協(xié)作機(jī)器人-感知、交互、操作與控制技術(shù) 課件 -2-動(dòng)力學(xué)

協(xié)作機(jī)器人動(dòng)力學(xué)1機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型基于拉格朗日公式的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模基本思想:將拉格朗日方程應(yīng)用于機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模。拉格朗日方程:其中，(拉格朗日函數(shù))。i.e.

K

和

P

分別代表機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能，并且

=機(jī)器人第i個(gè)廣義坐標(biāo)值=機(jī)器人第i個(gè)廣義力/力矩(1)2動(dòng)力學(xué)概念3什么是機(jī)器人廣義坐標(biāo)和廣義力/力矩?

廣義坐標(biāo):一組完整地描述了機(jī)器人位置（位置以及姿態(tài)）的坐標(biāo)。動(dòng)力學(xué)概念4*存在各種廣義坐標(biāo)集合:（1）（2）*廣義坐標(biāo)的一個(gè)常見(jiàn)而自然的選擇是使用關(guān)節(jié)變量，對(duì)于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)對(duì)于平動(dòng)關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)概念5

廣義力:廣義力的定義取決于廣義坐標(biāo)的選擇。如果選擇關(guān)節(jié)變量作為廣義坐標(biāo)，則廣義力（或扭矩）是關(guān)節(jié)i處的作用力或扭矩。(2)動(dòng)能求解6

關(guān)節(jié)速度:其中，

。

第i個(gè)坐標(biāo)系相對(duì)于第i-1個(gè)坐標(biāo)系的齊次變換矩陣。(3)(4)動(dòng)能求解7(=0)(5)動(dòng)能求解8注意:(6)(7)(8)9其中:

的一般形式(Fu,etal)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)平動(dòng)關(guān)節(jié)動(dòng)能求解10的定義旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)平動(dòng)關(guān)節(jié)動(dòng)能求解11動(dòng)能(關(guān)節(jié)速度)

令為第i個(gè)連桿相對(duì)于基座的動(dòng)能。(10)（對(duì)于質(zhì)量dm來(lái)說(shuō)）動(dòng)能求解12

注意

，

，

，

獨(dú)立于第i個(gè)連桿的位置。由關(guān)節(jié)速度表達(dá)式可知：(11)(12)動(dòng)能求解13

對(duì)所有分量進(jìn)行積分可得：

(13)動(dòng)能求解14總動(dòng)能

(14)動(dòng)能求解15其中，(15)(16)動(dòng)能求解16

----第i個(gè)連桿質(zhì)量----第i個(gè)連桿質(zhì)心(17)動(dòng)能求解17

動(dòng)能可以表示成如下的二次形式：

其中，。(18)動(dòng)能求解18

證明:

定義(19)動(dòng)能求解19(20)(21)動(dòng)能求解20勢(shì)能

對(duì)于連桿i來(lái)說(shuō),

總勢(shì)能

:質(zhì)心位置:第i個(gè)連桿質(zhì)量g:重力矢量,(22)(23)勢(shì)能求解21注意：對(duì)于水平系統(tǒng)來(lái)說(shuō)對(duì)于空間機(jī)器人而言，需要根據(jù)具體情況對(duì)g進(jìn)行設(shè)置。(24)勢(shì)能求解22拉格朗日函數(shù)：拉格朗日方程：(25)(26)拉格朗日函數(shù)求解23因此,(27)(28)(29)拉格朗日方程求解24拉格朗日方程求解25應(yīng)用拉格朗日方程:令則機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程可以寫成如下所示：

k=1,...,n(30)(31)(32)(33)拉格朗日方程求解26注意：

克里斯托弗形式交換第二項(xiàng)的求和順序(34)(35)拉格朗日方程求解機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程27

科氏力離心力矢量

關(guān)節(jié)變量矢量

重力矢量機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程：(36)(37)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程28

其他等價(jià)形式:

(38)(39)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程29考慮摩擦力和外力：以上只考慮了剛體力學(xué)中的那些力，而沒(méi)有考慮摩擦力和接觸外力等情況。粘性摩擦：庫(kù)倫摩擦：同時(shí)考慮兩者：最后考慮接觸外力：更加完整的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程如下所示：(63)(64)(65)(66)(67)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程30慣量矩陣D(q)具有如下特性：對(duì)稱性 DT=D正定性Q=xTDx>0,

為什么??

(動(dòng)能)

是的平方形式；G(q)僅僅是q的函數(shù)；對(duì)于每一個(gè)自由度都有一個(gè)獨(dú)立的控制輸入。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程特性：機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程315) 動(dòng)力學(xué)的參數(shù)線性特性(參數(shù)線性動(dòng)力學(xué))所有關(guān)注的常數(shù)參數(shù)，如連桿質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等，都以廣義坐標(biāo)系的已知函數(shù)系數(shù)的形式出現(xiàn)。

通過(guò)將系數(shù)定義為參數(shù)向量，我們得到：

(40)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程326) 矩陣

是斜對(duì)稱的:

如果,則

證明:

N矩陣的第

kj個(gè)元素是

(41)(42)(43)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程33同樣：(44)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)算例34關(guān)節(jié)變量:連桿質(zhì)量:連桿參數(shù):對(duì)于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)已知

機(jī)器人動(dòng)力學(xué)算例35假設(shè)：機(jī)器人動(dòng)力學(xué)算例36因?yàn)?/p>

可以定義如下：獨(dú)立于(45)37機(jī)器人動(dòng)力學(xué)算例38矩陣形式如下所示：注意(47)(46)(48)(49)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)算例39令則動(dòng)力學(xué)方程可以表示成如下所示：acc.vel.(50)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)算例40

令

，尋找

使得其中，課堂練習(xí)：機(jī)器人動(dòng)力學(xué)算例41步驟1:分解上述方程習(xí)題答案：機(jī)器人動(dòng)力學(xué)算例42步驟2:建立參數(shù)線性模型機(jī)器人動(dòng)力學(xué)算例笛卡爾空間動(dòng)力學(xué)43機(jī)器人關(guān)節(jié)空間動(dòng)力學(xué)可以表示成如下：令

其中h(q)表示一般非線性變換。盡管y(t)可以是任何感興趣的點(diǎn)的笛卡爾位置，這里我們將其視為末端執(zhí)行器的笛卡爾位置或任務(wù)空間位置（即末端執(zhí)行器在基坐標(biāo)系中的位置和姿態(tài)）。笛卡爾空間機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程：同時(shí)，建立了笛卡爾空間速度和關(guān)節(jié)空間速度之間的關(guān)系。(51)(52)(53)44假定在感興趣的區(qū)域中雅可比矩陣滿足條件，則:這就是“逆加速度”變換。(54)(55)(56)笛卡爾空間動(dòng)力學(xué)45因此，

回憶,其中

F

是

笛卡爾空間力矢量(Cartesianforcevector)。因此,或者其中，(57)(58)(59)(60)笛卡爾空間動(dòng)力學(xué)46注意:

只要非奇異，關(guān)節(jié)空間動(dòng)力學(xué)所列出的所有性質(zhì)都可以移植到笛卡爾空間動(dòng)力學(xué)方程。

對(duì)稱正定；

是斜對(duì)稱的；參數(shù)線性性質(zhì)在笛卡爾空間同樣滿足：其中笛卡爾空間方程表示成如下所示：并且是機(jī)械臂參數(shù)矢量。，其中，

是已知常數(shù)；,表示重力參數(shù)有界。

(61)(62)笛卡爾空間動(dòng)力學(xué)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)仿真47動(dòng)力學(xué)仿真：

(68)(69)(70)含柔性機(jī)器人動(dòng)力學(xué)48含柔性關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)：對(duì)于具有較大的關(guān)節(jié)/傳動(dòng)彈性的多自由度串聯(lián)機(jī)械臂，當(dāng)考慮電機(jī)和連桿側(cè)的粘性摩擦項(xiàng)以及關(guān)節(jié)的彈簧阻尼時(shí)，機(jī)器人關(guān)節(jié)空間的動(dòng)力學(xué)模型可以改寫為如下所示：(71)(72)含柔性機(jī)器人動(dòng)力學(xué)49含柔性連桿動(dòng)力學(xué)：針對(duì)柔性連桿變形的描述問(wèn)題，首先需要對(duì)柔性連桿進(jìn)行空間離散化。常見(jiàn)的針對(duì)連桿的離散化方案有：集中質(zhì)量法、有限段法、有限元法和假設(shè)模態(tài)法等。集中質(zhì)量法是將柔性連桿總質(zhì)量按設(shè)定的規(guī)則集中于一定數(shù)量的離散節(jié)點(diǎn)上，并且將整個(gè)柔性連桿所受外力載荷等效分布在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上。有限段法將柔性連桿離散為一定數(shù)量剛性