2-定積分的基本公式

節(jié)一、積分上限函數及其導數二、牛頓–萊布尼茲公式定積分的基本公式章定積分機動目錄上頁下頁返回結束2021/6/271本節(jié)的教學要求理解變上限的積分作為其上限的函數及其求導定理掌握牛頓-萊布尼茨公式重點定積分的基本公式

機動目錄上頁下頁返回結束2021/6/272

機動目錄上頁下頁返回結束一、變上限函數及其導數考察定積分設f(x)

在[a,b]上可積,任取一點變上限函數如果上限x

在區(qū)間[a,b]上任意變動,每一個取定的x值,則對于定積分有一個對應值,所以它在[a,b]上定義了一個函數,記為定積分的基本公式

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機動目錄上頁下頁返回結束

注一定要分清函數的自變量x積分變量t.與

這個函數的幾何意義是如圖紅色部分的面積函數.定積分的基本公式

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機動目錄上頁下頁返回結束則變上限函數在[a,b]上可導,且它的導數定積分的基本公式

微積分的基本定理2021/6/275

機動目錄上頁下頁返回結束系.因此區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數f

(x)

的不定積

定理指出:函數就是f(x)

的一個原函數.(1)連續(xù)函數f(x)一定有原函數,分可以用定積分形式表示，即(2)初步揭示了積分學中定積分與原函數的聯(lián)定積分的基本公式

2021/6/276

機動目錄上頁下頁返回結束例1設，求解

由定理知例2設求定積分的基本公式

解

由定理知例3設求2021/6/277

機動目錄上頁下頁返回結束例4設求解

因為所以定積分的基本公式

2021/6/278

機動目錄上頁下頁返回結束例5求解

令則有定積分的基本公式

2021/6/279

機動目錄上頁下頁返回結束定積分的基本公式

例6求2021/6/2710

機動目錄上頁下頁返回結束例7求解型未定式，由洛必達法則得這是定積分的基本公式

2021/6/2711

機動目錄上頁下頁返回結束定積分的基本公式

例8求2021/6/2712

機動目錄上頁下頁返回結束解由有令得駐點由極值第二充分條件知是極值點.極小值為的極值.例

求函數定積分的基本公式

2021/6/2713課堂練習

2.

求原式解1.

求解原式=

機動目錄上頁下頁返回結束定積分的基本公式

2021/6/2714

機動目錄上頁下頁返回結束三、牛頓—萊布尼茨公式定理如果是連續(xù)函數一個原函數,則牛頓(Newton)—萊布尼茨(Leibniz)公式微積分基本公式在區(qū)間上的定積分的基本公式

2021/6/2715

機動目錄上頁下頁返回結束微積分基本公式表明求定積分問題轉化為求原函數的問題.一個連續(xù)函數在區(qū)間[a,b]上的定積分等于它的任意一個原函數在區(qū)間[a,b]上的增量.定積分的基本公式

2021/6/2716例

計算

機動目錄上頁下頁返回結束解例

求定積分的基本公式

2021/6/2717，求

機動目錄上頁下頁返回結束定積分的基本公式

例

2021/6/2718例

求定積分

解

由定積分的區(qū)間可加性

機動目錄上頁下頁返回結束定積分的基本公式

2021/6/2719

機動目錄上頁下頁返回結束

面積解平面圖形的面積.所圍成的例

定積分的基本公式

2021/6/2720解求求1.2.解原式原式

機動目錄上頁下頁返回結束定積分的基本公式

練習2021/6/2721例

汽車以每小時

36

km

的速度行駛,

機動目錄上頁下頁返回結束到某處需要減速停車,設汽車以等加速度剎車,問從開始剎車到停車走了多少距離?

解

設開始剎車時刻為則此時刻汽車速度剎車后汽車減速行駛,其速度為當汽車停住時,即得故在這段時間內汽車所走的距離為定積分的基本公式

2021/6/2722內容小結

機動目錄上頁下頁返回結束2.微積分基本公式則有積分中值定理微分中值定理牛頓