2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練22 隨機(jī)變量及其分布（原卷版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練22隨機(jī)變量及其分布[考情分析]高考?？純?nèi)容，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差，以及利用分布列、均值、方差進(jìn)行決策或分析，多與概率結(jié)合考查綜合題型，試題閱讀量大，常以解答題的形式出現(xiàn)，難度中檔偏上．【練前疑難講解】一、分布列的性質(zhì)及應(yīng)用1．離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn離散型隨機(jī)變量X的分布列具有兩個(gè)性質(zhì)：(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)eq\i\su(i＝1,n,p)i＝1(i＝1,2,3，…，n)．2．E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\i\su(i＝1,n,x)ipi；D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi.3．均值、方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．(2)X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．(3)X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．二、隨機(jī)變量的分布列1．n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布X～B(n，p)，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.2．超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．三、正態(tài)分布正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交．(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).(3)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積總為1.(4)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移．(5)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．一、單選題1．（23-24高三上·山東臨沂·開(kāi)學(xué)考試）一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)黑球，n個(gè)白球，這些球除顏色外大小、質(zhì)地完全相同，從中任意取出3個(gè)球，已知取出2個(gè)黑球，1個(gè)白球的概率為，設(shè)X為取出白球的個(gè)數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．22．（22-23高二下·黑龍江哈爾濱·期末）現(xiàn)實(shí)世界中的很多隨機(jī)變量遵循正態(tài)分布.例如反復(fù)測(cè)量某一個(gè)物理量，其測(cè)量誤差通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布.若某物理量做次測(cè)量，最后結(jié)果的誤差，要控制的概率不大于0.0027，至少要測(cè)量的次數(shù)為（

）[參考數(shù)據(jù)：]A．141 B．128 C．288 D．512二、多選題3．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）從含有2件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽出3件，則（

）A．抽出的產(chǎn)品中恰好有1件是次品的抽法有種B．抽出的產(chǎn)品中至多有1件是次品的概率為C．抽出的產(chǎn)品中至少有件是次品的概率為D．抽出的產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為4．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）某電子展廳為了吸引流量，舉辦了一場(chǎng)電子競(jìng)技比賽，甲、乙兩人入圍決賽，決賽采用局勝的賽制，其中，即先贏局者獲得最終冠軍，比賽結(jié)束.已知甲每局比賽獲勝的概率為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則（

）A．若，，則甲最終獲勝的概率為B．若，，記決賽進(jìn)行了局，則C．若，，記決賽進(jìn)行了局，則D．若比時(shí)對(duì)甲更有利，則三、填空題5．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量，其中，隨機(jī)變量的分布列為012表中，則的最大值為．我們可以用來(lái)刻畫與的相似程度，則當(dāng)，且取最大值時(shí)，．6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知4件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐個(gè)不放回檢測(cè)，直至能確定所有次品為止，記檢測(cè)次數(shù)為，則.四、解答題7．（2023·全國(guó)·高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?5.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.6358．（2024·江蘇·一模）已知某種機(jī)器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過(guò)200V；②在200V~240V之間③超過(guò)240V．在上述三種狀態(tài)下，該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．(1)求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；(2)從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時(shí)n的值．附：若，取，．【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2021·浙江溫州·二模）多項(xiàng)選擇題給出的四個(gè)選項(xiàng)中會(huì)有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．若選項(xiàng)中有i（其中）個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，隨機(jī)作答該題時(shí)（至少選擇一個(gè)選項(xiàng)）所得的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量（其中），則有（

）A． B．C． D．2．（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）2024年“與輝同行”直播間開(kāi)播，董宇輝領(lǐng)銜7位主播從“心”出發(fā)，其中男性5人，女性3人，現(xiàn)需排班晚8：00黃金檔，隨機(jī)抽取兩人，則男生人數(shù)的期望為（

）A． B． C． D．3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級(jí)參加射擊比賽，根據(jù)以往的成績(jī)記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)和的分布列如下表一和下表二所示；表一6789100.070.220.380.300.03表二6789100.090.240.320.280.07概率分布條形圖如下圖三和圖四所示：則以下對(duì)這兩名同學(xué)的射擊水平的評(píng)價(jià)，正確的是（

）A． B． C． D．4．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最小的一組是（

）A． B．C． D．5．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）下列命題中，真命題的是（

）A．若回歸方程，則變量與正相關(guān)B．線性回歸分析中相關(guān)指數(shù)用來(lái)刻畫回歸的效果，若值越小，則模型的擬合效果越好C．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為4D．一個(gè)人連續(xù)射擊三次，若事件“至少擊中兩次”的概率為0.7，則事件“至多擊中一次”的概率為0.36．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知隨機(jī)變量，分別滿足二項(xiàng)分布，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2024·遼寧遼陽(yáng)·一模）遼寧的盤錦大米以粒粒飽滿、口感香糯而著稱.已知某超市銷售的盤錦袋裝大米的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且，若從該超市中隨機(jī)選取60袋盤錦大米，則質(zhì)量在的盤錦大米的袋數(shù)的方差為（

）A．14.4 B．9.6 C．24 D．488．（2024·江蘇·一模）青少年的身高一直是家長(zhǎng)和社會(huì)關(guān)注的重點(diǎn)，它不僅關(guān)乎個(gè)體成長(zhǎng)，也是社會(huì)健康素養(yǎng)發(fā)展水平的體現(xiàn).某市教育部門為了解本市高三學(xué)生的身高狀況，從本市全體高三學(xué)生中隨機(jī)抽查了1200人，經(jīng)統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)樣本的身高（單位：）近似服從正態(tài)分布，且身高在到之間的人數(shù)占樣本量的，則樣本中身高不低于的約有（

）A．150人 B．300人 C．600人 D．900人二、多選題9．（2024·安徽阜陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列如表，若離散型隨機(jī)變量滿足，則（

）012340.10.40.20.2A． B．，C．， D．，10．（23-24高二下·山西晉城·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，則（

）A． B．C． D．11．（2023·浙江·三模）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中10次射擊成績(jī)（單位：環(huán)）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為8B．若隨機(jī)變量，且，則C．若隨機(jī)變量，且，則D．對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，由此得到的線性回歸方程為：，至少有一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)在回歸直線上三、填空題12．（2022·天津南開(kāi)·二模）甲罐中有3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，乙罐中有2個(gè)紅球、2個(gè)黑球．①先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是紅球”，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是紅球”，則；②從甲、乙兩罐中分別隨機(jī)各取出一球，則取到黑球的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為．13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）隨機(jī)變量的分布列如下：012若，則．14．（21-22高二下·北京朝陽(yáng)·期中）甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語(yǔ)，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方獲勝，否則本次平局．已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為和，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響．隨機(jī)變量表示在3次活動(dòng)中甲獲勝的次數(shù)，則；．【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·河北邢臺(tái)·二模）已知在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，若在展開(kāi)式中任取3項(xiàng)，其中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，則=（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．已知一組樣本數(shù)據(jù)，，…，()，現(xiàn)有一組新的數(shù)據(jù)，，…，，，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，方差變大B．已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，其線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)m的值是4C．50名學(xué)生在一?？荚囍械臄?shù)學(xué)成績(jī)，已知，則的人數(shù)為20人D．已知隨機(jī)變量，若，則3．（2021·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2024·山東濟(jì)南·三模）某同學(xué)投籃兩次，第一次命中率為．若第一次命中，則第二次命中率為；若第一次未命中，則第二次命中率為．記為第i次命中，X為命中次數(shù)，則（

）A． B． C． D．5．（2024·遼寧沈陽(yáng)·三模）下列說(shuō)法正確的是（

）A．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，直至出現(xiàn)正面向上，則停止拋擲.設(shè)隨機(jī)變量表示停止時(shí)拋擲的次數(shù)，則B．從6名男同學(xué)和3名女同學(xué)組成的學(xué)習(xí)小組中，隨機(jī)選取2人參加某項(xiàng)活動(dòng)，設(shè)隨機(jī)變量表示所選取的學(xué)生中男同學(xué)的人數(shù)，則C．若隨機(jī)變量，則D．若隨機(jī)變量，則當(dāng)減小，增大時(shí)，保持不變6．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）下列關(guān)于隨機(jī)變量的說(shuō)法正確的是（

）A．若服從正態(tài)分布，則B．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則C．若服從超幾何分布，則期望D．若服從二項(xiàng)分布，則方差三、填空題7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)隨機(jī)變量，向量與向量的夾角為銳角的概率是0.5，則的值是．8．（2024·新疆烏魯木齊·一模）在工業(yè)生產(chǎn)中軸承的直徑服從，購(gòu)買者要求直徑為，不在這個(gè)范圍的將被拒絕，要使拒絕的概率控制在之內(nèi)，則至少為；（若，則）9．（2024·河南開(kāi)封·二模）袋中有個(gè)紅球，個(gè)黃球，個(gè)綠球．現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，則．四、解答題10．（23-24高三上·河南駐馬店·期末）一只螞蟻位于數(shù)軸處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)它向右移動(dòng)的概率為，向左移動(dòng)的概率為.(1)已知螞蟻2秒后所在位置對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為非負(fù)數(shù)，求2秒后這只螞蟻在處的概率；(2)記螞蟻4秒后所在位置對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為，求的分布列與期望.11．（2024·浙江·二模）某工廠生產(chǎn)某種元件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為合格品，小于82為次品，現(xiàn)抽取這種元件100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：測(cè)試指標(biāo)元件數(shù)（件）121836304(1)現(xiàn)從這100件樣品中隨機(jī)抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件也為合格品的概率；(2)關(guān)于隨機(jī)變量，俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望，方差，則對(duì)任意正數(shù)，均有成立.（i）若，證明：；（ii）利用該結(jié)論表示即使分布未知，隨機(jī)變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內(nèi)的概率是有界的.若該工廠聲稱本廠元件合格率為90%，那么根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，請(qǐng)結(jié)合“切比雪夫不等式”說(shuō)明該工廠所提供的合格率是否可信？（注：當(dāng)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率小于0.05時(shí)，可稱事件A為小概率事件）12．（23-24高二上·吉林·期末）在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心