2025屆新高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題18情境問(wèn)題的探究之函數(shù)部分教師版

專題18情境問(wèn)題的探究之函數(shù)部分一、題型選講題型一、指對(duì)數(shù)模型例1、【2024年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城．有學(xué)者依據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時(shí)，標(biāo)記著已初步遏制疫情，則約為（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【解析】，所以，則，所以，，解得.故選：C．例2、【2024年新高考全國(guó)Ⅰ卷】基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的改變規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿意R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍須要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【答案】B【解析】因?yàn)?，，，所以，所以，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍須要的時(shí)間為天，則，所以，所以，所以天.故選：B．題型二、分段函數(shù)模型黎曼函數(shù)（Riemannfunction）是一個(gè)特別函數(shù)，由德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)覺(jué)并提出，黎曼函數(shù)定義在上，其定義為：，若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則______.【答案】【解析】由知：關(guān)于對(duì)稱，又為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱為周期函數(shù)，周期例4、電影《流浪地球》中反復(fù)出現(xiàn)這樣的人工語(yǔ)音：“道路千萬(wàn)條，平安第一條，行車不規(guī)范，親人兩行淚”成為網(wǎng)絡(luò)熱句．講的是“開(kāi)車不喝酒，喝酒不開(kāi)車”．2024年，公安部交通管理局下發(fā)《關(guān)于治理酒駕醉駕違法犯罪行為的指導(dǎo)看法》，對(duì)綜合治理酒駕醉駕違法犯罪行為提出了新規(guī)定，依據(jù)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局下發(fā)的標(biāo)準(zhǔn)，車輛駕駛?cè)藛T飲酒后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閱值見(jiàn)表。經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，一般狀況下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的改變規(guī)律的“散點(diǎn)圖”見(jiàn)圖，且圖表所示的函數(shù)模型．假設(shè)該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過(guò)n(n)小時(shí)才可以駕車，則n的值為（參考數(shù)據(jù)：ln15≈2.71，ln30≈3.40）駕駛行為類別閣值（mg/100mL）飲酒駕車[20，80)醉酒駕車[80，)車輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量閣值A(chǔ)．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】當(dāng)酒精含量低于20時(shí)才可以開(kāi)車，故結(jié)合分段函數(shù)建立不等式：取整數(shù)故為6小時(shí)。題型三、函數(shù)與不等式結(jié)合例5、（2024屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的P點(diǎn)的距離是2km，從P點(diǎn)沿海岸正東12km處有一個(gè)城鎮(zhèn).假設(shè)一個(gè)人駕駛的小船的平均速度為，步行的速度為，時(shí)間t（單位：h）表示他從小島到城鎮(zhèn)的時(shí)間，x（單位：km）表示此人將船停在海岸處距P點(diǎn)的距離.設(shè)，則（）A．函數(shù)為減函數(shù) B．C．當(dāng)時(shí)，此人從小島到城鎮(zhèn)花費(fèi)的時(shí)間最少 D．當(dāng)時(shí)，此人從小島到城鎮(zhèn)花費(fèi)的時(shí)間不超過(guò)3h【答案】AC【解析】A.∵，∴，由題意，在上是減函數(shù)，A正確．B.，整理得，B錯(cuò)誤；C.由A、B得，即時(shí)取等號(hào)，由，解得，C正確；D.時(shí)，，，，D錯(cuò)．故選：AC.例6、【2024年高考北京理數(shù)】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買(mǎi)水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付勝利后，李明會(huì)得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各1盒，須要支付__________元；②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為_(kāi)_________．【答案】①130；②15【解析】①時(shí)，顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各一盒，須要支付元.②設(shè)顧客一次購(gòu)買(mǎi)水果的促銷前總價(jià)為元，當(dāng)元時(shí)，李明得到的金額為，符合要求；當(dāng)元時(shí)，有恒成立，即，因?yàn)?，所以的最大值?綜上，①130；②15.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的最值，不等式的性質(zhì)及恒成立，數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解實(shí)力.以實(shí)際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).例7、【2024年高考全國(guó)I卷理數(shù)】古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，聞名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是．若某人滿意上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105cm，頭頂至頸項(xiàng)下端的長(zhǎng)度為26cm，則其身高可能是A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm【答案】B【解析】方法一：如下圖所示.依題意可知：，腿長(zhǎng)為105cm得，即，，，所以AD>169.89.②頭頂至頸項(xiàng)下端長(zhǎng)度為26cm，即AB<26，，，，，所以.綜上，.故選B.方法二：設(shè)人體頸項(xiàng)下端至肚臍的長(zhǎng)為xcm，肚臍至腿根的長(zhǎng)為ycm，則，得．又其腿長(zhǎng)為105cm，頭頂至頸項(xiàng)下端的長(zhǎng)度為26cm，所以其身高約為42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故選B．二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、【2024年高考北京理數(shù)】在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述．兩顆星的星等與亮度滿意m2?m1=，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）．已知太陽(yáng)的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1C．lg10.1 D．10?10.1【答案】A【解析】?jī)深w星的星等與亮度滿意，令，則從而.故選A.2、【2024年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開(kāi)通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，很多志愿者踴躍報(bào)名參與配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)料其次天的新訂單超過(guò)1600份的概率為0.05．志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使其次天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少須要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【解析】由題意，其次天新增訂單數(shù)為，設(shè)須要志愿者x名，，,故須要志愿者名.故選：B3、（2024?香坊區(qū)校級(jí)三模）1614年納皮爾在探討天文學(xué)的過(guò)程中為了簡(jiǎn)化計(jì)算而獨(dú)創(chuàng)對(duì)數(shù)；1637年笛卡爾起先運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算；1770年，歐拉發(fā)覺(jué)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，指出：對(duì)數(shù)源于指數(shù)，對(duì)數(shù)的獨(dú)創(chuàng)先于指數(shù)，稱為歷史上的珍聞．若，lg2＝0.3010，則x的值約為（）A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669【答案】．A【解析】：由，lg2＝0.3010，所以x＝log2＝＝＝＝≈1.322；即x的值約為1.322．故選：A．4、一種藥在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危急．現(xiàn)給某病人注射了這種藥，假如藥在血液中以每小時(shí)的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價(jià)值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過(guò)（）小時(shí)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效．（附：，，答案實(shí)行四舍五入精確到）A.2.3小時(shí) B.3.5小時(shí) C.5.6小時(shí) D.8.8小時(shí)【答案】A【解析】設(shè)從現(xiàn)在起經(jīng)過(guò)小時(shí)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效．則，，，，．故選：A．5、函數(shù)概念最早是在17世紀(jì)由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨提出的，后又經(jīng)驗(yàn)了貝努利、歐拉等人的改譯．1821年法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西給出了這樣的定義：在某些變數(shù)存在著肯定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著確定時(shí)，則稱最初的變數(shù)叫自變量，其他的變數(shù)叫做函數(shù)．德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立的集合論使得函數(shù)的概念更嚴(yán)謹(jǐn)．后人在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了中學(xué)教材中的函數(shù)定義：“一般地，設(shè)A，B是兩個(gè)非

空的數(shù)集，假如按某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù)”，因此，下列對(duì)應(yīng)法則f滿意函數(shù)定義的有A．B．C．D．【答案】AD【解析】對(duì)于A，可得是函數(shù)；對(duì)于B不唯一不是函數(shù)對(duì)于C不是函數(shù)對(duì)于D運(yùn)用換元法可得是函數(shù)，故選AD6、歷史上第一個(gè)給出函數(shù)一般定義的是19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷(Dirichlet)，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們處理的大部分?jǐn)?shù)學(xué)對(duì)象都沒(méi)有完全的嚴(yán)格的定義，數(shù)學(xué)家們習(xí)慣借助于直覺(jué)和想象來(lái)描述數(shù)學(xué)對(duì)象，狄利克雷在1829年給出了聞名函數(shù)：（其中Q為有理數(shù)集，QC為無(wú)理數(shù)集），狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)表示數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)的理解發(fā)生了深刻的改變，數(shù)學(xué)的一些“人造”特征起先呈現(xiàn)出來(lái)，這種思想也標(biāo)記著數(shù)學(xué)從探討“算”轉(zhuǎn)變到了探討“概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)”．一般地，廣義的狄利克雷函數(shù)可定義為：（其中a，bR且a≠b），以下對(duì)說(shuō)法正確的是A．當(dāng)a＞b時(shí)，的值域?yàn)閇b，a]；當(dāng)a＜b時(shí)，的值域?yàn)閇a，b]B．隨意非零有理數(shù)均是的周期，但任何無(wú)理數(shù)均不是的周期C．為偶函數(shù)D．在實(shí)數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調(diào)性【答案】BCD【解析】對(duì)于A函數(shù)的值域?yàn)椋允清e(cuò)誤的。對(duì)于隨意的,則，,所以不是周期函數(shù)，對(duì)于C,明顯可以推斷為偶函數(shù)對(duì)于D由于隨意兩個(gè)有理數(shù)之間，有無(wú)理數(shù)，隨意兩個(gè)無(wú)理數(shù)之間也有有理數(shù)，因此，不具有周期性。7、（2024屆山東省濟(jì)寧市高三上期末）年月，中國(guó)良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄，標(biāo)記著中華五千年文明史得到國(guó)際社會(huì)認(rèn)可．良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實(shí)證了中華五千年文明史．考古科學(xué)家在測(cè)定遺址年齡的過(guò)程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而削減”這一規(guī)律．已知樣本中碳的質(zhì)量隨時(shí)間（單位：年）的衰變規(guī)律滿意（表示碳原有的質(zhì)量），則經(jīng)過(guò)年后，碳的質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的________；經(jīng)過(guò)測(cè)定，良渚古城遺址文物樣本中碳的質(zhì)量是原來(lái)的至，據(jù)此推想良渚古城存在的時(shí)期距今約在________年到年之間．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)年后，碳的質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的令，則良渚古城存在的時(shí)期距今約在年到年之間故答案為；8、【2024年高考浙江】我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問(wèn)題：“今有雞翁一，值錢(qián)五；雞母一，值錢(qián)三；雞雛三，值錢(qián)一。凡百錢(qián)，買(mǎi)雞百只，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為，，，則當(dāng)時(shí)，_________