高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第6講函數(shù)的公切線問題含答案及解析

第6講函數(shù)的公切線問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 2【考點一】求兩函數(shù)的公切線 2【考點二】與公切線有關(guān)的求值問題 3【考點三】判斷公切線條數(shù) 4【考點四】求參數(shù)的取值范圍 4【專題精練】 5考情分析：函數(shù)的公切線問題，是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過雙變量的處理，從而轉(zhuǎn)化為零點問題，主要利用消元與轉(zhuǎn)化，考查構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合能力，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．真題自測真題自測一、單選題1．（2021·全國·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．二、填空題2．（2024·廣東江蘇·高考真題）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則.三、解答題3．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．考點突破考點突破【考點一】求兩函數(shù)的公切線一、單選題1．（2024·福建·模擬預(yù)測）已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則（）A．， B．，C．， D．，2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若直線是曲線與曲線的公切線，則的方程為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2023·安徽安慶·模擬預(yù)測）已知，是函數(shù)與的圖像的兩條公切線，記的傾斜角為，的傾斜角為，且，的夾角為，則下列說法正確的有（

）A． B．C．若，則 D．與的交點可能在第三象限4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·三模）若一條直線與兩條或兩條以上的曲線均相切，則稱該直線為這些曲線的公切線，已知直線：為曲線：和：的公切線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的圖象在軸的上方B．當(dāng)時，C．若，則D．當(dāng)時，和必存在斜率為的公切線三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）曲線與的公切線方程為.6．（23-24高三上·山東日照·期末）已知函數(shù)的圖象上存在三個不同的點，使得曲線在三點處的切線重合，則此切線的方程為.（寫出符合要求的一條切線即可）規(guī)律方法：求切線方程時，注意區(qū)分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求過某點的切線方程，需先設(shè)出切點坐標(biāo)，再依據(jù)已知點在切線上求解．【考點二】與公切線有關(guān)的求值問題一、單選題1．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）若曲線與，恰有2條公切線，則（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南長沙·三模）斜率為1的直線與曲線和圓都相切，則實數(shù)的值為（

）A．0或2 B．或2 C．或0 D．0或1二、多選題3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，則（

）A．恒成立的充要條件是B．當(dāng)時，兩個函數(shù)圖象有兩條公切線C．當(dāng)時，直線是兩個函數(shù)圖象的一條公切線D．若兩個函數(shù)圖象有兩條公切線，以四個切點為頂點的凸四邊形的周長為，則4．（2023·湖北·模擬預(yù)測）若存在直線與曲線都相切，則的值可以是（

）A．0 B． C． D．三、填空題5．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則.6．（2024·四川·模擬預(yù)測）若直線是曲線fx=lnx的切線，也是曲線的切線，則規(guī)律方法：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，關(guān)鍵是切點，要充分利用切點既在曲線上又在切線上構(gòu)造方程．【考點三】判斷公切線條數(shù)一、單選題1．（2023·河南·三模）已知函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，則與曲線和均相切的直線l有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條2．（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測）曲線與曲線有（

）條公切線.A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·江西南昌·一模）已知函數(shù)，則和的公切線的條數(shù)為A．三條 B．二條 C．一條 D．0條規(guī)律方法：運用導(dǎo)數(shù)與斜率之間的關(guān)系可以將兩曲線公切線的切點表示出來，構(gòu)造新的函數(shù)，通過零點存在定理判斷函數(shù)零點個數(shù)，即方程解的情況．【考點四】求參數(shù)的取值范圍一、單選題1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）若至少存在一條直線與曲線和均相切，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·云南曲靖·一模）已知，若點為曲線與曲線的交點，且兩條曲線在點處的切線重合，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023·湖南郴州·模擬預(yù)測）若存在直線與曲線都相切，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2023·河北邯鄲·三模）若曲線與圓有三條公切線，則的取值范圍是．5．（2023·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若存在一條直線同時與兩個函數(shù)圖象相切，則實數(shù)a的取值范圍．6．（2023·河北唐山·三模）已知曲線與有公共切線，則實數(shù)的取值范圍為.規(guī)律方法：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，構(gòu)造參數(shù)關(guān)于切點橫坐標(biāo)或切線斜率k的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的零點問題或兩函數(shù)的交點問題，利用函數(shù)的性質(zhì)或圖象求解．專題精練專題精練一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，直線與的圖象均相切，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．（22-23高二下·江蘇鹽城·期中）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則（）A． B． C． D．3．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若直線為和的公切線，則b等于（

）A． B． C． D．4．（2023·湖南衡陽·模擬預(yù)測）若曲線與有三條公切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（22-23高三上·安徽宿州·階段練習(xí)）若函數(shù)與的圖象存在公共切線，則實數(shù)a的最大值為（

）A． B． C． D．6．（22-23高三上·河南洛陽·階段練習(xí)）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）A．11 B．12 C． D．7．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）若兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線，則正實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．（2022·安徽馬鞍山·一模）若僅存在一條直線與函數(shù)（）和的圖象均相切，則實數(shù)（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·河北保定·二模）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）A． B． C． D．10．（2024·江西·一模）已知函數(shù)，，若，的圖象與直線分別切于點，，與直線分別切于點C，D，且，相交于點，則（

）A． B．C． D．11．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的極值點為1B．C．若分別是曲線和上的動點.則的最小值為D．若對任意的恒成立，則的最小值為三、填空題12．（2024·上?！と＃┰O(shè)曲線和曲線在它們的公共點處有相同的切線，則的值為.13．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象在公共點處有相同的切線，則公共點坐標(biāo)為.14．（2024·北京朝陽·一模）已知函數(shù).若曲線在點處的切線與其在點處的切線相互垂直，則的一個取值為.

第6講函數(shù)的公切線問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 5【考點一】求兩函數(shù)的公切線 5【考點二】與公切線有關(guān)的求值問題 11【考點三】判斷公切線條數(shù) 18【考點四】求參數(shù)的取值范圍 21【專題精練】 27考情分析：函數(shù)的公切線問題，是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過雙變量的處理，從而轉(zhuǎn)化為零點問題，主要利用消元與轉(zhuǎn)化，考查構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合能力，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．真題自測真題自測一、單選題1．（2021·全國·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．二、填空題2．（2024·廣東江蘇·高考真題）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則.三、解答題3．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．參考答案：題號1答案D1．D【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知，點在直線上，可得，令，則.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時，直線與曲線的圖象有兩個交點.故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.【點睛】解法一是嚴(yán)格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進(jìn)行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.2．【分析】先求出曲線在的切線方程，再設(shè)曲線的切點為，求出，利用公切線斜率相等求出，表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可求解.【詳解】由得，，故曲線在處的切線方程為；由得，設(shè)切線與曲線相切的切點為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點為，切線方程為，根據(jù)兩切線重合,所以，解得.故答案為：3．(1)3(2)【分析】（1）先由上的切點求出切線方程，設(shè)出上的切點坐標(biāo)，由斜率求出切點坐標(biāo)，再由函數(shù)值求出即可；（2）設(shè)出上的切點坐標(biāo)，分別由和及切點表示出切線方程，由切線重合表示出，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意知，，，，則在點處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點，，則，解得，則，解得；（2），則在點處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：01000則的值域為，故的取值范圍為.考點突破考點突破【考點一】求兩函數(shù)的公切線一、單選題1．（2024·福建·模擬預(yù)測）已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則（）A．， B．，C．， D．，2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若直線是曲線與曲線的公切線，則的方程為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2023·安徽安慶·模擬預(yù)測）已知，是函數(shù)與的圖像的兩條公切線，記的傾斜角為，的傾斜角為，且，的夾角為，則下列說法正確的有（

）A． B．C．若，則 D．與的交點可能在第三象限4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·三模）若一條直線與兩條或兩條以上的曲線均相切，則稱該直線為這些曲線的公切線，已知直線：為曲線：和：的公切線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的圖象在軸的上方B．當(dāng)時，C．若，則D．當(dāng)時，和必存在斜率為的公切線三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）曲線與的公切線方程為.6．（23-24高三上·山東日照·期末）已知函數(shù)的圖象上存在三個不同的點，使得曲線在三點處的切線重合，則此切線的方程為.（寫出符合要求的一條切線即可）參考答案：題號1234答案ABABCABD1．A【分析】設(shè)出切點，寫出切線方程，利用對應(yīng)系數(shù)相等建立方程，解出即可.【詳解】設(shè)直線與曲線的切點為且，與曲線的切點為且，又，，則直線與曲線的切線方程為，即，直線與曲線的切線方程為，即，則，解得，故，故選：A.2．B【分析】設(shè)與y=fx相切于點Ax0,y0，與y=gx相切于點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到和，再由，求得，得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，求得，即可求解.【詳解】設(shè)與曲線y=fx相切于點Ax0,y0由，可得的斜率，所以①，又由，可得，所以，即②，又因為③，將②③代入①中，可得，由③易知，,則④，將④代入③，可得，則，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，可得，所以，所以的方程為，即．故選：B．【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合問題問題的求解策略：1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．3．ABC【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)可得公切線關(guān)于對稱，即可得到，利用誘導(dǎo)公式證明A，利用誘導(dǎo)公式及基本不等式證明B，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義說明C，結(jié)合函數(shù)圖象說明D.【詳解】如圖，因為與互為反函數(shù)，故兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，關(guān)于對稱，故，，故A正確；由題意，，均為銳角，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故B正確；設(shè)與兩個函數(shù)圖象分別切于，兩點，與交于Q，，則，即，解得或（舍去），故，對于，則，令，解得，所以切點為，所以曲線的斜率為的切線方程為，故曲線的斜率為的切線方程為，同理可得的斜率為的切線方程為，故曲線的斜率為的切線方程為，所以，則，則，故C正確；由圖可知點必在第一象限，故D錯誤.

故選：ABC.4．ABD【分析】由函數(shù)解析式可直接判斷A，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程，可用含的式子表示出切點的坐標(biāo)，再將其代入直線，即可判斷B，設(shè)，，利用，并結(jié)合斜率的計算公式，可得判斷C，若和存在斜率為的公切線，則存在和使得，，再結(jié)合選項B中所得，求出和的值判斷D．【詳解】選項A，由，得，可知曲線的圖象在軸的上方，故A正確；選項B，當(dāng)時，：，：，對于：，有，因為直線：為曲線的切線，所以，即，此時，所以切點坐標(biāo)為，將其代入切線方程中，有，整理得，可得，即B正確；選項C，當(dāng)時，公切線為，設(shè)，，則，，所以，，解得，，故C錯誤；選項D，當(dāng)時，，，則，，若和存在斜率為的公切線，則存在和使得，，由選項B可知，，即，所以，，即，，符合題意，故當(dāng)時，和必存在斜率為的公切線，即D正確．故選：ABD．5．【分析】設(shè)出兩曲線的切點和，由導(dǎo)數(shù)的意義可得，再由點斜式得出公切線方程，把點代入直線方程可得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性得到，進(jìn)而得出，最后得到直線方程.【詳解】設(shè)曲線上的切點為，曲線上的切點為.因為，則公切線的斜率，所以.因為公切線的方程為，即，將代入公切線方程得，由，得.令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，0，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，故公切線方程為，即.故答案為：.6．（或）【分析】先求導(dǎo)，設(shè)切線方程，然后根據(jù)切線重合列方程，由此進(jìn)行分類討論求解切線方程.【詳解】設(shè)存在三個不同點在曲線y=fx上，則，且互不相同，由題可得，，故y=fx在的切線方程分別為：，，，根據(jù)題意可得由①可知，，由②，令，則，即，平方可得，，即，由于互不相同，則，則可得，故，則，由此可得其切線方程為：，故答案為：（或）規(guī)律方法：求切線方程時，注意區(qū)分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求過某點的切線方程，需先設(shè)出切點坐標(biāo)，再依據(jù)已知點在切線上求解．【考點二】與公切線有關(guān)的求值問題一、單選題1．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）若曲線與，恰有2條公切線，則（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南長沙·三模）斜率為1的直線與曲線和圓都相切，則實數(shù)的值為（

）A．0或2 B．或2 C．或0 D．0或1二、多選題3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，則（

）A．恒成立的充要條件是B．當(dāng)時，兩個函數(shù)圖象有兩條公切線C．當(dāng)時，直線是兩個函數(shù)圖象的一條公切線D．若兩個函數(shù)圖象有兩條公切線，以四個切點為頂點的凸四邊形的周長為，則4．（2023·湖北·模擬預(yù)測）若存在直線與曲線都相切，則的值可以是（

）A．0 B． C． D．三、填空題5．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則.6．（2024·四川·模擬預(yù)測）若直線是曲線fx=lnx的切線，也是曲線的切線，則參考答案：題號1234答案AAACDABC1．A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別寫出兩曲線的切線方程，讓兩切線方程的系數(shù)相等，得到方程組，消去一個變量后，問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可．【詳解】令，，則，，設(shè)，則曲線在處切線為，設(shè)，則曲線在處切線為，由題意，消去得，由題意，方程有兩個不同的實數(shù)根，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取極大值；當(dāng)時，取極小值，又當(dāng)時，根據(jù)以上信息作出的大致圖象，

由圖可知當(dāng)，即時，直線與的圖象有兩個交點，從而方程有兩個不同的實數(shù)根，所以，曲線與曲線有兩條公切線時，的值為．故選：A.2．A【分析】設(shè)直線的方程為，先根據(jù)直線和圓相切算出，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義算出.【詳解】依題意得，設(shè)直線的方程為，即，由直線和圓相切可得，，解得，當(dāng)時，和相切，，設(shè)切點為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，，又切點同時在直線和曲線上，即，解得.即時，；當(dāng)時，和相切，，設(shè)切點為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，，又切點同時在直線和曲線上，即，解得.即時，.綜上所述，或.故選：A.3．ACD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解恒成立即可求解A，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解切線方程，根據(jù)公切線的性質(zhì)即可結(jié)合選項求解BCD.【詳解】對于A，若恒成立，即恒成立，而恒成立，所以，解得，故A正確；對于B，設(shè)切點,，,，，，有，①代入②，可得，當(dāng)時，代入方程解得：，，方程無解，即兩個函數(shù)圖象無公切線，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，代入方程得：，，故，，所以函數(shù)與的一條公切線為：，故C正確；對于D，如圖，不妨設(shè)切線與切于，與切于，設(shè),，,，,，,，，，故所以，，，同理，則中點即可中點，所以四邊形是平行四邊形，由處的切線方程為，處的切線方程為，得，即，結(jié)合可知，是方程的根，由C選項可知：是的兩個切點，所以，也是方程的根，所以,且,故，則，，，，令，則，故，故D正確．故選：ACD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題BC選項的關(guān)鍵是設(shè)切點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)含義和斜率定義得到，再整理化簡代入值即可判斷.4．ABC【分析】設(shè)該直線與相切于點，求出切線方程為，設(shè)該直線與相切于點，求出切線方程為，聯(lián)立方程組，得到，令，討論的單調(diào)性，從而得到最值，則可得到，解出的取值范圍，四個選項的值分別比較與區(qū)間端點比較大小即可判斷是否在區(qū)間內(nèi).【詳解】設(shè)該直線與相切于點，因為，所以，所以該切線方程為，即.設(shè)該直線與相切于點，因為，所以，所以該切線方程為，即，所以，所以，令，所以當(dāng)時，0；當(dāng)時，；在和上單調(diào)遞減；在和上單調(diào)遞增；又，所以，所以，解得，所以的取值范圍為，所以A正確；對于B，，所以，所以B正確；對于C，因為，所以C正確；對于D，因為，所以D不正確.故選：ABC5．【分析】分別求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組，計算即可.【詳解】設(shè)曲線與的切點分別為，易知兩曲線的導(dǎo)函數(shù)分別為，，由題意可知：，可得，則，解得，所以.故答案為：.6．/【分析】根據(jù)函數(shù)在切點的橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)即為斜率和切點在直線上即可先求出公切線的方程，然后根據(jù)函數(shù)在切點的橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)即為斜率和切點在直線上即可求解.【詳解】因為，所以，設(shè)設(shè)直線與的切點為，則切線方程為,即，又因為所以，解得，，所以切線方程為：，因為，所以，設(shè)直線與的切點為，所以①，又因為切點在直線上，所以②，由①和②可得，所以，解得故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究兩個函數(shù)的公切線問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)解析式設(shè)出切點坐標(biāo)，然后利用函數(shù)在切點橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)即為斜率以及切點在切線上求解即可.規(guī)律方法：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，關(guān)鍵是切點，要充分利用切點既在曲線上又在切線上構(gòu)造方程．【考點三】判斷公切線條數(shù)一、單選題1．（2023·河南·三模）已知函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，則與曲線和均相切的直線l有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條2．（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測）曲線與曲線有（

）條公切線.A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·江西南昌·一模）已知函數(shù)，則和的公切線的條數(shù)為A．三條 B．二條 C．一條 D．0條參考答案：題號123答案CBA1．C【分析】設(shè)切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求兩曲線的切線，當(dāng)切線方程相同時，求切點坐標(biāo)解的個數(shù).【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，則有，即，解得，所以，由，所以在點處的切線方程為，整理得．設(shè)，直線l與的圖像相切于點，因為，所以切線方程為，整理得，則（*），整理得，當(dāng)時，，方程有兩個非零實數(shù)根，也滿足方程，故有3個解，所以方程組（*）有3組解，故滿足題中條件的直線l有3條．故選：C2．B【分析】設(shè)出圖像上任意一點坐標(biāo)，求得過該點的切線方程，結(jié)合公切線，求得切線與圖像的切點坐標(biāo)，求得過該點的切線方程，根據(jù)兩個切線方程重合列方程，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，判斷出方程的根的個數(shù).【詳解】設(shè)是曲線圖像上任意一點，，所以，所以過點的切線方程為，整理得①.令，解得，則，所以曲線上過點的切線方程為：，整理得②.由于切線①②重合，故，即③.構(gòu)造函數(shù)，則，，故當(dāng)時遞減、當(dāng)時遞增，注意到當(dāng)時，且，所以當(dāng)時遞減，當(dāng)時，遞增，而，根據(jù)零點存在性定理可知在區(qū)間各存在的一個零點，也即有兩個零點，也即方程③有兩個根，也即曲線和曲線有兩條公切線.故選：B【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的公切線，考查利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根，屬于難題.3．A【分析】分別設(shè)出兩條曲線的切點坐標(biāo)，根據(jù)斜率相等得到方程，構(gòu)造函數(shù)，研究方程的根的個數(shù)，即可得到切線的條數(shù).【詳解】設(shè)公切線與和分別相切于點，，解得，代入化簡得，構(gòu)造函數(shù)，原函數(shù)在，極大值故函數(shù)和x軸有交3個點，方程有三解，故切線有3條.故選A.【點睛】這個題目考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某一點處的切線方程；步驟一般為：一，對函數(shù)求導(dǎo)，代入已知點得到在這一點處的斜率；二，求出這個點的橫縱坐標(biāo)；三，利用點斜式寫出直線方程.考查了函數(shù)零點個數(shù)問題，即轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像和x軸的交點問題.規(guī)律方法：運用導(dǎo)數(shù)與斜率之間的關(guān)系可以將兩曲線公切線的切點表示出來，構(gòu)造新的函數(shù)，通過零點存在定理判斷函數(shù)零點個數(shù)，即方程解的情況．【考點四】求參數(shù)的取值范圍一、單選題1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）若至少存在一條直線與曲線和均相切，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·云南曲靖·一模）已知，若點為曲線與曲線的交點，且兩條曲線在點處的切線重合，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023·湖南郴州·模擬預(yù)測）若存在直線與曲線都相切，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2023·河北邯鄲·三模）若曲線與圓有三條公切線，則的取值范圍是．5．（2023·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若存在一條直線同時與兩個函數(shù)圖象相切，則實數(shù)a的取值范圍．6．（2023·河北唐山·三模）已知曲線與有公共切線，則實數(shù)的取值范圍為.參考答案：題號123答案DCD1．D【分析】分別假設(shè)公切線的切點，然后根據(jù)題意列出方程并化簡，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有交點即可.【詳解】，設(shè)公切線與曲線y=fx相切于點，與曲線y=gx相切于點，則切線方程分別為，，所以由①得，代入②得．令，則，所以當(dāng)時，?'x<0，當(dāng)時，?所以?x在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，又當(dāng)時，，所以?x的值域為，所以的取值范圍是．故選：D．2．C【分析】設(shè)切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，由切線重合得導(dǎo)數(shù)值相等解得，再由點為交點，則坐標(biāo)滿足兩曲線方程，由此建立等量關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域即可.【詳解】設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則由可得，又可得，且兩條曲線在點處的切線重合，所以切線的斜率，解得或（舍去），即點的橫坐標(biāo)為，由點為曲線與曲線的交點，所以，即，令，則，令可得，由知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)，則實數(shù)的取值范圍為.故選：C.3．D【分析】先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出兩個曲線的公切線，建立方程消參得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性求值域，解關(guān)于a的一元二次不等式即可.【詳解】設(shè)該直線與相切于點，因為，所以，所以，所以該切線方程為，即.設(shè)該直線與相切于點，因為，所以，所以，所以該切線方程為，即.所以，所以，令，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在和上單調(diào)遞減；在和上單調(diào)遞增.又-1，所以，所以，解得，所以的取值范圍為.故選：D.4．【分析】易得曲線在點處的切線方程為，再根據(jù)切線與圓相切，得到，化簡為，根據(jù)曲線與圓有三條公切線，則方程有三個不相等的實數(shù)根，令，由曲線與直線有三個不同的交點求解.【詳解】解：曲線在點處的切線方程為，由于直線與圓相切，得（*）因為曲線與圓有三條公切線，故（*）式有三個不相等的實數(shù)根，即方程有三個不相等的實數(shù)根.令，則曲線與直線有三個不同的交點.顯然，.當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；且當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此，只需，即，解得.故答案為：5．【分析】設(shè)切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)表示出切線方程，根據(jù)切線為同一直線可得其關(guān)系，然后分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可解.【詳解】設(shè)直線l與函數(shù)分別相切于點，因為，所以切線方程可表示為或即或所以，整理得易知，在處的切線方程為，此時與不相切，故，，所以，所以記，則當(dāng)或時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，且當(dāng)m從左邊趨近于1時，趨近于，當(dāng)m從右邊趨近于1時，趨近于，當(dāng)趨于時，且趨近于0，，于是可作的草圖如圖：故．故答案為：6．【分析】設(shè)公切線與曲線的切點為，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求和上的切線方程，由所得切線方程的相關(guān)系數(shù)相等列方程求參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求參數(shù)范圍.【詳解】設(shè)公切線與曲線和的切點分別為，，其中，對于有，則上的切線方程為，即，對于有，則上的切線方程為，即，所以，有，即，令，，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，故，即.∴正實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.規(guī)律方法：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，構(gòu)造參數(shù)關(guān)于切點橫坐標(biāo)或切線斜率k的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的零點問題或兩函數(shù)的交點問題，利用函數(shù)的性質(zhì)或圖象求解．專題精練專題精練一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，直線與的圖象均相切，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．（22-23高二下·江蘇鹽城·期中）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則（）A． B． C． D．3．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若直線為和的公切線，則b等于（

）A． B． C． D．4．（2023·湖南衡陽·模擬預(yù)測）若曲線與有三條公切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（22-23高三上·安徽宿州·階段練習(xí)）若函數(shù)與的圖象存在公共切線，則實數(shù)a的最大值為（

）A． B． C． D．6．（22-23高三上·河南洛陽·階段練習(xí)）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）A．11 B．12 C． D．7．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）若兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線，則正實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．（2022·安徽馬鞍山·一模）若僅存在一條直線與函數(shù)（）和的圖象均相切，則實數(shù)（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·河北保定·二模）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）A． B． C． D．10．（2024·江西·一模）已知函數(shù)，，若，的圖象與直線分別切于點，，與直線分別切于點C，D，且，相交于點，則（

）A． B．C． D．11．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的極值點為1B．C．若分別是曲線和上的動點.則的最小值為D．若對任意的恒成立，則的最小值為三、填空題12．（2024·上?！と＃┰O(shè)曲線和曲線在它們的公共點處有相同的切線，則的值為.13．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象在公共點處有相同的切線，則公共點坐標(biāo)為.14．（2024·北京朝陽·一模）已知函數(shù).若曲線在點處的切線與其在點處的切線相互垂直，則的一個取值為.參考答案：題號12345678910答案BDBAAAACADBC題號11答案ACD1．B【分析】根據(jù)與的圖象關(guān)于直線對稱，得到，設(shè)直線與函數(shù)的圖象的切點坐標(biāo)為，與函數(shù)的圖象的切點坐標(biāo)為，由斜率相等得到，然后再利用斜率和傾斜角的關(guān)系求解.【詳解】解：因為函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，所以與互為反函數(shù)，所以，則．由，得，設(shè)直線與函數(shù)的圖象的切點坐標(biāo)為，與函數(shù)的圖象的切點坐標(biāo)為，則直線的斜率，故，顯然，故，所以直線的傾斜角為，故選：B．2．D【分析】設(shè)出兩個切點坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得.將切點代入兩條曲線，聯(lián)立方程可分別求得,代入其中一條曲線即可求得的值，由此可求.【詳解】直線是曲線的切線,也是曲線的切線,則兩個切點都在直線上,設(shè)兩個切點分別為則兩個曲線的導(dǎo)數(shù)分別為,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,則且切點在各自曲線上,所以則將代入可得可得由可得代入中可知所以，所以.故選：D.3．B【分析】分別設(shè)直線為和的切點為，，分別利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求出切點坐標(biāo)代入直線中，建立關(guān)于的方程組解出即可.【詳解】設(shè)直線與相切于點，與相切于點，由，所以，由，則，即點，代入直線中有：，

①由，所以，由，，即點，代入直線中有：，

②聯(lián)立①②解得：，所以，故選：B.4．A【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，分別設(shè)出兩條曲線的切線方程，將問題轉(zhuǎn)化為一條直線與一條曲線交點個數(shù)問題，即可求出的取值范圍.【詳解】設(shè)公切線為是與的切點，由，得，設(shè)是與的切點，由，得，所以的方程為，因為，整理得，同理，因為，整理得，依題意兩條直線重合，可得，消去，得，由題意此方程有三個不等實根，設(shè)，即直線與曲線有三個不同的交點，因為，令，則，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，所以有極小值為，有極大值為，因為，，，所以，當(dāng)趨近于時，趨近于0；當(dāng)趨近于時，趨近于，故的圖象簡單表示為下圖:所以當(dāng)，即時，直線與曲線有三個交點.故選：A.5．A【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義將公共切線的斜率分別由兩函數(shù)上的切點橫坐標(biāo)表示，并據(jù)此建立關(guān)系，將a由切點坐標(biāo)表示，進(jìn)而將a轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，通過求導(dǎo)求其最大值.【詳解】由題意得，，．設(shè)公切線與的圖象切于點，與的圖象切于點，∴，∴，∴，∴，∴．設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，∴實數(shù)a的最大值為，故選：A．6．A【分析】由直線是曲線的切線求解，可得切線方程，再設(shè)直線與曲線的切點，由切點處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率，且切點處的函數(shù)值相等列式求解n，則答案可求．【詳解】解：由，得，由，解得，則直線與曲線相切于點，∴，得，∴直線是曲線的切線，由，得，設(shè)切點為，則，且，聯(lián)立可得，解得，所以．∴．故選：A．7．A【分析】分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點，得到切線方程，再由兩點的斜率公式，結(jié)合切點滿足曲線方程，運用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)區(qū)間、極值、最值即可得出a的取值范圍.【詳解】設(shè)切線：，即切線：，即，令在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以故選：A．8．C【分析】分別求出函數(shù)上切點處的切線方程和上切點處的切線方程，消去，得，該問題轉(zhuǎn)化為有唯一的值時，求值，即可通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】設(shè)直線與的切點為，由可知，該直線的斜率為，即該直線的方程為，即為，設(shè)直線與的切點為，由可知，該直線的斜率為，即該直線的方程為，即為，∵僅存在一條直線與函數(shù)（）和的圖象均相切，∴，∴即，令，則，當(dāng)時，即，當(dāng)時，即，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得最大值，，圖像為∵切線只有一條，即的值唯