2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第4講　函數(shù)的極值、最值解析版

第4講函數(shù)的極值、最值（新高考專(zhuān)用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 10【考點(diǎn)一】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 10【考點(diǎn)二】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值 15【考點(diǎn)三】極值、最值的簡(jiǎn)單應(yīng)用 21【專(zhuān)題精練】 27考情分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值是重點(diǎn)考查內(nèi)容，多以選擇題、填空題壓軸考查，或以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等偏上，屬綜合性問(wèn)題．真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2022·全國(guó)·高考真題）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．12．（2022·全國(guó)·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，4．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱(chēng)軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱(chēng)中心5．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)6．（2023·全國(guó)·高考真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．7．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱(chēng)中心 D．直線是曲線的切線三、填空題8．（2022·全國(guó)·高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是．參考答案：題號(hào)1234567答案BDACDADABCBCDAC1．B【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)f'x即可解出．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?,+∞，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在0,1上遞增，在1,+∞上遞減，時(shí)取最大值，滿(mǎn)足題意，即有．故選：B.2．D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D3．ACD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點(diǎn)，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)在上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.【詳解】對(duì)A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，而，易知當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)或時(shí)，f函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，所以，而由上可知，函數(shù)在0,1上單調(diào)遞增，所以，錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，所以，正確；故選：ACD.4．AD【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判斷出在上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.【詳解】A選項(xiàng)，，由于，故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，，則，則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開(kāi)式含有的項(xiàng)為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用對(duì)稱(chēng)中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)中心，則，事實(shí)上，，于是即，解得，即存在使得是的對(duì)稱(chēng)中心，D選項(xiàng)正確.方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，，，，由，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，由題意也是對(duì)稱(chēng)中心，故，即存在使得是的對(duì)稱(chēng)中心，D選項(xiàng)正確.故選：AD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）的對(duì)稱(chēng)軸為；（2）關(guān)于對(duì)稱(chēng)；（3）任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心5．ABC【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC，舉反例即可排除選項(xiàng)D.方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對(duì)于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行判斷即可.【詳解】方法一：因?yàn)椋瑢?duì)于A，令，，故正確.對(duì)于B，令，，則，故B正確.對(duì)于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，對(duì)于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)無(wú)極值，故錯(cuò)誤.方法二：因?yàn)?，?duì)于A，令，，故正確.對(duì)于B，令，，則，故B正確.對(duì)于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，對(duì)兩邊同時(shí)除以，得到，故可以設(shè)，則，當(dāng)肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時(shí)是的極大值，故D錯(cuò)誤.故選：.6．BCD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而，因此方程有兩個(gè)不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯(cuò)誤，BCD正確.故選：BCD7．AC【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱(chēng)中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱(chēng)中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.8．【分析】法一：依題可知，方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過(guò)原點(diǎn)的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)因?yàn)椋苑匠痰膬蓚€(gè)根為，即方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，f'x<0，即圖象在上方當(dāng)時(shí)，f'x>0，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)y=gx的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)=0的兩個(gè)根為因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)若，則f'x在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時(shí)若，則f'x在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，則需滿(mǎn)足，，即故，所以.【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用函數(shù)的零點(diǎn)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；法二：通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值核心梳理：判斷函數(shù)的極值點(diǎn)，主要有兩點(diǎn)(1)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的變號(hào)零點(diǎn)，即為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)．(2)利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性可得函數(shù)的極值點(diǎn)．一、單選題1．（2023·吉林通化·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為k，則函數(shù)在上（

）A．有極大值，無(wú)最小值 B．無(wú)極大值，有最小值C．有極大值，有最大值 D．無(wú)極大值，無(wú)最大值2．（2023·四川涼山·三模）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若1不是函數(shù)的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）．A．－1 B．0 C．1 D．2二、多選題3．（22-23高三下·浙江·開(kāi)學(xué)考試）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心.已知函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．，B．函數(shù)既有極大值又有極小值C．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)D．過(guò)可以作三條直線與圖象相切4．（23-24高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）若函數(shù)在處取得極值，則（

）A．B．為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)極大值D．若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則是的極小值點(diǎn)三、填空題5．（2023·云南紅河·二模）若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．6．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．參考答案：題號(hào)1234答案DDABABC1．D【分析】利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間最值求得，進(jìn)而判斷在上的單調(diào)性，即可得答案.【詳解】由，則時(shí)，時(shí)，所以在上遞增，上遞減，而，在上的最大值為k，所以，即，此時(shí)在上遞減，且無(wú)極大值和最大值.故選：D2．D【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義即可求解.【詳解】由題意可知，若1不是函數(shù)的極值點(diǎn)，則，即，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)，當(dāng)，因此是的極值點(diǎn)，1不是極值點(diǎn)，故滿(mǎn)足題意，故選：D3．AB【分析】利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合已知求出判斷A；利用導(dǎo)數(shù)求出極值，結(jié)合三次函數(shù)的圖象特征判斷BC；求出切線方程判斷D.【詳解】由，求導(dǎo)得，，令，得，由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，得，且，解得，A正確；于是，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在，上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)既有極大值，又有極小值，B正確；由于極小值，因此函數(shù)不可能有三個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；顯然，若是切點(diǎn)，則，切線方程為；若不是切點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與圖象相切于點(diǎn)，，由，解得，即切點(diǎn)，切線方程為，過(guò)只可以作兩條直線與圖象相切，D錯(cuò)誤.故選：AB4．ABC【分析】求導(dǎo)，由題意可知，是方程的一個(gè)變號(hào)實(shí)數(shù)根，則，即可判斷A；由判斷B；當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可判斷C；將代入整理得，則方程有不相等的實(shí)數(shù)根與，分類(lèi)討論，結(jié)合極值點(diǎn)的定義可判斷D.【詳解】的定義域?yàn)?，則，，由題意可知，是方程的一個(gè)變號(hào)實(shí)數(shù)根，則，故A正確；由得，，故B正確；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋院瘮?shù)開(kāi)口向下，且與軸正半軸只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有且僅有一個(gè)極大值，故C正確；將代入整理得，則方程有不相等的實(shí)數(shù)根與，即，當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，故選：ABC.5．/【分析】求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)可得，進(jìn)而解得或，代入驗(yàn)證極值點(diǎn)可確定，進(jìn)而根據(jù)極大值以及端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較即可求解.【詳解】由，得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極小值點(diǎn)，所以，即，即，解得或．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故又因?yàn)?，，所以函?shù)在的最大值為．故答案為：．6．【分析】經(jīng)求導(dǎo)轉(zhuǎn)化可知，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).，故只需研究函數(shù)的圖象即可求得參數(shù)范圍.【詳解】由求導(dǎo)，，由可得：，因不滿(mǎn)足此式，故可得：，則函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).由求導(dǎo)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故時(shí)，取得極小值.且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)從0的左邊趨近于0時(shí)，，當(dāng)從0的右邊趨近于0時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故可作出函數(shù)的圖象如圖.

由圖可知：函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于.故答案為：.規(guī)律方法：(1)不能忽略函數(shù)的定義域．(2)f′(x0)＝0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x＝x0處取得極值的必要不充分條件，即f′(x)的變號(hào)零點(diǎn)才是f(x)的極值點(diǎn)，所以判斷f(x)的極值點(diǎn)時(shí)，除了找f′(x)＝0的實(shí)數(shù)根x0外，還需判斷f(x)在x0左側(cè)和右側(cè)的單調(diào)性．(3)函數(shù)的極小值不一定比極大值小．【考點(diǎn)二】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值核心梳理：1．求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值．(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)．(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．2．若函數(shù)含有參數(shù)或區(qū)間含有參數(shù)，則需對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值．一、單選題1．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)函數(shù)(，且)的極值和最值情況進(jìn)行判斷，一定有（

）A．既有極大值，也有最大值 B．無(wú)極大值，但有最大值C．既有極小值，也有最小值 D．無(wú)極小值，但有最小值2．（2024·廣東深圳·二模）設(shè)函數(shù)，，若存在，，使得，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．二、多選題3．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，則（

）A．與的定義域不同，與的值域只有1個(gè)公共元素B．在與的公共定義域內(nèi)，的單調(diào)性與的單調(diào)性完全相反C．的極小值點(diǎn)恰好是的極大值點(diǎn)，的極大值點(diǎn)恰好是的極小值點(diǎn)D．函數(shù)既無(wú)最小值也無(wú)最大值，函數(shù)既有最小值也有最大值4．（2024·廣東廣州·一模）已知直線與曲線相交于不同兩點(diǎn)，，曲線在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2023·吉林·二模）若P，Q分別是拋物線與圓上的點(diǎn)，則的最小值為．6．（2024·江蘇·一模）已知，，則的最小值為.參考答案：題號(hào)1234答案CBBCACD1．C【分析】先求出導(dǎo)數(shù)，，然后討論方程根的情況，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)【詳解】，下面討論方程根的情況.令，，（1）當(dāng)時(shí)(即)，僅有一個(gè)唯一的正零點(diǎn)，不妨設(shè)為，此時(shí)有三個(gè)不同零點(diǎn)，分別為，0，；滿(mǎn)足既有極小值，也有最小值；（2）當(dāng)時(shí)(即)；滿(mǎn)足既有極小值，也有最小值；（3）當(dāng)時(shí)(即且)，若(即且)，則僅有一個(gè)唯一的極小值點(diǎn)為0，若，結(jié)合分析可知：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的正零點(diǎn)(令為，且).此時(shí)在，，上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則僅有一個(gè)唯一的極小值點(diǎn)為0.滿(mǎn)足既有極小值，也有最小值；綜上分析，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于：求導(dǎo)后討論方程根的情況，討論的時(shí)候，分情況：（1）當(dāng)；（2）當(dāng)；（3）當(dāng)，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)，屬于難題2．B【分析】根據(jù)題意，由條件可得，即可得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得其最值，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，即，所以，又，所以在R上單調(diào)遞增，即，所以，且，令，x∈0,+∞則，其中，令，則，當(dāng)x∈0,1時(shí)，h'x當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，h'所以當(dāng)時(shí)，hx有極大值，即最大值，所以，，所以.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)同構(gòu)問(wèn)題以及導(dǎo)數(shù)求最值問(wèn)題，結(jié)合同構(gòu)函數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)即可得到結(jié)果.3．BC【分析】首先確定定義域?yàn)?、定義域?yàn)?，再?yīng)用導(dǎo)數(shù)研究與符號(hào)，進(jìn)而判斷其單調(diào)性、極值點(diǎn)情況；判斷、奇偶性，研究它們?cè)谏系男再|(zhì)；根據(jù)的值域情況及研究最值、及函數(shù)值是否有公共元素.【詳解】定義域?yàn)?，?duì)于有，即，故定義域不同，由，，且，故在相同的區(qū)間內(nèi)與符號(hào)相反，即對(duì)應(yīng)、單調(diào)性相反，B正確；由上，、的極值點(diǎn)恰好相反，的極大值點(diǎn)為極小值點(diǎn)，的極小值點(diǎn)為極大值點(diǎn)，C正確；由，，均為偶函數(shù)，只需研究在上、的性質(zhì)：由且，則，故遞增，則，故，而在上連續(xù)，且函數(shù)值在范圍內(nèi)波動(dòng)，即函數(shù)值為正、負(fù)的區(qū)間交替出現(xiàn)，結(jié)合知：取0時(shí)趨向于無(wú)窮大（含正負(fù)無(wú)窮），無(wú)最值；D錯(cuò)誤；極小值，則為極大值，極大值，則為極小值，所以、值域不可能存在公共點(diǎn)，A錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究、單調(diào)性、極值情況，注意函數(shù)的波動(dòng)性及值域范圍，結(jié)合研究最值.4．ACD【分析】對(duì)于A，構(gòu)造函數(shù)，計(jì)算即可判斷；對(duì)于B，寫(xiě)出點(diǎn)處的切線程聯(lián)立并化簡(jiǎn)得，而，計(jì)算即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)斜率相等可得，為兩切線的交點(diǎn)代入化簡(jiǎn)得，再計(jì)算可得；對(duì)于D，根據(jù)，計(jì)算即可判斷.【詳解】令，則，故時(shí)，遞增；時(shí)，遞減，所以的極大值，且，，因?yàn)橹本€與曲線相交于?兩點(diǎn)，所以與圖像有2個(gè)交點(diǎn)，所以，故A正確；設(shè)，且，可得，在點(diǎn)處的切線程為，得，即，因?yàn)?，所以，即，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，因?yàn)闉閮汕芯€的交點(diǎn)，所以，即，所以，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，所以，同理得，得，即，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷B，關(guān)鍵在于根據(jù)切線方程聯(lián)立求得，而兩點(diǎn)得斜率即為直線得斜率得，化簡(jiǎn)可得；判斷C，根據(jù)斜率相等得，根據(jù)在切線上，代入化簡(jiǎn)計(jì)算可得，計(jì)算得后即可判斷，判斷D，關(guān)鍵在于利用不等式進(jìn)行計(jì)算化簡(jiǎn)即可判斷.5．/【分析】設(shè)點(diǎn)，圓心，的最小值即為的最小值減去圓的半徑，求出的最小值即可得解．【詳解】依題可設(shè)，圓心，根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值求法可知，的最小值即為的最小值減去半徑．因?yàn)?，，設(shè)，，由于恒成立，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，即，所以，即的最小值為．故答案為：．6．/【分析】依題意可得，則，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可得解.【詳解】，，，，，即，所以，令，x∈0,+∞則，所以當(dāng)時(shí)f'x<0，當(dāng)時(shí)，所以在0,2上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.故答案為：規(guī)律方法：(1)求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值就是最值，要通過(guò)比較大小才能下結(jié)論．(2)求函數(shù)無(wú)窮區(qū)間(或開(kāi)區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值，還需研究單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性和極值情況，畫(huà)出函數(shù)圖象，借助圖象得到函數(shù)的最值．【考點(diǎn)三】極值、最值的簡(jiǎn)單應(yīng)用一、單選題1．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處取得極大值4，則（

）A．8 B． C．2 D．2．（23-24高二下·四川廣元·階段練習(xí)）如圖是y=fx的導(dǎo)函數(shù)f'xA．當(dāng)時(shí)，取得極大值 B．在上是增函數(shù)C．當(dāng)時(shí)，取得極大值 D．在上是增函數(shù)，在2,4上是減函數(shù)二、多選題3．（2023·海南·一模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),則（

）A．的最小正周期為B．在上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D．若,且在上無(wú)極值點(diǎn),則的最小值為4．（23-24高三上·河北保定·期末）已知，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題5．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知函數(shù)，若恒成立，則.6．（2023·湖北武漢·二模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，P，Q分別是函數(shù)和圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若對(duì)任意，有恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為．參考答案：題號(hào)1234答案BDACDBCD1．B【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把極值點(diǎn)代入導(dǎo)數(shù)則可等于0，再把極值點(diǎn)代入原函數(shù)則可得到極值，解方程組即可得到，從而算出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，解得，?jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以.故選：B2．D【分析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象，確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，由此得到函數(shù)的單調(diào)性，由極值的定義判斷函數(shù)的極值，由此判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f'當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，故ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D.3．ACD【分析】由解得,求出,由可判斷A;求出的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B;計(jì)算可判斷C;，可得或，可得的最小值為可判斷D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),所以,即,解得,,且,對(duì)于A,,故A正確;對(duì)于B,,所以,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,故C正確;對(duì)于D,根據(jù)題意,且函數(shù)在上單調(diào).若,則,可得或者,,即,,當(dāng)時(shí),的最小值為.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào),即在上無(wú)零點(diǎn),因?yàn)榈陌胫芷跒?在上無(wú)零點(diǎn),則的最小值為滿(mǎn)足題意,故D正確.故選:ACD.4．BCD【分析】根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算及指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性舉反例判斷A，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可得，據(jù)此判斷BC，，令，由導(dǎo)數(shù)確定可判斷D.【詳解】由，可得，又，所以，解得.當(dāng)時(shí)，，則，又，所以，所以此時(shí)，故A錯(cuò)誤；令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，即，由知，所以，所以，故正確；由可得，可得（時(shí)取等號(hào)），因?yàn)椋?，所以，故C正確；因?yàn)椋?令，則，令，所以，令，所以，所以在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，所以h'x>0，所以hx在1,+∞上單調(diào)遞增，所以1，所以，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)時(shí)，對(duì)式子進(jìn)行變形換元后得到是解題的第一個(gè)關(guān)鍵，構(gòu)造函數(shù)，利用兩次求導(dǎo)可得出函數(shù)的最小值是解題的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).5．1【分析】對(duì)求導(dǎo)，分和兩種情況，判斷的單調(diào)性，求出的最小值，再結(jié)合恒成立求出的取值范圍.【詳解】由題可得的定義域?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，與矛盾；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以，記?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立，故要使恒成立，則，所以.故答案為：16．【分析】利用同構(gòu)思想構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，再構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性及其最小值，設(shè)設(shè)，利用基本不等式得到，求出答案.【詳解】，令，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故在處取得極小值，也是最小值，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令，，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也時(shí)最小值，最小值為，設(shè)，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)，等號(hào)成立，故，則．故答案為：【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)求解取值范圍時(shí)，當(dāng)函數(shù)中同時(shí)出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來(lái)進(jìn)行求解，本題變形得到，從而構(gòu)造進(jìn)行求解.規(guī)律方法：方程、不等式恒成立，有解問(wèn)題都可用分離參數(shù)法．分離參數(shù)時(shí)，等式或不等式兩邊符號(hào)變化以及除數(shù)不能等于0，易忽視．專(zhuān)題精練專(zhuān)題精練一、單選題1．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在極值點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱(chēng)中心D．若是函數(shù)的一條切線，則2．（2022·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)有極值，則（

）A．1 B．2 C． D．34．（23-24高三上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知正數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A． B． C．1 D．5．（2024·云南楚雄·一模）若，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．

C．

D．

6．（2023·上海松江·二模）已知函數(shù)，，在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列中的，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（

）A． B． C．3 D．8．（2023·云南保山·二模）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023·山西·二模）已知在處取得極大值3，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．10．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（

）A． B．C． D．11．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．函數(shù)在時(shí)，取得極小值B．對(duì)于，恒成立C．若，則D．若對(duì)于，不等式恒成立，則的最大值為，的最小值為三、填空題12．（2023·廣東·二模）已知函數(shù)的最小值為0，則a的值為.13．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列中，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則＝．14．（22-23高三下·湖北武漢·期中）已知函數(shù)，若有且僅有兩個(gè)整數(shù)，滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．四、解答題15．（2024·浙江杭州·二模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．16．（2024·陜西榆林·一模）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求；(2)證明：.參考答案：題號(hào)12345678910答案BCBABBAAADABCD題號(hào)11答案BCD1．B【分析】當(dāng)時(shí)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可判斷A選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷B選項(xiàng)；利用函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的定義可判斷C選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在極值點(diǎn)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，由可得，由可得或，所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，函數(shù)的極大值為，極小值為，又因?yàn)椋闪泓c(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)任意的，，所以，點(diǎn)是曲線的對(duì)稱(chēng)中心，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)是函數(shù)的一條切線，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，由題意可得，①所以，曲線在處的切線方程為，即，則，②聯(lián)立①②可得，D對(duì).故選：B.2．C【分析】由函數(shù)存在零點(diǎn)可知有解，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由函數(shù)存在零點(diǎn)，則有解，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．則時(shí)取得最小值，且，所以m的取值范圍是．故選：C3．B【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；再求出極值點(diǎn)，代入函數(shù)解方程即可.【詳解】由題目條件可得：函數(shù)的定義域?yàn)椋?令，得；令，得.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故，解得.故選：B4．A【分析】不等式可化為，分別構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大、最小值，由不等式左邊最小值等于右邊的最大值，建立方程即可得解.【詳解】由，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，則，此時(shí)，則.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：不等式中含有不相關(guān)的雙變量，據(jù)此分別構(gòu)造不同的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值是關(guān)鍵之一，其次根據(jù)不等式左邊的最小值與不等式右邊的最大值相等，由不等式成立得出方程是關(guān)鍵點(diǎn)之二，據(jù)此建立方程求解即可.5．B【分析】對(duì)比選項(xiàng)可知，由題意，（）是函數(shù)的零點(diǎn)，（）都是函數(shù)的極值點(diǎn)，由此可以排除A，C；進(jìn)一步對(duì)和0的大小關(guān)系分類(lèi)討論，得出函數(shù)在處附件的增減變換情況即可.【詳解】對(duì)比各個(gè)選項(xiàng)可知，由三次函數(shù)圖象與性質(zhì)可得，（）是函數(shù)的零點(diǎn)，令，可知（）且，都是函數(shù)的極值點(diǎn)，由此可以排除A，C；若，則函數(shù)的圖象形狀為增減增，具體為在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，可知B符合；若，則函數(shù)的圖象形狀為減增減，具體為在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可知D不符合．故選：B.6．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性，據(jù)此知函數(shù)有極大值，根據(jù)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上有最大值可知，區(qū)間含極大值點(diǎn)【詳解】，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在，上遞增函數(shù)，在上遞減函數(shù)，故時(shí)函數(shù)有極大值，且，所以當(dāng)函數(shù)在上有最大值，則-1∈且，即，解得.故選：B.7．A【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，再利用等差數(shù)列性質(zhì)求出即可計(jì)算得解.【詳解】由求導(dǎo)得：，有，即有兩個(gè)不等實(shí)根，顯然是的變號(hào)零點(diǎn)，即函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，依題意，，在等差數(shù)列中，，所以.故選：A8．A【分析】先求得公切線方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合，得到，令，求得，令，求得和，得到函數(shù)的單調(diào)性和最小值，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)為，則，則公切線方程為，即，與聯(lián)立可得，所以，整理可得，又由，可得，解得，令，其中，可得，令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，所以且，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．9．AD【分析】根據(jù)原函數(shù)極值點(diǎn)即為導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)可得，即可知，再根據(jù)極大值為3可解得或；易知當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，與題意不符，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，符合題意，可得，，即，即可判斷出結(jié)論.【詳解】由題意可得，且是函數(shù)的極大值點(diǎn)，即，可得，又極大值為3，所以，解得或；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，時(shí)，，時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；此時(shí)函數(shù)在處取得極小值，與題意不符，即舍去；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；此時(shí)函數(shù)在處取得極大值，符合題意，所以，，即，所以A正確，B錯(cuò)誤；此時(shí)，所以，，即C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD10．ABCD【分析】對(duì)于A，由換底公式即可判斷；對(duì)于BC，由基本不等式即可判斷；對(duì)于D，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證得，由此即可判斷.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，在這里，所以嚴(yán)格來(lái)說(shuō)有，故B正確；對(duì)于C，，在這里，所以嚴(yán)格來(lái)說(shuō)有，故C正確；對(duì)于D，，而，定義，則，從而單調(diào)遞增，所以，所以，故D正確.故選：ABCD.11．BCD【分析】對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷在上的單調(diào)性判斷AB，構(gòu)造，結(jié)合AB中結(jié)論求解的單調(diào)性判斷CD.【詳解】選項(xiàng)A：由題意可得，所以當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，所以在上不存在極值點(diǎn)，A說(shuō)法錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：因?yàn)?/p>