2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 第5講　定點(定直線)問題原卷版

第5講定點(定直線)問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 2【考點一】定點(定直線)問題 2【專題精練】 4考情分析：解析幾何中的定點問題是高考考查的熱點，難度較大，是高考的壓軸題，其類型一般為直線過定點與圓過定點等.真題自測真題自測一、解答題1．（2023·全國·高考真題）已知橢圓的離心率是，點在上．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．2．（2022·全國·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．考點突破考點突破【考點一】定點(定直線)問題一、單選題1．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓的離心率等于，拋物線的焦點是橢圓的一個頂點，A、B分別是橢圓的左右頂點．動點P、Q為橢圓上異于A、B兩點，設(shè)直線、的斜率分別為，且．則（

）A．的斜率可能不存在，且不為0B．點縱坐標(biāo)為C．直線的斜率D．直線過定點2．（2023·山東·模擬預(yù)測）已知拋物線：，過直線：上的動點可作的兩條切線，記切點為，則直線（

）A．斜率為2 B．斜率為 C．恒過點 D．恒過點二、多選題3．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線l過拋物線C：的焦點F且與C交于A，B兩點（點A在第一象限），，l為C的準(zhǔn)線，，垂足為M，，則下列說法正確的是（

）A．B．的最小值為C．若，則D．x軸上存在一點N，使為定值4．（2024·安徽安慶·二模）拋物線的焦點為，經(jīng)過點F且傾斜角為的直線l與拋物線C交于A，B兩點，分別過點A、點B作拋物線C的切線，兩切線相交于點E，則（

）A．當(dāng)時，B．面積的最大值為2C．點E在一條定直線上D．設(shè)直線傾斜角為，為定值三、解答題5．（2024·浙江杭州·二模）已知是橢圓的左，右頂點，點與橢圓上的點的距離的最小值為1.(1)求點的坐標(biāo).(2)過點作直線交橢圓于兩點（與不重合），連接，交于點.（?。┳C明：點在定直線上；（ⅱ）是否存在點使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由.6．（2024·浙江·二模）已知雙曲線左右焦點分別為，，點在雙曲線上，且點到雙曲線兩條漸近線的距離乘積為，過分別作兩條斜率存在且互相垂直的直線，，已知與雙曲線左支交于，兩點，與左右兩支分別交于，兩點.(1)求雙曲線的方程；(2)若線段，的中點分別為，，求證：直線恒過定點，并求出該定點坐標(biāo).7．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知雙曲線G的中心為坐標(biāo)原點，離心率為，左、右頂點分別為A-4,0，B4,0(1)求的方程；(2)過右焦點的直線l與G的右支交于M，N兩點，若直線與交于點．（i）證明：點在定直線上：（ii）若直線與交于點，求證：PF2⊥QF8．（23-24高二上·遼寧大連·期末）已知雙曲線，點，經(jīng)過點M的直線交雙曲線C于不同的兩點A、B，過點A，B分別作雙曲線C的切線，兩切線交于點E．（二次曲線在曲線上某點處的切線方程為）(1)求證：點E恒在一條定直線L上；(2)若兩直線與L交于點N，，求的值；(3)若點A、B都在雙曲線C的右支上，過點A、B分別作直線L的垂線，垂足分別為P、Q，記，，的面積分別為，問：是否存在常數(shù)m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．規(guī)律方法：動線過定點問題的兩大類型及解法(1)動直線l過定點問題，解法：設(shè)動直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動直線過定點(－m,0)．(2)動曲線C過定點問題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·海南·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右頂點分別為，點是橢圓上異于的點，為平面內(nèi)一點，且滿足，過點作直線的垂線與直線交于點，則（

）A．12 B．16 C．24 D．322．（2024·甘肅定西·一模）已知橢圓的離心率為是上任意一點，為坐標(biāo)原點，到軸的距離為，則（

）A．為定值 B．為定值C．為定值 D．為定值3．（2024·湖北黃石·三模）已知為雙曲線上的動點，，，直線：與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點（點在第一象限），與在同一條漸近線上，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．4．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知拋物線，過動點作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點，則面積的最小值是（

）A．6 B．9 C．12 D．185．（2024·浙江·模擬預(yù)測）設(shè)點，，是拋物線上3個不同的點，且，若拋物線上存在點，使得線段總被直線平分，則點的橫坐標(biāo)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題6．（2024·河北滄州·三模）已知橢圓的上頂點、左頂點為為橢圓上異于點的兩個不同點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線的斜率之和為，則直線恒過定點B．若直線的斜率之積為，則直線恒過定點C．若直線的斜率之和為，則直線恒過定點D．若直線的斜率之積為.則直線恒過定點7．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的右焦點為F，動點M，N在直線：上，且，線段，分別交C于P，Q兩點，過P作的垂線，垂足為.設(shè)的面積為，的面積為，則（

）A．的最小值為 B．C．為定值 D．的最小值為8．（2024·廣西南寧·一模）已知拋物線的焦點為，過作兩條互相垂直的直線，與交于、Q兩點，與交于、N兩點，的中點為的中點為，則（

）A．當(dāng)時， B．的最小值為18C．直線過定點 D．的面積的最小值為4三、填空題9．（2024·安徽合肥·三模）已知曲線的方程為，過作直線與曲線分別交于兩點．過作曲線的切線，設(shè)切線的交點為．則的最小值為．10．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點分別為，點在的左支上，，，延長交的右支于點，點為雙曲線上任意一點（異于兩點），則直線與的斜率之積.四、解答題11．（23-24高二上·上海浦東新·期中）如圖，D為圓O：上一動點，過點D分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，連接并延長至點W，使得，點W的軌跡記為曲線．(1)求曲線C的方程；(2)若過點的兩條直線，分別交曲線C于M，N兩點，且，求證：直線MN過定點；(3)若曲線C交y軸正半軸于點S，直線與曲線C交于不同的兩點G，H，直線SH，SG分別交x軸于P，Q兩點．請?zhí)骄浚簓軸上是否存在點R，使得？若存在，求出點R坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．12．（2024·廣東韶關(guān)·二模）已知橢圓的離心率為，長軸長為4，是其左、右頂點，是其右焦點．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是橢圓上一點，的角平分線與直線交于點．①求點的軌跡方程；②若面積為，求．13．（2024·貴州貴陽·一模）已知雙曲線的方程為，虛軸長為2，點在上.(1)求雙曲線的方程；(2)過原點的直線與交于兩點，已知直線和直線的斜率存在，證明：直線和直線的斜率之積為定值；(3)過點的直線交雙曲線于兩點，直線與軸的交點分別為，求證：的中點為定點.14．（2023·湖北·二模）已知雙曲線C：的離心率為，過點的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個不同的點（異于頂點）．(1)若點P為線段MN的中點，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點，且，試判斷直線AN與直線BM的交點G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請說明理由15．（23-24高二下·四川瀘州·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，為上一點，且.(1)求的方程；(2)過點且斜率存在的直線與交于不