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5.2三角函數(shù)的概念【四大必考點+十大秒殺招+八大題型+分層訓練】知識精講知識精講知識點01三角函數(shù)的概念(1)任意角的三角函數(shù)的定義前提如圖,設α是一個任意角,α∈R,它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y)定義正弦函數(shù)把點P的縱坐標y叫做α的正弦函數(shù),記作sinα,即y=sinα余弦函數(shù)把點P的橫坐標x叫做α的余弦函數(shù),記作cosα,即x=cosα正切函數(shù)把點P的縱坐標與橫坐標的比值eq\f(y,x)叫做α的正切,記作tanα,即eq\f(y,x)=tanα(x≠0),以單位圓上點的縱坐標與橫坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù),稱為正切函數(shù)三角函數(shù)我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)注:三角函數(shù)的定義(1)三角函數(shù)是一種函數(shù),它滿足函數(shù)的定義,可以看成是從角的集合(弧度制)到一個比值的集合的對應.(2)三角函數(shù)是用比值來定義的,所以三角函數(shù)的定義域是使比值有意義的角的范圍.(3)三角函數(shù)值的大小與點P(x,y)在角α終邊上的位置無關,只由角α的終邊位置決定,即三角函數(shù)值的大小只與角有關.(2)三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)定義域y=sinxx∈Ry=cosxx∈Ry=tanxx≠eq\f(π,2)+kπ(k∈Z)知識點02三角函數(shù)值的符號規(guī)律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.知識點03誘導公式(一)名稱符號語言文字語言誘導公式(一)sin(α+k·2π)=sinα(k∈Z)cos(α+k·2π)=cosα(k∈Z)tan(α+k·2π)=tanα(k∈Z)終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等注:公式一的理解(1)公式一的實質:終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等,即角α的終邊每繞原點旋轉一周,函數(shù)值將重復出現(xiàn)一次,體現(xiàn)了三角函數(shù)特有的“周而復始”的變化規(guī)律.(2)公式一的結構特征:①左、右為同一三角函數(shù);②公式左邊的角為α+k·2π(k∈Z),右邊的角為α.知識點04同角三角函數(shù)的基本關系同角三角函數(shù)的基本關系關系式語言敘述平方關系sin2α+cos2α=1同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1商數(shù)關系eq\f(sinα,cosα)=tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ+\f(π,2),k∈Z))同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切(1)同角三角函數(shù)的基本關系式的變形形式及常用結論①平方關系變形及常用結論sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα,(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα.②商的變形sinα=tanαcosα,cosα=eq\f(sinα,tanα).(2)同角三角函數(shù)的基本關系式揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運算規(guī)律,這里“同角”有兩層含義:一是“角相同”,二是對“任意”一個角(在使函數(shù)有意義的前提下).關系式成立與角的表達形式無關,如sin23α+cos23α=1.(3)sin2α是(sinα)2的簡寫,不能寫成sinα2.(4)約定:教材中給出的三角恒等式,除特別注明的情況外,都是指兩邊都有意義的情況下的恒等式.(5)在使用同角三角函數(shù)關系式時要注意使式子有意義,如式子tan90°=eq\f(sin90°,cos90°)不成立.(6)在應用平方關系式求sinα或cosα時,其正負號是由角α所在的象限決定的.解題大招解題大招大招01任意角的三角函數(shù)的定義如圖,在直角坐標系中,設是一個任意角,終邊上任意一點的坐標為,它與原點的距離為,那么:(1)比值叫做的正弦,記作,即;(2)比值叫做的余弦,記作,即;(3)比值叫做的正切,記作,即.對于確定的值,比值,,分別是唯一一個確定的實數(shù),所以正弦、余弦、正切是以角為自變量,比值為函數(shù)值的函數(shù),以上三種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).大招02利用三角函數(shù)的定義求值的策略已知角α的終邊在直線上求α的三角函數(shù)值時,常用的解題方法有以下兩種:(1)先利用直線與單位圓相交,求出交點坐標,然后利用三角函數(shù)的定義求出相應的三角函數(shù)值.(2)注意角的終邊為射線,所以應分兩種情況來處理,取射線上任一點(a,b),則對應角的正弦值sinα=eq\f(b,\r(a2+b2)),余弦值cosα=eq\f(a,\r(a2+b2)).提醒:角α是一個任意角,其范圍是使函數(shù)有意義的實數(shù)集.大招03判斷三角函數(shù)值的符號各三角函數(shù)的值在各象限的符號如圖所示.【說明】(1)對各象限角對應的正弦值、余弦值和正切值來說,第一象限各三角函數(shù)值全都是正號,第二象限只有正弦是正值,第三象限只有正切是正值,第四象限只有余弦是正值.(2)各象限三角函數(shù)值正號規(guī)律:一全二正弦,三切四余弦.大招04確定三角函數(shù)值在各象限內符號的方法(1)三角函數(shù)值的符號是根據(jù)三角函數(shù)的定義,由各象限內的點的坐標的符號得出的.(2)正弦、余弦、正切函數(shù)的符號表示:第一象限全是正值,第二象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值.大招05公式一的應用公式一可以統(tǒng)一寫成f(k·360°+α)=f(α)或f(k·2π+α)=f(α)(k∈Z)的形式2、利用它可以把任意角的三角函數(shù)值轉化為0到2π角的三角函數(shù)值,即可把負角的三角函數(shù)化為0到2π角的三角函數(shù),亦可以把大于2π角的三角函數(shù)化為0到2π角的三角函數(shù),即對角實現(xiàn)負化正、大化小的轉化.大招06求三角函數(shù)值的方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解當角θ的范圍不確定且涉及開方時,常因三角函數(shù)值的符號問題而對角θ分區(qū)間(象限)討論.大招07sinα±cosα,sinαcosα的應用1、sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα三個式子中,已知其中一個,可以利用平方關系求其他兩個,即“知一求二”.2、sinθ±cosθ的符號的判定方法sinθ-cosθ的符號的判定方法:由三角函數(shù)的定義知,當θ的終邊落在直線y=x上時,sinθ=cosθ,即sinθ-cosθ=0,當θ的終邊落在直線y=x的上半平面區(qū)域內時,sinθ>cosθ,即sinθ-cosθ>0;當θ的終邊落在直線y=x的下半平面區(qū)域內時,sinθ<cosθ,即sinθ-cosθ<0,如圖①所示.同理可得sinθ+cosθ的符號如圖②所示.大招08齊次式求值1、已知,可以求或的值,將分子分母同除以或,化成關于的式子,從而達到求值的目的.2、對于的求值,可看成分母是1,利用進行代替后分子分母同時除以,得到關于的式子,從而可以求值.3、不是已知的情況,可以先利用同角三角函數(shù)的基本關系式求得的值,然后利用齊次式的方法求解.4、齊次式的化切求值問題,體現(xiàn)了數(shù)學運算的核心素養(yǎng).大招09三角函數(shù)式化簡的常用方法(1)化切為弦,即把正切函數(shù)都化為正弦、余弦函數(shù),從而減少函數(shù)名稱,達到化簡的目的.(2)對于含有根號的,常把根號里面的部分化成完全平方式,然后去根號達到化簡的目的.(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式,往往借助因式分解,或構造sin2α+cos2α=1,以降低函數(shù)次數(shù),達到化簡的目的.大招10證明三角恒等式常用的方法(1)從左向右推導或從右向左推導,一般由繁到簡.(2)左右歸一法,即證明左右兩邊都等于同一個式子.(3)化異為同法,即針對題設與結論間的差異,有針對地進行變形,以消除差異.(4)變更命題法,如要證明eq\f(a,b)=eq\f(c,d),可證ad=bc,或證eq\f(d,b)=eq\f(c,a)等.(5)比較法,即設法證明“左邊-右邊=0”或“eq\f(左邊,右邊)=1”.題型分類題型分類題型01任意角的三角函數(shù)的定義及應用【例1】已知角α的終邊過點?1,2,則cosα=(A.33 B.233 C.?【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.【解答過程】由題意,cosα=故選:C.【變式1-1】已知角α的終邊經(jīng)過點sin5π6,cosA.?3 B.3 C.?33【變式1-2】已知α是第二象限的角,Px,2為其終邊上的一點,且sinα=13,則A.?4 B.±4 C.±42 D.題型02由單位圓求三角函數(shù)值【例2】已知角α的終邊與單位圓的交點P?31010,A.?21010 B.?1010 【解題思路】利用角的終邊與單位圓相交來定義任意角的三角函數(shù)值.【解答過程】因為角α的終邊與單位圓的交點P?令x=?3所以sinα=y=所以sinα+故選:A.【變式2-1】設a<0,角α的終邊與圓x2+y2=1的交點為P(?3aA.?25 B.?15 C.【變式2-2】在單位圓中,已知角α的終邊上與單位圓的交點為P?35,4A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限題型03三角函數(shù)值在各象限的符號【例3】若sinθtanθ>0,則A.第一、二象限角 B.第二、三象限角 C.第一、三象限角 D.第一、四象限角【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)在各個象限的符號判斷即可.【解答過程】因為sinθtanθ在第一象限時sinθ>0,在第四象限時sinθ<0,所以θ是第一、四象限角,而二、三象限兩函數(shù)值異號.故選:D.【變式3-1】若角α的頂點為坐標原點,始邊在x軸正半軸上,sinα<0且tanα>0,則α的終邊在(A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【變式3-2】若π<θ<3π2,則點A.一 B.二 C.三 D.四題型04誘導公式一的應用【例4】sin390°的值為(
A.32 B.22 C.12【解題思路】根據(jù)誘導公式和特殊角的三角函數(shù)值即可.【解答過程】sin390°=故選:C.【變式4-1】cos25π3A.32 B.12 C.?3【變式4-2】sin?29πA.?32 B.?12 C.題型05同角三角函數(shù)的基本關系【例5】若α為第二象限角,且sinα=32,則tanA.3 B.?3 C.33 【解題思路】根據(jù)條件,利用平方關系和商數(shù)關系,即可求出結果.【解答過程】因為α為第二象限角,且sinα=32得到tanα=故選:B.【變式5-1】已知θ是三角形的內角,若sinθ?cosθ=15A.75 B.?15 C.?【變式5-2】若tanα=?34,cosα<0,則A.45 B.?45 C.3題型06正、余弦齊次式的計算【例6】已知tanα=3,則2sinα+A.1 B.3 C.5 D.7【解題思路】利用三角函數(shù)的基本關系化簡原式即可直接得答案.【解答過程】將2sinα+cos2sin故選:D.【變式6-1】已知tanα=?2,則sinαcosA.3 B.-3 C.2 D.-2【變式6-2】已知角α的終邊在函數(shù)y=2x的圖象上,則1?2sinA.?25 B.±25 C.題型07三角函數(shù)式的化簡、求值【例7】(1)已知tanα=23(2)若sinα?cosα=【解題思路】(1)齊次化得到1sin(2)sinα?cosα=【解答過程】(1)tanα=23(2)因為sinα?cosα=整理得到2sinαcos【變式7-1】化簡:(1)1+2sin(2)sin2【變式7-2】已知2cos(1)tanα(2)2sin題型08三角恒等式的證明【例8】證明下列恒等式:(1)sin2(2)21?【變式8-1】求證:(1)sin2(2)已知tanα=13【變式8-2】求證:(1)sinα?cosα+1(2)2分層分層訓練【基礎過關】1.已知角的頂點與原點重合,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊經(jīng)過點,且,則實數(shù)的值是(
)A.和 B. C. D.2.“”是“”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知是第二象限的角,為其終邊上的一點,且,則(
)A. B. C. D.4.對任意且,函數(shù)的圖象都過定點,且點在角的終邊上,則(
)A. B.?2 C. D.5.已知角的終邊經(jīng)過點,則(
)A. B. C. D.6.隨著智能手機的普及,手機攝影越來越得到人們的喜愛,要得到美觀的照片,構圖是很重要的,用“黃金分割構圖法”可以讓照片感覺更自然、更舒適,“黃金九宮格”是黃金分割構圖的一種形式,是指把畫面橫、豎各分三部分,以比例1:0.618:1為分隔,4個交叉點即為黃金分割點.如圖,分別用A,B,C,D表示黃金分割點,若照片長、寬比例為8:5,設,則(
)A. B. C. D.7.在平面直角坐標系中,已知,,那么角的終邊與單位圓的交點坐標為(
)A. B. C. D.8.已知點在角終邊上,且,則(
)A. B. C. D.9.如圖所示,在平面直角坐標系中,動點P、Q從點A(1,,0)出發(fā)在單位圓上運動,點P按逆時針方向每秒鐘轉弧度,點Q按順時針方向每秒鐘轉弧度,則P、Q兩點在第2019次相遇時,點P的坐標是A.(0,0) B.(0,1) C.(-1,0) D.(0,-1)10.如圖,質點在單位圓周上逆時針運動,其初始位置為,角速度為2,則點到軸距離關于時間的函數(shù)圖象大致為(
)A. B.C. D.11.(多選)已知角的始邊與軸的非負半軸重合,終邊在直線上,則的值可能是(
)A. B. C. D.12.(多選)下列選項正確的是(
)A.若一扇形弧長為2,圓心角為,則該扇形的面積為 B.C.經(jīng)過4小時,時針轉了 D.13.(多選)若角的終邊在第三象限,則的值可能為(
)A.0 B.2 C.4 D.14.已知,,求下列式子(1)(2)(3)和和15.已知,且有意義.(1)試判斷角α的終邊所在的象限;(2)若角α的終邊上一點M的坐標為,且(O為坐標原點),求m的值及的值.
【能力提升】1.設,則的大小關系為(
)A. B. C. D.2.已知為第二象限角,且,則(
)A. B. C. D.3.下列說法正確的是(
)A.不存在值域相同,對應關系相同,但定義域不同的兩個函數(shù)B.當正整數(shù)越來越大時,的底數(shù)越來越小,指數(shù)越來越大,的值也會越來越大,但是不會超過某一個確定的常數(shù)C.如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有,那么函數(shù)在區(qū)間內至少有一個零點D.如果,則是第一象限角或第二象限角4.“”是“”的(
)A.充分必要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件5.若為方程的兩個根,則(
)A. B. C. D.6.當時,若存在實數(shù),使得成立,則實數(shù)的最小值為(
)A.6 B.10 C.12 D.167.已知均為第二象限角,則“”是“”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.下列
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