重慶市沙坪壩區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題含解析

Page25注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號碼填寫在答題卡上．2．作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解分式不等式求集合A，求對數(shù)復(fù)合函數(shù)的值域求集合B，應(yīng)用集合交運算求結(jié)果.【詳解】由，即，由，故，所以.故選：B2.已知p：雙曲線C的方程為，q：雙曲線C的漸近線方程為，則（）A.p是q的充要條件 B.p是q的充分不必要條件C.p是q的必要不充分條件 D.p是q的既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，判斷充分必要條件，即可判斷選項.【詳解】若雙曲線的方程為，則漸近線方程為，若雙曲線C的漸近線方程為，則雙曲線的方程為，所以，但，所以是的充分不必要條件.故選：B3.，，若，則實數(shù)a的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直線垂直的充要條件列出方程結(jié)合特殊三角函數(shù)值運算即可.【詳解】由題意，則當且僅當，即，解得.故選：C.4.設(shè)，，，則有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由倍角公式化簡為正切函數(shù)，再結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性可得出答案.【詳解】，，因為在上單調(diào)遞增，所以，即，故選：C.5.已知在四面體中，底面是邊長為的等邊三角形，側(cè)棱長都為，D為的中點，則直線與直線所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用中位線將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線與所成角，再利用余弦定理解三角形即可.【詳解】取中點，連接，由為中點，則，且；則（或其補角）即為直線與直線所成角.又底面三角形是邊長為的等邊三角形，則中線長；在中，設(shè)中線長，則，由余弦定理得,，所以，化簡得，解得，則有，在中，由余弦定理得,,直線與直線所成角為銳角，則余弦值為.故選：B.6.教務(wù)處準備給高三某班的學(xué)生排周六的課表，上午五節(jié)課，下午三節(jié)課．若準備英語、物理、化學(xué)、地理各排一節(jié)課，數(shù)學(xué)、語文各排兩節(jié)課連堂，且數(shù)學(xué)不排上午的第一節(jié)課，則不同的排課方式有（）A.216種 B.384種 C.408種 D.432種【答案】D【解析】【分析】由數(shù)學(xué)、語文不能同時安排在下午，分為數(shù)學(xué)（連堂）或語文（連堂）安排在下午、數(shù)學(xué)、語文都安排在上午，再應(yīng)用分步計數(shù)及排列組合求不同的排課方式.【詳解】由題意，數(shù)學(xué)、語文不能同時安排在下午，若數(shù)學(xué)（連堂）安排在下午，在英語、物理、化學(xué)、地理中選一種安排在下午有種，再把余下的三科與語文（連堂）安排在上午，把上午看作四節(jié)課，則有種，此時共有種；若語文（連堂）安排在下午，在英語、物理、化學(xué)、地理中選一種安排在下午有種，再把余下的三科與數(shù)學(xué)（連堂）安排在上午，且數(shù)學(xué)不排上午的第一節(jié)課，把上午看作四節(jié)課，數(shù)學(xué)只能安排在后三節(jié)有種，其余三科全排有種，此時共有種；若數(shù)學(xué)、語文都安排在上午，在英語、物理、化學(xué)、地理中選一種安排在上午有種，將上午看作三節(jié)課，且數(shù)學(xué)不排上午的第一節(jié)課，有種，再把余下的三科安排在下午作全排有種，此時共有種；綜上，共有種.故選：D7.已知為正項等比數(shù)列，且，若函數(shù)，則（）A.2023 B.2024 C. D.1012【答案】A【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再由題意可得出，由倒序相加法可求出答案.【詳解】因為為正項等比數(shù)列，且，所以，由可得，所以，所以設(shè)，則，所以兩式相加可得：，故，故選：A.8.已知，，，，，則的最大值為（）A. B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意首先得出為兩外切的圓和橢圓上的兩點間的距離，再由三角形三邊關(guān)系將問題轉(zhuǎn)換為橢圓上點到另一個圓的圓心的最大值即可.【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，滿足，，，又，即，由橢圓的定義可知點在以為焦點，長軸長為4的橢圓上運動，，所以該橢圓方程為，而，即，即，這表明了點在圓上面運動，其中點為圓心，為半徑，又，等號成立當且僅當三點共線，故只需求的最大值即可，因為點在橢圓上面運動，所以不妨設(shè)，所以，所以當且三點共線時，有最大值.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵是將向量問題轉(zhuǎn)換為圓錐曲線中的最值問題來做，通過數(shù)學(xué)結(jié)合的方法巧妙的將幾何問題融入代數(shù)方法，從而順利得解.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知左、右焦點分別為，的橢圓的長軸長為4，過的直線交橢圓于P，Q兩點，則（）A.離心率B.若線段垂直于x軸，則C.的周長為8D.的內(nèi)切圓半徑為1【答案】BC【解析】【分析】首先由題意把參數(shù)求出來，根據(jù)平方關(guān)系、離心率公式運算即可判斷A；由題意將代入橢圓方程求出弦長即可判斷B；由橢圓定義即可判斷C；由的周長是定值，但面積會隨著直線的傾斜程度而變化，由此即可判斷D.【詳解】對于A，由題意橢圓的長軸長為4，所以，解得，所以，離心率為，故A錯誤；對于B，由A可知橢圓方程為，由題意若直線的方程為，將其代入橢圓方程可得，即，故B正確；對于C，的周長為，故C正確；對于D，由題意直線斜率不為0且經(jīng)過點，不妨設(shè)直線，將其與橢圓方程聯(lián)立消去得，，一方面，另一方面，由C選項分析可知，不妨設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，所以，對比兩式可知，即與有關(guān)，故D錯誤.故選：BC.10.與二項式定理類似，有萊布尼茲公式：，其中（，2，…，n）為u的k階導(dǎo)數(shù)，，，則（）A. B.C. D.，則【答案】BCD【解析】【分析】由二項式定理，分別賦值，即可判斷AB；再根據(jù)萊布尼茲公式，結(jié)合組合數(shù)公式和性質(zhì)，即可判斷CD.【詳解】A.由二項式定理可知，當時，，，故A錯誤；B.由二項式定理可知，當時，，所以又由A可知，，所以，故B正確；C.，由組合數(shù)的性質(zhì)可知，，，，……，可知，，故C正確；D.，因為，，，，，，，，所以，故D正確.故選：BCD11.全球有0.5%的人是高智商，他們當中有95%的人是游戲高手．在非高智商人群中，95%的人不是游戲高手．下列說法正確的有（）A.全球游戲高手占比不超過10%B.某人既是游戲高手，也是高智商的概率低于0.1%C.如果某人是游戲高手，那么他也是高智商的概率高于8%D.如果某人是游戲高手，那么他也是高智商的概率低于8.5%【答案】AC【解析】【分析】利用全概率公式和條件概率定義進行計算.【詳解】A項，高智商中有的人是游戲高手概率為，非高智商人群中是游戲高手的概率為，所以全球游戲高手占比為，所以A項正確；B項，既是游戲高手，也是高智商的概率為，所以B項錯誤；C項，設(shè)事件A為某人是游戲高手，事件B為某人是高智商，則，則，所以C項正確；D項，由C項知，，所以D項錯誤故選：AC.12.已知定義在上的函數(shù)滿足，，且實數(shù)對任意都成立（，），則（）A. B.有極小值，無極大值C.既有極小值，也有極大值 D.【答案】ABD【解析】【分析】將題設(shè)條件化為，進而有，其中為常數(shù)，，根據(jù)已知求得，對函數(shù)求導(dǎo)判斷A、B、C；問題化為上，結(jié)合的極值且求參數(shù)范圍判斷D.【詳解】由題設(shè)，則，所以，故，其中為常數(shù)，，又，則，所以，即，所以，故，則，A對；由且，令在上遞增，，，故使，即，上，即，遞減；上，即，遞增；所以有極小值，無極大值，B對，C錯；由題設(shè)，上，即，令，則在上遞增，故，所以，D對.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)題設(shè)條件得到，進而求得為關(guān)鍵.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知數(shù)列滿足，且，則______．【答案】【解析】【分析】先求得數(shù)列的周期性，再應(yīng)用周期性求值即可.【詳解】由，得，則.故答案為：.14.已知的兩共軛虛根為，，且，則______．【答案】3【解析】【分析】由根與系數(shù)關(guān)系有，設(shè)，且，結(jié)合題設(shè)和復(fù)數(shù)模長、乘法運算求參數(shù).【詳解】由題設(shè)，可令，且，所以，所以.故答案為：315.已知圓，過直線上一動點P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】首先利用圖形，解決向量運算，再利用的最小值，即可求解.【詳解】如圖，連結(jié)，，，和交于點，，因為，所以,設(shè)，易知其在為增函數(shù)，則的最小值為圓心到直線的距離，所以的最小值為，那么的最小值為.故答案為：16.正方體棱長為2，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，M是正方體的表面上一動點，當四面體的體積最大時，四面體的外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意只需點離平面最遠即可，構(gòu)建空間直角坐標系，應(yīng)用向量法求各點到面距離得到與重合，再將置于如下直角坐標系中求外接圓圓心，進而確定空間坐標系中外接球球心坐標，即可求球的表面積.【詳解】如下圖，，即四點共面，要使四面體的體積最大，只需點離平面最遠即可，顯然點、線段上點到平面距離都相等，構(gòu)建下圖空間直角坐標系，則，所以，若面的一個法向量為，則，令，則，而，則，，，，所以到面距離為，到面距離為，到面距離為，到面距離為，綜上，正方體的表面上到面距離最遠，故四面體的體積最大，與重合，首先確定外接圓圓心坐標，將置于如下直角坐標系中，則，則是直線與的垂直平分線的交點，由，則，且中點為，故，即，聯(lián)立，即對應(yīng)到空間直角坐標系的坐標為，由四面體的外接球球心在過垂直于面的直線上，設(shè)，由，即，所以，故外接球半徑為，故外接球的表面積為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用向量法求出正方體的表面上到面距離最遠的點為關(guān)鍵.四、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.疫情結(jié)束之后，演唱會異?；鸨疄榱苏{(diào)查“喜歡看演唱會和學(xué)科是否有關(guān)”，對本年級的100名老師進行了調(diào)查．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828（1）完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為本年級老師“喜歡看演唱會”與“學(xué)科”有關(guān)；喜歡看演唱會不喜歡看演唱會合計文科老師30理科老師40合計50（2）三樓大辦公室中有11名老師，有4名老師喜歡看演唱會，現(xiàn)從這11名老師中隨機抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜歡看演唱會的概率．【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有95%的把握認為本年級老師“喜歡看演唱會”與“學(xué)科”有關(guān)（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)表格進行運算即可得到完整的列聯(lián)表，再根據(jù)卡方計算公式運算對比臨界值即可求解.（2）根據(jù)超幾何分布的概率計算公式進行運算即可求解.【小問1詳解】由表可知喜歡看演唱會的理科老師有人，理科老師共有人，文科老師共有人，不喜歡看演唱會的文科老師有人，不喜歡看演唱會的人有人，完成列聯(lián)表如下表所示：喜歡看演唱會不喜歡看演唱會合計文科老師301040理科老師204060合計5050100，故有95%的把握認為本年級老師“喜歡看演唱會”與“學(xué)科”有關(guān).【小問2詳解】由題意11名老師中，有4名老師喜歡看演唱會，有7名老師不喜歡看演唱會，若從這11名老師中隨機抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜歡看演唱會，則只能從4名喜歡看演唱會的老師中抽取1人，從7名不喜歡看演唱會的老師中抽取2人，即所求的概率為.18.如圖，在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)為上分別靠近C和的四等分點，若多面體的體積為40．（1）求到平面的距離；（2）求二面角的大?。敬鸢浮浚?）2；（2）.【解析】【分析】（1）由直三棱柱結(jié)構(gòu)特征有，應(yīng)用線面平行判定證面，問題化為求到面的距離，再結(jié)合面面，進一步化為求中上的高，根據(jù)多面體體積列方程求結(jié)果；（2）過作于，過作面于，連接，證面，進而有為二面角的平面角，即可求大小.【小問1詳解】直三棱柱中，面，面，所以面，即面，只需求到面的距離，又面面，面面，則在面上的射影在直線上，即到面距離為中上的高，又E，F(xiàn)為上分別靠近C和的四等分點，且多面體的體積為40，所以，可得，即到平面的距離為2.【小問2詳解】過作于，過作面于，連接，由（1）分析易知：，即四邊形為平行四邊形，由面，面，則，由，面，則面，而面，則，，故為二面角的平面角，由（1）知：，，所以，故銳二面角為.19.已知數(shù)列滿足，，且．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前n項的和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知等式變形得，利用等比數(shù)列的定義證明即可；（2）對項數(shù)分奇偶討論，由裂項相消法求和可得.【小問1詳解】，且，，，且，，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知，，則有，，，各式相加得，又，則.，則當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，；綜上所述，.20.在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，成等比數(shù)列．（1）若，求角C；（2）若的面積為S，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題設(shè)可得，結(jié)合余弦定理可得，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系、三角恒等變換可得，進而有，即可求角C；（2）由（1）有，結(jié)合銳角三角形得，應(yīng)用三角形面積公式、三角恒等變換可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求等式右側(cè)單調(diào)性，再求值域即得范圍.【小問1詳解】由題設(shè)，即，且，由，即，所以，即，所以，故，所以或（舍），可得，故.【小問2詳解】由（1）知，為銳角三角形，則，可得，又，則，所以，又，，故，整理得，令，則，所以，令，則，故在上遞減，，即，所以在上遞減，故.21.已知拋物線的準線交軸于，過作斜率為的直線交于，過作斜率為的直線交于．（1）若拋物線焦點，判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系，并證明；（2）若三點共線，①證明：為定值；②求直線與夾角的余弦值的最小值．【答案】（1）相切，證明見解析（2）①；②【解析】【分析】（1）將直線和拋物線聯(lián)立，利用韋達定理，求出線段的中點和長度，即可得以為直徑的圓的方程，通過判斷圓心與直線的距離與半徑的大小關(guān)系來去頂直線與圓的位置關(guān)系；（2）①設(shè)，通過三點共線即斜率相等可得，再將其代入計算即可；②設(shè)直線的傾斜角分別為，，通過的關(guān)系代入消，通過直線和拋物型線相交，利用判別式求出的范圍，進而可得最值.【小問1詳解】若拋物線的焦點，則直線即為直線，又故，整理得聯(lián)立，消去得，則，，所以，且，故以為直徑的圓的圓的方程為，其圓心為，半