)全部工業(yè)增加值的增長(zhǎng)率比2018—2022年中國(guó)全部工業(yè)增加值的增長(zhǎng)率的最小值高2．（2024·四川遂寧·三模）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)某地快遞行業(yè)從業(yè)者進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖（圖1）、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖（圖2），則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占一半以上B．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的20%C．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運(yùn)營(yíng)崗位的“90后”的人數(shù)比“80前”的多D．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)比“80后”的多3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）某校為了解在校學(xué)生對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)文化的傳承認(rèn)知情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行中國(guó)傳統(tǒng)文化知識(shí)考試，并將這100名學(xué)生成績(jī)整理得到如下頻率分布直方圖．根據(jù)此頻率分布直方圖（分成40,50，50,60，60,70，，80,90，90,100六組），下列結(jié)論中不正確的是（

）A．圖中的B．若從成績(jī)?cè)冢?0,90，90,100內(nèi)的學(xué)生中采用分層抽樣抽取10名學(xué)生，則成績(jī)?cè)?0,90內(nèi)的有3人C．這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為65D．若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則這100名學(xué)生的平均成績(jī)約為68.24．（23-24高三上·湖北·期末）有一組樣本數(shù)據(jù)：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9.則關(guān)于該組數(shù)據(jù)的下列數(shù)字特征中，數(shù)值最大的為（

）A．平均數(shù) B．第50百分位數(shù) C．極差 D．眾數(shù)5．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知由小到大排列的個(gè)數(shù)據(jù)、、、，若這個(gè)數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的倍，則這個(gè)數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（

）A． B．6 C． D．46．（2024·浙江·二模）為了解某中學(xué)學(xué)生假期中每天自主學(xué)習(xí)的時(shí)間，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取高一學(xué)生40人，其每天學(xué)習(xí)時(shí)間均值為8小時(shí)，方差為0.5，抽取高二學(xué)生60人，其每天學(xué)習(xí)時(shí)間均值為9小時(shí)，方差為0.8，抽取高三學(xué)生100人，其每天學(xué)習(xí)時(shí)間均值為10小時(shí)，方差為1，則估計(jì)該校學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的方差為（

）A．1.4 B．1.45 C．1.5 D．1.557．（23-24高三下·山東·開(kāi)學(xué)考試）為研究某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積（單位：）與水生植物的株數(shù)（單位：株）之間的相關(guān)關(guān)系，收集了4組數(shù)據(jù)，用模型去擬合與的關(guān)系，設(shè)與的數(shù)據(jù)如表格所示：得到與的線性回歸方程，則（

）346722.54.57A．-2 B．-1 C． D．8．（21-22高二下·山東濱州·期末）針對(duì)時(shí)下的“短視頻熱”，某高校團(tuán)委對(duì)學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨(dú)立.若依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，則的最小值為（）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7 B．8 C．9 D．10二、多選題9．（2020·海南·高考真題）我國(guó)新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說(shuō)法正確的是A．這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加;B．這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量;C．第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過(guò)80%;D．第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量;10．（2024·安徽·三模）下列關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)的說(shuō)法中正確的是（

）A．某人在10次答題中，答對(duì)題數(shù)為，則答對(duì)7題的概率最大B．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則C．已知回歸直線方程為，若樣本中心為，則D．兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為，則越小，與之間的相關(guān)性越弱11．（2024·湖北·一模）某校為了解高一新生對(duì)數(shù)學(xué)是否感興趣，從400名女生和600名男生中通過(guò)分層抽樣的方式隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，將調(diào)查的結(jié)果得到如下等高堆積條形圖和列聯(lián)表，則（

）性別數(shù)學(xué)興趣合計(jì)感興趣不感興趣女生男生合計(jì)100參考數(shù)據(jù)：本題中0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．表中B．可以估計(jì)該校高一新生中對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣的女生人數(shù)比男生多C．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別與對(duì)數(shù)學(xué)的興趣有差異D．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別與對(duì)數(shù)學(xué)的興趣沒(méi)有差異三、填空題12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某農(nóng)業(yè)科研所在5塊面積相同的長(zhǎng)方形試驗(yàn)田中均種植了同-一種農(nóng)作物，每一塊試驗(yàn)田的施肥量x（單位：kg）與產(chǎn)量y（單位：kg）之間有如下關(guān)系：施肥量x/kg2040506080產(chǎn)量y/kg600800120010001400已知y與x滿足線性回歸方程，則當(dāng)施肥量為80kg時(shí)，殘差為.13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記樣本數(shù)據(jù)10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位數(shù)為a，平均數(shù)為b，則=．14．（2024·廣東廣州·一模）某校數(shù)學(xué)建模興趣小組收集了一組恒溫動(dòng)物體重（單位：克）與脈搏率（單位：心跳次數(shù)/分鐘）的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)生物學(xué)常識(shí)和散點(diǎn)圖得出與近似滿足（為參數(shù)）.令，，計(jì)算得，，.由最小二乘法得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則的值為；為判斷擬合效果，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程求得預(yù)測(cè)值，若殘差平方和，則決定系數(shù).（參考公式：決定系數(shù)）四、解答題15．（2024·浙江溫州·二模）紅旗淀粉廠2024年之前只生產(chǎn)食品淀粉，下表為年投入資金（萬(wàn)元）與年收益（萬(wàn)元）的8組數(shù)據(jù)：102030405060708012.816.51920.921.521.92325.4(1)用模擬生產(chǎn)食品淀粉年收益與年投入資金的關(guān)系，求出回歸方程；(2)為響應(yīng)國(guó)家“加快調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)”的號(hào)召，該企業(yè)又自主研發(fā)出一種藥用淀粉，預(yù)計(jì)其收益為投入的．2024年該企業(yè)計(jì)劃投入200萬(wàn)元用于生產(chǎn)兩種淀粉，求年收益的最大值．（精確到0.1萬(wàn)元）附：①回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，②1612920400109603③16．（23-24高三下·全國(guó)·開(kāi)學(xué)考試）2023年11月，世界首屆人工智能峰會(huì)在英國(guó)舉行，我國(guó)因?yàn)樵谠擃I(lǐng)域取得的巨大成就受邀進(jìn)行大會(huì)發(fā)言.為了研究不同性別的學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況，我市某著名高中進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男?女生各50人作為樣本.設(shè)事件“了解人工智能”，“學(xué)生為男生”，據(jù)統(tǒng)計(jì).(1)根據(jù)已知條件，填寫下列列聯(lián)表，是否有把握推斷該校學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況與性別有關(guān)？了解人工智能不了解人工智能合計(jì)男生女生合計(jì)(2)①現(xiàn)從所抽取的女生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再?gòu)倪@20人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送科普材料，求選取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人科普材料，記其中了解人工智能的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.參考公式：.常用的小概率值和對(duì)應(yīng)的臨界值如下表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考答案：題號(hào)12345678910答案CDCAA