2025年高考數(shù)學二輪復習 專題四 立體幾何 第1講　空間幾何體解析版

第1講空間幾何體（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 8【考點一】空間幾何體的折展問題 8【考點二】表面積與體積 15【考點三】多面體與球 22【專題精練】 30考情分析：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎，空間幾何體的表面積和體積是高考的重點與熱點，多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏上．真題自測真題自測一、單選題1．（2024·天津·高考真題）一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體的體積為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高考真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．34．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．6．（2023·天津·高考真題）在三棱錐中，點M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．8．（2024·全國·高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為．參考答案：題號123456答案CBACBB1．C【分析】采用補形法，補成一個棱柱，求出其直截面，再利用體積公式即可.【詳解】用一個完全相同的五面體（頂點與五面體一一對應）與該五面體相嵌，使得；;重合，因為，且兩兩之間距離為1．，則形成的新組合體為一個三棱柱，該三棱柱的直截面（與側(cè)棱垂直的截面）為邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱長為，.故選：C.2．B【分析】設圓柱的底面半徑為，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.【詳解】設圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，而它們的側(cè)面積相等，所以即，故，故圓錐的體積為.故選：B.3．A【分析】證明平面，分割三棱錐為共底面兩個小三棱錐，其高之和為AB得解.【詳解】取中點，連接，如圖，

是邊長為2的等邊三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故選：A4．C【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運算與余弦定理得到關于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.【詳解】法一：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，因為底面為正方形，，所以，則，又，，所以，則，又，，所以，則，在中，，則由余弦定理可得，故，則，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.法二：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，因為底面為正方形，，所以，在中，，則由余弦定理可得，故，所以，則，不妨記，因為，所以，即，則，整理得①，又在中，，即，則②，兩式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.故選：C.5．B【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.【詳解】在中，，而，取AB中點，連接，有，如圖，，，由的面積為，得，解得，于是，所以圓錐的體積.故選：B6．B【分析】分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.先證平面，則可得到，再證.由三角形相似得到，，再由即可求出體積比.【詳解】如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.

因為平面，平面，所以平面平面.又因為平面平面，，平面，所以平面，且.在中，因為，所以，所以，在中，因為，所以，所以.故選：B7．2357.5/【分析】根據(jù)體積為公比為10的等比數(shù)列可得關于高度的方程組，求出其解后可得前兩個圓柱的高度.【詳解】設升量器的高為，斗量器的高為（單位都是），則，故，.故答案為：.8．【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺的高，再根據(jù)圓臺的體積公式直接代入計算即可得解.【詳解】由題可得兩個圓臺的高分別為，，所以.故答案為：.考點突破考點突破【考點一】空間幾何體的折展問題核心梳理：空間幾何體的側(cè)面展開圖(1)圓柱的側(cè)面展開圖是矩形．(2)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形．(3)圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)．一、單選題1．（23-24高三上·廣東深圳·期末）已知矩形ABCD中，，，將沿BD折起至，當與AD所成角最大時，三棱錐的體積等于（

）A． B． C． D．2．（2024·重慶·三模）如圖，已知圓柱的斜截面是一個橢圓，該橢圓的長軸為圓柱的軸截面對角線，短軸長等于圓柱的底面直徑.將圓柱側(cè)面沿母線展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個周期的正弦曲線.若該段正弦曲線是函數(shù)圖象的一部分，且其對應的橢圓曲線的離心率為，則的值為（

）

A． B．1 C． D．2二、多選題3．（2024·云南昆明·一模）在矩形中，，，以對角線BD為折痕將△ABD進行翻折，折后為，連接得到三棱錐，在翻折過程中，下列說法正確的是（

）A．三棱錐體積的最大值為 B．點都在同一球面上C．點在某一位置，可使 D．當時，4．（22-23高三上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）如圖，在四棱錐的平面展開圖中，四邊形ABCD為直角梯形，，，.在四棱錐中，則（

）A．平面PAD⊥平面PBDB．AD平面PBCC．三棱錐P-ABC的外接球表面積為D．平面PAD與平面PBC所成的二面角的正弦值為三、填空題5．（2023·陜西西安·一模）將平面內(nèi)等邊與等腰直角（其中為斜邊），沿公共邊折疊成直二面角，若，且點在同一球的球面上，則球的表面積為.6．（20-21高三上·廣東·階段練習）一個圓錐的表面積為，其側(cè)面展開圖為半圓，當此圓錐的內(nèi)接圓柱（圓柱的下底面與圓錐的底面在同一個平面內(nèi)）的側(cè)面積達到最大值時，該內(nèi)接圓柱的底面半徑為.參考答案：題號1234答案ABABDAC1．A【分析】根據(jù)異面直線所成角、錐體體積公式等知識求得正確答案.【詳解】因為異面直線所成角的范圍是，故當時，與AD所成角最大，因為四邊形是矩形，所以，而平面，所以平面，因為平面，所以，在直角三角形中，，而，所以，所以.故選：A【點睛】異面直線所成角的范圍是，當兩條直線所成角為時，兩直線平行或重合.求解錐體體積的問題，可以考慮利用轉(zhuǎn)換定點的方法，然后利用體積公式來求得三棱錐的體積.2．B【分析】由題意可得且，由離心率的概念可得，結(jié)合勾股定理計算可得，進而求解.【詳解】由題意，橢圓曲線在展開圖中恰好為函數(shù)圖象的一部分，可得；設圓柱底面半徑為，則，所以，設橢圓長軸長為，短軸長為，因為離心率為，得，則，即，所以，得，又由勾股定理得，解得，故.故選：B.

3．ABD【分析】根據(jù)錐體體積公式即可求解A，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解B，根據(jù)線面垂直得線性垂直即可求解CD.【詳解】如圖所示：分別過作，

對A，當平面平面時，三棱錐的高最大為，三棱錐體積的最大值為，A正確；對B，，的中點為，則,故為三棱錐的外接球球心，B正確；對C，若存在點在某一位置，使，連接，由于，，平面，則平面，又平面，，這與相矛盾,不重合），不存在點在某一位置，使，C錯誤；對D，當，又，，平面,平面，又平面，，又，，，D正確．故選：ABD．4．AC【分析】由平面圖還原立體圖,由面面的垂直的判定定理判斷選項A，建立空間直角坐標系，根據(jù)線面平行的空間向量法判定即可判斷選項B，將立體圖形想象補充為長方體，即可得到外接球半徑，即可判斷選項C,寫出對應點的坐標與向量的坐標,計算平面的法向量,利用空間向量夾角計算公式求解，即可判斷選項D.【詳解】由四棱錐的平面展開圖還原立體圖,可得平面,平面，，底面為直角梯形，,,則以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示直角坐標系，在直角梯形中,,所以,即,而上述證明得，又因為平面,,所以平面,又平面,所以平面平面,故A正確；對B選項，由，可知,則,，，且平面,平面，故為平面的一個法向量，根據(jù)底面為梯形，則顯然不垂直，則不平行平面，故B錯誤，對C選項，將三棱錐補成長為2，寬和高為1的長方體，則三棱錐的外接球，即為長方體的外接球，其半徑,故表面積為，故C正確，由點坐標得，,設平面的法向量為,則，令，則，得所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，故其夾角的正弦值為，故D錯誤，故選：AC.【點睛】方法點睛：常見的求平面與平面夾角的方法：①定義法，即利用二面角的定義求解面與面夾角；②空間向量法，建立合適的空間直角坐標系，求出相關向量的法向量，利用向量夾角的余弦公式來求解面面夾角的余弦值.5．【分析】利用空間幾何體的外接球及球體表面積公式計算即可.【詳解】如圖所示取中點，連接，根據(jù)題意易知，又為等腰直角三角形，為等邊三角形，所以可知，易知點在直線上，設，球半徑為R，所以，故外接球的表面積為.故答案為：6．2【分析】設圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，由圓錐的側(cè)面展開圖為半圓可得，根據(jù)圓錐的表面積可得半徑,母線和高,設內(nèi)接圓柱的底面半徑為，高為，由相似可得，代入圓柱的側(cè)面積公式分析可得結(jié)果.【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，因為圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，所以，解得.因為圓錐的表面積為，所以，解得，，.如圖，設內(nèi)接圓柱的底面半徑為，高為，則，所以，內(nèi)接圓柱的側(cè)面積，當時，取最大值.故答案為：2.【點睛】本題考查圓錐的表面積和圓柱的側(cè)面積公式，考查圓錐側(cè)面展開圖的應用，考查推理能力和計算能力，屬于基礎題.規(guī)律方法：空間幾何體最短距離問題，一般是將空間幾何體展開成平面圖形，轉(zhuǎn)化成求平面中兩點間的最短距離問題，注意展開后對應的頂點和邊．【考點二】表面積與體積核心梳理：1．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積(1)S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長)．(2)S圓錐側(cè)＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長)．(3)S球表＝4πR2(R為球的半徑)．2．空間幾何體的體積公式(1)V柱＝Sh(S為底面面積，h為高)．(2)V錐＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)．(3)V臺＝eq\f(1,3)(S上＋eq\r(S上·S下)＋S下)h(S上，S下分別為上、下底面面積，h為高)．(4)V球＝eq\f(4,3)πR3(R為球的半徑)．一、單選題1．（2024·云南大理·模擬預測）如圖，攬月閣位于西安市雁塔南路最高點，承接大明宮、大雁塔，是西安唐文化軸的南部重要節(jié)點和標志性建筑，可近似視為一個正四棱臺，現(xiàn)有一個攬月閣模型塔底寬，塔頂寬約，側(cè)面面積為，據(jù)此計算該攬月閣模型體積為（

）A．1400 B．2800 C． D．84002．（2024·廣東·模擬預測）現(xiàn)有一個正四棱臺形水庫，該水庫的下底面邊長為2km，上底面邊長為4km，側(cè)棱長為，則該水庫的最大蓄水量為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（24-25高三上·廣西·階段練習）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面體每個頂點均有個面角，每個面角均為，故其各個頂點的曲率均為.如圖，在正方體中，，則（

）A．在四面體中，點的曲率為B．在四面體中，點的曲率大于C．四面體外接球的表面積為D．四面體內(nèi)切球半徑的倒數(shù)為4．（2024·廣東廣州·模擬預測）如圖所示，四面體的底面是以為斜邊的直角三角形，體積為，平面，，為線段上一動點，為中點，則下列說法正確的是（

）A．三棱錐的體積和三棱錐的體積相等B．當時，C．當時，D．四面體的外接球球心為，且外接球體積與之比的最小值是三、填空題5．（2024·安徽池州·模擬預測）如圖所示的“升”是我國古代測量糧食的一種容器，從形狀上可抽象成一個正四棱臺．現(xiàn)有一個上、下底面邊長分別為和的“升”，側(cè)棱長為，要做成一個該“升”的幾何體，其側(cè)面所需板材的最小面積為．6．（2024·北京·三模）我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出體積的計算原理（祖暅原理）：“冪勢既同，則積不容異．”“勢”即是幾何體的高，“冪”是截面積，意思是：如果兩等高的幾何體在同高處的截面積相等，那么這兩個幾何體的體積相等．已知雙曲線的焦點在軸上，離心率為，且過點，則雙曲線的漸近線方程為．若直線與在第一象限內(nèi)與雙曲線及其漸近線圍成如圖陰影部分所示的圖形，則該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為．參考答案：題號1234答案BAABDABD1．B【分析】設斜高，利用側(cè)面積求出斜高，求出棱臺的高，利用臺體體積公式得到答案.【詳解】如圖，正四棱臺底面邊長分別為和，側(cè)面積為，設為斜高，可得，解得，即，∴棱臺的高，∴，棱臺的體積為.故選：B.2．A【分析】根據(jù)題意，水庫的最大蓄水量等于正四棱臺的體積，進而用臺體的面積公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，其中且.由，可得，又且，可得是長方形，則，所以，，則，正四棱臺的高，下底面的面積，上底面的面積.于是正四棱臺的體積.故該水庫的最大蓄水量為.故選：A.3．ABD【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)及四面體的內(nèi)切球與外切球的半徑算法，結(jié)合曲率的定義分別計算各選項.【詳解】在正方體中，易證為正三角形，，，在四面體中，點的曲率為，A選項正確；在正方體中，，，，在四面體中，點的曲率為，B選項正確；四面體外接球的半徑即為正方體外接球的半徑為，四面體外接球的表面積為，C選項錯誤；四面體的體積，四面體的表面積，四面體內(nèi)切球的半徑，即，D選項正確；故選：ABD.4．ABD【分析】根據(jù)錐體體積的計算公式可得兩個三棱錐高和底面積相等，即A正確；利用線面垂直判定定理以及面面垂直的性質(zhì)定理可證明平面，可判斷B正確；當與重合，可知，這與矛盾，因此C不成立；利用三棱錐性質(zhì)可求得外接球球心為的位置及其半徑與三棱錐棱長的關系即可求得與之比的最小值.【詳解】對于A，因為為中點，則，而兩個三棱錐高相等，故體積相等，A正確；對于B，因為平面，平面，所以，又，，平面，故平面，平面，故平面平面，過作，垂足為，如下圖所示：因為面平面，平面，故面，而面，故，若，則，而平面，故平面，又平面，故，故B正確.對于C，若與不重合，由平面，平面，可得；又是以為斜邊的直角三角形可知，又,平面，所以平面,又平面，所以，當時，，平面，所以平面，又平面，可得，但若與重合，由于，若，，平面，所以平面，平面，故，這與矛盾，所以不成立，故與重合，滿足，但此時不成立，故C錯誤；對于D，由平面，平面，故，故，為外接球球心，且，，又，可以在以中點為圓心，為半徑的圓上運動，到的距離為，當且僅當時等號成立，故到的距離最大為，此時，故，D正確，故選：ABD.5．【分析】根據(jù)棱臺的幾何性質(zhì)確定斜高，再根據(jù)側(cè)面性質(zhì)確定面積即可.【詳解】如圖，由題意知該“升”的各側(cè)面為上底、下底長分別為，腰長為的等腰梯形，取中點為，所以其側(cè)面的高為．若將各側(cè)面展開，可拼接成一個一條邊長為，另一條邊長為的平行四邊形，該平行四邊形的高為，所以所求面積為．故答案為：.6．【分析】根據(jù)離心率及雙曲線過點求出、，即可得到雙曲線方程與漸近線方程，求出與雙曲線及漸近線（）在第一象限的交點橫坐標，即可求出陰影部分繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體被任意水平平面所截的截面面積，再由祖暅原理計算可得.【詳解】雙曲線的離心率，，，；雙曲線的方程為，又雙曲線過點，即，解得，則，雙曲線方程為，則雙曲線的漸近線方程為；因為與雙曲線在第一象限的交點為且；與漸近線在第一象限的交點為且；所以陰影部分繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體被任意水平平面所截，其截面面積為；所以由祖暅原理可知：該陰影圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積與底面半徑為高為的圓柱體積相等，即它繞軸旋轉(zhuǎn)一圈所得幾何體的體積為．故答案為：，．【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是求出陰影部分繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體被任意水平平面所截，其截面面積.規(guī)律方法：空間幾何體的表面積與體積的求法(1)公式法：對于規(guī)則的幾何體直接利用公式進行求解．(2)割補法：把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，或把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體．(3)等體積法：選擇合適的底面來求體積．【考點三】多面體與球核心梳理：求空間多面體的外接球半徑的常用方法(1)補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；(2)定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點的距離也是半徑，列關系式求解即可．一、單選題1．（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）如圖甲，在邊長為2的正方形中，分別是的中點，將分別沿折起，使得三點重合于點，如圖乙，若三棱錐的所有頂點均在球的球面上，則球的體積為（

）A． B． C． D．2．（2024·福建·模擬預測）已知正四棱臺下底面邊長為，若內(nèi)切球的體積為，則其外接球表面積是（

）A．49π B．56π C．65π D．130π二、多選題3．（2024·湖南郴州·模擬預測）在正三棱臺中，，，且等腰梯形所在的側(cè)面與底面所成夾角的正切值均為2，則下列結(jié)論正確的有（

）A．正三棱臺的高為B．正三棱臺的體積為C．與平面所成角的正切值為1D．正三棱臺外接球的表面積為4．（2024·廣東廣州·模擬預測）在圓錐中，母線，底面圓的半徑為r，圓錐的側(cè)面積為，則（

）A．當時，圓錐內(nèi)接圓柱體的體積最大值為B．當時，過頂點S和兩母線的截面三角形的最大面積為C．當時，圓錐能在棱長為4的正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動D．當時，棱長為1的正四面體能在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動三、填空題5．（2024·湖南邵陽·三模）在四面體中，是邊長為的等邊三角形，，，，點在棱上，且，過點作四面體的外接球的截面，則所得截面圓的面積最小值與球的表面積之比為．6．（2025·廣東·模擬預測）已知球O是某圓錐內(nèi)可放入的最大的球，其半徑為該圓錐底面半徑的一半，則該圓錐的體積與球O的體積之比為．參考答案：題號1234答案ACBCDAD1．A【分析】運用補形法，結(jié)合長方體外接球問題計算.【詳解】根據(jù)題意可得，且1，，所以三棱錐可補成一個長方體，三棱錐的外接球即為長方體的外接球，如圖所示，設長方體的外接球的半徑為，可得，所以，所以外接球的體積為.故選：A.2．C【分析】作出正四棱臺及其內(nèi)切球的軸截面，求出正四棱臺的上底面邊長，再求出外接球半徑即可得解.【詳解】正四棱臺下底面邊長，設其內(nèi)接球半徑為，則，解得，取的中點，則四邊形內(nèi)切圓是正四棱臺內(nèi)接球的截面大圓，則四邊形是等腰梯形，，而，，整理得，而，則，設為正四棱臺外接球球心，為該球半徑，則，令分別為正四棱臺上下底面的中心，則，，，，當球心在線段時，，解得，球的表面積為；當球心在線段的延長線時，，無解，所以所求外接球表面積是.故選：C3．BCD【分析】將正棱臺補全為一個正棱錐，結(jié)合正棱臺、正棱錐的結(jié)構(gòu)特征求臺體的高、體積及側(cè)棱與底面夾角正切值，由確定棱臺外接球球心位置，建立等量關系求半徑，進而求外接球表面積.【詳解】將正棱臺補全為一個正棱錐，如下圖示，其中分別為上下底面的中心，為的中點，易知，則為等腰梯形所在的側(cè)面與底面所成夾角，所以，而，則，根據(jù)棱臺上下底面相似，知，即，故，A錯；由，，所以，B對；由圖知：為與平面所成角，則，C對；若為正三棱臺外接球的球心，則其半徑，即，令，則，可得，所以，故外接球表面積為，D對.故選：BCD4．AD【分析】對于A，先根據(jù)幾何體特征算出圓錐內(nèi)接圓柱體的體積表達式，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)即可求解；對于B，當時，，求出圓錐的軸截面頂角，進一步即可驗算；對于C，分別算出圓錐外接球半徑以及正四面體內(nèi)切球半徑，比較大小即可判斷；對于D，分別算出正四面體外接球半徑以及圓錐內(nèi)切球半徑，比較大小即可判斷.【詳解】由已知圓錐的側(cè)面積為，即，A選項：當時，，，此時圓錐的軸截面、圓錐內(nèi)接圓柱體的軸截面如圖所示，設，則由相似三角形性質(zhì)有，設，令，當時，f'x>0，所以在上單調(diào)遞增，當時，f'x<0，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，有最大值，且它的最大值為，所以，故A正確；B選項：當時，，此時圓錐的軸截面如圖所示，

，所以為鈍角，令，是圓錐的底面圓周上任意的不同兩點，則，所以，當且僅當時，取等號，故B錯誤；C選項：當時，，高，設圓錐的外接球球心為，圓錐的外接球半徑為，所以，棱長為4的正四面體可以補成正方體，如圖所示，

則正方體的棱長，正四面體的體積為，正四面體的表面積為，設正四面體的內(nèi)切球半徑為，則由等體積法可知，注意到，所以圓錐不能在棱長為4的正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，故C錯誤；D選項：棱長為1的正四面體可以補成正方體，如圖所示，

則正方體的棱長，

所以正方體的外接球即正四面體的外接球，直徑為，半徑為，當時，，高，圓錐的內(nèi)切球球心在線段上，圓錐的軸截面截內(nèi)切球的大圓，即圓錐軸截面的內(nèi)切圓，設內(nèi)切圓半徑為，由三角形面積得，解得，所以棱長為1的正四面體能在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，故D正確.故選：AD.【點睛】關鍵點點睛：判斷A選項的關鍵在于求出圓柱體積表達式，利用導數(shù)這一有利工具，由此即可順利得解.5．/1：8【分析】先根據(jù)勾股定理逆定理得到，再根據(jù)直角三角形中線性質(zhì)找出外接球的球心，再結(jié)合球的截面距離分析，要所得的截面圓中面積最小，只需截面圓半徑最小，只需球心到截面的距離最大即可．【詳解】由題意知，，由勾股定理可知，，所以，取的中點，所以，所以四面體的外接球在斜邊的中點處，四面體的外接球的半徑，根據(jù)題意可知，過點作球的截面，若要所得的截面圓中面積最小，只需截面圓半徑最小，設球到截面的距離，只需球心到截面的距離最大即可，而當且僅當與截面垂直時，球心到截面的距離最大，即，取的中點，易知為等腰三角形，，所以，所以截面圓的半徑為，所以截面圓的面積為，球的表面積為，所得截面圓的面積最小值與球的表面積之比為故答案為：．6．/【分析】根據(jù)題意作出相應的截面圖形，設，利用勾股定理，用表示，結(jié)合圓錐體積和球的體積公式即可求解.【詳解】球O是某圓錐內(nèi)可放入的最大的球，則該球為圓錐的內(nèi)切球，截面如圖所示：設球的半徑為，則圓錐底面半徑為，可得在中，，，設，由勾股定理得，，即，化簡得，即，，則，即，則圓錐體積為，球的體積為，所以圓錐的體積與球O的體積之比為.故答案為：.規(guī)律方法：(1)求錐體的外接球問題的一般方法是補形法，把錐體補成正方體、長方體等求解．(2)求錐體的內(nèi)切球問題的一般方法是利用等體積法求半徑．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·陜西西安·模擬預測）圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長為4．已知P為該圓臺某條母線的中點，若一質(zhì)點從點P出發(fā)，繞著該圓臺的側(cè)面運動一圈后又回到點P，則該質(zhì)點運動的最短路徑長為（

）A． B．6 C． D．2．（2024·四川宜賓·三模）在直三棱柱中，，，點P在四邊形內(nèi)（含邊界）運動，當時，點P的軌跡長度為，則該三棱柱的表面積為（

）A．4 B． C． D．3．（2024·江蘇徐州·模擬預測）圓柱與圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐內(nèi)切球半徑為（

）A． B．C． D．4．（2025·黑龍江大慶·一模）已知圓臺的上?下底面半徑分別為1和3，母線長為，則圓臺的體積為（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·天津·期中）冰嘎別名冰尜，是東北民間少年兒童游藝品，俗稱“陀螺”.通常以木鏇之，大小不一，一般徑寸余，上端為圓柱形，下端為錐形.如圖所示的是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知分別是上、下底面圓的圓心，，底面圓的半徑為，則該陀螺的表面積為（

）A． B． C． D．6．（2023·山東泰安·模擬預測）魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國建筑的榫卯結(jié)構(gòu).如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2，則該魯班鎖的兩個相對三角形面間的距離為（

）

A． B．C． D．7．（2024·貴州遵義·模擬預測）在矩形中，，，為的中點，將和分別沿，折起，使點與點重合，記為點，若三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·河南焦作·開學考試）半徑為4的實心球與半徑為2的實心球體積之差的絕對值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·山東·模擬預測）如圖，有一個棱臺形的容器（上底面無蓋），其四條側(cè)棱均相等，底面為矩形，，容器的深度為，容器壁的厚度忽略不計，則下列說法正確的是（

）A．B．該四棱臺的側(cè)面積為C．若將一個半徑為的球放入該容器中，則球可以接觸到容器的底面D．若一只螞蟻從點出發(fā)沿著容器外壁爬到點，則其爬行的最短路程為10．（21-22高二下·浙江紹興·期末）在正方體中，點滿足，其中，，則（

）A．當時，平面B．當時，三棱錐的體積為定值C．當時，的面積為定值D．當時，直線與所成角的范圍為11．（2024·江蘇南京·二模）在棱長為1的正方體中，、分別為、的中點，點滿足，則下列說法正確的是（

）A．若，則三棱錐外接球的表面積為B．若，則異面直線與所成角的余弦值為C．若，則面積的最小值為D．若存在實數(shù)使得，則的最小值為三、填空題12．（2025·江蘇南通·一模）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的側(cè)面積為．13．（2024·江蘇蘇州·一模）已知直三棱柱外接球的直徑為6，且，，則該棱柱體積的最大值為．14．（2024·江西九江·二模）將兩個觀賞球體封閉在一個正方體容器內(nèi)，設正方體棱長為1，則兩個球體體積之和的最大值為．四、解答題15．（2024·廣西貴港·模擬預測）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E為邊CD的中點，沿AE把折起，使點D到達點P的位置，且．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的表面積16．（2022·陜西榆林·模擬預測）如圖，已知三棱柱中，，平面，，M為邊上的動點．(1)當時，求證：平面；(2)求三棱錐的體積．17．（2024·上?！つM預測）設一個簡單幾何體的表面積為，體積為，定義系數(shù)，已知球體對應的系數(shù)為，定義為一個幾何體的“球形比例系數(shù)”.(1)計算正方體和正四面體的“球形比例系數(shù)”；(2)求圓柱體的“球形比例系數(shù)”范圍；(3)是否存在“球形比例系數(shù)”為0.75的簡單幾何體？若存在，請描述該幾何體的基本特征；若不存在，說明理由.18．（2024·河南信陽·模擬預測）長方體中，.(1)過E、B作一個截面，使得該截面平分長方體的表面積和體積.寫出作圖過程及其理由.(2)記（1）中截面為，若與（1）中過點的長方體的三個表面成二面角分別為，求的值.19．（2022·福建寧德·模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面，，，，為棱上一點．(1)若是的中點，求證：直線平面；(2)若，且二面角的平面角的余弦值為，求三棱錐的體積參考答案：題號12345678910答案ACCABCBABDABD題號11答案AD1．A【分析】利用側(cè)面展開結(jié)合圖形求解最短距離.【詳解】P為圓臺母線AB的中點，分別為上下底面的圓心，把圓臺擴成圓錐，如圖所示，則，，，由，有，，，圓錐底面半徑，底面圓的周長為，母線長，所以側(cè)面展開圖的扇形的圓心角為，即，如圖所示，質(zhì)點從點P出發(fā)，繞著該圓臺的側(cè)面運動一圈后又回到點P，則運動的最短路徑為展開圖弦，，，有.故選：A2．C【分析】由題意得，其中，從而根據(jù)題意列方程可求得，根據(jù)棱柱表面積公式即可求解.【詳解】設，因為，所以由棱柱的性質(zhì)可得，因為平面，平面，所以，又因為，，平面，所以平面，點P在四邊形內(nèi)（含邊界）運動，當時，，這意味著點是在以為圓心為半徑的圓弧上運動，該圓弧弧長是圓周周長，由題意，解得，所以該三棱柱的表面積為.故選：C.3．C【分析】由等面積法先求出圓錐底面圓的半徑，再由等面積法求出圓錐軸截面內(nèi)切圓的半徑即可得解.【詳解】若圓柱與圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則，其中為圓錐底面圓的半徑，根據(jù)對稱性，圓錐內(nèi)切球半徑為圓錐軸截面內(nèi)切圓的半徑，設內(nèi)切圓圓心為點，圓錐底面圓心為點，為圓錐的母線，設，由題意，由等面積法有.故選：C.4．A【分析】首先利用勾股定理求出圓臺的高，再由臺體的體積公式計算可得.【詳解】因為圓臺的上?下底面半徑分別為1和3，母線長為，所以圓臺的高，所以圓臺的體積.故選：A5．B【分析】先利用已知條件底面圓的半徑，以及，求得圓柱母線長以及圓錐的母線長，再利用圓柱和圓錐的表面積公式求解即可.【詳解】由底面圓的半徑為，得底面圓的面積為，又知，則得圓柱的高等于母線長，且圓柱的母線長為，已知圓錐的高為，圓的半徑為，則圓錐的母線長為：，則陀螺的表面積為：；故選：B.6．C【分析】該魯班鎖玩具可以看成是一個正方體截去了8個正三棱錐所余下來的幾何體，由等體積轉(zhuǎn)化得出截去的三棱錐的高，由體對角線減去該高，計算即可.【詳解】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個正方體截去了8個正三棱錐所余下來的幾何體，如圖所示，由題意可知：，所以.故該正方體的棱長為，且被截去的正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為，則該小三棱錐幾何體的體積為，

所以該三棱錐的頂點D到面ABC的距離.易知魯班鎖兩個相對的三角形面平行，且正方體的體對角線MD垂直于該兩面，故該兩面的距離.故選：C7．B【分析】首先判斷兩兩互相垂直，再補體成為長方體，利用長方體和四棱錐是同一個外接球，即可求半徑，求球的表面積.【詳解】依題意，，，，平面，則平面，，，即有，則，由此可將三棱錐補成以為相鄰三條棱的長方體，若三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則該長方體的各頂點亦在球的球面上，設球的半徑為，則該長方體的體對角線長為，所以球的表面積.故選：B8．A【分析】先由已知條件和球的體積公式分別直接計算出實心球和實心球的體積，再用大實心球體積減去小實心球體積即可得解.【詳解】由題意可知實心球體積為，實心球體積為，所以實心球與實心球體積之差的絕對值為.故選：A.9．BD【分析】由勾股定理即可判斷A，由梯形的面積公式代入計算，即可判斷B，做出軸截面圖形代入計算，即可判斷C，將四棱臺展開，然后代入計算，即可判斷D【詳解】對于A，由題意可得，故A錯誤；對于B，梯形的高為，所以梯形的面積為，梯形的高為，所以梯形的面積為，故該四棱臺的側(cè)面積為，故B正確；對于C，若放入容器內(nèi)的球可以接觸到容器的底面，則當球的半徑最大時，球恰好與面、面、面均相切，過三個切點的截面如圖（1）所示，由題意可知棱臺的截面為等腰梯形，較長的底邊上的底角的正切值為，則，由于互補，故，則，所以（負值舍），從而球的半徑為，所以將半徑為的球放入該容器中不能接觸到容器的底面，故C錯誤；對于D，將平面與平面展開至同一平面，如圖（2），則，將平面與平面展開至同一平面，如圖（3），則，所以最短路程為，故D正確．故選：BD【點睛】難點點睛：解答本題的難點在于選項D的判斷，解答時要將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，將幾何體側(cè)面展開，將折線長轉(zhuǎn)化為線段長，即可求解.10．ABD【分析】對于A選項，確定點在面對角線上，通過證明面面平行，得線面平行；對于B選項，確定點在棱上，由等體積法，說明三棱錐的體積為定值；對于C選項，確定點在棱上，的底不變，高隨點的變化而變化；對于D選項，通過平移直線，找到異面直線與所成的角，在正中，確定其范圍.【詳解】對于A選項，如下圖，當時，點在面對角線上運動，又平面，所以平面，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，同理可證平面，，所以，平面平面，平面，所以，平面，A正確；對于B選項，當時，如下圖，點在棱上運動，三棱錐的體積為定值，B正確；對于C選項，當時，如圖，點在棱上運動，過作于點，則，其大小隨著的變化而變化，C錯誤；對于D選項，如圖所示，當時，，，三點共線，因為且,所以四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補角是直線與所成角，在正中，的取值范圍為，D正確.故選：ABD.11．AD【分析】根據(jù)長方體的外接球即可求解A，建立空間直角坐標系，即可根據(jù)向量的坐標運算，結(jié)合模長公式以及夾角公式即可求解BD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得在線段上運動，，即可根據(jù)面積公式求解.【詳解】A：由題意，與重合，故三棱錐的外接球與以為長寬高的長方體的外接球相同，故半徑，表面積為，故對；B：以為原點建系，，，，，，由，所以，，，，故B錯；C：由得，在線段上運動，設在底面的投影為，連接，由于，所以，故，連接相交于，連接，，當重合時取等號，故C錯；

D：由得，，，，由可得，所以，，，當時，，故D正確.故選：AD.12．【分析】根據(jù)圓柱與球體的位置關系及球的對稱性求圓柱底面半徑，再由圓柱側(cè)面積的求法求結(jié)果.【詳解】由題設，已知球為圓柱的外接球，且球體半徑，圓柱高為，根據(jù)球的對稱性，圓柱底面半徑為，則圓柱側(cè)面積.故答案為：13．16【分析】將直三棱柱外補全成長方體，從而可得直三棱柱外接球的直徑即為該長方體的對角線，從而可得，再根據(jù)重要不等式，即可求解．【詳解】如圖，將直三棱柱外補全成長方體，則直三棱柱外接球的直徑即為該長方體的對角線，設，，則，，直三棱柱的體積為，當且僅當時，等號成立，該棱柱體積的最大值為16．故答案為：16．14．【分析】設兩個球，的半徑分別為，，得到兩圓與對角面相切，且與正方體三個面相切時，體積和最大，根據(jù)題意，求得的取值范圍，利用球的體積公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，為正方體的對角面，設兩個球，的半徑分別為，，當兩圓與對角面相切，且與正方體三個面相切時，體積和最大，所以，可得，所以，由題意知，，且，故，所以體積，當時，最大，此時，最大值為.故答案為：.

【點睛】解決與球有關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素間的關系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑：根據(jù)作出截面中的幾何元素，利用球的截面的性質(zhì)，運用公式（為底面多邊形的外接圓的半徑，為幾何體的外接球的半徑，表示球心到底面的距離）求得球的半徑，建立關于球