廣西專版2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)的應(yīng)用二4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用課后訓(xùn)練新人教A版必修第一冊

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用課后·訓(xùn)練提升基礎(chǔ)鞏固1.已知某林場安排第一年造林10000平方米,以后每年比前一年多造林20%,則第四年造林()A.14400平方米 B.172800平方米C.20736平方米 D.17280平方米答案D解析設(shè)第x年造林y平方米,則y=10000×(1+20%)x-1,當(dāng)x=4時(shí),y=17280平方米.故選D.2.Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一,可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者依據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)I(t*)=0A.60 B.63 C.66 D.69答案C解析由K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,得e-0.23(t*3.已知某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時(shí)間x的關(guān)系如下表:x123…y125…則下面的函數(shù)關(guān)系式中,能表達(dá)這種關(guān)系的是()A.y=log2(x+1) B.y=2x-1C.y=2x-1 D.y=(x-1)2+1答案D解析代入數(shù)值檢驗(yàn),把x=2代入可解除A,B,C,把x=1,2,3代入D選項(xiàng),符合題意.4.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新,安排逐年加大研發(fā)資金投入,若該公司2024年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金起先超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù):lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)A.2024年 B.2024年 C.2025年 D.2026年答案B解析設(shè)x年后該公司全年投入的研發(fā)資金為200萬元,由題可知,130(1+12%)x=200,解得x=log1.12200130=lg2-lg1.35.依據(jù)相關(guān)規(guī)定,機(jī)動(dòng)車駕駛?cè)搜褐械木凭看笥?或等于)20mg/100mL的行為屬于飲酒駕車.假設(shè)飲酒后,血液中的酒精含量為p0mg/100mL,經(jīng)過x小時(shí),酒精含量降為pmg/100mL,且滿意關(guān)系式p=p0·erx(r為常數(shù)).若某人飲酒后血液中的酒精含量為89mg/100mL,2小時(shí)后,測得其血液中酒精含量降為61mg/100mL,則此人飲酒后至少經(jīng)過小時(shí)方可駕車[精確到1小時(shí),參考數(shù)據(jù):61892≈0.470,61893≈0.322,61894≈0.221,61答案8解析由題意,61=89·e2r,則er=6189令89·exr<20,得x≥8,故答案為8.6.為了保證信息平安傳輸必需運(yùn)用加密方式,有一種方式其加密、解密原理如下:明文密文密文明文已知加密函數(shù)為y=ax-2(x為明文,y為密文),假如明文“3”通過加密后得到密文為“6”,再發(fā)送,那么接受方通過解密得到明文“3”.若接受方接到密文為“14”,則原發(fā)的明文是.

答案4解析依題意y=ax-2中,當(dāng)x=3時(shí),y=6,故6=a3-2,解得a=2,所以加密函數(shù)為y=2x-2,因此當(dāng)y=14時(shí),由14=2x-2,解得x=4.7.某汽車在同一時(shí)間內(nèi)速度v(單位:km/h)與耗油量Q(單位:L)之間有近似的函數(shù)關(guān)系Q=0.0025v2-0.175v+4.27,則車速為km/h時(shí),汽車的耗油量最少.

答案35解析由Q=0.0025v2-0.175v+4.27=0.0025(v2-70v)+4.27=0.0025[(v-35)2-352]+4.27=0.0025(v-35)2+1.2075.故當(dāng)v=35時(shí),耗油量最少.8.某服裝廠生產(chǎn)一種服裝,每件服裝的成本為40元,出廠單價(jià)定為60元.該廠為激勵(lì)銷售商訂購,確定當(dāng)一次訂購量超過100件時(shí),每多訂購一件,訂購的全部服裝的出廠單價(jià)就降低0.02元.依據(jù)市場調(diào)查,銷售商一次訂購量不會(huì)超過500件.(1)設(shè)一次訂購量為x件,服裝的實(shí)際出廠單價(jià)為P元,寫出函數(shù)P=f(x)的解析式;(2)當(dāng)銷售商一次訂購450件服裝時(shí),該服裝廠獲得的利潤是多少元?(服裝廠售出一件服裝的利潤=實(shí)際出廠的單價(jià)-一件服裝的成本)解(1)當(dāng)0≤x≤100,x∈N時(shí),P=60;當(dāng)100<x≤500,x∈N時(shí),P=60-0.02(x-100)=62-x50所以P=f(x)=60(2)設(shè)銷售商一次訂購量為x件時(shí),工廠獲得的利潤為L元,則L=(P-40)x=20當(dāng)x=450時(shí),L=5850,因此,當(dāng)銷售商一次訂購450件服裝時(shí),該服裝廠獲得的利潤是5850元.實(shí)力提升1.衣柜里的樟腦丸隨著時(shí)間會(huì)揮發(fā)而體積縮小,剛放進(jìn)的新丸體積為a,經(jīng)過t天后體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為V=ae-kt,新丸經(jīng)過50天后,體積變?yōu)?9a.若一個(gè)新丸體積變?yōu)?27a,則經(jīng)過的天數(shù)為(A.75 B.100 C.125 D.150答案A解析由題意,得49a=ae-50k,解得e-25k=2令ae-kt=827a,即e-kt=(23)3=(e-25k)3=e-75k,則t=2.某商場出售一種商品,每天可賣1000件,每件可獲利4元.據(jù)閱歷,若這種商品每件每降價(jià)0.1元,則比降價(jià)前每天可多賣出100件,為獲得最好的經(jīng)濟(jì)效益,每件售價(jià)應(yīng)降低()A.2元 B.2.5元 C.1元 D.1.5元答案D解析設(shè)每件降價(jià)0.1x元,則每件獲利(4-0.1x)元,每天賣出商品件數(shù)為(1000+100x),利潤y=(4-0.1x)·(1000+100x)=-10x2+300x+4000=-10(x2-30x+225-225)+4000=-10(x-15)2+6250.故當(dāng)x=15時(shí),ymax=6250.故每件售價(jià)降低1.5元時(shí),可獲得最好的經(jīng)濟(jì)效益.3.某農(nóng)場種植一種農(nóng)作物,為了解該農(nóng)作物的產(chǎn)量狀況,現(xiàn)將近四年的年產(chǎn)量f(x)(單位:萬千克)與年份x(記2024年為第1年)之間的關(guān)系統(tǒng)計(jì)如下:x1234f(x)4.005.627.008.86則f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一:①f(x)=ax+b;②f(x)=2x+a;③f(x)=x2+b.你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型的序號是.

答案①解析若模型為②,則f(1)=2+a=4,解得a=2,于是f(x)=2x+2,此時(shí)f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,與題中表格內(nèi)的數(shù)據(jù)相差太大,不符合;若模型為③,則f(1)=1+b=4,解得b=3,于是f(x)=x2+3,此時(shí)f(2)=7,f(3)=12,f(4)=19,與題中表格內(nèi)的數(shù)據(jù)相差太大,不符合;若模型為①,則依據(jù)題中表格內(nèi)數(shù)據(jù)得f(1)=44.某工廠生產(chǎn)產(chǎn)品A,每件售價(jià)80元,每年產(chǎn)銷80萬件,工廠為了開發(fā)新產(chǎn)品,經(jīng)過市場調(diào)查,確定提出產(chǎn)品A的銷售金額的p%作為新產(chǎn)品開發(fā)費(fèi)(即每銷售100元提出p元),并將產(chǎn)品A的年產(chǎn)銷量削減了10p萬件.(1)若工廠提出的新產(chǎn)品開發(fā)費(fèi)不少于96萬元,求p的取值范圍;(2)若工廠僅考慮每年提出最高的開發(fā)費(fèi),求此時(shí)p的值.解由題意知,當(dāng)開發(fā)費(fèi)是產(chǎn)品A的銷售金額的p%時(shí),銷售量為(80-10p)萬件,此時(shí)銷售金額為80×(80-10p)萬元,新產(chǎn)品開發(fā)費(fèi)f(p)=80×(80-10p)×p%(萬元).(1)由題設(shè)知80解得2≤p≤6.故當(dāng)新產(chǎn)品開發(fā)費(fèi)不少于96萬元時(shí),p的取值范圍為[2,6].(2)當(dāng)0<p<8時(shí),f(p)=80×(80-10p)×p%=-8(p-4)2+128.則當(dāng)p=4時(shí),f(p)max=128.故當(dāng)p=4時(shí),開發(fā)費(fèi)最多,可達(dá)到128萬元.5.如圖,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b<a),在AB,AD,CD,CB上分別截取AE,AH,CG,CF,且AE=AH=CG=CF=x.問:當(dāng)x為何值時(shí),四邊形EFGH的面積最大?并求出最大面積.解設(shè)四邊形EFGH的面積為S,則S=ab-212x2+12(a-x)(b-x)=-2x因?yàn)?<b<a,所以0<b<a+若a+b4≤b,即a≤3b,則當(dāng)x=a+b若a+b4>b,即a>3b,則當(dāng)x=b時(shí),S有最大值綜上可得:當(dāng)a≤3b,x=a+b4時(shí),S有最大值(a+b)28;當(dāng)a>36.某科研團(tuán)隊(duì)對某一生物的生長規(guī)律進(jìn)行探討,發(fā)覺其生長擴(kuò)散的速度越來越快,起先在某水域投放肯定面積的該生物,經(jīng)過2個(gè)月其覆蓋面積為18m2,經(jīng)過3個(gè)月其覆蓋面積達(dá)到27m2.該生物覆蓋面積y(單位:m2)與經(jīng)過時(shí)間x(x∈N)個(gè)月的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型y=kax(k>0,a>1)與y=px+q(p>0)可供選擇.(1)試推斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適,并求出該模型的函數(shù)解析式.(2)問約經(jīng)過幾個(gè)月,該水域中此生物的面積是當(dāng)時(shí)投放的1000倍?(參考數(shù)據(jù):2≈1.41,3≈1.73,lg2≈0.30,lg3≈0.48)解(1)因?yàn)閥=ka