2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 立體幾何 第7講　截面、交線問題解析版

第7講截面、交線問題（新高考專用）目錄目錄【考點突破】 2【考點一】截面問題 2【考點二】交線問題 10【專題精練】 19考情分析：“截面、交線”問題是高考立體幾何問題最具創(chuàng)新意識的題型，它滲透了一些動態(tài)的線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力．求截面、交線問題，一是與解三角形、多邊形面積、扇形弧長、面積等相結(jié)合求解，二是利用空間向量的坐標(biāo)運算求解．考點突破考點突破【考點一】截面問題一、單選題1．（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測）已知正方體中，點、滿足，則平面截正方體形成的截面圖形為（

）A．六邊形 B．五邊形C．四邊形 D．三角形2．（2024·四川達(dá)州·二模）如圖，在正方體中，為中點，為線段上一動點，過的平面截正方體的截面圖形不可能是（

）

A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形二、多選題3．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知正四面體，過點的平面將四面體的體積平分，則下列命題正確的是（

）A．截面一定是銳角三角形 B．截面可以是等邊三角形C．截面可能為直角三角形 D．截面為等腰三角形的有6個4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體中，M為平面ABCD內(nèi)一動點，則（

）A．若M在線段AB上，則的最小值為B．平面被正方體內(nèi)切球所截，則截面面積為C．若與AB所成的角為，則點M的軌跡為橢圓D．對于給定的點M，過M有且僅有3條直線與直線，所成角為三、填空題5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）正方體中，是棱的中點，在側(cè)面上運動，且滿足平面.以下命題正確的有.①側(cè)面上存在點，使得②直線與直線所成角可能為③平面與平面所成銳二面角的正切值為④設(shè)正方體棱長為1，則過點的平面截正方體所得的截面面積最大為6．（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）在正四面體中，M為PA邊的中點，過點M作該正四面體外接球的截面，記最大的截面半徑為R，最小的截面半徑為r，則；若記該正四面體和其外接球的體積分別為和，則．參考答案：題號1234答案BAADABD1．B【分析】由題意，點是線段上靠近的三等分點，點是線段上靠近的三等分點，作出截面圖形可得結(jié)論.【詳解】如圖，因為點、滿足，點是線段上靠近的三等分點，點是線段上靠近的三等分點，延長與交于點，連接交于，延長交于點，連接交于，連接，則五邊形為所求截面圖形.故選：B．2．A【分析】根據(jù)點在、以及三個特殊位置時，截面圖形的形狀，選出正確選項.【詳解】B選項，當(dāng)點與重合時，

取中點，因為是中點，則，且，連接，則四邊形為平行四邊形，又因為，所以平行四邊形為矩形，故排除B選項；C選項，當(dāng)點與重合時，

取中點，因為是的中點，所以，連接，截面四邊形為梯形，故排除C選項；D選項，當(dāng)點為中點時，

因為是中點，所以且，連接，則四邊形是平行四邊形，又因為，，因為是正方體，所以，所以，所以平行四邊形是菱形，故排除D選項；不管點在什么位置，都不可能是三角形.故選：A.3．AD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正四面體的幾何特征，以及余弦定理和三角形的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)過點的截面交底面于點，且，因為過點的平面將正四面體的體積平分，即平分的面積，可設(shè)正四面體的棱長為，可得，解得，且，對于A中，在中，可得，在中，可得，在中，可得，則，即，同理可得，，即在中，任意的兩邊的平方和大于第三邊，所以為銳角三角形，所以A正確；對于B中，若截面為等邊三角形，則滿足，若，即，可得，此時，可得，所以截面不是等邊三角形，所以B錯誤；對于C中，當(dāng)點與點重合時，要使得平面平分三棱錐的體積，即平分的面積，此時為的中點，此時，則中，邊取得最小值，且，且，可得，此時的最大角為銳角，所以不能為直角三角形，所以C錯誤；對于D中，當(dāng)過點截面過底面的一個頂點和對邊的中點時，如圖（1）所示，得到截面，,，此時，此時三個三角形都為等腰三角形，且滿足把正四面體的體積平分；如圖（2）所示，在的邊長上分別取，使得，連接，使得恰好平分的面積，此時截面恰好平分正四面體的體積，且為等腰三角形，綜上可得，截面為等腰三角形的有6個，所以D正確.故選：AD.

4．ABD【分析】合理構(gòu)造圖形，利用三角形的性質(zhì)判斷A，利用球的截面性質(zhì)判斷B，利用線線角的幾何求法求出軌跡方程判斷C，合理轉(zhuǎn)化后判斷D即可.【詳解】對于A，延長到使得，則，等號在共線時取到；故A正確；對于B，由于球的半徑為，球心到平面的距離為，故被截得的圓的半徑為，故面積為，故B正確；對于C，與所成的角即為和所成角，所以，易知平面，當(dāng)位于線段上時，則平面，得，所以的軌跡為直線，故C錯誤；對于D，顯然過的滿足條件的直線數(shù)目等于過的滿足條件的直線的數(shù)目，在直線上任取一點，使得，不妨設(shè)，若，則是正四面體，所以有兩種可能，直線也有兩種可能，若，則只有一種可能，就是與的角平分線垂直的直線，所以直線有三種可能，故D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：選項A中，關(guān)鍵是將空間中的兩距離之和最短轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)三點共線時長度最短問題求解.5．①③【分析】由面面平行的判定定理即可判斷①，由異面直線夾角的定義即可判斷②，由二面角的定義即可判斷③，由截面為菱形即可判斷④【詳解】取中點中點，連接，則易證得，且，平面，平面，從而平面平面，所以點的運動軌跡為線段.取的中點，因為是等腰三角形，所以，又因為，所以，故①正確；設(shè)正方體的棱長為，當(dāng)點與點或點重合時，直線與直線所成角最大，此時，所以②錯誤；平面平面，取為的中點，則即為平面與平面所成的銳二面角，，所以③正確；因為當(dāng)為與的交點時，截面為菱形（為的交點），此時，，則面積為，故④錯誤.故答案為：①③6．/33π【分析】把正四面體放置于正方體中，利用正四面體與正方體有相同的外接球，結(jié)合球的截面小圓的性質(zhì)、體積公式計算即得.【詳解】將正四面體放置于正方體中，可得正方體的外接球即為該正四面體的外接球，如圖，

外接球球心為正方體的體對角線的中點，設(shè)正四面體的棱長為，則正方體棱長為，由外接球直徑等于正方體的體對角線，得正四面體外接球半徑，當(dāng)過中點的正四面體外接球截面過球心時，截面圓面積最大，截面圓半徑為，當(dāng)該截面到球心的距離最大時，截面圓面積最小，此時球心到截面距離為，可得最小截面圓半徑，因此；正四面體外接球體積，正四面體的體積，因此.故答案為：；33規(guī)律方法：作幾何體截面的方法(1)利用平行直線找截面．(2)利用相交直線找截面．【考點二】交線問題一、單選題1．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）在正方體中，點為線段上的動點，直線為平面與平面的交線，現(xiàn)有如下說法①不存在點，使得平面②存在點，使得平面③當(dāng)點不是的中點時，都有平面④當(dāng)點不是的中點時，都有平面其中正確的說法有（

）A．①③ B．③④ C．②③ D．①④2．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）在正六棱柱中，，為棱的中點，則以為球心，2為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·貴州·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，.設(shè)平面與平面的交線為，點為上的點，為上的點.下列說法正確的是（

）A．平面B．四棱錐外接球的半徑為C．點到的距離為D．三棱錐的體積為4．（2024·湖北荊州·三模）如圖，正八面體棱長為2．下列說法正確的是（

）A．平面B．當(dāng)P為棱EC的中點時，正八面體表面從F點到P點的最短距離為C．若點P為棱EB上的動點，則三棱錐的體積為定值D．以正八面體中心為球心，1為半徑作球，球被正八面體各個面所截得的交線總長度為三、填空題5．（2024·山東·二模）三棱錐中，和均為邊長為2的等邊三角形，分別在棱上，且平面平面，若，則平面與三棱錐的交線圍成的面積最大值為．6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體中，過面對角線的平面記為，以下四個命題:①存在平面，使;②若平面與平面的交線為，則存在直線，使;③若平面截正方體所得的截面為三角形，則該截面三角形面積的最大值為;④若平面過點，點在線段上運動，則點到平面的距離為．其中真命題的序號為．參考答案：題號1234答案BDACDABD1．B【分析】對于①，由當(dāng)點與點重合時，結(jié)合線面平行的判定定理即可判斷；對于②，若平面，則，建系利用向量運算即可判斷；對于③④，由線面平行，線面垂直的相關(guān)知識判斷即可.【詳解】對于①，由當(dāng)點與點重合時，由，而平面，平面，得平面，故①錯誤；對于②，若存在點，使得平面，則，又，可得，以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長為1，，，則，，，，則，，，，所以，這與矛盾，故②錯誤；對于③，當(dāng)不是的中點時，由，且面，面，可知面，又直線為面與面的交線，則，又面，面，從而可得面，故③正確；對于④，由③可知，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，所以平面，故④正確.綜上，③④正確.故選：B.2．D【分析】根據(jù)題意，作圖，分別求出球面與正六棱柱各個面所交的弧線的長度之和，可計算得到答案.【詳解】因為球的半徑為2，所以球不與側(cè)而及側(cè)面相交，連接．由題得，．所以，所以球與側(cè)面交于點，，與側(cè)面交于點，．在正六邊形中，易得，因為平面，平面．所以，又，平面，所以平面，即平面，且，又，．所以球與側(cè)面的交線為以為直徑的半圓，同理可得球與側(cè)面的交線為以為直徑的半圓．由題易得，則球與上底面及下底面的交線均為個半徑為的圓．所以球面與該正六棱柱各面的交線總長為．故選：D．

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)球的半徑為2，判斷球只與側(cè)而及側(cè)面，上底面及下底面相交.3．ACD【分析】先證明平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，再證明平面，即可判斷A；由題意可得即為外接球的直徑，進(jìn)而可判斷B；根據(jù)，即可判斷C；根據(jù)錐體的體積公式即可判斷D.【詳解】在正方形中，，平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，因為平面，平面，所以，正方形中，，平面，所以平面，所以平面，故A正確；設(shè)四棱錐外接球半徑為，由題意知PD，DC，AD兩兩垂直，則，故，故B錯誤；因為，所以點到的距離等于點到的距離，等于，故C正確；因為，平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，所以，故D正確.故選：ACD.4．ABD【分析】對于A，由線線平行證得線面平行；對于B，將和展開至同一平面，由余弦定理可求最小值；對于C，等體積法得到三棱錐的體積為定值，對于D，以O(shè)為球心，1為半徑的球與各條棱均切于中點處，據(jù)此計算可求球被正八面體各個面所截得的交線總長度.【詳解】對于A，在正八面體中，故四邊形為菱形，故，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，將和展開至同一平面，如圖所示，其中，，，由余弦定理得：，，故B正確；對于C，，連接、，相交于點，連接，由對稱性可知，，、均為等腰直角三角形，所以，，，又平面，可證得平面，所以到平面的距離為，設(shè)菱形的面積為，則，，三棱錐的體積為定值，故C錯誤；對于D，易得以O(shè)為球心，1為半徑的球與各條棱均切于中點處，故球與每個側(cè)面的交線即側(cè)面正三角形的內(nèi)切圓，又以2為邊長的正三角形的高為，可得內(nèi)切圓半徑，交線總長度，故D正確．故選：ABD.【點睛】方法點睛：求一點沿空間幾何體的表面到另一點間的距離的最小值問題，常常展開在同一平面內(nèi)，通過求平面內(nèi)兩點間的距離求得最小值.5．【分析】首先證明截面為長方形，設(shè)，將面積表示為關(guān)于的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，因為平面，設(shè)面，所以，同理：，設(shè)，所以，即，所以四邊形為平行四邊形，即，平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，即，且，取中點，連接，易得，，，所以面，所以，所以，所以四邊形為矩形，所以面與三棱錐的交線圍成的面積，當(dāng)，即為中點時，面積最大，最大值為，故答案為：.

6．①②④【分析】對于①：取平面為平面，結(jié)合線面垂直分析判斷；對于②：根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得∥，再結(jié)合平行線的傳遞性分析判斷；對于③：舉反例說明即可；對于④：可證∥平面，則點到平面的距離即為點到平面的距離，利用等體積法分析求解.【詳解】對于①：取平面為平面，因為為正方形，則，又因為平面，平面，則，且，平面，可得平面，即，故①為真命題；對于②：顯然此時平面與平面不重合，因為平面∥平面，且平面平面，平面平面，可得∥，又因為∥，，可知為平行四邊形，則∥，可知當(dāng)不與重合時，∥，故②為真命題；對于③：例如截面，可知截面為邊長為的等邊三角形，符合題意，且，故③為假命題；對于④：由②可知：∥，且平面，平面，則∥平面，因為點在線段上運動，則點到平面的距離相等，不妨取點為點，設(shè)點到平面的距離為，因為，則，解得，所以點到平面的距離為，故④為真命題；故答案為：①②④.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于④：根據(jù)平行關(guān)系將所求距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，再利用等體積法運算求解.規(guī)律方法：找交線的方法(1)線面交點法：各棱線與截平面的交點．(2)面面交點法：各棱面與截平面的交線．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知邊長為6的正方體與一個球相交，球與正方體的每個面所在平面的交線都為一個面積為的圓，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·山東棗莊·一模）在側(cè)棱長為2的正三棱錐中，點為線段上一點，且，則以為球心，為半徑的球面與該三棱錐三個側(cè)面交線長的和為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·遼寧·階段練習(xí)）已知在正方體中，，點，，分別在棱，和上，且，，，記平面與側(cè)面，底面的交線分別為，，則（

）A．的長度為 B．的長度為C．的長度為 D．的長度為4．（2023·河南·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，以為球心，為半徑作球，則球面與底面的交線長度的和為（

）

A． B． C． D．5．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）圓臺上、下底面半徑分別為，作平行于底面的平面將圓臺分成上下兩個體積相等的圓臺，截面圓的半徑為（

）.A．B．C．D．6．（2024·福建泉州·一模）泉州花燈技藝源于唐朝中期從形式上有人物燈、宮物燈、宮燈，繡房燈、走馬燈、拉提燈、錫雕元宵燈等多種款式．在2024年元宵節(jié)，小明制做了一個半正多面體形狀的花燈，他將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，如圖所示．已知該半正多面體的體積為，M為的中心，過M截該半正多面體的外接球的截面面積為S，則S的最大值與最小值之比（

）A． B． C．3 D．97．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）在長方體中，，點是線段上靠近的四等分點，點是線段的中點，則平面截該長方體所得的截面圖形為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形8．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知三棱錐為中點，為直二面角，且為二面角的平面角，三棱錐的外接球表面積為，則平面被球截得的截面面積及直線與平面所成角的正切值分別為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·江蘇鹽城·一模）已知直四棱柱，，底面是邊長為1的菱形，且，點E，F(xiàn)，G分別為，，的中點，點H是線段上的動點（含端點）.以為球心作半徑為R的球，下列說法正確的是（

）A．直線與直線所成角的正切值的最小值為B．存在點H，使得平面C．當(dāng)時，球與直四棱柱的四個側(cè)面均有交線D．在直四棱柱內(nèi)，球外放置一個小球，當(dāng)小球體積最大時，球直徑的最大值為10．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖在四棱柱中，底面四邊形是菱形，，，平面，，點與點關(guān)于平面對稱，過點做任意平面，平面與上、下底面的交線分別為和，則下列說法正確的是（

）A． B．平面與底面所成的角為C．點到平面的距離為1 D．三棱錐的體積為11．（2024·安徽·模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體中，以A，為焦點的橢圓，繞著軸旋轉(zhuǎn)180°得到的旋轉(zhuǎn)體稱為橢球，橢圓的長軸就是橢球的長軸，若橢球的長軸長為2，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．橢球的表面與正方體的六個面都有交線B．在正方體的所有棱中，只有六條棱與橢球的表面相交C．若橢球的表面與正方體的某條棱相交，則交點必是該棱的一個三等分點D．橢球的表面與正方體的一個面的交線是橢圓的一段三、填空題12．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）已知正四面體棱長為2，所有與它四個頂點距離相等的平面截這個四面體所得的截面之和為．13．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）已知正四棱柱中，為的中點，則平面截此四棱柱的外接球所得的截面面積為.14．（2024·廣東茂名·二模）如圖，在梯形中，，將沿直線翻折至的位置，，當(dāng)三棱錐的體積最大時，過點的平面截三棱錐的外接球所得的截面面積的最小值是.參考答案：題號12345678910答案BCACBCCDABCABD題號11答案ABD1．B【分析】首先得截面圓半徑，再求得球心到截面圓的距離即可得球的半徑，結(jié)合球的表面積公式即可求解.【詳解】由對稱性，球心與正方體重心重合，且每個面的交線半徑為4.連球心與任意面中心，則連線長為3，且連線垂直該面，再連交線圓上一點與球心（即為球半徑），由勾股定理得球的半徑為5，則表面積為.故選：B.2．C【分析】借助線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理可得、、兩兩垂直，即以為球心，為半徑的球面與該三棱錐三個側(cè)面交線分別為三段半徑為，圓心角為的弧，借助弧長公式計算即可得.【詳解】取中點，連接、，則有，，又，、平面，故平面，又平面，故，又，，、平面，故平面，又、平面，故，，由正三棱錐的性質(zhì)可得、、兩兩垂直，故，即以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為：，即與該三棱錐三個側(cè)面交線長的和為.故選：C.

3．A【分析】做出截面，確定線段，，由平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可得解.【詳解】如圖所示，連接并延長交的延長線于，連接并延長交于點，交的延長線于點，連接，交于點，連接，則即為，即為，由，得，所以，，由，得，則，所以，故C，D項錯誤；由，得，又易知，得，所以，所以，故A項正確，B項錯，故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵在于利用平面的性質(zhì)作出截面，從而得到為，為，由此得解.4．C【分析】由等體積公式求出截面圓的半徑為，畫出截面圖形，再利用H為的中心，求出，再利用弦長公式求出，最后求出交線長度.【詳解】由題意知三棱錐為正三棱錐，故頂點在底面的射影為的中心，連接，由，得，所以，因為球的半徑為，所以截面圓的半徑，所以球面與底面的交線是以為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部部分，如圖所示

易求，所以，易得，所以，所以交線長度和為.故選：C.【點睛】本題為空間幾何體交線問題，找到球面與三棱錐的表面相交所得到的曲線是解決問題的關(guān)鍵.具體做法為由等體積公式求出截面圓的半徑，畫出截面圖形，再利用H為的中心，求出，再利用弦長公式求出，最后求出交線長度.5．B【分析】設(shè)截面半徑為，上，下圓臺的高分別為，，上，下圓臺的體積分別為，則，而，利用圓臺體積公式建立方程，化簡求解即可得到答案．【詳解】設(shè)截面半徑為x，上、下圓臺的高分別為，，上，下圓臺的體積分別為，則，又，則，于是，則，得，故.故選：B．6．C【分析】利用半正多面體和中心對稱性，確定外接球球心和半徑，再去找到最大截面圓和最小截面圓的半徑，即可求出它們的比值.【詳解】把這個半正多面體補全為正方體，再設(shè)該正方體的邊長為，則每個截去的小三棱錐的體積為，所以該半正多面體的體積：，解得，由圖可知，半正多面體的外接球半徑是，由正方體的性質(zhì)易證明平面平面：又因為在正方體中平面，所以平面，所以過點截外接球的最小截面圓的半徑是，最大截面圓的半徑是，即的最小值比最大值等于，則最大值比最小值等于3.故選：C.7．C【分析】延長交的延長線于點，連接交于點，連接，延長交的延長線于點，連接交于點，連接，即可得到截面圖形，再利用相似驗證即可.【詳解】延長交的延長線于點，連接交于點，連接，延長交的延長線于點，連接交于點，連接，則五邊形為平面截該長方體所得的截面圖形，不妨設(shè)，又點是線段上靠近的四等分點，點是線段的中點，所以，，，所以，又，所以，又，所以，又，即，解得，又，即，解得，符合題意，即五邊形為平面截該長方體所得的截面圖形.故選：C8．D【分析】利用球的截面的性質(zhì)，找出球心球心，再根據(jù)條件求出球的半徑，在中，利用勾股定理，求出外接圓的半徑，即可求出截面面積，再求出的長，即可求出直線與平面所成角的正切值，從而求出結(jié)果.【詳解】依題知平面，又面，所以，又為中點，所以，取中點為，連接交于，則是外心，又，所以，連接，在上取為外心，過作平面的垂線，過作平面的垂線，兩垂線的交點即為三棱錐外接球球心，則四邊形是矩形，，連接，設(shè)外接圓半徑，設(shè)球半徑為，因為球的表面積為，所以，得到，所以在中，，所以平面截球的截面面積，在中，，所以，又為直線與平面所成角，所以，故選：D.9．ABC【分析】A選項，作出輔助線，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出，，表達(dá)出直線與直線所成角的余弦值，求出最大值為，從而得到正切值的最小值；B選項，作出截面，進(jìn)而可找出滿足條件的點H；C選項，找到與四個側(cè)面的交線即可；D選項，球外放置一個小球O，當(dāng)小球O與四個側(cè)面均相切時，小球O體積最大，得到小球O的半徑為，得到，結(jié)合得到球直徑的最大值.【詳解】A選項，連接，因為底面是邊長為1的菱形，且，所以為等邊三角形，因為為的中點，所以，故，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：故A0,0,0，，，設(shè)，，則，，設(shè)直線與直線所成角的大小為，則，令，故，因為，所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為，此時，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故直線與直線所成角的正切值的最小值為，故A正確；B選項，取，，的中點，，，連接，，，，，，由平行關(guān)系可知，過，，三點的平面截直四棱柱，得到的截面為六邊形，當(dāng)與重合時，平面，平面.所以平面，故B正確；C選項，連接，則，，如圖，當(dāng)時，直四棱柱截球體下半部分的，球與直四棱柱四個側(cè)面都有一段圓弧狀交線，截面如下：故C正確；D選項，球外放置一個小球O，當(dāng)小球O與四個側(cè)面均相切時，小球O體積最大，此時小球O在底面上的射影剛好與菱形相切，故小球O的半徑為，底面的中心為，⊥平面，其中，，故，因為，則，故球直徑的最大值為，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】立體幾何中截面的處理思路：（1）直接連接法：有兩點在幾何體的同一個平面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過程；（2）作平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的平面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；（3）作延長線找交點法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找到交點，然后借助交點找到截面形成的交線；（4）輔助平面法：若三個點兩兩都不在一個側(cè)面或者底面中，則在作截面時需要作一個輔助平面.10．ABD【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可判斷A；由線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可得是平面與底面所成角的平面角，在中計算可判斷B；根據(jù)體積相等可判斷C；點與點關(guān)于平面對稱，由到平面的距離與到平面的距離相等，可得可判斷D.【詳解】對于A項，因為是四棱柱，上、下底面平行且平面與上、下底面的交線分別為和，所以，故A正確；對于B項，因為平面，所以，又因為是菱形，所以，且，平面，所以平面，平面，所以，平面底面，所以是平面與底面所成角的平面角，又因為，，所以，在中，，所以，所以，故B正確；對于C項，，即，所以，故C錯誤；對于D項，因為點與點關(guān)于平面對稱，由B項知，所以到平面的距離與到平面的距離相等，即，所以到平面的距離，，故D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：求解點到平面距離時，利用體積相等，將所求距離轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，從而結(jié)合三棱錐體積求得結(jié)果.11．ABD【分析】對A：根據(jù)選項BD即可判斷；對BC：假設(shè)存在橢球與棱相交的點，根據(jù)橢圓的定義，列方程求解，即可判斷；對D：以正方形的中心建立空間