山東省淄博市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 含解析

參照秘密級管理★啟用前2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期高一質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求的并集再求補集即可.【詳解】易知，則，故選：D.2.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由真數(shù)大于零可得.【詳解】要使函數(shù)有意義，則有，解得，則函數(shù)的定義域為.故選：C.3.是冪函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則實數(shù)（）A.2 B. C.4 D.2或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)和定義即可求解.【詳解】由于是冪函數(shù)，所以，解得或，由于在上是減函數(shù)，所以，故，因此，故選：A4.已知扇形的半徑為，面積為，則扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為，則根據(jù)扇形面積公式，列出方程求解即可.【詳解】設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為，則根據(jù)扇形面積公式，代入可得：，解得，故選：D.【點睛】本題主要考查了扇形的面積公式，考查學(xué)生的運算，屬于基礎(chǔ)題.5.科學(xué)家以里氏震級來度量地震的強度，若設(shè)I為地震時所散發(fā)出來的相對能量程度，則里氏震級r可定義為，若級地震釋放的相對能量為，級地震釋放的相對能量為，記，n約等于A.16 B.20 C.32 D.90【答案】C【解析】【分析】由題意可得分別代值計算，比較即可【詳解】，

當時，，

當時，，

故選【點睛】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的相互轉(zhuǎn)化及指數(shù)與對數(shù)值的計算，屬于基礎(chǔ)試題．6.設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且，那么下列關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)指對互化，利用對數(shù)表示，再結(jié)合對數(shù)運算判斷選項.【詳解】由，得，，，，，，則，根據(jù)可知，.故選：C7.已知，且，則的值為（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可得，根據(jù)即可求得結(jié)果.【詳解】將兩邊同時平方可得，，可得；又，所以；易知，可得；又,所以.故選：C8.已知若為第二象限角，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.或 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同角平方和關(guān)系即可結(jié)合角的范圍求解.【詳解】由可得或，由于第二象限角，所以，故當時，不符合要求，則符合要求，故選：D二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列結(jié)論成立的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】選項AC，特值法可排除；選項B，由不等式的性質(zhì)可得；選項C，由冪函數(shù)性質(zhì)可得.【詳解】選項A，當時，，但，故A錯誤；選項B，由知，，所以，故B正確；選項C，當時，，則，此時，故C錯誤；選項D，由冪函數(shù)在上是增函數(shù)，由，得，即，故D正確.故選：BD.10.如圖，已知矩形表示全集，是的兩個子集，則陰影部分可表示為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個元素，分析元素與各集合的關(guān)系，即可得出合適的選項.【詳解】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個元素，則且，即且，所以陰影部分可表示為，A對；且，陰影部分可表示為，而，故C錯誤；且，陰影部分可表示為，D對；顯然，陰影部分區(qū)域所表示的集合為的真子集，B選項不合乎要求.故選：AD.11.下列說法正確的有（）A.“，使得”的否定是“，都有”B.若函數(shù)的值域為，則實數(shù)m的取值范圍是C.若，則“”的充要條件是“”D.若，則的最小值為9【答案】BD【解析】【分析】選項A，由存在量詞命題的否定形式可得；選項B，函數(shù)的值域為轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的值域，分與兩類情況分析可得；選項C，特值法可知；選項D，利用基本不等式求最值可得.【詳解】選項A，“，使得”的否定是“，都有”，故A錯誤；選項B，因為函數(shù)的值域為，設(shè)函數(shù)值域為，則，當時，，值域，滿足題意；當時，為二次函數(shù)，要使值域，則圖象開口向上，且與軸有公共點，所以有且，解得，綜上可得，即實數(shù)m的取值范圍是，故B正確；選項C，當時，，但，不滿足，故C錯誤；選項D，由，則，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為9，故D正確.故選：BD.12.設(shè)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.在上為增函數(shù)C.點是函數(shù)的一個對稱中心 D.方程僅有5個實數(shù)解【答案】BC【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性，對稱性以及周期性逐一判斷選項即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，由為奇函數(shù)，得，即，由為偶函數(shù)，得，即，則，即，于是，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，對于A，當時，，，A錯誤；對于B，在上單調(diào)遞增，由，知圖象關(guān)于點對稱，則在上單調(diào)遞增，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此在上單調(diào)遞增，B正確；對于C，由及，得，即，因此函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，C正確；對于D，當時，，由函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，知當時，，則當時，，由，知函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，則當時，，于是當時，，而函數(shù)的周期是，因此函數(shù)在R上的值域為，方程，即，因此的根即為函數(shù)與圖象交點的橫坐標，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)與的部分圖象，如圖，觀圖知，與圖象在上有且只有3個公共點，而當時，，即函數(shù)與圖象在無公共點，所以方程僅有3個實數(shù)解，D錯誤.故選：BC【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的定義域為D，，(1)存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點對稱.(2)存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.___.【答案】0【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算，結(jié)合換底公式進行求解即可.【詳解】故答案為：014.若“，”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性分析求解.【詳解】若“，”為真命題，則，可知當時，取到最小值，可得，所以實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.15.若，則______.【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡求值即可.【詳解】.故答案為：16.設(shè)m是不為0的實數(shù)，已知函數(shù)，若函數(shù)有7個零點，則m的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】作出的圖象，然后由，得或，由圖象可知有3個零點，所以就有4個零點，再結(jié)合圖象可求出結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，由，得或，當時，有3個零點，要使函數(shù)有7個零點，則當時，，即與有4個交點，結(jié)合圖形可得，解得，即m的取值范圍為故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟．17.已知角的始邊與x軸的正半軸重合，終邊過定點．（1）求、的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由求出點的值，結(jié)合三角函數(shù)定義可得；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡可得.【小問1詳解】由題意知，因角的終邊與軸的正半軸重合，且終邊過點，則點到原點的距離，則，；【小問2詳解】.18.已知函數(shù)為一元二次函數(shù)，的圖象過點，對稱軸為，函數(shù)在上的最大值為．（1）求的解析式；（2）當，時，求函數(shù)的最大值（用含參數(shù)m的分段函數(shù)表示）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知設(shè)出二次函數(shù)解析式，由條件代入解析式待定系數(shù)可得；（2）分類討論軸與區(qū)間的關(guān)系，通過函數(shù)的單調(diào)性求最值可得.【小問1詳解】由題意，設(shè)函數(shù)，由對稱軸為，函數(shù)在上的最大值為，可得，將點代入可得，解得，故.故函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】的對稱軸為，當時，在區(qū)間單調(diào)遞增，則；當，即時，在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，故；當，即時，在區(qū)間單調(diào)遞減，故；綜上，的最大值.19.已知集合，，（1）若集合，求實數(shù)的值；（2）若集合，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先化簡集合，然后根據(jù)條件即可確定實數(shù)的值；（2）由條件集合知，集合中至多有2個元素，對集合中的元素個數(shù)進行分類討論即可.【小問1詳解】易知集合，由得：或，解得：.【小問2詳解】（1）當時滿足；（2）當時①當即時，滿足，.②當即時，，不滿足.③當即時，滿足，只能，無解.綜上所述：或.20.我們知道存儲溫度（單位：℃）會影響著鮮牛奶保鮮時間（單位：），溫度越高，保鮮時間越短.已知與之間的函數(shù)關(guān)系式為（為自然對數(shù)的底數(shù)），某款鮮牛奶在5℃的保鮮時間為，在25℃的保鮮時間為.（參考數(shù)據(jù)：）（1）求此款鮮牛奶在0℃的保鮮時間約為幾小時（結(jié)果保留到整數(shù)）；（2）若想要保證此款鮮牛奶的保鮮時間不少于，那么對存儲溫度有怎樣的要求？【答案】20.254小時；21.存儲溫度要不高于15℃.【解析】【分析】（1）把給定的數(shù)對代入函數(shù)關(guān)系，求出，并確定，再求出即得.（2）利用（1）中信息，建立不等式，再借助指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即得.【小問1詳解】依題意，把，分別代入，得，于是，則，，當時，，此款鮮牛奶在0℃的保鮮時間為254小時.【小問2詳解】依題意，，由（1）知，顯然，于是，則，因此，而，則有，所以想要保證此款鮮牛奶的保鮮時間不少于，存儲溫度要不高于15℃.21.已知函數(shù)（），滿足函數(shù)奇函數(shù)．（1）求函數(shù)，的值域；（2）函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由奇函數(shù)解得，再將看成整體，將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域求解即可；（2）將復(fù)合函數(shù)單調(diào)性利用換元法轉(zhuǎn)化為余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解參數(shù)范圍.【小問1詳解】因為，由是奇函數(shù)，所以，則，解得，又，則.驗證：當時，，由，得是奇函數(shù).因為函數(shù)，由，則，所以，故當時，；當或時，.故所求函數(shù)值域為；【小問2詳解】因函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào)遞增，令，則在區(qū)間和單調(diào)遞增，故，且，解得，則實數(shù)的取值范圍為.22.設(shè)函數(shù).（1）證明函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）若，是否存在常數(shù)，，，使函數(shù)在上的值域為，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）詳見解析；（2）不存，理由詳見解析.【解析】【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性定義證明；（2）由（1）結(jié)合