高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第1講　空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖 新題培優(yōu)練公益

[基礎(chǔ)題組練]1.如圖所示是水平放置的三角形的直觀圖，點(diǎn)D是△ABC的BC邊的中點(diǎn)，AB，BC分別與y′軸，x′軸平行，則在原圖中三條線段AB，AD，AC中()A．最長的是AB，最短的是ACB．最長的是AC，最短的是ABC．最長的是AB，最短的是ADD．最長的是AC，最短的是AD解析：選B.由條件知，原平面圖形中AB⊥BC，從而AB<AD<AC.2．如圖所示，上面的幾何體由一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是()A．①② B．②③C．③④ D．①⑤解析：選D.圓錐的軸截面為等腰三角形，此時(shí)①符合條件；當(dāng)截面不過旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，圓錐的軸截面為雙曲線的一支，此時(shí)⑤符合條件；故截面圖形可能是①⑤.3．已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側(cè)視圖是有一條直角邊長為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為()解析：選C.當(dāng)正視圖為等腰三角形時(shí)，則高應(yīng)為2，且應(yīng)為虛線，排除A，D；當(dāng)正視圖是直角三角形，由條件得一個(gè)直觀圖如圖所示，中間的線是看不見的線PA形成的投影，應(yīng)為虛線，故答案為C.4．如圖，一個(gè)三棱柱的正視圖和側(cè)視圖分別是矩形和正三角形，則這個(gè)三棱柱的俯視圖為()解析：選D.由正視圖和側(cè)視圖可知，這是一個(gè)水平放置的正三棱柱．故選D.5．(2019·福建漳州調(diào)研)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長棱的長度為()A.eq\r(5) B．2eq\r(2)C．3 D．2eq\r(3)解析：選C.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為AD的中點(diǎn)，該幾何體的直觀圖如圖中三棱錐D1-MB1C.故通過計(jì)算可得D1C＝D1B1＝B1C＝2eq\r(2)，D1M＝MC＝eq\r(5)，MB1＝3，故最長棱的長度為3，故選C.6.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為________．解析：由三視圖可知該多面體是一個(gè)組合體，下面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長為2，直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2個(gè)面是梯形，這些梯形的面積之和為eq\f(（2＋4）×2,2)×2＝12.答案：127．一個(gè)圓臺上、下底面的半徑分別為3cm和8cm，若兩底面圓心的連線長為12cm，則這個(gè)圓臺的母線長為______cm.解析：如圖，過點(diǎn)A作AC⊥OB，交OB于點(diǎn)C.在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．答案：138．已知正四棱錐V-ABCD中，底面面積為16，一條側(cè)棱的長為2eq\r(11)，則該棱錐的高為________．解析：如圖，取正方形ABCD的中心O，連接VO，AO，則VO就是正四棱錐V-ABCD的高．因?yàn)榈酌婷娣e為16，所以AO＝2eq\r(2).因?yàn)橐粭l側(cè)棱長為2eq\r(11)，所以VO＝eq\r(VA2-AO2)＝eq\r(44－8)＝6.所以正四棱錐V-ABCD的高為6.答案：69．如圖所示的三個(gè)圖中，上面是一個(gè)長方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖如圖所示(單位：cm)．(1)在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；(2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積．解：(1)如圖．(2)所求多面體的體積V＝V長方體－V正三棱錐＝4×4×6－eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×2×2)×2＝eq\f(284,3)(cm3)．10．已知正三棱錐V-ABC的正視圖和俯視圖如圖所示．(1)畫出該三棱錐的直觀圖和側(cè)視圖．(2)求出側(cè)視圖的面積．解：(1)如圖．(2)側(cè)視圖中VA＝eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×2\r(3)))\s\up12(2))＝eq\r(12)＝2eq\r(3).則S△VBC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(3)＝6.[綜合題組練]1．(創(chuàng)新型)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖中的虛線部分是()A．圓弧 B．拋物線的一部分C．橢圓的一部分 D．雙曲線的一部分解析：選D.根據(jù)幾何體的三視圖可得，側(cè)視圖中的虛線部分是由平行于旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐所得，故側(cè)視圖中的虛線部分是雙曲線的一部分，故選D.2．(創(chuàng)新型)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖(1)，它的俯視圖的直觀圖是矩形O1A1B1C1，如圖(2)，其中O1A1＝6，O1C1＝2，則該幾何體的側(cè)面積為()A．48 B．64C．96 D．128解析：選C.由題圖(2)及斜二測畫法可知原俯視圖為如圖所示的平行四邊形OABC，設(shè)CB與y軸的交點(diǎn)為D，則易知CD＝2，OD＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)，所以CO＝eq\r(CD2＋OD2)＝6＝OA，所以俯視圖是以6為邊長的菱形，由三視圖知幾何體為一個(gè)直四棱柱，其高為4，所以該幾何體的側(cè)面積為4×6×4＝96.故選C.3.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是線段A1C1上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐P-BCD的俯視圖與正視圖面積之比的最大值為()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：選D.正視圖，底面B，C，D三點(diǎn)，其中D與C重合，隨著點(diǎn)P的變化，其正視圖均是三角形且點(diǎn)P在正視圖中的位置在邊B1C1上移動(dòng)，由此可知，設(shè)正方體的棱長為a，則S正視圖＝eq\f(1,2)×a2；設(shè)A1C1的中點(diǎn)為O，隨著點(diǎn)P的移動(dòng)，在俯視圖中，易知當(dāng)點(diǎn)P在OC1上移動(dòng)時(shí)，S俯視圖就是底面三角形BCD的面積，當(dāng)點(diǎn)P在OA1上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P越靠近A1，俯視圖的面積越大，當(dāng)?shù)竭_(dá)A1的位置時(shí)，俯視圖為正方形，此時(shí)俯視圖的面積最大，S俯視圖＝a2，所以eq\f(S俯視圖,S正視圖)的最大值為eq\f(a2,\f(1,2)a2)＝2，故選D.4．(應(yīng)用型)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為1，點(diǎn)M在線段BC上(點(diǎn)M異于B，C兩點(diǎn))，點(diǎn)N為線段CC1的中點(diǎn)，若平面AMN截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面為四邊形，則線段BM的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))解析：選B.由題意，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)時(shí)，截面為四邊形AMND1，當(dāng)0＜BM≤eq\f(1,2)時(shí)，截面為四邊形，當(dāng)BM＞eq\f(1,2)時(shí)，截面為五邊形，故選B.5．(2019·株洲模擬)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為6，且底面是邊長為2的正三角形，用一平面截此棱柱，與側(cè)棱AA1，BB1，CC1，分別交于三點(diǎn)M，N，Q，若△MNQ為直角三角形，則該直角三角形斜邊長的最小值為()A．2eq\r(2) B．3C．2eq\r(3) D．4解析：選C.如圖，不妨設(shè)N在B處，AM＝h，CQ＝m，則MB2＝h2＋4，BQ2＝m2＋4，MQ2＝(h－m)2＋4，由MB2＝BQ2＋MQ2，得m2－h(huán)m＋2＝0.Δ＝h2－8≥0即h2≥8，該直角三角形斜邊MB＝eq\r(4＋h2)≥2eq\r(3).故選C.6．(2019·高考全國卷Ⅱ)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1，則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長為________．解析：依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個(gè)面