山東省濟(jì)寧市2024屆高三上學(xué)期期末考數(shù)學(xué)試題 含解析

2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期高三質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題2024.01本試卷共4頁.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，考試號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)乘法、除法運(yùn)算即可求解.【詳解】由，得，則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C2.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次不等式以及對數(shù)函數(shù)求集合，進(jìn)而求交集.【詳解】由題意可得：，，所以.故選：A.3.“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)求出，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】因?yàn)橹本€：與直線：垂直，所以，解得或，所以“”是“直線：與直線：垂直”的充分不必要條件.故選：A.4.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意畫出圖形，可得為直角三角形，由已知結(jié)合橢圓的定義求解與的值，再由勾股定理求解．【詳解】如圖，由，，可得為直角三角形，，且，解得，，再由勾股定理可得：得，．故選：D．5.如圖，已知圓錐的母線長為，是底面圓的直徑，且，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的大小.【詳解】因?yàn)槭堑酌鎴A的直徑，且，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，則，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，平面，平面，則，所以，，所以，、、，則，，則，因?yàn)?，則.故異面直線與所成角為.故選：B.6.定義在上的函數(shù)和的圖象關(guān)于軸對稱，且函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對稱中心為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，得到函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，結(jié)合與的圖象關(guān)于軸對稱，即可得到圖象的對稱中心.【詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，令，可得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，又因?yàn)榕c的圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)圖象的對稱中心為.故選：C.7.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出的值，利用二倍角的正弦公式、弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)?，解得，所以?故選：C.8.已知正三棱錐的底面邊長為，為棱的中點(diǎn)，若，則三棱錐的外接球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推導(dǎo)出平面，可得出、、兩兩相互垂直，將三棱錐補(bǔ)成長方體，可求出三棱錐的外接球直徑，結(jié)合球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】取線段的中點(diǎn)，連接、，如下圖所示：因?yàn)槿忮F為正三棱錐，則，為等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)?，，、平面，則平面，因?yàn)?、平面，則，，因?yàn)槿忮F為正三棱錐，則，所以，、、兩兩相互垂直，將三棱錐補(bǔ)成長方體，則三棱錐的外接球直徑即為長方體的外接球直徑，故三棱錐的外接球直徑為，因此，三棱錐的外接球的表面積為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中正確的是（）A.若，則B.若且，則C.若，，且，則的最小值為D.若，則的最小值為4【答案】AC【解析】【分析】對于A：根據(jù)不等式的性質(zhì)分析判斷；對于B：舉反例說明即可；對于C：根據(jù)“1”的轉(zhuǎn)化結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解；對于D：利用基本不等式運(yùn)算求解，注意等號成立的條件.【詳解】對于選項(xiàng)A：若，可知，可得，故A正確；對于選項(xiàng)B：例如，則，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：若，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為，故C正確；對于選項(xiàng)D：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，顯然不成立，所以的最小值不為4，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.已知函數(shù)的最小正周期為，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減C.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有恰有兩個(gè)零點(diǎn)D.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度可以得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合題意求出解析式，結(jié)合圖像性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可【詳解】函數(shù)的最小正周期為，則，得，則，又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，則，即，又，則，故，A，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，A正確；B，，則，函數(shù)在單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，B正確；C，由，則，即，又，，則有1個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；D，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，則，D正確；故選：ABD11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】推導(dǎo)出數(shù)列、均為等比數(shù)列，確定這兩個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和公比，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可判斷AB選項(xiàng)；利用等比數(shù)列的求和公式可判斷C選項(xiàng)；利用裂項(xiàng)相消法可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，當(dāng)時(shí)，則，對任意的，由可得，上述兩個(gè)等式相除可得，所以，數(shù)列成以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則，數(shù)列成以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則，A對B錯(cuò)；，則，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且其首項(xiàng)為，公比為，所以，，C對；，所以，，所以，，D對.故選：ACD.12.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過左焦點(diǎn)的直線與雙曲線的左支相交于兩點(diǎn)（在第二象限），點(diǎn)與關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，點(diǎn)的坐標(biāo)為），則下列結(jié)論正確的是（）A.記直線、的斜率分別為、，則B.若，則C.的最小值為6D.的取值范圍是【答案】BD【解析】【分析】對A，結(jié)合斜率公式及點(diǎn)差法即可求解；對B，根據(jù)垂直于對稱性得，計(jì)算即可；對C，結(jié)合雙曲線定義得，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，求出，結(jié)合的范圍即可判斷；D結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及的范圍即可求解.【詳解】若直線與漸近線平行時(shí)，根據(jù)對稱性不妨取直線方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，，由于兩點(diǎn)均在雙曲線的左支上，所以，，，對于A：設(shè)，，，則，，均在雙曲線上，，所以，所以，，A錯(cuò)誤.對于B：由知，，由對稱性得，，則四邊形為矩形，則，設(shè)，，則在中，由余弦定理得，即，即，，則，則，B正確；對于，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，，則直線，聯(lián)立，解得，與矛盾，故C錯(cuò)誤；對于，又，所以，結(jié)合，得，的取值范圍是，故D正確.故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則__________.【答案】4【解析】【分析】利用待定系數(shù)法求出指數(shù)函數(shù)解析式，代入運(yùn)算求得的值.【詳解】由題意設(shè)，且，圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，所以，.故答案為：4.14.已知平面向量滿足，，，則向量夾角的余弦值為__________.【答案】##【解析】【分析】由向量垂直及向量數(shù)量積的運(yùn)算律求夾角余弦值.【詳解】由題設(shè)，所以.故答案為：15.已知圓，過點(diǎn)作兩條與圓相切的直線，切點(diǎn)分別為，則__________.【答案】##【解析】【分析】應(yīng)用等面積法有，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式、切線長求法求切點(diǎn)弦長.【詳解】如下圖，，又，由，，所以.故答案為：16.若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)因式分解可得或，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可結(jié)合函數(shù)圖象求解.【詳解】令，則或記，則，令，則，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減最大值為，且當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，故的大致圖象如下：當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，，顯然不合題意要使恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則方程只有一個(gè)實(shí)根，另一個(gè)零點(diǎn)為.所以或，故或，故的取值范圍為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，求的最小值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化可得，進(jìn)而可求解，（2）根據(jù)面積公式以及余弦定理，結(jié)合基本不等式即可求解.【小問1詳解】由正弦定理得：，又，，，；【小問2詳解】，，由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，，即的最小值為.18.已知數(shù)列為公差大于0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，列出方程求得的值，即可求解；（2）由（1）得，分別求得，，和時(shí)，的取值，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，可得，解得或（舍去），所以，即?shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】解：由（1）得，當(dāng)，時(shí)，，所以；當(dāng)，時(shí)，，所以；當(dāng)，時(shí)，，所以；當(dāng)，時(shí)，，所以；所以.19.如圖，已知三棱柱各棱長均為2，分別是線段，的中點(diǎn)，平面.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，證得平面，得到，再由四邊形為菱形，證得，結(jié)合，得到，利用線面垂直的判定，證得平面，進(jìn)而證得平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的一個(gè)法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，且為中點(diǎn)，所以，因?yàn)榍移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕谄叫兴倪呅沃?，，可得四邊形為菱形，所以因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，可得，所以，又因?yàn)椋移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】解：由（1）可知，，，兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由三棱柱的所有棱長均為2得，，，可得，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則則，取，可得，所以平面的一個(gè)法向量為，又由（1）知平面，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，因?yàn)?，所以，即平面與平面的夾角為.20.如圖，點(diǎn)是圓心角為，半徑為1的扇形圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)（與不重合），在線段上且，記，線段，及圓弧的長度之和為.（1）求函數(shù)關(guān)于的解析式；（2）求何值時(shí)，函數(shù)取得最大值.【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理求得，，結(jié)合扇形的弧長公式和三角恒等變換的公式，可得的解析式；（2）由（1），可得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得的最大值.【小問1詳解】解：在中，因?yàn)?，，，由正弦定理得，所以，，在扇形中，記弧的長度為，則，所以，即，.【小問2詳解】解：由（1）知，，可得，，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值為.21.已知拋物線的焦點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為1.（1）求拋物線的方程；（2）若經(jīng)過定點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，過作與軸垂直的直線與拋物線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)及數(shù)量積公式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)閽佄锞€C的焦點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離為1，所以，，所以，拋物線的方程為.【小問2詳解】由題意可得，直線存在斜率，又直線過，故設(shè)直線的方程為，由，消去并整理得，，所以直線與拋物線恒有兩個(gè)交點(diǎn).設(shè)，，則，，所以，，.因?yàn)?，為弦的中點(diǎn)，過作軸垂直的直線與拋物線交于點(diǎn)，所以，，，所以，的坐標(biāo)為，所以，，，因?yàn)?，所以，，即，，整理得，解得，所以，直線的方程為或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若實(shí)數(shù)滿足，證明：；（3）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】22.單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.23.證明見解析24.證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可求的單調(diào)區(qū)間；