山西省陽(yáng)泉市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

山西省陽(yáng)泉市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題留意事項(xiàng)：1．本試題分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至3頁(yè)，第Ⅱ卷4至6頁(yè)．2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試題答題卡相應(yīng)的位置．3．全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，將本試題的答題卡交回．5．試題滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．參考公式：柱體體積公式，其中S為底面面積，h為高錐體體積公式，其中S為底面面積，h為高球的表面積、體積公式：，，其中R為球的半徑第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1．已知集合，則集合A的子集個(gè)數(shù)為（）．A．3 B．4 C．7 D．82．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部是（）．A． B． C． D．3．已知，且，則（）．A． B． C．2 D．34．已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（m為常數(shù)），則（）．A．56 B． C．54 D．5．《算數(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年頭在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐底面周長(zhǎng)L與高h(yuǎn)計(jì)算其體積V的近似公式，一個(gè)圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖扇形的中心角為，半徑為5．按上述公式計(jì)算該幾何體的體積為（）．（計(jì)算時(shí)圓周率近似取3）A．48 B．49 C．52 D．546．將函數(shù)的圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到圖象恰好與函數(shù)的圖象重合，則（）．A． B．C．直線是曲線的對(duì)稱軸 D．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心7．已知點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d，若的最小值為2，則（）．A． B．1 C．3 D．48．已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為，則（）．A． B． C．2 D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，完全選對(duì)得滿分，漏選得2分，錯(cuò)選得0分．9．已知，，則（）．A． B．C． D．10．某校組織“喜慶二十大，恒久跟黨走，奮進(jìn)新征程”學(xué)生書(shū)畫(huà)作品競(jìng)賽，經(jīng)評(píng)審，評(píng)出一、二、三等獎(jiǎng)若干（一、二等獎(jiǎng)作品數(shù)相等），其中男生作品分別占一、二、三等獎(jiǎng)的40％，60％，60％，現(xiàn)從獲獎(jiǎng)作品中任取一件，記“取出一等獎(jiǎng)作品”為事務(wù)A，“取出男生作品”為事務(wù)B，若，則下列說(shuō)法正確的是（）．A． B．一等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)的作品數(shù)之比為C． D．11．2024年卡塔爾世界杯會(huì)徽（如圖）的正視圖可以近似看成雙紐線，在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)和距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，已知點(diǎn)是雙紐線C上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）．A．若，則的面積為B．C．雙紐線C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱D．雙紐線上C滿意的點(diǎn)P有三個(gè)12．已知函數(shù)有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）．A． B．C．為函數(shù)的極大值點(diǎn) D．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)焦點(diǎn)在y軸上，且與直線沒(méi)有交點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：__________．14．已知向量和向量，則在上的投影向量的坐標(biāo)為：__________．15．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，則__________．16．已知函數(shù)，則函數(shù)的全部零點(diǎn)之積等于__________．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17．（本小題滿分10分）已知數(shù)列滿意，，．（Ⅰ）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（Ⅱ）對(duì)于大于2的正整數(shù)x，y（其中），若、、三個(gè)數(shù)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，求全部符合條件的數(shù)x和y．18．（本小題滿分12分）在中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，其外接圓半徑，已知，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．19．（本小題滿分12分）某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文化學(xué)問(wèn)有獎(jiǎng)競(jìng)賽，競(jìng)賽嘉獎(jiǎng)規(guī)則如下：得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎(jiǎng)，得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng)，得分在內(nèi)的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，其他學(xué)生不得獎(jiǎng)，為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)學(xué)問(wèn)的駕馭狀況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的競(jìng)賽成果，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示．（Ⅰ）現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競(jìng)賽成果，求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率；（Ⅱ）若該市全部參賽學(xué)生的成果X近似聽(tīng)從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問(wèn)題：（ⅰ）若該市共有10000名學(xué)生參與了競(jìng)賽，試估計(jì)參賽學(xué)生中成果超過(guò)79分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；（ⅱ）若從全部參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于10000）隨機(jī)取3名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)其中競(jìng)賽成果在64分以上的學(xué)生數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望．附參考數(shù)據(jù)，若隨機(jī)變量X聽(tīng)從正態(tài)分布，則，，．20．（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，，，，D是的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若三棱柱的體積是8，求平面與平面的夾角的大?。?1．（本小題滿分12分）已知過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)M，直線交拋物線與C，D兩點(diǎn)（A，C在x軸的同側(cè)），求直線與直線交點(diǎn)的軌跡方程．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，．（Ⅰ）若，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若方程在區(qū)間上有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．機(jī)密★啟用前陽(yáng)泉市2024～2024學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題高三數(shù)學(xué)參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分）題號(hào)12345678選項(xiàng)BACDADDA二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）題號(hào)9101112選項(xiàng)ADABDBCACD三、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）13．（答案不唯一，只要即可）14． 15．3116．四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分）17．（Ⅰ）解：∵，，∴，∴是以2為公比的等比數(shù)列．（5分）（Ⅱ）∵，∴，．（6分）當(dāng)時(shí)，則，∴，則，；（8分）當(dāng)時(shí)，則，∴．∵，都是偶數(shù)，∴不存在x，y．（9分）當(dāng)時(shí)，則，同理可知，x，y不存在．綜上所述，，．（10分）18．（Ⅰ）解：∵，，∴，∴．（4分）∵，∴，即，∴．（6分）（Ⅱ）∵，∴，∵，∴．（8分）由（Ⅰ），得．∵，∴，（10分）∴，（11分）∴．（12分）19．解：（Ⅰ）由樣本頻率分布直方圖得，樣本中獲一等獎(jiǎng)的有6人，獲二等獎(jiǎng)的有8人，獲三等獎(jiǎng)的有16人，共有30人獲獎(jiǎng)，70人沒(méi)有獲獎(jiǎng)．從該樣本中隨機(jī)抽取的兩名學(xué)生的競(jìng)賽成果，基本領(lǐng)件總數(shù)為，設(shè)“抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)”為事務(wù)A，則事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)為，因?yàn)槊總€(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性都相等，所以，即抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為．（4分）（Ⅱ）由樣本頻率分布直方圖得，樣本平均數(shù)的估計(jì)值，則全部參賽學(xué)生的成果X近似聽(tīng)從正態(tài)分布．（6分）（?。┮?yàn)?，所以．故參賽學(xué)生中成果超過(guò)79分的學(xué)生數(shù)為．（8分）（ⅱ）由，得，即從全部參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該生競(jìng)賽成果在64分以上的概率為．所以隨機(jī)變量聽(tīng)從二項(xiàng)分布，所以，，，．所以隨機(jī)變量的分布列為：0123P均值．（12分）20．證明：（Ⅰ）設(shè)O是BC是中點(diǎn)，連接AO，，，．∵，∴在同一個(gè)平面內(nèi)．∵，∴．又∵，∴≌，∴，∴，∴，∴平面．（5分）（Ⅱ）設(shè)三棱柱的高為h，則∵，∴．（6分）∵，．∴，∴就是．（7分）如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，．設(shè)平面的法向量，則，解得．（8分）設(shè)平面的法向量，則，解得．（10分）∴，（11分）∴平面與平面的夾角為．（12分）21．解：（Ⅰ）設(shè)，，∵A、H、B三點(diǎn)共線，∴．∴，整理可得．∴，∴．（4分）（Ⅱ）設(shè)，，，∵，，∴．（6分）又∵，，∴，整理得．∵A、C在x軸同側(cè)，∴，同理可得，．（8分）∴直線的方程為，同理的方程為，（10分）兩式聯(lián)立，代入，可得．（11分）由題意可知，交點(diǎn)不能在x軸上，所以交點(diǎn)的軌跡方程為．（12分）22．解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．（3分）（Ⅱ）由知，設(shè)函數(shù)，，單調(diào)遞增，所以時(shí)，．（4分）①若，即，則，在上單調(diào)遞增；∵，，∴存在，使得，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；由知，在