2025年高考數(shù)學二輪復習 專項訓練22 隨機變量及其分布（解析版）

2025二輪復習專項訓練22隨機變量及其分布[考情分析]高考常考內容，考查離散型隨機變量的分布列、均值和方差，以及利用分布列、均值、方差進行決策或分析，多與概率結合考查綜合題型，試題閱讀量大，常以解答題的形式出現(xiàn)，難度中檔偏上．【練前疑難講解】一、分布列的性質及應用1．離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn離散型隨機變量X的分布列具有兩個性質：(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)eq\i\su(i＝1,n,p)i＝1(i＝1,2,3，…，n)．2．E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\i\su(i＝1,n,x)ipi；D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi.3．均值、方差的性質(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．(2)X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．(3)X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．二、隨機變量的分布列1．n重伯努利試驗與二項分布X～B(n，p)，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.2．超幾何分布一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品．從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．三、正態(tài)分布正態(tài)曲線的特點(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交．(2)曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱，曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).(3)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積總為1.(4)當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移．(5)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．一、單選題1．（23-24高三上·山東臨沂·開學考試）一個不透明的袋子中裝有3個黑球，n個白球，這些球除顏色外大小、質地完全相同，從中任意取出3個球，已知取出2個黑球，1個白球的概率為，設X為取出白球的個數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．22．（22-23高二下·黑龍江哈爾濱·期末）現(xiàn)實世界中的很多隨機變量遵循正態(tài)分布.例如反復測量某一個物理量，其測量誤差通常被認為服從正態(tài)分布.若某物理量做次測量，最后結果的誤差，要控制的概率不大于0.0027，至少要測量的次數(shù)為（

）[參考數(shù)據(jù)：]A．141 B．128 C．288 D．512二、多選題3．（2024·吉林·模擬預測）從含有2件次品的100件產品中，任意抽出3件，則（

）A．抽出的產品中恰好有1件是次品的抽法有種B．抽出的產品中至多有1件是次品的概率為C．抽出的產品中至少有件是次品的概率為D．抽出的產品中次品數(shù)的數(shù)學期望為4．（2024·海南·模擬預測）某電子展廳為了吸引流量，舉辦了一場電子競技比賽，甲、乙兩人入圍決賽，決賽采用局勝的賽制，其中，即先贏局者獲得最終冠軍，比賽結束.已知甲每局比賽獲勝的概率為，且各局比賽結果相互獨立，則（

）A．若，，則甲最終獲勝的概率為B．若，，記決賽進行了局，則C．若，，記決賽進行了局，則D．若比時對甲更有利，則三、填空題5．（2023·山東·模擬預測）已知隨機變量，其中，隨機變量的分布列為012表中，則的最大值為．我們可以用來刻畫與的相似程度，則當，且取最大值時，．6．（2024·全國·模擬預測）已知4件產品中有2件次品，現(xiàn)逐個不放回檢測，直至能確定所有次品為止，記檢測次數(shù)為，則.四、解答題7．（2023·全國·高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應.實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(2)實驗結果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對照組實驗組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.6358．（2024·江蘇·一模）已知某種機器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V．在上述三種狀態(tài)下，該機器生產的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．(1)求該機器生產的零件為不合格品的概率；(2)從該機器生產的零件中隨機抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時n的值．附：若，取，．參考答案：題號1234答案ACACDABD1．A【分析】根據(jù)取出2個黑球，1個白球的概率為求出n的值，再求出X的分布列，根據(jù)數(shù)學期望的定義即可計算.【詳解】由題可知，，解得，X的可能取值為，，，，，∴.故選：A2．C【分析】根據(jù)題意得，可得，然后根據(jù)正態(tài)分布的概率求法可求得結果.【詳解】根據(jù)題意得，則，即，因為，所以，所以，所以，解得，所以至少要測量的次數(shù)為288次，故選：C3．ACD【分析】對于A，由題意可知抽出1件次品，2件合格品，利用分步乘法原理求解，對于BC，利用超幾何分布的概率公式求解，對于D，設抽出的次品數(shù)為，由題意可知可能取值為0，1，2，求出相應的概率，從而可求出其期望.【詳解】對于A，若抽出的3件產品中恰好有1件是次品，則抽出1件次品，2件合格品，所以共有種不同的抽法，所以A正確，對于B，由題意可知抽出的產品中至多有1件是次品的概率為，所以B錯誤，對于C，由題意得抽出的產品中至少有件是次品的概率為，所以C正確，對于D，設抽出的次品數(shù)為，由題意可知可能取值為0，1，2，則，，，所以，所以D正確.故選：ACD4．ABD【分析】對于A，利用獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求甲最終獲勝的概率即可判斷；對于B，由條件求的分布列，再求其期望及方差即可判斷，對于C，由條件求的分布列，再由期望公式求其期望即可判斷，對于D，分別求，時甲獲勝的概率，列不等式確定的范圍即可判斷.【詳解】對于A，因為，，所以甲獲勝的概率為，A正確.對于B，因為，，由已知的取值有，，，所以，所以，B正確.對于C，因為，，又的可能取值有，所以，，，所以，C錯誤；對于D，當時，甲獲勝的概率為，當時，甲獲勝的概率為，若比時對甲更有利，則，所以，所以，又，所以，D正確；故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：求隨機變量的分布列的關鍵在于確定其可能的取值，準確理解取各值所對應的事件，結合概率的求法確定取各值的概率.5．【分析】根據(jù)題意，求得和，結合二次函數(shù)的性質，求得取得最大值，再由二項分布方差，求得，進而得到，即可求解.【詳解】由題意，可得，則，因為，所以當時，取得最大值，又由，可得，解得，可得，又因為，可得，所以.故答案為：；,6．【分析】首先確定，分別求出各自的概率，然后期望公式可求【詳解】記檢測次數(shù)為，則當時，檢測的兩件產品均為正品或為次品，則，當時，只需前兩件產品中正品和次品各一件，第三件無論是正品還是次品，都能確定所有次品，則，所以，故答案為：7．(1)分布列見解析，(2)（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能【分析】（1）利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數(shù)學期望；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨立性檢驗的卡方計算進行檢驗，即可得解.【詳解】（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計對照組61420實驗組14620合計202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.8．(1)0.09；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，由正態(tài)分布的概率公式代入計算，再由全概率公式，即可得到結果；（2）根據(jù)題意，由二項分布的概率公式代入計算，即可得到結果.【詳解】（1）記電壓“不超過200V”、“在200V~240V之間”、“超過240V”分別為事件A，B，C，“該機器生產的零件為不合格品”為事件D．因為，所以，，．所以，所以該機器生產的零件為不合格品的概率為0.09．（2）從該機器生產的零件中隨機抽取n件，設不合格品件數(shù)為X，則，所以．由，解得．所以當時，；當時，；所以最大．因此當時，最大．【基礎保分訓練】一、單選題1．（2021·浙江溫州·二模）多項選擇題給出的四個選項中會有多個選項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分．若選項中有i（其中）個選項符合題目要求，隨機作答該題時（至少選擇一個選項）所得的分數(shù)為隨機變量（其中），則有（

）A． B．C． D．2．（23-24高二下·吉林長春·階段練習）2024年“與輝同行”直播間開播，董宇輝領銜7位主播從“心”出發(fā)，其中男性5人，女性3人，現(xiàn)需排班晚8：00黃金檔，隨機抽取兩人，則男生人數(shù)的期望為（

）A． B． C． D．3．（2024·湖南長沙·模擬預測）從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽，根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)和的分布列如下表一和下表二所示；表一6789100.070.220.380.300.03表二6789100.090.240.320.280.07概率分布條形圖如下圖三和圖四所示：則以下對這兩名同學的射擊水平的評價，正確的是（

）A． B． C． D．4．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應樣本的標準差最小的一組是（

）A． B．C． D．5．（2024·四川綿陽·模擬預測）下列命題中，真命題的是（

）A．若回歸方程，則變量與正相關B．線性回歸分析中相關指數(shù)用來刻畫回歸的效果，若值越小，則模型的擬合效果越好C．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的標準差為4D．一個人連續(xù)射擊三次，若事件“至少擊中兩次”的概率為0.7，則事件“至多擊中一次”的概率為0.36．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知隨機變量，分別滿足二項分布，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2024·遼寧遼陽·一模）遼寧的盤錦大米以粒粒飽滿、口感香糯而著稱.已知某超市銷售的盤錦袋裝大米的質量（單位：）服從正態(tài)分布，且，若從該超市中隨機選取60袋盤錦大米，則質量在的盤錦大米的袋數(shù)的方差為（

）A．14.4 B．9.6 C．24 D．488．（2024·江蘇·一模）青少年的身高一直是家長和社會關注的重點，它不僅關乎個體成長，也是社會健康素養(yǎng)發(fā)展水平的體現(xiàn).某市教育部門為了解本市高三學生的身高狀況，從本市全體高三學生中隨機抽查了1200人，經統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)樣本的身高（單位：）近似服從正態(tài)分布，且身高在到之間的人數(shù)占樣本量的，則樣本中身高不低于的約有（

）A．150人 B．300人 C．600人 D．900人二、多選題9．（2024·安徽阜陽·模擬預測）設離散型隨機變量的分布列如表，若離散型隨機變量滿足，則（

）012340.10.40.20.2A． B．，C．， D．，10．（23-24高二下·山西晉城·階段練習）已知隨機變量，則（

）A． B．C． D．11．（2023·浙江·三模）下列說法中正確的是（

）A．某射擊運動員在一次訓練中10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為8B．若隨機變量，且，則C．若隨機變量，且，則D．對一組樣本數(shù)據(jù)進行分析，由此得到的線性回歸方程為：，至少有一個數(shù)據(jù)點在回歸直線上三、填空題12．（2022·天津南開·二模）甲罐中有3個紅球、2個黑球，乙罐中有2個紅球、2個黑球．①先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是紅球”，再從乙罐中隨機取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是紅球”，則；②從甲、乙兩罐中分別隨機各取出一球，則取到黑球的個數(shù)的數(shù)學期望為．13．（2024·全國·模擬預測）隨機變量的分布列如下：012若，則．14．（21-22高二下·北京朝陽·期中）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局．已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響．隨機變量表示在3次活動中甲獲勝的次數(shù)，則；．參考答案：題號12345678910答案BCDCDCAABDBD題號11答案BC1．B【分析】分別求出、、時，再一一判斷即可；【詳解】解：當時，的可能情況為0,3,5選擇的情況共有：種；，，所以當時，的可能情況為0,3,5選擇的情況共有：種；，，所以當時，的可能情況為3,5選擇的情況共有：種；，，所以對于AB：，，所以，故A錯誤，B正確；對于CD：，，所以，故CD錯誤；故選：B2．C【分析】首先將男生人數(shù)設為隨機變量，再求得概率，代入期望公式，即可求解.【詳解】設男生人數(shù)為，且，，，,則.故選：C3．D【分析】根據(jù)分布列數(shù)據(jù)代入數(shù)學期望、方差公式求解即可.【詳解】由分布列可得，，，，所以，.故選：D4．C【分析】由題意，分別求出選項中的方差，根據(jù)方差的大小即可判斷標準差的大小，結合選項即可求解．【詳解】對于A，所以，對于B，所以，對于C，所以，對于D，所以，故選：C5．D【分析】利用正負相關的意義判斷A；利用相關指數(shù)的意義判斷B；求出標準差判斷C；利用對立事件求出概率判斷D.【詳解】對于A，回歸方程，由，得變量與負相關，A錯誤；對于B，值越接近于1，模型的擬合效果越好，越接近于0，模型的擬合效果越差，B錯誤；對于C，數(shù)據(jù)的方差為，標準差為，C錯誤；對于D，“至多擊中一次”的事件是“至少擊中兩次”的事件的對立事件，則事件“至多擊中一次”的概率為0.3，D正確.故選：D6．C【分析】由二項分布的方差公式求出，再由充分條件和必要條件的定義求解即可.【詳解】因為，，所以，所以，則，若，則.所以“”是“”的充要條件.故選：C.7．A【分析】由題意根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求出的值，確定質量在的盤錦大米的袋數(shù)，根據(jù)二項分布的方差公式，即可求得答案.【詳解】由題意知某超市銷售的盤錦袋裝大米的質量（單位：）服從正態(tài)分布，且，故，從該超市中隨機選取60袋盤錦大米，則質量在的盤錦大米的袋數(shù)故，故選：A8．A【分析】利用正態(tài)分布的性質，計算出和即可求解.【詳解】因為，，所以則，所以樣本中身高不低于的約有人.故選：A.9．BD【分析】根據(jù)分布列的性質計算q的值，然后根據(jù)期望、方差公式及性質計算.【詳解】因為，所以，A選項錯誤；由，故，因此選項B正確；又，所以，，，故C錯D對.故選：BD10．BD【分析】由正態(tài)分布定義可得A、C，由期望與方差的性質計算可得B、D.【詳解】由，則，，故A、C錯誤；，故B正確；，故D正確.故選：BD.11．BC【分析】對于A，根據(jù)百分位數(shù)的定義求解判斷即可；對于B，根據(jù)二項分布的均值和方差求解即可判斷；對于C，根據(jù)正態(tài)分布的性質求解即可判斷；對于D，結合線性回歸方程的定義即可判斷.【詳解】對于A，將10次射擊成績從小到大排列為：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9.因為，所以這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為，故A錯誤；對于B，由，則，即，則，故B正確；對于C，因為，則，所以，故C正確；對于D，數(shù)據(jù)可能都不在回歸直線上，故D錯誤.故選：BC.12．/0.6/0.9【分析】利用條件概率的概率公式可求條件概率，設取得黑球的個數(shù)為，利用乘法公式可求的分布列，從而可求其期望.【詳解】，設取得黑球的個數(shù)為，則可取，又，，，故的分布列為：012故故答案為：13．【分析】根據(jù)分布列的性質及數(shù)學期望公式，列出方程求出、的值，進而利用方差公式求出方差即可.【詳解】由題意知，解得，所以.故答案為：.14．【分析】首先根據(jù)甲猜對乙沒有猜對可求出一次活動中，甲獲勝的概率，進而可計算在3次活動中，甲至少獲勝2次分為甲獲勝2次和3次都獲勝求解．根據(jù)二項分布的方差公式求．【詳解】由題可得一次活動中，甲獲勝的概率為，則在3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為；根據(jù)題意可知，，所以，故答案為：；．【能力提升訓練】一、單選題1．（2024·河北邢臺·二模）已知在的二項展開式中，第6項為常數(shù)項，若在展開式中任取3項，其中有理項的個數(shù)為，則=（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習）下列結論正確的是（

）A．已知一組樣本數(shù)據(jù)，，…，()，現(xiàn)有一組新的數(shù)據(jù)，，…，，，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，方差變大B．已知具有線性相關關系的變量x，y，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)m的值是4C．50名學生在一?？荚囍械臄?shù)學成績，已知，則的人數(shù)為20人D．已知隨機變量，若，則3．（2021·遼寧沈陽·模擬預測）已知隨機變量，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2024·山東濟南·三模）某同學投籃兩次，第一次命中率為．若第一次命中，則第二次命中率為；若第一次未命中，則第二次命中率為．記為第i次命中，X為命中次數(shù)，則（

）A． B． C． D．5．（2024·遼寧沈陽·三模）下列說法正確的是（

）A．連續(xù)拋擲一枚質地均勻的硬幣，直至出現(xiàn)正面向上，則停止拋擲.設隨機變量表示停止時拋擲的次數(shù)，則B．從6名男同學和3名女同學組成的學習小組中，隨機選取2人參加某項活動，設隨機變量表示所選取的學生中男同學的人數(shù)，則C．若隨機變量，則D．若隨機變量，則當減小，增大時，保持不變6．（2024·廣西·模擬預測）下列關于隨機變量的說法正確的是（

）A．若服從正態(tài)分布，則B．已知隨機變量服從二項分布，且，隨機變量服從正態(tài)分布，若，則C．若服從超幾何分布，則期望D．若服從二項分布，則方差三、填空題7．（2024·全國·模擬預測）設隨機變量，向量與向量的夾角為銳角的概率是0.5，則的值是．8．（2024·新疆烏魯木齊·一模）在工業(yè)生產中軸承的直徑服從，購買者要求直徑為，不在這個范圍的將被拒絕，要使拒絕的概率控制在之內，則至少為；（若，則）9．（2024·河南開封·二模）袋中有個紅球，個黃球，個綠球．現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，則．四、解答題10．（23-24高三上·河南駐馬店·期末）一只螞蟻位于數(shù)軸處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動一個單位長度，設它向右移動的概率為，向左移動的概率為.(1)已知螞蟻2秒后所在位置對應的實數(shù)為非負數(shù)，求2秒后這只螞蟻在處的概率；(2)記螞蟻4秒后所在位置對應的實數(shù)為，求的分布列與期望.11．（2024·浙江·二模）某工廠生產某種元件，其質量按測試指標劃分為：指標大于或等于82為合格品，小于82為次品，現(xiàn)抽取這種元件100件進行檢測，檢測結果統(tǒng)計如下表：測試指標元件數(shù)（件）121836304(1)現(xiàn)從這100件樣品中隨機抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件也為合格品的概率；(2)關于隨機變量，俄國數(shù)學家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若隨機變量X具有數(shù)學期望，方差，則對任意正數(shù)，均有成立.（i）若，證明：；（ii）利用該結論表示即使分布未知，隨機變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內的概率是有界的.若該工廠聲稱本廠元件合格率為90%，那么根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，請結合“切比雪夫不等式”說明該工廠所提供的合格率是否可信？（注：當隨機事件A發(fā)生的概率小于0.05時，可稱事件A為小概率事件）12．（23-24高二上·吉林·期末）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)在6名男志愿者和4名女志愿者，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率；(2)用表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望、方差.13．（2023·江蘇南京·模擬預測）甲，乙，丙三個廠家生產的手機充電器在某地市場上的占有率分別為25%，35%，40%，其充電器的合格率分別為70%，75%，80%．(1)當?shù)毓ど藤|檢部門隨機抽取3個手機充電器，其中由甲廠生產的手機充電器數(shù)目記為，求的概率分布列，期望和方差；(2)現(xiàn)從三個廠家生產的手機充電器中隨機抽取1個，發(fā)現(xiàn)它是不合格品，求它是由甲廠生產的概率．14．（2024·遼寧撫順·三模）某市共有教師1000名，為了解老師們的寒假研修情況，評選研修先進個人，現(xiàn)隨機抽取了10名教師利用“學習APP”學習的時長（單位：小時）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，時長不低于80小時的教師評為“研修先進個人”．(1)現(xiàn)從該樣本中隨機抽取3名教師的學習時長，求這3名教師中恰有2名教師是研修先進個人的概率．(2)若該市所有教師的學習時長近似地服從正態(tài)分布，其中為抽取的10名教師學習時長的樣本平均數(shù)，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：①試估計學習時長不低于50小時的教師的人數(shù)（結果四舍五人到整數(shù)）；②若從該市隨機抽取的名教師中恰有名教師的學習時長在內，則為何值時，的值最大？附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．參考答案：題號123456答案CDBABDBCDACD1．C【分析】首先通過二項式定理得出在的二項展開式中，有理項有3項，無理項有8項，然后結合超幾何分布求得相應的概率，進而結合均值公式即可得解.【詳解】的二項展開式為，由題意，解得，若要取到有理項，則需要能被3整除，則，即在的二項展開式中，有理項有3項，無理項有8項，若在展開式中任取3項，其中有理項的個數(shù)為，可知的所有可能取值分別為0，1，2，3，，，所以.故選：C.2．D【分析】計算可得平均數(shù)不變，可得新數(shù)據(jù)極差變小，可判斷A；利用賀歸直線過樣本中心點，可求，可判斷B；可求得，進而可判斷C；由已知得，計算可判斷D.【詳解】對于A：新數(shù)據(jù)的總和為，與原數(shù)據(jù)的總和相等，且數(shù)據(jù)個數(shù)相等，因此平均數(shù)不變，因為，而，即極差變小了，由于兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，而極差變小，說明新數(shù)據(jù)相對原數(shù)據(jù)更集中于平均數(shù)，因此方差變小，故A錯誤；對于B：因為回歸直線方程必經過樣本中心點，所以，解得，故B錯誤；對于C：因為一?？荚囍械臄?shù)學成績，，所以，所以，所以的人數(shù)為人，故C錯誤；對于D：因為，所以，，解得，故D正確.故選：D.3．B【分析】利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性可求得，代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值.【詳解】因為隨機變量，且，則，可得，，當且僅當時，等號成立，所以，的最小值為.故選：B.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.4．ABD【分析】利用全概率公式及貝葉斯公式可判定A、D選項，利用期望與方差公式可判定B、C選項.【詳解】對于A，易知，故A正確；對于D，易知，故D正確；對于B、C，易知可取，則,，所以，，故B正確；C錯誤；故選：ABD5．BCD【分析】求出判斷A；利用超幾何分布的期望公式計算判斷B；利用二項分布的方差公式計算判斷C，利用正態(tài)分布的特定區(qū)間的概率判斷D.【詳解】對于A，拋擲一枚質地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面、反面的概率均為，則，A錯誤；對于B，顯然隨機變量服從超幾何分布，則，B正確；對于C，由隨機變量，得，C正確；對于D，由正態(tài)分布的意義知，為定值，D正確.故選：BCD6．ACD【分析】A選項，先得到，進而根據(jù)方差的性質得到答案；B選項，根據(jù)二項分布求出概率，得到方程，求出，再根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求出概率；C選項，根據(jù)超幾何分布的期望公式求出答案；D選項，由二項分布方差公式求出D正確.【詳解】對A，由于，所以，根據(jù)方差的性質，，故A正確；對B，服從二項分布，∴，解得，∴，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得，，故B錯誤；對C，服從超幾何分布，根據(jù)超幾何分布的期望公式，，故C正確；對D，服從二項分布，根據(jù)二項分布方差公式得，，故D正確.故選：ACD.7．2【分析】由平面向量夾角為銳角的性質求得的范圍，再結合正態(tài)分布曲線的特點及意義求解即可．【詳解】已知向量與向量的夾角為銳角，則，解得，且向量不能同向共線，當時，可得，解得，所以，不是同向共線，即，又向量與向量的夾角為銳角的概率是，則，則，故答案為：2.8．0.1/【分析】依題意得，則，由，得，即可求解.【詳解】若，則）因為工業(yè)生產中軸承的直徑服從，所以，則，由，得，則要使拒絕的概率控制在之內，則至少為.故答案為：##9．【分析】記取出的兩個球都是紅球為事件，則，即可求出，從而得到的可能取值為、、，求出所對應的概率，即可求出數(shù)學期望.【詳解】依題意、為非負整數(shù)，記取出的兩個球都是紅球為事件，則，所以，解得或（舍去），所以的可能取值為、、，則，，，所以.故答案為：10．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）記螞蟻2秒后所在位置對應的實數(shù)為非負數(shù)為事件，記2秒后這只螞蟻在處的概率為事件，則由題意可知事件包括2秒內一直向可移動和一次向右移動與一次向左移動，事件為2秒內一次向右移動與一次向左移動，然后利用獨立事件的概率公式求出，再利用條件概率公式可求得