2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列 第2講　數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用原卷版

第2講數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)一】數(shù)列求和 3【考點(diǎn)二】數(shù)列的綜合問題 5【專題精練】 7考情分析：1.數(shù)列求和重點(diǎn)考查分組轉(zhuǎn)化、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消三種求和方法.2.數(shù)列的綜合問題，一般以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，與函數(shù)、不等式相結(jié)合，考查最值、范圍以及證明不等式等.3.主要以選擇題、填空題及解答題的形式出現(xiàn)，難度中等．真題自測(cè)真題自測(cè)一、解答題1．（2024·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列an的前項(xiàng)和，已知．(1)求an(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．2．（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列an是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．(1)求數(shù)列an前項(xiàng)和；(2)設(shè)，．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；（ⅱ）求．3．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．4．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．5．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．6．（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．7．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．8．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】數(shù)列求和核心梳理：1．裂項(xiàng)相消法就是把數(shù)列的每一項(xiàng)分解，使得相加后項(xiàng)與項(xiàng)之間能夠相互抵消，但在抵消的過程中，有的是相鄰項(xiàng)抵消，有的是間隔項(xiàng)抵消．常見的裂項(xiàng)方式有：eq\f(1,nn＋k)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；eq\f(1,4n2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).2．錯(cuò)位相減法求和，主要用于求{anbn}的前n項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列．一、解答題1．（2024·天津·二模）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列．，且．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若①當(dāng)為奇數(shù)，求；②求．2．（2024·河北邯鄲·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，，且．(1)求an(2)若，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．3．（2024·重慶·一模）已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．4．（23-24高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）在數(shù)列中，且滿足（且）．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．5．（2024·浙江寧波·二模）已知等差數(shù)列的公差為2，記數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．8．（23-24高三上·安徽合肥·期末）同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容．同余的定義為：設(shè)a，，且．若則稱a與b關(guān)于模m同余，記作（modm）（“|”為整除符號(hào)）．(1)解同余方程（mod3）；(2)設(shè)（1）中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列，其中．①若（），數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求；②若（），求數(shù)列的前n項(xiàng)和．規(guī)律方法：(1)分組轉(zhuǎn)化法求和的關(guān)鍵是將數(shù)列通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的數(shù)列通項(xiàng)的和或差．(2)裂項(xiàng)相消法的基本思路是將通項(xiàng)拆分，可以產(chǎn)生相互抵消的項(xiàng)．(3)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：①等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形；②在寫出“Sn”和“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．【考點(diǎn)二】數(shù)列的綜合問題核心梳理：數(shù)列與函數(shù)、不等式，以及數(shù)列新定義的綜合問題，是高考命題的一個(gè)方向，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．解決此類問題，一是把數(shù)列看成特殊的函數(shù)，利用函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解；二是將新數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，利用特殊數(shù)列的概念、公式、性質(zhì)，結(jié)合不等式的相關(guān)知識(shí)求解．一、解答題1．（2024·遼寧遼陽·一模）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，證明：.2．（2024·廣東廣州·二模）已知數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，記為的前項(xiàng)和，證明：時(shí)，.3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，定義數(shù)列如下：如果，，則．(1)求和（用表示）；(2)令，證明：；(3)若，證明：對(duì)于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得．4．（2024·甘肅定西·一模）在個(gè)數(shù)碼構(gòu)成的一個(gè)排列中，若一個(gè)較大的數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成逆序（例如，則與構(gòu)成逆序），這個(gè)排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為，例如，，(1)計(jì)算；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)排列滿足，求，5．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在常數(shù)，使得對(duì)任意都成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求證：數(shù)列具有性質(zhì)；(2)設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且具有性質(zhì)．①若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，求的值；②求的最小值．6．（2024·廣東深圳·二模）無窮數(shù)列，，…，，…的定義如下：如果n是偶數(shù)，就對(duì)n盡可能多次地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是﹔如果n是奇數(shù)，就對(duì)盡可能多次地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是．(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)；(2)如果且，求m，n的值；(3)記，，求一個(gè)正整數(shù)n，滿足．規(guī)律方法：數(shù)列的“新定義問題”，主要是指定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算等，關(guān)鍵是將新數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，或者找到新數(shù)列的遞推關(guān)系，主要考查的還是數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)．專題精練專題精練一、單選題1．（23-24高二下·山西晉城·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·江蘇·期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）在數(shù)列中，已知，，則的前11項(xiàng)的和為（

）A．2045 B．2046 C．4093 D．40944．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的一系列正方形圖案稱為“謝爾賓斯基地毯”，在4個(gè)大正方形中，著色的小正方形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an的前4項(xiàng).記，則下列結(jié)論正確的為（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系不能確定5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，若關(guān)于n的不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值為（

）A．12 B．16 C．24 D．366．（2023·湖北武漢·三模）將按照某種順序排成一列得到數(shù)列，對(duì)任意，如果，那么稱數(shù)對(duì)構(gòu)成數(shù)列的一個(gè)逆序?qū)?若，則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．77．（2024·江蘇徐州·一模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．若，則正整數(shù)k的最小值為（

）A．11 B．12 C．13 D．148．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)前，全球新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革蓬勃發(fā)展，汽車與能源?交通?信息通信等領(lǐng)域有關(guān)技術(shù)加速融合，電動(dòng)化?網(wǎng)聯(lián)化?智能化成為汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展潮流和趨勢(shì).某車企為轉(zhuǎn)型升級(jí)，從2024年起大力發(fā)展新能源汽車，2024年全年預(yù)計(jì)生產(chǎn)新能源汽車10萬輛，每輛車的利潤(rùn)為2萬元.假設(shè)后續(xù)的幾年中，經(jīng)過車企關(guān)鍵核心技術(shù)的不斷突破和受眾購(gòu)買力的提升，每年新能源汽車的產(chǎn)量都比前一年增加（假設(shè)每年生產(chǎn)的新能源汽車都能銷售出去），每輛車的利潤(rùn)都比前一年增加2000元，則至2030年年底，該汽車集團(tuán)銷售新能源汽車的總利潤(rùn)約為（

）參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到0.1）A．320.5億元 B．353.8億元 C．363.2億元 D．283.8億元二、多選題9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)函數(shù)給出如下新定義：若在區(qū)間上為定值（其中表示不超過的最大整數(shù)，如），則稱為的一個(gè)“整元”，將區(qū)間上從左到右所有“整元”的和稱為在上的“整積分”，下列說法正確的是（

）A．在區(qū)間上的“整積分”為B．在區(qū)間上的“整積分”為4950C．在區(qū)間上的“整積分”為D．在區(qū)間上的“整積分”為10．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則下列說法中正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．若，則11．（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列與數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列，滿足，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為．13．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則滿足的正整數(shù)的最小值為.14．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）定義：x表示不大于的最大整數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)，如，.設(shè)函數(shù)在定義域上的值域?yàn)?，記中元素的個(gè)數(shù)為，則，四、解答題15．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．16．（2024·寧夏·一模）已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，證明：．17．（2024·山東菏澤·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，求證：．18．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知常數(shù)，在成功的概率為的伯努利試驗(yàn)中，記為首次成功時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)，的取值為所有正整數(shù)，此時(shí)稱離散型隨機(jī)變量的概率分布為幾何分布.(1)對(duì)于正整數(shù)，求，并根據(jù)，求；(2)對(duì)于幾何分布的拓展問題，在成功的概率為的伯努利試驗(yàn)中，記首次出現(xiàn)連續(xù)兩次成功時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)的期望為，現(xiàn)提供一種求的方式：先進(jìn)行第一次試驗(yàn)，若第一次試驗(yàn)失敗，因?yàn)槌霈F(xiàn)試驗(yàn)失敗對(duì)出現(xiàn)連續(xù)兩次成功毫無幫助，可以認(rèn)為后續(xù)期望仍是，即總的試驗(yàn)次數(shù)為；若第一次試驗(yàn)成功