1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

§1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

2021/6/2711.定義域和值域正弦函數(shù)定義域：R值域：[-1，1]時(shí)，取最大值1；時(shí)，取最小值－1；正弦函數(shù)的圖象2021/6/2721.定義域和值域余弦函數(shù)定義域：R值域：[-1，1]余弦函數(shù)的圖象時(shí)，取得最大值1.時(shí)，取得最小值-1.2021/6/2732.周期性

7思考1：觀察上圖,正弦曲線每相隔

個(gè)單位重復(fù)出現(xiàn)..y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinx2π其理論依據(jù)是什么？誘導(dǎo)公式：2021/6/274

f(x+2kπ)=f(x)

這就是說(shuō)：當(dāng)自變量x的值增加到x+2kπ時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn).數(shù)學(xué)上，用周期性這個(gè)概念來(lái)定量地刻畫(huà)這種“周而復(fù)始”的變化規(guī)律。

我們把函數(shù)f(x)=sinx稱(chēng)為周期函數(shù)，2kπ為這個(gè)函數(shù)的周期(其中k∈z且k≠0).思考2：設(shè)f(x)=sinx，則可以怎樣表示？2021/6/275思考3：把函數(shù)f(x)=sinx稱(chēng)為周期函數(shù).那么，一般地，如何定義周期函數(shù)呢？【周期函數(shù)的定義】對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T就叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

2021/6/276思考4：周期函數(shù)的周期是否唯一？正弦函數(shù)y=sinx的周期有哪些？4

答：周期函數(shù)的周期不止一個(gè).±2π，±4π，±6π，…都是正弦函數(shù)的周期，事實(shí)上，任何一個(gè)常數(shù)2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期.2021/6/277【最小正周期】

如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),則這個(gè)最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期.今后本書(shū)中所涉及到的周期，如果不加特別說(shuō)明，一般都是指函數(shù)的最小正周期.思考5：周期函數(shù)是否一定存在最小正周期？例如：f(x)=c(c為常數(shù)）否所有的非零實(shí)數(shù)T都是它的周期，不存在最小正數(shù).2021/6/278

思考6：就周期性而言，對(duì)正弦函數(shù)有什么結(jié)論？對(duì)余弦函數(shù)呢？

根據(jù)上述定義，我們有

正弦函數(shù)是周期函數(shù)，都是它的周期，最小正周期是.類(lèi)似地，余弦函數(shù)的周期性是什么樣的呢？

余弦函數(shù)是周期函數(shù)，都是它的周期，最小正周期是.2021/6/279例1求下列函數(shù)的周期：⑴y=3cosx,x∈R;⑵y=sin2x,x∈R;⑶y=2sin(-),x∈R;

即3cos(x+2π)=

∴由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為2π【解】⑴∵y=cosx的周期為，所以自變量x只要并且至少需要增長(zhǎng)到x+,余弦函數(shù)的值才會(huì)重復(fù)取得.3cosx2021/6/2710⑵y=sin2x,x∈R;

解:令z=2x，那么x∈R必須并且只需z∈R，且函數(shù)y=sinz，z∈R的T=.即變量z只要并且至少要增加到z+

，函數(shù)值才能重復(fù)取得，而z+

=2x+

=

2（x+

）故變量x只要并且至少要增加到x+

，函數(shù)值就能重復(fù)取得，所以由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為.2021/6/2711⑶y=2sin(-),x∈R;

所以由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為解：令，那么x∈R必須并且只要z∈R，且函數(shù)y=2sinz，z∈R的T=

，由于。所以自變量z只要并且至少要增加到z+

，函數(shù)值才能重復(fù)取得，即T=2021/6/2712

由上例知函數(shù)y=3cosx的周期T=2π；函數(shù)y=sin2x的周期T=π；函數(shù)y=2sin(-)的周期T=4π想一想：以上這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān)嗎？

僅與自變量的系數(shù)有關(guān)函數(shù)，令

，那么x∈R必須并且只需z∈R，且函數(shù)y=Asinz，z∈R的T=.即變量z只要并且至少要增加到z+

，函數(shù)值才能重復(fù)取得，而z+==

故變量x只要并且至少要增加到x+

，函數(shù)值就能重復(fù)取得，所以由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為.2021/6/2713一般地，三角函數(shù)如果函數(shù)的周期是T，那么函數(shù)的周期是的周期：的周期：2021/6/2714解：例2：試判斷函數(shù)

是否為周期函數(shù)？周期為2021/6/2715三角函數(shù)周期的主要求法1、定義法：2、公式法：3、圖象法2021/6/2716正弦函數(shù)的圖象余弦函數(shù)的圖象問(wèn)題：它們的圖象有何對(duì)稱(chēng)性？3.奇偶性正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)偶函數(shù)2021/6/27173.奇偶性為奇函數(shù)為偶函數(shù)思考：能否從奇偶性定義出發(fā)，證明這個(gè)判斷的正確性？2021/6/2718判斷奇偶性正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù).首先檢查其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如果是，再驗(yàn)證f(-x)是否等于-f(x)或f(x),進(jìn)而判斷函數(shù)的奇偶性；如果不是，就是非奇非偶函數(shù).2021/6/2719正弦函數(shù)的圖象對(duì)稱(chēng)軸：對(duì)稱(chēng)中心：2021/6/2720余弦函數(shù)的圖象對(duì)稱(chēng)軸：對(duì)稱(chēng)中心：2021/6/2721例題

求

函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心解（1）令則的對(duì)稱(chēng)軸為解得：對(duì)稱(chēng)軸為的對(duì)稱(chēng)中心為對(duì)稱(chēng)中心為2021/6/2722

y=sinx(xR)xyo--1234-2-31

…

0...

...

...-1010-14.正弦函數(shù)的單調(diào)性y=sinx增區(qū)間為，其值從-1增大到1減區(qū)間為，其值從1減小到-12021/6/2723

4.余弦函數(shù)的單調(diào)性

y=cosx(xR)增區(qū)間為減區(qū)間為yxo--1234-2-31

其值從-1增大到1其值從1減小到-12021/6/2724思考：

正弦函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，而余弦函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，這種說(shuō)法正確嗎？不正確。正弦函數(shù)在每個(gè)閉區(qū)間上是增函數(shù)，并不是在整個(gè)定義域上是增函數(shù)。余弦函數(shù)在每個(gè)閉區(qū)間上是減函數(shù)，并不是在整個(gè)定義域上是減函數(shù)。2021/6/2725正弦函數(shù)的最大值和最小值5.最大值和最小值正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x=____________時(shí)取得最大值1，當(dāng)且僅當(dāng)x=___________時(shí)取得最小值-1；2021/6/2726余弦函數(shù)的最大值和最小值5.最大值和最小值余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x=____________時(shí)取得最大值1，當(dāng)且僅當(dāng)x=___________時(shí)取得最小值-1；2021/6/2727例3下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請(qǐng)寫(xiě)出取最大值、最小值時(shí)的自變量x的集合，并說(shuō)出最大值、最小值分別是什么？2021/6/2728使函數(shù)取得最大值的x集合,就是使函數(shù)取得最大值的x的集合解：使函數(shù)取得最小值的x集合,就是使函數(shù)取得最小值的x的集合函數(shù)的最大值是1+1=2，最小值是-1+1=02021/6/2729使函數(shù)取得最大值的x的集合是

同理，使函數(shù)取得最小值的x的集合是

2021/6/2730分析：比較同名函數(shù)值的大小，往往可以利用函數(shù)的單調(diào)性，但需要考慮它是否在同一單調(diào)區(qū)間上，若是，