2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列 第4講　子數(shù)列與增減項(xiàng)問題原卷版

第4講子數(shù)列與增減項(xiàng)問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 2【考點(diǎn)一】奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng) 2【考點(diǎn)二】?jī)蓴?shù)列的公共項(xiàng) 4【考點(diǎn)三】數(shù)列有關(guān)增減項(xiàng)問題 5【專題精練】 6考情分析：子數(shù)列問題(包括數(shù)列中的奇偶項(xiàng)、公共數(shù)列以及分段數(shù)列)與數(shù)列的增減項(xiàng)問題是近幾年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，一般方法是構(gòu)造新數(shù)列，利用新數(shù)列的特征(等差、等比或其他特征)求解原數(shù)列．真題自測(cè)真題自測(cè)一、解答題1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．2．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)一、單選題1．（2024·全國(guó)·二模）數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，，，則（

）A．，且B．當(dāng)，且時(shí)，數(shù)列是遞減數(shù)列C．D．2．（2024·河北張家口·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）數(shù)列an前n項(xiàng)和為，且滿足，，則（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則（

）A．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列 B． C． D．三、填空題5．（2024·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則.6．（2024·云南曲靖·一模）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋我國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程．已知大衍數(shù)列滿足，，則，數(shù)列的前50項(xiàng)和為．四、解答題7．（2024·山西·三模）已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.8．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足當(dāng)時(shí)，(1)求和，并證明當(dāng)為偶數(shù)時(shí)是等比數(shù)列；(2)求規(guī)律方法：(1)數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問題的常見題型①數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)和或積的問題(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；②含有(－1)n的類型；③含有{a2n}，{a2n－1}的類型；④已知條件明確的奇偶項(xiàng)問題．(2)對(duì)于通項(xiàng)公式分奇、偶不同的數(shù)列{an}求Sn時(shí)，我們可以分別求出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，也可以把a(bǔ)2k－1＋a2k看作一項(xiàng)，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.【考點(diǎn)二】?jī)蓴?shù)列的公共項(xiàng)一、單選題1．（2024·河南·二模）已知數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為和，若它們的公共項(xiàng)從小到大依次排列構(gòu)成新數(shù)列，則滿足不等式的最大的整數(shù)（

）A．134 B．135 C．136 D．1372．（23-24高二上·廣東茂名·期末）已知兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，，202及2，8，14，，200，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為（

）A．1678 B．1666 C．1472 D．1460二、多選題3．（2021·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則（

）A． B．C．的前項(xiàng)和 D．的前項(xiàng)和為4．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則下列說法正確的有（

）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為三、填空題5．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，將數(shù)列與的公共項(xiàng)按它們?cè)谠瓉頂?shù)列中的先后順序排成一個(gè)新數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)公式為．6．（2023·湖南邵陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列和數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，數(shù)列滿足：，則數(shù)列的最大項(xiàng)等于.規(guī)律方法：兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)是等差數(shù)列，且公差是兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)；兩個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)是等比數(shù)列，公比是兩個(gè)等比數(shù)列公比的最小公倍數(shù)．【考點(diǎn)三】數(shù)列有關(guān)增減項(xiàng)問題一、單選題1．（23-24高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）在數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)與之間插入一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)，記構(gòu)成的新數(shù)列為，若，則前65項(xiàng)的和為（

）A． B．-13 C． D．-142．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某社團(tuán)專門研究密碼問題．社團(tuán)活動(dòng)室用的也是一把密碼鎖，且定期更換密碼，但密碼的編寫方式不變，都是以當(dāng)日值班社員的姓氏為依據(jù)編碼的，密碼均為的小數(shù)點(diǎn)后的前6位數(shù)字．編碼方式如下；①x為某社員的首拼聲母對(duì)應(yīng)的英文字母在26個(gè)英文字母中的位置；②若x為偶數(shù)，則在正偶數(shù)數(shù)列中依次插入數(shù)值為的項(xiàng)得到新數(shù)列，即；若x為奇數(shù)．則在正奇數(shù)數(shù)列中依次插入數(shù)值為的項(xiàng)得到新數(shù)列，即③N為數(shù)列的前x項(xiàng)和．如當(dāng)值社員姓康，則K在26個(gè)英文字母中排第11位．所以．前11項(xiàng)中有所以有8個(gè)奇數(shù)．故，所以密碼為282051，若今天當(dāng)值社員姓徐，則當(dāng)日密碼為（

）A．125786 B．199600 C．200400 D．370370二、多選題3．（23-24高二下·河北承德·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，以下說法正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，不是數(shù)列中的項(xiàng)D．若是數(shù)列中的項(xiàng)，則的值可能為74．（22-23高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）在一次《數(shù)列》的公開課時(shí)，有位教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照此方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.下面我們將數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列；第2次得到數(shù)列；第次得到數(shù)列記，數(shù)列的前項(xiàng)為，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2023·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列中，，若在數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使得新數(shù)列也是一個(gè)等差數(shù)列，則新數(shù)列的第43項(xiàng)為.6．（2024·河南安陽(yáng)·三模）如圖，某數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成公比相同的等比數(shù)列，數(shù)陣中各項(xiàng)均為正數(shù)，，則；在數(shù)列中的任意與兩項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．規(guī)律方法：解決此類問題的關(guān)鍵是通過閱讀、理解題意，要弄清楚增加了(減少了)多少項(xiàng)，增加(減少)的項(xiàng)有什么特征，在求新數(shù)列的和時(shí)，一般采用分組求和法，即把原數(shù)列部分和增加(減少)部分分別求和，再相加(相減)即可．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·河南南陽(yáng)·一模）已知等比數(shù)列的公比與等差數(shù)列的公差均為2，且，設(shè)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（

）A． B． C． D．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：，則（

）A．511 B．677 C．1021 D．20373．（2023·河南·二模）大衍數(shù)列0，2，4，8，12，18，?來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.其通項(xiàng)公式為記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）參考公式：.A．169125 B．169150 C．338300 D．3383254．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列通項(xiàng)公式為，將數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．5．（2024·河北秦皇島·二模）將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則的前30項(xiàng)的和為（

）A．3255 B．5250 C．5430 D．62356．（23-24高三上·江西·期中）在等差數(shù)列中，，成公比不為1的等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則（

）A．1 B． C． D．7．（2023·江西南昌·二模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)順序不變，對(duì)任意的，在數(shù)列的與項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，則（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．81928．（22-23高二上·浙江金華·期末）已知數(shù)列是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，在之間插入1個(gè)數(shù)，使這3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，記公差為，在之間插入2個(gè)數(shù)，使這4個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，公差為，在之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，公差為，則（

）A．當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減 B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減 D．當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增二、多選題9．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，大衍數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量的總和.大衍數(shù)列從第一項(xiàng)起依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….記大衍數(shù)列an的前項(xiàng)和為，其通項(xiàng)公式.則（

）參考公式：A．是數(shù)列中的項(xiàng) B．C． D．10．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知等差數(shù)列{a?}的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入k個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，下列說法正確的有（

）A．B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，不是數(shù)列中的項(xiàng)D．若是數(shù)列中的項(xiàng)，則k的值可能為611．（2024·浙江紹興·二模）已知數(shù)列與滿足，且，.若數(shù)列保持順序不變，在與項(xiàng)之間都插入個(gè)后，組成新數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，記，分別為，的前項(xiàng)和，若，，則．13．（2023·廣東廣州·一模）將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則.14．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，若將數(shù)列an與數(shù)列bn的公共項(xiàng)按從大到小的順序排列組成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前99項(xiàng)和為．四、解答題15．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，求n的最小值.16．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知且．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．17．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，數(shù)列滿足．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若將數(shù)列和的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新的