2025年高考數(shù)學二輪復習 專項訓練9 導數(shù)與不等式證明（解析版）

2025二輪復習專項訓練9導數(shù)與不等式證明[考情分析]導數(shù)與不等式證明是高考考查的重點內(nèi)容，在解答題中一般會考查函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值的綜合運用，試題難度較大，多以壓軸題出現(xiàn)．【練前疑難講解】一、單變量函數(shù)不等式的證明用導數(shù)證明不等式一般有以下方法(1)構(gòu)造函數(shù)法．(2)由結(jié)論出發(fā)，通過對函數(shù)變形，證明不等式．(3)分成兩個函數(shù)進行研究．(4)利用圖象的特點證明不等式．(5)利用放縮法證明不等式．二、雙變量函數(shù)不等式的證明破解含雙參不等式的證明的關(guān)鍵：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式；二是構(gòu)造函數(shù)，借助導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其值；三是回歸含雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到含參的不等式中，即可證得結(jié)果．一、單選題1．（2023·福建·模擬預測）已知，，，則（

）A． B． C． D．2．（21-22高三下·安徽安慶·階段練習）已知，都是正整數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2025·廣東·模擬預測）記函數(shù)在區(qū)間的極值點分別為，，函數(shù)的極值點分別為，，則（

）A． B．C． D．4．（2023·重慶萬州·模擬預測）若函數(shù)，，滿足對均有，則的取值不可能為（

）A． B． C． D．9三、填空題5．（2022·河南·模擬預測）已知的定義域為R，若函數(shù)滿足，則稱為的一個不動點，有下列結(jié)論：①的不動點是3；②存在不動點；③若函數(shù)為奇函數(shù)，則其存在奇數(shù)個不動點；若為偶函數(shù)，則其存在偶數(shù)個不動點；④若為周期函數(shù)，則其存在無數(shù)個不動點；⑤若存在不動點，則也存在不動點，以上結(jié)論正確的序號是.6．（2021·河南鄭州·模擬預測）已知函數(shù)，，若，則的最小值為.四、解答題7．（2024·山東濟南·二模）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：.8．（2023·甘肅酒泉·三模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個極值點，且，求的取值范圍．參考答案：題號1234答案AAABDAB1．A【分析】構(gòu)造，根據(jù)導函數(shù)可得在上單調(diào)遞減，進而可得出.構(gòu)造，根據(jù)導函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值1即可得出，即可得出答案.【詳解】令，則，令，則恒成立，所以，即在R上單調(diào)遞增.又，所以，當時，恒成立，所以，在上單調(diào)遞減.又，，所以，即，，即，即，所以.令，則，導函數(shù)單調(diào)遞增，且所以存在，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，又，所以；綜上可得，.故選：A.2．A【分析】根據(jù)題意得，構(gòu)造函數(shù)求解即可.【詳解】因為，所以，令，所以，故在上單調(diào)遞增，由已知得，故，因為，都是正整數(shù)，即.故選：A.3．ABD【分析】選項A：根據(jù)導數(shù)可得，為方程的兩個根，進而可得；選項B：，根據(jù)換元設(shè)得，與解析式相同，進而可判斷；選項C：由可判斷；選項D：根據(jù)先求出，根據(jù)不等式的性質(zhì)進而可得.【詳解】選項A：，，故由題意可知，為方程的兩個根，故，A正確；選項B：，設(shè)，因，則，此時函數(shù)y=fx可化為，由題意此函數(shù)的極值點分別為，，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，故，，故，，故B正確；選項C：由解得，，由題意函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，故，故C錯誤；選項D：由A可知，，，因，故，即，故，故D正確，故選：ABD4．AB【分析】將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的零點重合，得出轉(zhuǎn)化單變量的函數(shù)最值問題，求導計算即可.【詳解】條件對均有恒成立，等價于，易知，與均在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且由，故時，若要滿足題意，只需兩函數(shù)的零點相同即可，則令，即，則，令，則，，即在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，顯然A、B不可能，C、D可能故選：AB5．①⑤【分析】①直接求解即可判斷；②利用導數(shù)證；③④取特殊函數(shù)進行判斷；⑤根據(jù)定義可得：．【詳解】①則，①正確；②構(gòu)建則令則∴在上遞減，在上遞增，則∴即不存在不動點，②不正確；③為偶函數(shù)，顯然只有一個不動點；③不正確；(為奇函數(shù),顯然有無數(shù)個不動點)④為周期函數(shù)，顯然只有一個不動點；④不正確；⑤若存在不動點，設(shè)為，即∴，則也存在不動點，⑤正確．故答案為：①⑤．6．【分析】設(shè)，可得，，從而，進而構(gòu)造函數(shù)，求出的最小值即可.【詳解】設(shè)，即，，解得，，所以，令，則，令，解得，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以的最小值為.故答案為：.7．(1)答案見詳解(2)證明見詳解【分析】（1）求導可得，分和兩種情況，結(jié)合導函數(shù)的符號判斷原函數(shù)單調(diào)性；（2）構(gòu)建，，根據(jù)單調(diào)性以及零點存在性定理分析hx的零點和符號，進而可得Fx的單調(diào)性和最值，結(jié)合零點代換分析證明.【詳解】（1）由題意可得：的定義域為0,+∞，，當時，則在0,+∞上恒成立，可知在0,+∞上單調(diào)遞減；當時，令f'x>0，解得；令f'x可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當時，在0,+∞上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）構(gòu)建，則，由可知，構(gòu)建，因為在0,+∞上單調(diào)遞增，則hx在0,+且，可知hx在0,+∞上存在唯一零點當，則hx<0，即；當，則hx>0，即；可知Fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，又因為，則，，可得，即，所以.8．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進而根據(jù)點斜式即可得出結(jié)果；（2）求出，可得，化簡，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性即可求得答案.【詳解】（1），曲線在點處的切線方程為，即.（2），則函數(shù)的定義域為，若函數(shù)有兩個極值點，且．則方程的判別式，且，．．設(shè)，則在上恒成立．故在單調(diào)遞減，從而．因此，的取值范圍是．【基礎(chǔ)保分訓練】一、單選題1．（2021·全國·模擬預測）已知且且且，則（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林長春·模擬預測）已知，則（

）A． B．C． D．3．（21-22高三上·黑龍江哈爾濱·期末）若實數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2024·浙江溫州·模擬預測）已知，，且則以下正確的是（

）A． B．C． D．5．（2022·廣東茂名·二模）若對任意的，，且，都有，則m的值可能是（

）A． B． C． D．1三、填空題6．（2021·湖北武漢·三模）當x≠0時，函數(shù)f(x)滿足，寫出一個滿足條件的函數(shù)解析式f(x)=．7．（20-21高二·全國·課后作業(yè)）已知，，，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題8．（2024·北京石景山·一模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值；(3)當時，求證：．9．（2022·廣東廣州·一模）已知函數(shù)，為的導數(shù).(1)證明：當時，；(2)設(shè)，證明：有且僅有2個零點.10．（2025·全國·模擬預測）設(shè)函數(shù)(1)分析的單調(diào)性和極值；(2)設(shè)，若對任意的，都有成立，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若，且滿足時，證明：.11．（2023·河南鄭州·三模）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個極值點，，且，求證：．參考答案：題號12345答案DDAABDBCD1．D【解析】令，利用導數(shù)研究其單調(diào)性后可得的大小.【詳解】因為，故，同理，令，則，當時，，當時，，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，因為，故，即，而，故，同理，，，因為，故，所以.故選：D．【點睛】思路點睛：導數(shù)背景下的大小比較問題，應根據(jù)代數(shù)式的特征合理構(gòu)建函數(shù)，再利用導數(shù)討論其單調(diào)性，此類問題，代數(shù)式變形很關(guān)鍵．2．D【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，代入數(shù)值可比較大小.【詳解】設(shè)，，時，，為減函數(shù)，時，，為增函數(shù)，所以，，即.設(shè)，，時，，為增函數(shù)，時，，為減函數(shù)，所以，，即，所以.設(shè)，，為增函數(shù)，所以，所以，即.故選：D3．A【分析】根據(jù)題意將原不等式化簡為，令，可知原不等式等價于，再令，則原不等式等價于；再利用導數(shù)求出函數(shù)g(x)單調(diào)性，進而可得，由此可知只有當時，即時才滿足，據(jù)此即可求出的值，進而求出結(jié)果.【詳解】∵∴，即

∴，設(shè)，則有，即，∴，令，則，∴當時，，g(x)單調(diào)遞增；當時，，g(x)單調(diào)遞減；∴，即，要使成立等價于成立，只有當時，即時才滿足，∴∴，∴.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是對原不等式的變形，將其變形成，再進行換元、構(gòu)造輔助函數(shù)，借助函數(shù)的最值和唯一性求解.4．ABD【分析】首先利用因式分解法得，再通過證明，可知只有一解即：，然后把選項中的代換為并進行化簡可得A正確，C錯誤，而BD則需要構(gòu)造為關(guān)于的函數(shù)，利用求導法來判斷單調(diào)性和最值，從而得證．【詳解】由因式分解可得：，又因為，可知，即，又由函數(shù)，求導，當時，，可知在上遞減，當時，，可知在上遞增，所以在時取到最小值為0，有即不等式成立，所以，由可得：，即，對于選項A，，所以選項A的正確的；對于選項B，，構(gòu)造函數(shù)，求導，由時，，所以在上遞增，即，因為，所以，所以選項B是正確的；對于選項C，與不可能等價，所以選項C是錯誤的；對于選項D，，構(gòu)造函數(shù)，求導，由時，，所以在上遞增，由時，，所以在上遞減，所以的最大值是，即，所以選項D是正確的；故選：ABD.5．BCD【分析】將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求其單調(diào)遞減區(qū)間即可.【詳解】，且，則，整理得設(shè)，則只需要在上單調(diào)遞減即可，，令，解得，則，所以BCD符合，故選：BCD.6．【分析】先列舉一個滿足條件的函數(shù)解析式，再證明.【詳解】設(shè)，所以，所以在(0,+∞)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以所以；設(shè)，所以；故答案為：【點睛】方法點睛：對于這種開放性試題，一般先要根據(jù)已知條件，找到一個滿足已知條件的函數(shù)解析式，再進行證明.7．【分析】可轉(zhuǎn)化為在上，，求導可得的單調(diào)性，將的最小值代入，即得解【詳解】，，使得成立等價于在上，．易得，當時，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．易知在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，∴，即實數(shù)的取值范圍是．故答案為：8．(1)(2)見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求切線方程；（2）首先求函數(shù)的導數(shù)，再討論和兩種情況求函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值；（3）首先根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，再利用導數(shù)求函數(shù)的最小值，即可證明.【詳解】（1），，，所以曲線在點處的切線方程為；（2），當時，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，最大值為，當時，，得，在區(qū)間小于0，函數(shù)單調(diào)遞減，在區(qū)間大于0，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，，，顯然，所以函數(shù)的最大值為，綜上可知，當時，函數(shù)的最小值為，最大值為，當時，函數(shù)的最小值為，最大值為；（3）當時，，即證明不等式，設(shè)，，，設(shè)，，，所以在單調(diào)遞增，并且，，所以函數(shù)在上存在唯一零點，使，即，則在區(qū)間，，單調(diào)遞減，在區(qū)間，，單調(diào)遞增，所以的最小值為，由，得，且，所以，所以，即.9．(1)證明過程見解析(2)證明過程見解析【分析】（1）令，利用導數(shù)判斷的單調(diào)性，并求出其最小值即可證明；（2）由（1）可知，在上單調(diào)遞增，利用零點存在性定理可證明在這個區(qū)間上有一個零點，通過構(gòu)造函數(shù)即可證明在上單調(diào)遞減，同理利用零點存在性定理可證明在這個區(qū)間上有一個零點，即可得證.【詳解】（1）由，設(shè)，則，當時，設(shè)，，∵，，∴和在上單調(diào)遞增，∴，，∴當時，，，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即當時，;（2）由已知得，①當時，∵，∴在上單調(diào)遞增，又∵，，∴由零點存在性定理可知在上僅有一個零點，②當時，設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，∴，∴，∴在上單調(diào)遞減，又∵，，∴由零點存在性定理可知在上僅有一個零點，綜上所述，有且僅有2個零點.10．(1)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值.(2)(3)證明見解析【分析】（1）求導研究函數(shù)單調(diào)性，求出極值；（2）構(gòu)造函數(shù)，求導后注意到，進而得到，，再驗證充分性；（3）構(gòu)造函數(shù)利用導函數(shù)研究其單調(diào)性，從而證明不等式.【詳解】（1）函數(shù)，則，令，解得：，且當時，，時，，因此：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極小值為，無極大值.（2）對任意的，都有成立，即對任意的，恒成立，令，則，注意到：，若要，必須要求，即，亦即，另一方面：當時，因為單調(diào)遞增，則當時，恒成立，所以在時單調(diào)遞增，故；故實數(shù)的取值范圍為：；（3）記，則，記，，，當x∈0,1時，，為增函數(shù)，當x∈1,+∞時，，為減函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)在0,+∞單調(diào)遞減，則為，注意到，不妨，要證，只需證，即證：，即證：，即證：，記，則，記，則，所以在0,1單調(diào)遞增，所以，即，所以在0,1單調(diào)遞減，所以，所以，所以，得證.11．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，再根據(jù)判別式討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，可知，，，，這樣可將所證明不等式進行變形，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)即可證明.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，設(shè)，令，，當時，即，在單調(diào)遞減，當時，即，，令，得，，若，，，由即，得出.由即，得出.當時，，由即，得出.由即，得出.綜上所述：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（2）由（1）可知：當時，，是函數(shù)兩個極值點，有，，此時，要證明，只要證明設(shè)，令，當時，，所以當時，，單調(diào)遞減，所以有，即證【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的綜合應用問題，本題第二問處理雙變量問題，關(guān)鍵是，，，從而為后面的消參，構(gòu)造函數(shù)創(chuàng)造條件.【能力提升訓練】一、單選題1．（2022·江蘇·二模）已知實數(shù)，且，為自然對數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．（2023·福建福州·模擬預測），則（

）A． B．C． D．3．（2022·山西晉中·模擬預測）已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．二、多選題4．（2022·全國·模擬預測）已知a，，滿足，則（

）A． B． C． D．5．（2024·河北滄州·一模）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象相交于兩點，且，則（

）A． B．C． D．6．（2024·海南?？凇つM預測）設(shè)函數(shù)，則（

）A．B．函數(shù)有最大值C．若，則D．若，且，則三、填空題7．（2023·浙江溫州·二模）已知函數(shù)，則的最小值是；若關(guān)于的方程有個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是.8．（2024·北京西城·三模）已知函數(shù)，下面命題正確的是.①存在，使得；②存在，使得；③存在常數(shù)，使得恒成立；④存在，使得直線與曲線有無窮多個公共點.9．（2022·浙江杭州·模擬預測）已知函數(shù)，若存在，使得，則的最小值為.四、解答題10．（2021·浙江·高考真題）設(shè)a，b為實數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；（3）當時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.(注：是自然對數(shù)的底數(shù))11．（2023·山東濰坊·一模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，.12．（2024·廣東佛山·二模）已知.(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個極值點，，證明：.參考答案：題號123456答案DDAABDACACD1．D【分析】化簡條件后根據(jù)形式構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性判斷不等式【詳解】因為，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，因為所以，所以，即，又，所以，所以，即，綜上，.故選：D2．D【分析】令，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得到，即可判斷、的大小關(guān)系；構(gòu)造函數(shù)判斷與0.1的大小，構(gòu)造函數(shù)判斷0.1與大小，從而可判斷b、c大?。驹斀狻苛睿?，則，所以當時，即在上單調(diào)遞增，所以，即，即，即，令，則，在時，，則為減函數(shù)，∴，即；令，，則，故在為減函數(shù)，∴，即；∴，令，則，即，∴，所以．故選：D．【點睛】結(jié)論點睛：常用的不等式：，，，，，.3．A【分析】先得到，再由的單調(diào)性得，進而得到，由導數(shù)求出的最大值，即可求解.【詳解】，，易得在上，則在上單調(diào)遞增，又，所以即，，所以，則，令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，則，即時，取得最大值．故選：A4．ABD【分析】A、D利用基本不等式即可判斷，注意等號成立條件；B由，構(gòu)造且，利用導數(shù)證明不等式；C根據(jù)A、B的分析，應用特殊值法判斷.【詳解】A：由，即，當且僅當時等號成立，正確；B：由，則且，令且，則，遞減，所以，，即成立，正確；C：當時，，錯誤；D：由，當且僅當時等號成立，正確.故選：ABD5．AC【分析】構(gòu)造函數(shù)利用奇偶性和單調(diào)性得出，結(jié)合選項逐項驗證即可.【詳解】由題意有兩個不等的實數(shù)根，，，令，則，即為奇函數(shù)；當時，，為增函數(shù)；若，則，又，所以.對于A，，正確.對于B，若成立，則有，與矛盾，所以B不正確.對于C，由指數(shù)均值不等式可得，所以，C正確.對于D，令，，當時，，為增函數(shù)，所以，即，D不正確.故選：AC.【點睛】結(jié)論點睛：均值不等式的拓展：（1）對數(shù)型均值不等式：，其中，；（2）指數(shù)型均值不等式：，其中.6．ACD【分析】根據(jù)fx的解析式直接求解可對A判斷；利用導數(shù)求最值方法可對B判斷；結(jié)合給出的已知條件并利用A、B中的結(jié)論可對C、D判斷求解.【詳解】對A，由題意知，所以，故A正確；對B，由題意知fx的定義域為，，當，，當，，所以fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，fx取到極小值也是最小值，故B錯誤；對C，當時，可得，由A知，所以，由B知恒成立，所以，故C正確；對D，當時，得，又因為，所以，由B知fx在上單調(diào)遞增，所以，又由A知，所以，故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：靈活運用已知條件，，并結(jié)合fx的對稱性和單調(diào)性進行求解.7．【分析】第一空，由題意可知，故設(shè)，作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，可得的最小值；第二空，利用導數(shù)的幾何意義求出直線與曲線相切時的的值，將關(guān)于的方程有個實數(shù)解問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點問題，數(shù)形結(jié)合，可得答案.【詳解】根據(jù)與大小關(guān)系（比較與大小的推理見后附），可知，設(shè)，注意到曲線與曲線恰好交于點，顯然，，作出的大致圖象如圖，

可得的最小值是1，從而的最小值是．由，得．設(shè)直線與曲線切于點，，直線過定點，則，解得，從而．由圖象可知，若關(guān)于的方程有個實數(shù)解，則直線與曲線有個交點，則或，即所求實數(shù)的取值范圍是，故答案為：；附：當時，設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，此時；當時，設(shè)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當時，，即；當時，，即；當時，，即．【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵所在：（1）明確的含義，即；（2）數(shù)形結(jié)合思想，作出函數(shù)的圖象；（3）將關(guān)于的方程有個實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點問題.8．①③【分析】①函數(shù)求導，用，令，與同正負.研究正負即可，用來研究即可得出答案.；②，即兩點間的斜率正負問題，也就是轉(zhuǎn)化研究內(nèi)的單調(diào)性.求導即可.③用三角函數(shù)的有界性可解.④借助函數(shù)單調(diào)性,數(shù)形結(jié)合可解.【詳解】函數(shù)，定義域.由于知其為偶函數(shù).，令，與同正負..對于①，當，，則單調(diào)遞增，則，故存在，，即存在，使得.故①正確.對于②，與①同理，當，，則單調(diào)遞減，則，故，，即，單調(diào)遞減.任意，，故②錯誤.對于③，由于為偶函數(shù)，根據(jù)對稱性，我們只需要考慮即可.令，則，即在上單調(diào)遞減，故，即，故，故存在常數(shù)，使得，故③正確.對于④，將代入，得，由于為偶函數(shù)，根據(jù)對稱性，我們只需要考慮即可.由①②知，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增.一直往復下去.圖象如下.則與不能有無數(shù)個交點，即與不能有無窮多個公共點.故④錯誤.綜上所得，只有①③正確.故答案為：①③.【點睛】本題主要考查函數(shù)很多性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、零點與方程，有界性等.綜合性較強，有一定難度，關(guān)鍵是借助導數(shù)來研究性質(zhì)，需要冷靜分析，認真計算.9．【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式畫出函數(shù)的簡圖，設(shè)，根據(jù)圖像確定的取值范圍，將化成只含有一個變量的二次函數(shù)，由定區(qū)間內(nèi)二次函數(shù)的性質(zhì)，從而確定的最小值.【詳解】當時，，，當時，，當時，，即當時，取得極小值為.當時，為增函數(shù)，且，函數(shù)的圖像如圖：設(shè)，由題可知，由得，則，則，，所以當時，取得最小值為.故答案為：.【點睛】本題重點是根據(jù)函數(shù)解析式做出函數(shù)圖像，然后根據(jù)換元的思想，把雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，然后就可以輕松求解.10．(1)見解析(2)；(3)證明見解析.【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；(2)將原問題進行等價轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進行放縮即可確定實數(shù)a的取值范圍；(3)方法一：結(jié)合(2)的結(jié)論將原問題進行等價變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.【詳解】(1)，①若，則，所以在上單調(diào)遞增；②若，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.綜上可得，時，的單調(diào)遞增區(qū)間為,無減區(qū)間；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.(2)有2個不同零點有2個不同解有2個不同的解，令，則，記，記，又，所以時，時，，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，.即實數(shù)的取值范圍是.(3)[方法一]【最優(yōu)解】：有2個不同零點，則，故函數(shù)的零點一定為正數(shù).由(2)可知有2個不同零點，記較大者為，較小者為，，注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，又由知，，要證，只需，且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以只需證，只需證，只需證，，只需證在時為正，由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，又，故在時為正，從而題中的不等式得證.[方法二]：分析+放縮法有2個不同零點，不妨設(shè)，由得（其中）．且．要證，只需證，即