2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項訓(xùn)練12 三角函數(shù)的概念與三角恒等變換（解析版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練12三角函數(shù)的概念與三角恒等變換[考情分析]三角函數(shù)的概念與三角恒等變換是高考常考內(nèi)容，主要考查三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式，以及三角恒等變換的綜合應(yīng)用，給值求值問題．試題難度中等，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)．【練前疑難講解】一、三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系式1．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2．(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.3．誘導(dǎo)公式：在eq\f(kπ,2)＋α，k∈Z的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號看象限”．二、兩角和與差的三角函數(shù)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).三、三角恒等變換1．二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).2．半角公式：sin

eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，cos

eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，tan

eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).3．輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)y=fx的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·浙江·階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．f（x）的最大值為2B．f（x）在上單調(diào)遞增C．f（x）在上有4個零點D．把f（x）的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象關(guān)于直線對稱4．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)圖象關(guān)于對稱 D．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱三、填空題5．（22-23高一上·湖南長沙·階段練習(xí)）若、是關(guān)于的方程的兩個根，則.6．（22-23高三下·湖北孝感·階段練習(xí)）若兩個銳角，滿足，則.參考答案：題號1234答案DDACDBCD1．D【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當(dāng)時，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.2．D【分析】先對兩式進行平方，進而可求出的值，根據(jù)二倍角公式求出結(jié)論.【詳解】解：因為，，所以平方得，，，即，，兩式相加可得，即，故，.故選：D.3．ACD【分析】先對函數(shù)化簡變形得，然后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)逐個分析判斷即可【詳解】因為，所以A正確；當(dāng)時，，函數(shù)在上先增后減，無單調(diào)性，故B不正確；令，得，故，因為，所以，故C正確；把的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，當(dāng)時．取得最小值－2，故D正確．故選：ACD4．BCD【分析】利用三角恒等變換、誘導(dǎo)公式化簡得，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B，代入法驗證函數(shù)的對稱軸、對稱中心判斷C、D.【詳解】由，所以最小正周期為，A錯誤；當(dāng)，則，故在上遞增，B正確；由，故是的一條對稱軸，C正確；由，故是的一個對稱點，D正確.故選：BCD5．/【分析】先根據(jù)韋達定理得到，進而求得，，再結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡求值即可.【詳解】由題意得，，則或，又，即，解得或（舍去），則，所以.故答案為：.6．【分析】根據(jù)二倍角的正弦、余弦公式，化簡可得角，的關(guān)系，代入即可求解.【詳解】因為，所以所以，因為，為銳角，所以有，所以，即，所以，即，因為，為銳角，所以有，即，所以故答案為：【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·北京延慶·一模）“”是“為第一或第三象限角”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2022·湖北武漢·三模）已知，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．4．（2024·山東濟南·一模）已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且，則（

）A． B． C． D．5．（2021·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象的一個對稱中心是（

）A． B． C． D．6．（2004·廣東·高考真題）函數(shù)是（

）A．最小正周期為的奇函數(shù)B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù)D．最小正周期為的偶函數(shù)二、多選題7．（2023·遼寧·模擬預(yù)測）設(shè)為第一象限角,,則（

）A．B．C．D．8．（23-24高一下·江蘇泰州·期中）已知，且是方程的兩根，下列選項中正確的是（

）A． B．C． D．9．（2023·廣東廣州·三模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)的圖象的對稱軸方程為D．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到三、填空題10．（2023·湖北武漢·一模）銳角滿足，則.11．（2023·山東煙臺·二模）已知，則的值為．12．（2023·廣東江門·一模）已知，，則的值為.參考答案：題號123456789答案CCAAAABDADAB1．C【分析】由二倍角公式、充分必要條件的定義即可得解.【詳解】因為或，所以“”是“為第一或第三象限角”的充分必要條件.故選：C.2．C【分析】利用平方關(guān)系，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式，即可求解.【詳解】，，，，，，所以.故選：C3．A【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求的關(guān)系，結(jié)合的值可求前者，故可求的值.【詳解】因為，所以，而，所以，故即，從而，故，故選：A.4．A【分析】由題設(shè)條件和正弦定理化邊為角，再利用和角公式進行拆角化簡，即可得到，利用三角形內(nèi)角范圍即得.【詳解】由以及正弦定理可得：，因，代入整理得，因,則得，又因，故.故選：A.5．A【分析】利用兩角和的正弦公式、降冪公式，輔助角公式，化簡可得，令，即可求得對稱中心，對k賦值，即可求得答案.【詳解】函數(shù)=令，解得，即對稱中心為.令，可得一個對稱中心為，無論k取任何整數(shù)，，故BCD錯誤.故選：A6．A【分析】利用三角函數(shù)恒等變換公式對函數(shù)化簡，然后再求其最小正周期，判斷奇偶性即可.【詳解】因為，所以，所以，最小正周期為，，所以函數(shù)是最小正周期為的奇函數(shù)．故選：A7．BD【分析】首先由題意得是第一象限角,所以,再利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式對選項逐個計算確定正確答案.【詳解】由題意得,則,若在第四象限,則,所以也是第一象限角,即,,A項錯誤;,B項正確;,C項錯誤;,D項正確.故選:BD.8．AD【分析】由方程解出，利用兩角和與差的正弦余弦正切公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，求解各選項中的算式，驗證選項.【詳解】是方程的兩根，又，解得，，A選項正確；，B選項錯誤；，C選項錯誤；，，則，有，，，D選項正確.故選：AD.9．AB【分析】利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷作答.【詳解】，故A正確；函數(shù)的最小正周期為，故B正確；由，得，故C錯誤；由的圖象向左平移個單位長度，得，故D錯誤.故選：AB10．【分析】利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式實現(xiàn)角之間的轉(zhuǎn)化，代入數(shù)值即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，，又，且為銳角，所以，即.故答案為：11．【分析】根據(jù)利用誘導(dǎo)公式及二倍角余弦公式計算可得.【詳解】因為，所以.故答案為：12．【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式，結(jié)合角的范圍，即可求得結(jié)果．【詳解】因為，所以，即，又，所以.故答案為：.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·浙江·二模）古人把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)這八種三角函數(shù)的函數(shù)線合稱為八線.其中余切函數(shù)，正割函數(shù)，余割函數(shù)，正矢函數(shù)，余矢函數(shù).如圖角始邊為軸的非負半軸，其終邊與單位圓交點，、分別是單位圓與軸和軸正半軸的交點，過點作垂直軸，作垂直軸，垂足分別為、，過點作軸的垂線，過點作軸的垂線分別交的終邊于、，其中、、、為有向線段，下列表示正確的是（

）

A． B．C． D．2．（2023·廣東廣州·一模）已知為第一象限角.，則（

）A． B． C． D．3．（2022·安徽安慶·三模）已知，，則（

）A． B． C． D．4．（2024·湖北·二模）若，則（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上有且僅有兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）設(shè)，則（

）A． B． C． D．7．（2024·安徽合肥·三模）已知，則（

）A． B． C． D．8．（2022·甘肅蘭州·一模）已知、是方程的兩個根，且，則等于（

）A． B．C．或 D．或二、多選題9．（2023·江蘇常州·模擬預(yù)測）已知角的終邊與單位圓交于點，則（

）A． B． C． D．10．（2024·湖南邵陽·三模）下列說法正確的有（

）A．若角的終邊過點，則角的集合是B．若，則C．若，則D．若扇形的周長為，圓心角為，則此扇形的半徑是11．（22-23高三上·吉林·階段練習(xí)）2022年9月錢塘江多處出現(xiàn)罕見潮景“魚鱗潮”，“魚鱗潮”的形成需要兩股涌潮，一股是波狀涌潮，另外一股是破碎的涌潮，兩者相遇交叉就會形成像魚鱗一樣的涌潮．若波狀涌潮的圖像近似函數(shù)的圖像，而破碎的涌潮的圖像近似（是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）的圖像．已知當(dāng)時，兩潮有一個交叉點，且破碎的涌潮的波谷為－4，則（

）A． B．C．是偶函數(shù) D．在區(qū)間上單調(diào)三、填空題12．（2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知且，則．13．（2023·陜西西安·一模）已知在中，角所對邊分別為，滿足，且，則的取值范圍為.14．（22-23高一下·江蘇南京·期中）已知，則的值為.參考答案：題號12345678910答案CDBDBCDBACABC題號11答案BC1．C【分析】利用單位圓以及三角函數(shù)的定義可知，，，然后結(jié)合新定義簡單計算可判斷各個選項.【詳解】根據(jù)題意，易得，對于A，因為，即，故A錯誤；對于B，根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比可得，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比可得，故D錯誤.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題屬于新定義題，解題關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)新定義，利用三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比求解，注意有向線段.2．D【分析】根據(jù)給定條件，兩邊平方求出，判斷的正負并求出，再利用同角公式計算作答.【詳解】因為為第一象限角，，則，，，即，解得，，所以.故選：D3．B【分析】利用二倍角正切公式求得，再利用拆角的方法結(jié)合兩角差的正切公式，即可求得答案.【詳解】由得，，而，故，故選：B4．D【分析】首先根據(jù)公式化解條件等式，再結(jié)合二倍角和兩角差的正弦公式，即可化解求值.【詳解】由條件等式可知，，整理為，則，又，，所以，，所以.故選：D5．B【分析】利用降冪公式降冪，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象特征，可得關(guān)于的不等式，即可求得實數(shù)得取值范圍.【詳解】函數(shù)，由，得，要使函數(shù)在上有且僅有兩個零點，所以，則，得，即的取值范圍是.故選：B.6．C【分析】先“切化弦”，再利用和角公式和倍角公式化簡即可.【詳解】.故選：C7．D【分析】先由輔助角公式得，再利用誘導(dǎo)公式和余弦二倍角公式即可求解.【詳解】由得，即，所以，故選：D8．B【分析】根據(jù)給定條件，利用韋達定理、和角的正切求解作答.【詳解】方程中，，則，于是，顯然，又，則有，，所以.故選：B9．AC【分析】點代入單位圓的方程求出點可得，再由弦化切可得答案.【詳解】角的終邊與單位圓交于點，，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，．故選：AC.10．ABC【分析】由三角函數(shù)的定義判斷A，根據(jù)誘導(dǎo)公式判斷B，根據(jù)“1”的代換和弦切互化求解判斷C，根據(jù)扇形弧長公式求解判斷D.【詳解】因為角的終邊過點，為第一象限角，所以由三角函數(shù)的定義知，所以角的終邊與終邊相同，所以角的集合是，故A選項正確；因為，所以B選項正確；因為，所以C選項正確；設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，因為扇形所對的弧長為，所以扇形周長為，故，所以D選項不正確．故選：ABC11．BC【分析】由，求得，由題意得，由，，解出，由破碎的涌潮的波谷為-4，解得，得到和解析式，逐個判斷選項.【詳解】，則，由題意得，即，故，因為，，所以，所以，則選項A錯誤；因為破碎的涌潮的波谷為，所以的最小值為，即，得，所以，則，故選項B正確；因為，所以，所以為偶函數(shù)，則選項C正確；，由，得，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞