2-定積分的基本公式

節(jié)一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、牛頓–萊布尼茲公式定積分的基本公式章定積分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/271本節(jié)的教學(xué)要求理解變上限的積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理掌握牛頓-萊布尼茨公式重點(diǎn)定積分的基本公式

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/6/272

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、變上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)考察定積分設(shè)f(x)

在[a,b]上可積,任取一點(diǎn)變上限函數(shù)如果上限x

在區(qū)間[a,b]上任意變動(dòng),每一個(gè)取定的x值,則對于定積分有一個(gè)對應(yīng)值,所以它在[a,b]上定義了一個(gè)函數(shù),記為定積分的基本公式

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機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

注一定要分清函數(shù)的自變量x積分變量t.與

這個(gè)函數(shù)的幾何意義是如圖紅色部分的面積函數(shù).定積分的基本公式

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機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則變上限函數(shù)在[a,b]上可導(dǎo),且它的導(dǎo)數(shù)定積分的基本公式

微積分的基本定理2021/6/275

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束系.因此區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)f

(x)

的不定積

定理指出:函數(shù)就是f(x)

的一個(gè)原函數(shù).(1)連續(xù)函數(shù)f(x)一定有原函數(shù),分可以用定積分形式表示，即(2)初步揭示了積分學(xué)中定積分與原函數(shù)的聯(lián)定積分的基本公式

2021/6/276

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1設(shè)，求解

由定理知例2設(shè)求定積分的基本公式

解

由定理知例3設(shè)求2021/6/277

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4設(shè)求解

因?yàn)樗远ǚe分的基本公式

2021/6/278

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5求解

令則有定積分的基本公式

2021/6/279

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分的基本公式

例6求2021/6/2710

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7求解型未定式，由洛必達(dá)法則得這是定積分的基本公式

2021/6/2711

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分的基本公式

例8求2021/6/2712

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解由有令得駐點(diǎn)由極值第二充分條件知是極值點(diǎn).極小值為的極值.例

求函數(shù)定積分的基本公式

2021/6/2713課堂練習(xí)

2.

求原式解1.

求解原式=

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分的基本公式

2021/6/2714

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、牛頓—萊布尼茨公式定理如果是連續(xù)函數(shù)一個(gè)原函數(shù),則牛頓(Newton)—萊布尼茨(Leibniz)公式微積分基本公式在區(qū)間上的定積分的基本公式

2021/6/2715

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束微積分基本公式表明求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的增量.定積分的基本公式

2021/6/2716例

計(jì)算

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解例

求定積分的基本公式

2021/6/2717，求

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分的基本公式

例

2021/6/2718例

求定積分

解

由定積分的區(qū)間可加性

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分的基本公式

2021/6/2719

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

面積解平面圖形的面積.所圍成的例

定積分的基本公式

2021/6/2720解求求1.2.解原式原式

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分的基本公式

練習(xí)2021/6/2721例

汽車以每小時(shí)

36

km

的速度行駛,

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束到某處需要減速停車,設(shè)汽車以等加速度剎車,問從開始剎車到停車走了多少距離?

解

設(shè)開始剎車時(shí)刻為則此時(shí)刻汽車速度剎車后汽車減速行駛,其速度為當(dāng)汽車停住時(shí),即得故在這段時(shí)間內(nèi)汽車所走的距離為定積分的基本公式

2021/6/2722內(nèi)容小結(jié)

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.微積分基本公式則有積分中值定理微分中值定理牛頓