高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練25圓錐曲線的方程與性質(zhì)含答案及解析

2025二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練25圓錐曲線的方程與性質(zhì)[考情分析]圓錐曲線的方程與幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn)，多以選擇題、填空題或解答題第一問(wèn)的形式命題，題目常為中檔難度．【練前疑難講解】一、圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1．圓錐曲線的定義(1)橢圓：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)雙曲線：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)．(3)拋物線：|MF|＝d(d為M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)．溫馨提醒：應(yīng)用圓錐曲線定義解題時(shí)，易忽視定義中隱含條件導(dǎo)致錯(cuò)誤．2．圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)橢圓：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)(焦點(diǎn)在x軸上)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)(焦點(diǎn)在y軸上)．(2)雙曲線：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)(焦點(diǎn)在x軸上)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)(焦點(diǎn)在y軸上)．(3)拋物線：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)．二、橢圓、雙曲線的性質(zhì)橢圓、雙曲線的性質(zhì)(1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系①在橢圓中：a2＝b2＋c2；離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2)).②在雙曲線中：c2＝a2＋b2；離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).(2)雙曲線的漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)①雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x；焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)．②雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x，焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)．三、拋物線的性質(zhì)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程(1)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2).(2)拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，準(zhǔn)線方程y＝－eq\f(p,2).一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足，則雙曲線離心率的最小值為（

）A． B． C．2 D．二、多選題3．（23-24高三上·甘肅武威·期末）已知橢圓的離心率分別為它的左、右焦點(diǎn)，分別為它的左、右頂點(diǎn)，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的最大值為，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．當(dāng)不與左、右端點(diǎn)重合時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，C．有且僅有4個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形D．當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，直線的斜率為4．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上的任意三點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)），，且，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．B．若，則C．設(shè)到直線的距離分別為，則D．若直線的斜率分別為，則三、填空題5．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作一條漸近線的垂線交雙曲線的左支于點(diǎn)，已知，則雙曲線的漸近線方程為．6．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，準(zhǔn)線為l．若C恰過(guò)，，三點(diǎn)中的兩點(diǎn)，則C的方程為；若過(guò)C的焦點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且A到l的距離為4，則．【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·浙江溫州·三模）已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，上兩點(diǎn)滿足：，，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，若的最大值是，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，且的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．4．（2024·安徽合肥·一模）雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．5．（23-24高三上·湖北·期末）已知，分別為雙曲線：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線漸近線上一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．26．（2024·陜西商洛·三模）已知點(diǎn)在拋物線上，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)也在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)為，則線段的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．8．（23-24高三上·內(nèi)蒙古赤峰·開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線C：的頂點(diǎn)為O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且F為拋物線C的焦點(diǎn)，若，則p＝（

）A． B．1 C． D．2二、多選題9．（23-24高二上·甘肅武威·階段練習(xí)）已知橢圓，則（

）A．的焦點(diǎn)都在軸上 B．的焦距不相等C．有公共點(diǎn) D．橢圓比橢圓扁平10．（21-22高二上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在《平面與立體軌跡引論》中證明，方程表示橢圓，費(fèi)馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì)：若從橢圓上任意一點(diǎn)P（異于A，B兩點(diǎn)）向長(zhǎng)軸AB引垂線，垂足為Q，記.下列說(shuō)法正確的是（

）A．M的值與Р點(diǎn)在橢圓上的位置有關(guān) B．M的值與Р點(diǎn)在橢圓上的位置無(wú)關(guān)C．M的值越大，橢圓的離心率越大 D．M的值越大，橢圓的離心率越小11．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）雙曲線與的離心率分別為和，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的焦點(diǎn)在x軸上，的焦點(diǎn)在y軸上B．的焦點(diǎn)到其漸近線的距離與的焦點(diǎn)到其漸近線的距離相等C．的最小值為D．12．（2024·湖南株洲·一模）已知雙曲線，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2 B．雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為C．雙曲線C的漸近線方程為 D．雙曲線C的離心率為三、填空題13．（2024·山東·二模）已知橢圓的焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在橢圓上，如果，那么點(diǎn)到軸的距離是.14．（2023·廣東深圳·一模）若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值是最小值的2倍，則該橢圓的離心率為．15．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，向量，動(dòng)點(diǎn)滿足，寫(xiě)出一個(gè)，使得有且只有一個(gè)點(diǎn)同時(shí)滿足，則.16．（2023·四川成都·一模）已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為．四、解答題17．（2021·陜西西安·三模）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且右焦點(diǎn)為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．求直線的方程．18．（21-22高二上·河北保定·期中）已知點(diǎn)A(-2，0)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足直線AM與BM的斜率之積為，記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；(2)若直線和曲線C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求.19．（2021·四川·二模）已知點(diǎn)，直線，為軸右側(cè)或軸上動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到的距離比線段的長(zhǎng)度大1，記點(diǎn)的軌跡為.（1）求曲線的方程；（2）已知直線交曲線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），，為曲線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求證：直線的斜率為定值.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·山西·一模）已知是橢圓的左?右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·山東濰坊·三模）已知，分別為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若大于，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023·四川雅安·一模）已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，的面積為，則的方程為（

）A． B．C． D．4．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．45．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知點(diǎn)A為雙曲線的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的左支上，若是等腰直角三角形，則的面積是（

）A．4 B． C． D．6．（2023·湖北武漢·三模）已知點(diǎn)M，N是拋物線：和動(dòng)圓C：的兩個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)F是的焦點(diǎn)，當(dāng)MN是圓C的直徑時(shí)，直線MN的斜率為2，則當(dāng)變化時(shí)，的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．（2023·天津?yàn)I海新·三模）已知雙曲線：，拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，拋物線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為，且在第一象限，過(guò)作的垂線，垂足為，若直線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．28．（2024·天津·一模）已知雙曲線與拋物線，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，延長(zhǎng)與拋物線相交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率等于（

）A． B． C． D．9．（2024·天津·一模）以雙曲線的右頂點(diǎn)為圓心，焦點(diǎn)到漸近線的距離為半徑的圓交拋物線于A，B兩點(diǎn).已知，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A．或4 B． C．或4 D．4二、多選題10．（2024·江蘇南通·二模）已知橢圓（）的左，右焦點(diǎn)分別為，，上，下兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，的延長(zhǎng)線交于，且，則（

）A．橢圓的離心率為B．直線的斜率為C．為等腰三角形D．11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于方程表示的曲線，下列說(shuō)法正確的是（

）A．可以表示兩條平行的直線，且這兩條直線的距離為2B．若為雙曲線，則為鈍角C．若為銳角，則為焦點(diǎn)在軸上的橢圓D．若為橢圓，為橢圓上不與長(zhǎng)軸頂點(diǎn)重合的點(diǎn)，則12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線段為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則雙曲線的漸近線方程為B．若點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，則雙曲線的離心率為3C．若點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，，則雙曲線的方程為D．若的面積為1，則雙曲線的焦距長(zhǎng)的最小值為413．（2024·廣西賀州·一模）“雙曲線電瓶新聞燈”是記者常用的一種電瓶新聞燈，具有體積小，光線柔和等特點(diǎn)．這種燈利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．并且過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角，如圖所示：已知左、右焦點(diǎn)為的雙曲線C的離心率為，并且過(guò)點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O為雙曲線C的對(duì)稱(chēng)中心，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線的方程為B．若從射出一道光線，經(jīng)雙曲線反射，其反射光線所在直線的斜率的取值范圍為C．D．過(guò)點(diǎn)作垂直的延長(zhǎng)線于H，則三、填空題14．（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上任意一點(diǎn)，為曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值為.15．（24-25高三上·云南德宏·階段練習(xí)）已知橢圓（）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為.若，分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，，分別為橢圓的上、下焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且，則的面積為.16．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)．若，且的面積為2，則的焦距為．17．（2024·江蘇·一模）設(shè)雙曲線C：(，)的一個(gè)焦點(diǎn)為F，過(guò)F作一條漸近線的垂線，垂足為E．若線段EF的中點(diǎn)在C上，則C的離心率為．四、解答題18．（2024·新疆烏魯木齊·一模）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)的兩條直線，分別與橢圓交于另一點(diǎn)A，B，且直線，，的斜率滿足．(1)求橢圓的方程；(2)證明直線過(guò)定點(diǎn)；(3)橢圓C的焦點(diǎn)分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．19．（2024·吉林白山·一模）已知分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線上異于的任意一點(diǎn)，直線、斜率乘積為，焦距為．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過(guò)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（不與重合），記直線，的斜率為，，證明：為定值．20．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：與拋物線：有相同的焦點(diǎn)，且橢圓過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓上一點(diǎn)在軸下方，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，求的面積的最大值．21．（2024·河北·二模）已知橢圓的離心率．(1)若橢圓過(guò)點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)若直線，均過(guò)點(diǎn)且互相垂直，直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，分別為弦和的中點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，設(shè).（?。┣?；（ⅱ）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．22．（2024·遼寧·一模）已知平面上一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到定直線的距離小，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)點(diǎn)為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若恰好為平行四邊形的其中三個(gè)頂點(diǎn)，且該平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)在第一?三象限的角平分線上，記平行四邊形的面積為，求證：.

2025二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練25圓錐曲線的方程與性質(zhì)[考情分析]圓錐曲線的方程與幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn)，多以選擇題、填空題或解答題第一問(wèn)的形式命題，題目常為中檔難度．【練前疑難講解】一、圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1．圓錐曲線的定義(1)橢圓：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)雙曲線：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)．(3)拋物線：|MF|＝d(d為M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)．溫馨提醒：應(yīng)用圓錐曲線定義解題時(shí)，易忽視定義中隱含條件導(dǎo)致錯(cuò)誤．2．圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)橢圓：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)(焦點(diǎn)在x軸上)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)(焦點(diǎn)在y軸上)．(2)雙曲線：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)(焦點(diǎn)在x軸上)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)(焦點(diǎn)在y軸上)．(3)拋物線：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)．二、橢圓、雙曲線的性質(zhì)橢圓、雙曲線的性質(zhì)(1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系①在橢圓中：a2＝b2＋c2；離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2)).②在雙曲線中：c2＝a2＋b2；離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).(2)雙曲線的漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)①雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x；焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)．②雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x，焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)．三、拋物線的性質(zhì)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程(1)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2).(2)拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，準(zhǔn)線方程y＝－eq\f(p,2).一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足，則雙曲線離心率的最小值為（

）A． B． C．2 D．二、多選題3．（23-24高三上·甘肅武威·期末）已知橢圓的離心率分別為它的左、右焦點(diǎn)，分別為它的左、右頂點(diǎn)，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的最大值為，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．當(dāng)不與左、右端點(diǎn)重合時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，C．有且僅有4個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形D．當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，直線的斜率為4．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上的任意三點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)），，且，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．B．若，則C．設(shè)到直線的距離分別為，則D．若直線的斜率分別為，則三、填空題5．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作一條漸近線的垂線交雙曲線的左支于點(diǎn)，已知，則雙曲線的漸近線方程為．6．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，準(zhǔn)線為l．若C恰過(guò)，，三點(diǎn)中的兩點(diǎn)，則C的方程為；若過(guò)C的焦點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且A到l的距離為4，則．參考答案：題號(hào)1234答案BDABDBD1．B【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出OP的值；方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．【詳解】方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因?yàn)棰?，，即②，?lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因?yàn)棰伲?，即②，?lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級(jí)結(jié)論焦點(diǎn)三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問(wèn)題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．2．D【分析】設(shè)P的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合雙曲線離心率的計(jì)算公式求解即得.【詳解】設(shè)，雙曲線的半焦距為c，則有，，，于是，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，即，離心率，所以雙曲線離心率的最小值為.故選：D3．ABD【分析】A：先求解出橢圓方程，然后根據(jù)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)等于求得結(jié)果；B：先求解出的縱坐標(biāo)，由此可求PF1，根據(jù)橢圓定義可求；C：先計(jì)算焦點(diǎn)三角形頂角的最大值，然后再分析點(diǎn)的個(gè)數(shù)；D：先計(jì)算出為定值，然后可計(jì)算出.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)為右頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，因?yàn)?，所以，所以橢圓的方程為，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C：設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，因?yàn)椋?，所以的最大值為，所以存在個(gè)點(diǎn)，使得，又因?yàn)榇嬖趥€(gè)點(diǎn)使，存在個(gè)點(diǎn)使，所以存在個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋O(shè)，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，故D正確，故選：ABD.4．BD【分析】根據(jù)三角形重心公式以及拋物線焦半徑公式可判斷A；根據(jù)重心相關(guān)性質(zhì)即可判斷B；根據(jù)拋物線的定義可判斷C；根據(jù)題意求得直線的斜率，代入等式計(jì)算可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉閽佄锞€上任意三點(diǎn)，且，所以F為的重心，，所以又，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹匦?，所以，且是的中點(diǎn)，因?yàn)?，在中，有，所以，故B正確；對(duì)于C，拋物線方程為，所以拋物線的準(zhǔn)線為，所以到直線的距離之和，因?yàn)槿c(diǎn)不一定共線，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，兩式相減,得：,所以,同理可得,,所以，故D正確.故選：BD.5．【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線的定義、余弦定理求出的關(guān)系即可作答.【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出圖象如下：

由得，又，所以，雙曲線的漸近線方程為，則點(diǎn)到漸近線的距離，所以在中，，由余弦定理得，即，化簡(jiǎn)得，即，解得或，因?yàn)?，所?則雙曲線的漸近線方程為．故答案為：.6．【分析】根據(jù)題意，得到拋物線經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的方程為，聯(lián)立方程組，求得，得到，再拋物線的定義，求得，不妨設(shè)，得出的直線方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，即可求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，準(zhǔn)線為，且恰過(guò)，，三點(diǎn)中的兩點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)和不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)，所以拋物線不可能過(guò)和兩點(diǎn)，又因?yàn)樵诘谝幌笙?，在第三象限，即拋物線不可能同時(shí)過(guò)和兩點(diǎn)，所以拋物線經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的方程為，則，解得，即，過(guò)拋物線的交點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且到的距離為，由拋物線的定義，可得，解得，則，可得，結(jié)合拋物線的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，則的直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則.故答案為：；.【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·浙江溫州·三模）已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，上兩點(diǎn)滿足：，，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，若的最大值是，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，且的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．4．（2024·安徽合肥·一模）雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．5．（23-24高三上·湖北·期末）已知，分別為雙曲線：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線漸近線上一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．26．（2024·陜西商洛·三模）已知點(diǎn)在拋物線上，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)也在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)為，則線段的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．8．（23-24高三上·內(nèi)蒙古赤峰·開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線C：的頂點(diǎn)為O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且F為拋物線C的焦點(diǎn)，若，則p＝（

）A． B．1 C． D．2二、多選題9．（23-24高二上·甘肅武威·階段練習(xí)）已知橢圓，則（

）A．的焦點(diǎn)都在軸上 B．的焦距不相等C．有公共點(diǎn) D．橢圓比橢圓扁平10．（21-22高二上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在《平面與立體軌跡引論》中證明，方程表示橢圓，費(fèi)馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì)：若從橢圓上任意一點(diǎn)P（異于A，B兩點(diǎn)）向長(zhǎng)軸AB引垂線，垂足為Q，記.下列說(shuō)法正確的是（

）A．M的值與Р點(diǎn)在橢圓上的位置有關(guān) B．M的值與Р點(diǎn)在橢圓上的位置無(wú)關(guān)C．M的值越大，橢圓的離心率越大 D．M的值越大，橢圓的離心率越小11．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）雙曲線與的離心率分別為和，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的焦點(diǎn)在x軸上，的焦點(diǎn)在y軸上B．的焦點(diǎn)到其漸近線的距離與的焦點(diǎn)到其漸近線的距離相等C．的最小值為D．12．（2024·湖南株洲·一模）已知雙曲線，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2 B．雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為C．雙曲線C的漸近線方程為 D．雙曲線C的離心率為三、填空題13．（2024·山東·二模）已知橢圓的焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在橢圓上，如果，那么點(diǎn)到軸的距離是.14．（2023·廣東深圳·一模）若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值是最小值的2倍，則該橢圓的離心率為．15．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，向量，動(dòng)點(diǎn)滿足，寫(xiě)出一個(gè)，使得有且只有一個(gè)點(diǎn)同時(shí)滿足，則.16．（2023·四川成都·一模）已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為．四、解答題17．（2021·陜西西安·三模）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且右焦點(diǎn)為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．求直線的方程．18．（21-22高二上·河北保定·期中）已知點(diǎn)A(-2，0)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足直線AM與BM的斜率之積為，記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；(2)若直線和曲線C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求.19．（2021·四川·二模）已知點(diǎn)，直線，為軸右側(cè)或軸上動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到的距離比線段的長(zhǎng)度大1，記點(diǎn)的軌跡為.（1）求曲線的方程；（2）已知直線交曲線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），，為曲線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求證：直線的斜率為定值.參考答案：題號(hào)12345678910答案DDABBCDCBCDBD題號(hào)1112答案ACAD1．D【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系，利用余弦定理即可求解.【詳解】由可知，設(shè)，則，,,則由余弦定理可得化簡(jiǎn)可得，故，（舍去），又,所以，化簡(jiǎn)可得，故，故選：D2．D【分析】由橢圓的定義得到，再結(jié)合，得到當(dāng)時(shí)，取得最大值，從而得到，即可求出，從而得解.【詳解】由橢圓的定義得，所以．又，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，，即，解得，所以橢圓的方程為.故選：D．3．A【分析】利用已知條件求出a、b、c的值代入方程即可【詳解】由題意知，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：A．4．B【分析】根據(jù)雙曲線方程以及焦距可得，可得漸近線方程.【詳解】由焦距為4可得，即，又，所以，可得，即；則的漸近線方程為.故選：B5．B【分析】由題可得，然后利用二倍角公式結(jié)合條件可得，然后根據(jù)離心率公式即得.【詳解】因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，，所以，又，，所以，所以.故選：B.6．C【分析】結(jié)合圖象利用是的中位線得，是的中位線得，再由拋物線得定義得，共同推得，得到，求得即得.【詳解】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，依題知是的中位線，可知，過(guò)向準(zhǔn)線做垂線，垂足分別為，同理是的中位線，，由拋物線定義知，故得，又，則點(diǎn)橫坐標(biāo)是，代入可得其縱坐標(biāo)為，故.故選：C．7．D【分析】由橢圓離心率為列式求得參數(shù)，進(jìn)一步將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.8．C【分析】根據(jù)拋物線的定義結(jié)合可求得，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程可求出的值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，，所以，所以，所以，所以，解得.故選：C

9．BCD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的幾何性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以A不正確；又由橢圓的焦距為，橢圓的焦距為，所以B正確；由橢圓和的方程，可得兩橢圓和都過(guò)，所以C正確；因?yàn)闄E圓的離心率為，的離心率為，所以，所以D正確.故選:BCD.10．BD【分析】不妨設(shè)橢圓方程為，設(shè)，，求出和橢圓的離心率后，可得答案.【詳解】不妨設(shè)橢圓方程為，設(shè)，，則，所以，，，所以，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以M的值與Р點(diǎn)在橢圓上的位置無(wú)關(guān)，故A不正確，B正確；橢圓的離心率，所以M的值越大，橢圓的離心率越小，故C不正確，D正確.故選：BD11．AC【分析】根據(jù)題意，利用雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合基本不等式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，可判定A正確；對(duì)于B中，由雙曲線的幾何性質(zhì)，可得的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以C正確；對(duì)于D中，由（不是定值），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以D錯(cuò)誤．故選：AC12．AD【分析】根據(jù)雙曲線方程先求解出，然后再逐項(xiàng)分析即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線方程，所以，對(duì)于A：實(shí)軸長(zhǎng)為，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以漸近線方程，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋噪x心率，故D正確；故選：AD.13．【分析】設(shè)，從而根據(jù)可得，聯(lián)立橢圓的方程可解出的值，從而得出點(diǎn)到軸的距離．【詳解】由橢圓方程得，，，設(shè)，則：，；由得：

（1）；又點(diǎn)在橢圓上，可得（2）；（1）（2）聯(lián)立消去得，；即；故點(diǎn)到軸的距離是．故答案為：．14．【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為，代入條件即可求解.【詳解】依題意，由圖象的性質(zhì)可知，點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為，所以，化簡(jiǎn)得，即離心率，故答案為：.15．【分析】根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，有且只有一個(gè)點(diǎn)，即是指直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)即可.【詳解】由，且，知點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，.設(shè)，因，則，由于，.若直線與雙曲線的一條漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).所以，解得.故答案為：.16．【分析】求出圓心和半徑，及雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式列出方程，求出，得到離心率.【詳解】化為，圓心為，半徑為1，的漸近線方程為，則，解得：，即，故離心率為2.故答案為：2.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求得，根據(jù)長(zhǎng)軸和短軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及列方程組，可求得的值，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，消去并化簡(jiǎn)，寫(xiě)出韋達(dá)定理，根據(jù)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得的值，進(jìn)而求解.【詳解】（1）由橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，可得．所以．又，所以，解得．所以．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，由，得．則，．因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以．解得，即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．所以直線l的方程為．18．(1)，曲線是一個(gè)雙曲線，除去左右頂點(diǎn)(2)【分析】（1）設(shè)，則的斜率分別為，，根據(jù)題意列出方程，化簡(jiǎn)后即得C的方程，根據(jù)方程可以判定曲線類(lèi)型，注意特殊點(diǎn)的去除；（2）聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得.【詳解】（1）解：設(shè)，則的斜率分別為，，由已知得，化簡(jiǎn)得，即曲線C的方程為，曲線是一個(gè)雙曲線，除去左右頂點(diǎn).（2）解：聯(lián)立消去整理得，設(shè)，，則，.19．（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】(1)由題設(shè)條件分析討論，再用拋物線定義即可得解；(2)求出點(diǎn)A坐標(biāo)，利用拋物線方程設(shè)出點(diǎn)C，D坐標(biāo)，由條件探求出這兩點(diǎn)縱坐標(biāo)關(guān)系即可得解.【詳解】（1）依題意，線段的長(zhǎng)度等于到的距離，由拋物線定義知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以的方程為；（2）將代入得，則，，如圖：設(shè)拋物線E上動(dòng)點(diǎn)，顯然直線AC，AD斜率存在，，同理，因?yàn)?，則，，直線的斜率，即直線的斜率為定值-1.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·山西·一模）已知是橢圓的左?右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·山東濰坊·三模）已知，分別為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若大于，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023·四川雅安·一模）已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，的面積為，則的方程為（

）A． B．C． D．4．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．45．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知點(diǎn)A為雙曲線的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的左支上，若是等腰直角三角形，則的面積是（

）A．4 B． C． D．6．（2023·湖北武漢·三模）已知點(diǎn)M，N是拋物線：和動(dòng)圓C：的兩個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)F是的焦點(diǎn)，當(dāng)MN是圓C的直徑時(shí)，直線MN的斜率為2，則當(dāng)變化時(shí)，的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．（2023·天津?yàn)I海新·三模）已知雙曲線：，拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，拋物線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為，且在第一象限，過(guò)作的垂線，垂足為，若直線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．28．（2024·天津·一模）已知雙曲線與拋物線，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，延長(zhǎng)與拋物線相交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率等于（

）A． B． C． D．9．（2024·天津·一模）以雙曲線的右頂點(diǎn)為圓心，焦點(diǎn)到漸近線的距離為半徑的圓交拋物線于A，B兩點(diǎn).已知，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A．或4 B． C．或4 D．4二、多選題10．（2024·江蘇南通·二模）已知橢圓（）的左，右焦點(diǎn)分別為，，上，下兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，的延長(zhǎng)線交于，且，則（

）A．橢圓的離心率為B．直線的斜率為C．為等腰三角形D．11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于方程表示的曲線，下列說(shuō)法正確的是（

）A．可以表示兩條平行的直線，且這兩條直線的距離為2B．若為雙曲線，則為鈍角C．若為銳角，則為焦點(diǎn)在軸上的橢圓D．若為橢圓，為橢圓上不與長(zhǎng)軸頂點(diǎn)重合的點(diǎn)，則12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線段為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則雙曲線的漸近線方程為B．若點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，則雙曲線的離心率為3C．若點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，，則雙曲線的方程為D．若的面積為1，則雙曲線的焦距長(zhǎng)的最小值為413．（2024·廣西賀州·一模）“雙曲線電瓶新聞燈”是記者常用的一種電瓶新聞燈，具有體積小，光線柔和等特點(diǎn)．這種燈利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．并且過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角，如圖所示：已知左、右焦點(diǎn)為的雙曲線C的離心率為，并且過(guò)點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O為雙曲線C的對(duì)稱(chēng)中心，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線的方程為B．若從射出一道光線，經(jīng)雙曲線反射，其反射光線所在直線的斜率的取值范圍為C．D．過(guò)點(diǎn)作垂直的延長(zhǎng)線于H，則三、填空題14．（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上任意一點(diǎn)，為曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值為.15．（24-25高三上·云南德宏·階段練習(xí)）已知橢圓（）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為.若，分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，，分別為橢圓的上、下焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且，則的面積為.16．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)．若，且的面積為2，則的焦距為．17．（2024·江蘇·一模）設(shè)雙曲線C：(，)的一個(gè)焦點(diǎn)為F，過(guò)F作一條漸近線的垂線，垂足為E．若線段EF的中點(diǎn)在C上，則C的離心率為．四、解答題18．（2024·新疆烏魯木齊·一模）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)的兩條直線，分別與橢圓交于另一點(diǎn)A，B，且直線，，的斜率滿足．(1)求橢圓的方程；(2)證明直線過(guò)定點(diǎn)；(3)橢圓C的焦點(diǎn)分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．19．（2024·吉林白山·一模）已知分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線上異于的任意一點(diǎn)，直線、斜率乘積為，焦距為．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過(guò)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（不與重合），記直線，的斜率為，，證明：為定值．20．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：與拋物線：有相同的焦點(diǎn)，且橢圓過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓上一點(diǎn)在軸下方，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，求的面積的最大值．21．（2024·河北·二模）已知橢圓的離心率．(1)若橢圓過(guò)點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)若直線，均過(guò)點(diǎn)且互相垂直，直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，分別為弦和的中點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，設(shè).（ⅰ）求；（ⅱ）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．22．（2024·遼寧·一模）已知平面上一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到定直線的距離小，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)點(diǎn)為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若恰好為平行四邊形的其中三個(gè)頂點(diǎn)，且該平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)在第一?三象限的角平分線上，記平行四邊形的面積為，求證：.參考答案：題號(hào)12345678910答案ADBACBBCAACD題號(hào)111213答案ADBDACD1．A【分析】根據(jù)橢圓定義求出，根據(jù)邊長(zhǎng)確定，進(jìn)而求出，即可求解橢圓離心率.【詳解】由題意結(jié)合橢圓定義可知：的周長(zhǎng)為，，又因?yàn)?，所以，又由，知，故，因此橢圓的離心率為.故選：A2．D【分析】由已知可知，的坐標(biāo)和模，由向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)運(yùn)算可得關(guān)于的不等關(guān)系，即可求解.【詳解】因?yàn)闄E圓：，所以，，所以，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)Px0,y0在上，所以，所以，又，，所以，又，，所以，因?yàn)榇笥冢?，所以，解得，所以的取值范圍?故選：.3．B【分析】先根據(jù)雙曲線的定義求出，在中，利用正弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式求出，利用勾股定理可求得，進(jìn)而可求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，即，所以，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，故，則，所以，則，所以，所以，所以的方程為.故選：B.

4．A【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性及定義，求出、長(zhǎng)度，由直角三角形求解可得解.【詳解】如圖，因?yàn)殡p曲線，所以，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性知，所以，由雙曲線定義可得，所以，又，所以，即，所以,故，故選：A5．C【分析】雙曲線的左頂點(diǎn)A?2,0，設(shè)，根據(jù)圖形特征求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求的面積.【詳解】由題意得A?2,0，點(diǎn)B和點(diǎn)C若是等腰直角三角形，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可得A為直角頂點(diǎn)，設(shè)，由對(duì)稱(chēng)性有，則有，代入雙曲線方程，解得，，則有等腰直角三角形的斜邊，三角形的高，所以.故選：C.6．B【分析】直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到，結(jié)合是MN的中點(diǎn)，可得，由拋物線的定義可將轉(zhuǎn)化為，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線時(shí)，可求得的最小值.【詳解】圓C：的圓心，當(dāng)MN是圓C的直徑時(shí)，直線MN的斜率為2，設(shè)直線的方程為，化簡(jiǎn)為：，，消去可得：，設(shè)，，所以，因?yàn)槭荕N的中點(diǎn)，所以，解得：，故，，由拋物線的定義可知，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線時(shí)取等.故選：B.

7．B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合拋物線的定義求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出即可求解作答.【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為：，令交于點(diǎn)，即有，

由，直線的傾斜角為，得，則，，又，則為正三角形，，因此點(diǎn)，雙曲線：過(guò)點(diǎn)的漸近線為，于是，解得，所以雙曲線的離心率.故選：B8．C【分析】根據(jù)向量關(guān)系可得，進(jìn)而可得，，利用三角形相似可得，將其代入拋物線方程即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，，又到的距離，即，，，，則，，得，過(guò)作軸，則，故，因此由于在拋物線上，所以即，，故，故．故選：C．9．A【分析】先求出雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)坐標(biāo)及漸近線方程，進(jìn)而可求得圓的方程，根據(jù)圓與拋物線都關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，從而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程即可得解.【詳解】雙曲線的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,0，焦點(diǎn)為，漸近線方程為，即，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以題中圓的方程為，因?yàn)閳A和拋物線的圖象都關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)，則，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，解得或，所以或，當(dāng)，則，解得，當(dāng)，則，解得，綜上所述，拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為或4.

故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)圓與雙曲線都關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，得出兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，是解決本題的關(guān)鍵.10．ACD【分析】利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理求解角的三角函數(shù)值，在同一個(gè)三角形中將離心率表示為三角函數(shù)值，求出離心率即可判斷A，先求出傾斜角的正切值，再利用斜率的幾何意義判斷B，利用橢圓的定義得到邊相等，證明是等腰三角形判斷C，求解關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式判斷D即可.【詳解】對(duì)于A，連接，，，，，，在中，，故有，解得，則，而在中，，，故A正確，對(duì)于B，而的傾斜角為，而，則，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，由已知得，是等腰三角形，故C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，則，故，易知的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，解得或，故，又，即，由兩點(diǎn)距離公式得，而，，故D正確.故選：ACD.11．AD【分析】當(dāng)時(shí)，表直線，求出直線方程即可判斷A；根據(jù)雙曲線的形式，即可判斷B；化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)橢圓方程形式，即可判斷C；設(shè)出的坐標(biāo)，表示出，結(jié)合橢圓的方程，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)，即時(shí)，方程為，解得，因此可以表示兩條平行的直線，且這兩條直線的距離為2，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，若為雙曲線，則，即，故為鈍角或平角，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，若為銳角，則，即.將原方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，因此為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，若為橢圓，則為銳角，設(shè)橢圓方程為，則，不妨設(shè)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得，即，故，故選項(xiàng)正確.故選：AD．12．BD【分析】根據(jù)知為等邊三角形，據(jù)此求出漸近線斜率，可判斷A，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)得出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在圓上求出點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)，據(jù)此求離心率判斷B，由B求出，得出雙曲線方程判斷C，由，再利用均值不等式求最值判斷D.【詳解】由題意得圓的方程為.對(duì)于A，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，若，則為等邊三角形，所以直線的斜率為，所以雙曲線的漸近線方程為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，所以，又，所以，所以（負(fù)值已舍去），則點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn).又點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，所以，即，所以雙曲線的離心率，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B可知，則，，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，聯(lián)立，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，則雙曲線的焦距長(zhǎng)的最小值為4，故D正確.故選：BD.13．ACD【分析】A選項(xiàng)根據(jù)離心率找到關(guān)系，代點(diǎn)求方程即可；B選項(xiàng)可由雙曲線漸近線的斜率得到；C選項(xiàng)判斷直線為切線，再由題中所給定義得到結(jié)論；D選項(xiàng)聯(lián)立兩條直線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出.【詳解】A選項(xiàng)：設(shè)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線方程為.由離心率，可得，于是方程為.代入點(diǎn)，解得.雙曲線方程為.故A正確.B選項(xiàng):根據(jù)題中條件分析可知，反射光線所在直線的斜率介于兩條漸近線斜率之間.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線漸近線斜率，答案應(yīng)為.故B錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：利用點(diǎn)斜式求得，與雙曲線方程聯(lián)立，得到，可知該直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，即直線為雙曲線在點(diǎn)處的切線.根據(jù)題中條件“過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角”可知，.故C正確.D選項(xiàng)：由C選項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果.因?yàn)橹本€垂直于直線，所以.因?yàn)?，可求?兩方程進(jìn)行聯(lián)立，解出，因此.故D正確.故選：ACD14．【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出圓的圓心和半徑，再利用圓的性質(zhì)求出最小值.【詳解】橢圓中，右焦點(diǎn)，圓的圓心，半徑，顯然橢圓與圓相離，由點(diǎn)在圓上，得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)分別是線段與橢圓、圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：15．【分析】先根據(jù)長(zhǎng)軸及離心率列式求出a,b,c得出橢圓方程，再設(shè)點(diǎn)應(yīng)用數(shù)量積得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后計(jì)算面積即可.【詳解】因?yàn)?所以,所以橢圓方程為,設(shè),橢圓的上、下頂點(diǎn),所以且，所以，所以即得.故答案為：.16．【分析】由題意可知雙曲線為等軸雙曲線，四邊形為矩形，設(shè)雙曲線的半焦距為，利用雙曲線的定義和勾股定理，及的面積為2，求出與的值即可得雙曲線的焦距.【詳解】雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線的半焦距為，則由雙曲