重慶市沙坪壩區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題含解析

Page25注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)在答題卡上．2．作答時(shí)，務(wù)必將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷及草稿紙上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解分式不等式求集合A，求對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的值域求集合B，應(yīng)用集合交運(yùn)算求結(jié)果.【詳解】由，即，由，故，所以.故選：B2.已知p：雙曲線(xiàn)C的方程為，q：雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為，則（）A.p是q的充要條件 B.p是q的充分不必要條件C.p是q的必要不充分條件 D.p是q的既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，判斷充分必要條件，即可判斷選項(xiàng).【詳解】若雙曲線(xiàn)的方程為，則漸近線(xiàn)方程為，若雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為，則雙曲線(xiàn)的方程為，所以，但，所以是的充分不必要條件.故選：B3.，，若，則實(shí)數(shù)a的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直線(xiàn)垂直的充要條件列出方程結(jié)合特殊三角函數(shù)值運(yùn)算即可.【詳解】由題意，則當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得.故選：C.4.設(shè)，，，則有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由倍角公式化簡(jiǎn)為正切函數(shù)，再結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性可得出答案.【詳解】，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，故選：C.5.已知在四面體中，底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)都為，D為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用中位線(xiàn)將異面直線(xiàn)所成角轉(zhuǎn)化為相交直線(xiàn)與所成角，再利用余弦定理解三角形即可.【詳解】取中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)，則，且；則（或其補(bǔ)角）即為直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角.又底面三角形是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則中線(xiàn)長(zhǎng)；在中，設(shè)中線(xiàn)長(zhǎng)，則，由余弦定理得,，所以，化簡(jiǎn)得，解得，則有，在中，由余弦定理得,,直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為銳角，則余弦值為.故選：B.6.教務(wù)處準(zhǔn)備給高三某班的學(xué)生排周六的課表，上午五節(jié)課，下午三節(jié)課．若準(zhǔn)備英語(yǔ)、物理、化學(xué)、地理各排一節(jié)課，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文各排兩節(jié)課連堂，且數(shù)學(xué)不排上午的第一節(jié)課，則不同的排課方式有（）A.216種 B.384種 C.408種 D.432種【答案】D【解析】【分析】由數(shù)學(xué)、語(yǔ)文不能同時(shí)安排在下午，分為數(shù)學(xué)（連堂）或語(yǔ)文（連堂）安排在下午、數(shù)學(xué)、語(yǔ)文都安排在上午，再應(yīng)用分步計(jì)數(shù)及排列組合求不同的排課方式.【詳解】由題意，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文不能同時(shí)安排在下午，若數(shù)學(xué)（連堂）安排在下午，在英語(yǔ)、物理、化學(xué)、地理中選一種安排在下午有種，再把余下的三科與語(yǔ)文（連堂）安排在上午，把上午看作四節(jié)課，則有種，此時(shí)共有種；若語(yǔ)文（連堂）安排在下午，在英語(yǔ)、物理、化學(xué)、地理中選一種安排在下午有種，再把余下的三科與數(shù)學(xué)（連堂）安排在上午，且數(shù)學(xué)不排上午的第一節(jié)課，把上午看作四節(jié)課，數(shù)學(xué)只能安排在后三節(jié)有種，其余三科全排有種，此時(shí)共有種；若數(shù)學(xué)、語(yǔ)文都安排在上午，在英語(yǔ)、物理、化學(xué)、地理中選一種安排在上午有種，將上午看作三節(jié)課，且數(shù)學(xué)不排上午的第一節(jié)課，有種，再把余下的三科安排在下午作全排有種，此時(shí)共有種；綜上，共有種.故選：D7.已知為正項(xiàng)等比數(shù)列，且，若函數(shù)，則（）A.2023 B.2024 C. D.1012【答案】A【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再由題意可得出，由倒序相加法可求出答案.【詳解】因?yàn)闉檎?xiàng)等比數(shù)列，且，所以，由可得，所以，所以設(shè)，則，所以?xún)墒较嗉涌傻茫?，故，故選：A.8.已知，，，，，則的最大值為（）A. B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意首先得出為兩外切的圓和橢圓上的兩點(diǎn)間的距離，再由三角形三邊關(guān)系將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為橢圓上點(diǎn)到另一個(gè)圓的圓心的最大值即可.【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，滿(mǎn)足，，，又，即，由橢圓的定義可知點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上運(yùn)動(dòng)，，所以該橢圓方程為，而，即，即，這表明了點(diǎn)在圓上面運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)為圓心，為半徑，又，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)，故只需求的最大值即可，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上面運(yùn)動(dòng)，所以不妨設(shè)，所以，所以當(dāng)且三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，有最大值.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)換為圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題來(lái)做，通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)合的方法巧妙的將幾何問(wèn)題融入代數(shù)方法，從而順利得解.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知左、右焦點(diǎn)分別為，的橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，則（）A.離心率B.若線(xiàn)段垂直于x軸，則C.的周長(zhǎng)為8D.的內(nèi)切圓半徑為1【答案】BC【解析】【分析】首先由題意把參數(shù)求出來(lái)，根據(jù)平方關(guān)系、離心率公式運(yùn)算即可判斷A；由題意將代入橢圓方程求出弦長(zhǎng)即可判斷B；由橢圓定義即可判斷C；由的周長(zhǎng)是定值，但面積會(huì)隨著直線(xiàn)的傾斜程度而變化，由此即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由題意橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，所以，解得，所以，離心率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A可知橢圓方程為，由題意若直線(xiàn)的方程為，將其代入橢圓方程可得，即，故B正確；對(duì)于C，的周長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于D，由題意直線(xiàn)斜率不為0且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不妨設(shè)直線(xiàn)，將其與橢圓方程聯(lián)立消去得，，一方面，另一方面，由C選項(xiàng)分析可知，不妨設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，所以，對(duì)比兩式可知，即與有關(guān)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.與二項(xiàng)式定理類(lèi)似，有萊布尼茲公式：，其中（，2，…，n）為u的k階導(dǎo)數(shù)，，，則（）A. B.C. D.，則【答案】BCD【解析】【分析】由二項(xiàng)式定理，分別賦值，即可判斷AB；再根據(jù)萊布尼茲公式，結(jié)合組合數(shù)公式和性質(zhì)，即可判斷CD.【詳解】A.由二項(xiàng)式定理可知，當(dāng)時(shí)，，，故A錯(cuò)誤；B.由二項(xiàng)式定理可知，當(dāng)時(shí)，，所以又由A可知，，所以，故B正確；C.，由組合數(shù)的性質(zhì)可知，，，，……，可知，，故C正確；D.，因?yàn)椋?，，，，，，，所以，故D正確.故選：BCD11.全球有0.5%的人是高智商，他們當(dāng)中有95%的人是游戲高手．在非高智商人群中，95%的人不是游戲高手．下列說(shuō)法正確的有（）A.全球游戲高手占比不超過(guò)10%B.某人既是游戲高手，也是高智商的概率低于0.1%C.如果某人是游戲高手，那么他也是高智商的概率高于8%D.如果某人是游戲高手，那么他也是高智商的概率低于8.5%【答案】AC【解析】【分析】利用全概率公式和條件概率定義進(jìn)行計(jì)算.【詳解】A項(xiàng)，高智商中有的人是游戲高手概率為，非高智商人群中是游戲高手的概率為，所以全球游戲高手占比為，所以A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，既是游戲高手，也是高智商的概率為，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)，設(shè)事件A為某人是游戲高手，事件B為某人是高智商，則，則，所以C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，由C項(xiàng)知，，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤故選：AC.12.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，，且實(shí)數(shù)對(duì)任意都成立（，），則（）A. B.有極小值，無(wú)極大值C.既有極小值，也有極大值 D.【答案】ABD【解析】【分析】將題設(shè)條件化為，進(jìn)而有，其中為常數(shù)，，根據(jù)已知求得，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)判斷A、B、C；問(wèn)題化為上，結(jié)合的極值且求參數(shù)范圍判斷D.【詳解】由題設(shè)，則，所以，故，其中為常數(shù)，，又，則，所以，即，所以，故，則，A對(duì)；由且，令在上遞增，，，故使，即，上，即，遞減；上，即，遞增；所以有極小值，無(wú)極大值，B對(duì)，C錯(cuò)；由題設(shè)，上，即，令，則在上遞增，故，所以，D對(duì).故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)題設(shè)條件得到，進(jìn)而求得為關(guān)鍵.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，則______．【答案】【解析】【分析】先求得數(shù)列的周期性，再應(yīng)用周期性求值即可.【詳解】由，得，則.故答案為：.14.已知的兩共軛虛根為，，且，則______．【答案】3【解析】【分析】由根與系數(shù)關(guān)系有，設(shè)，且，結(jié)合題設(shè)和復(fù)數(shù)模長(zhǎng)、乘法運(yùn)算求參數(shù).【詳解】由題設(shè)，可令，且，所以，所以.故答案為：315.已知圓，過(guò)直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)P作圓C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】首先利用圖形，解決向量運(yùn)算，再利用的最小值，即可求解.【詳解】如圖，連結(jié)，，，和交于點(diǎn)，，因?yàn)?，所?設(shè)，易知其在為增函數(shù)，則的最小值為圓心到直線(xiàn)的距離，所以的最小值為，那么的最小值為.故答案為：16.正方體棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，M是正方體的表面上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，四面體的外接球的表面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意只需點(diǎn)離平面最遠(yuǎn)即可，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求各點(diǎn)到面距離得到與重合，再將置于如下直角坐標(biāo)系中求外接圓圓心，進(jìn)而確定空間坐標(biāo)系中外接球球心坐標(biāo)，即可求球的表面積.【詳解】如下圖，，即四點(diǎn)共面，要使四面體的體積最大，只需點(diǎn)離平面最遠(yuǎn)即可，顯然點(diǎn)、線(xiàn)段上點(diǎn)到平面距離都相等，構(gòu)建下圖空間直角坐標(biāo)系，則，所以，若面的一個(gè)法向量為，則，令，則，而，則，，，，所以到面距離為，到面距離為，到面距離為，到面距離為，綜上，正方體的表面上到面距離最遠(yuǎn)，故四面體的體積最大，與重合，首先確定外接圓圓心坐標(biāo)，將置于如下直角坐標(biāo)系中，則，則是直線(xiàn)與的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，由，則，且中點(diǎn)為，故，即，聯(lián)立，即對(duì)應(yīng)到空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)為，由四面體的外接球球心在過(guò)垂直于面的直線(xiàn)上，設(shè)，由，即，所以，故外接球半徑為，故外接球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量法求出正方體的表面上到面距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)為關(guān)鍵.四、解答題（共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.疫情結(jié)束之后，演唱會(huì)異常火爆．為了調(diào)查“喜歡看演唱會(huì)和學(xué)科是否有關(guān)”，對(duì)本年級(jí)的100名老師進(jìn)行了調(diào)查．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828（1）完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為本年級(jí)老師“喜歡看演唱會(huì)”與“學(xué)科”有關(guān)；喜歡看演唱會(huì)不喜歡看演唱會(huì)合計(jì)文科老師30理科老師40合計(jì)50（2）三樓大辦公室中有11名老師，有4名老師喜歡看演唱會(huì)，現(xiàn)從這11名老師中隨機(jī)抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜歡看演唱會(huì)的概率．【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有95%的把握認(rèn)為本年級(jí)老師“喜歡看演唱會(huì)”與“學(xué)科”有關(guān)（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)表格進(jìn)行運(yùn)算即可得到完整的列聯(lián)表，再根據(jù)卡方計(jì)算公式運(yùn)算對(duì)比臨界值即可求解.（2）根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式進(jìn)行運(yùn)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】由表可知喜歡看演唱會(huì)的理科老師有人，理科老師共有人，文科老師共有人，不喜歡看演唱會(huì)的文科老師有人，不喜歡看演唱會(huì)的人有人，完成列聯(lián)表如下表所示：喜歡看演唱會(huì)不喜歡看演唱會(huì)合計(jì)文科老師301040理科老師204060合計(jì)5050100，故有95%的把握認(rèn)為本年級(jí)老師“喜歡看演唱會(huì)”與“學(xué)科”有關(guān).【小問(wèn)2詳解】由題意11名老師中，有4名老師喜歡看演唱會(huì)，有7名老師不喜歡看演唱會(huì)，若從這11名老師中隨機(jī)抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜歡看演唱會(huì)，則只能從4名喜歡看演唱會(huì)的老師中抽取1人，從7名不喜歡看演唱會(huì)的老師中抽取2人，即所求的概率為.18.如圖，在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)為上分別靠近C和的四等分點(diǎn)，若多面體的體積為40．（1）求到平面的距離；（2）求二面角的大?。敬鸢浮浚?）2；（2）.【解析】【分析】（1）由直三棱柱結(jié)構(gòu)特征有，應(yīng)用線(xiàn)面平行判定證面，問(wèn)題化為求到面的距離，再結(jié)合面面，進(jìn)一步化為求中上的高，根據(jù)多面體體積列方程求結(jié)果；（2）過(guò)作于，過(guò)作面于，連接，證面，進(jìn)而有為二面角的平面角，即可求大小.【小問(wèn)1詳解】直三棱柱中，面，面，所以面，即面，只需求到面的距離，又面面，面面，則在面上的射影在直線(xiàn)上，即到面距離為中上的高，又E，F(xiàn)為上分別靠近C和的四等分點(diǎn)，且多面體的體積為40，所以，可得，即到平面的距離為2.【小問(wèn)2詳解】過(guò)作于，過(guò)作面于，連接，由（1）分析易知：，即四邊形為平行四邊形，由面，面，則，由，面，則面，而面，則，，故為二面角的平面角，由（1）知：，，所以，故銳二面角為.19.已知數(shù)列滿(mǎn)足，，且．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)的和．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知等式變形得，利用等比數(shù)列的定義證明即可；（2）對(duì)項(xiàng)數(shù)分奇偶討論，由裂項(xiàng)相消法求和可得.【小問(wèn)1詳解】，且，，，且，，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，則有，，，各式相加得，又，則.，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；綜上所述，.20.在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a，b，成等比數(shù)列．（1）若，求角C；（2）若的面積為S，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題設(shè)可得，結(jié)合余弦定理可得，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系、三角恒等變換可得，進(jìn)而有，即可求角C；（2）由（1）有，結(jié)合銳角三角形得，應(yīng)用三角形面積公式、三角恒等變換可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求等式右側(cè)單調(diào)性，再求值域即得范圍.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，即，且，由，即，所以，即，所以，故，所以或（舍），可得，故.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，為銳角三角形，則，可得，又，則，所以，又，，故，整理得，令，則，所以，令，則，故在上遞減，，即，所以在上遞減，故.21.已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交軸于，過(guò)作斜率為的直線(xiàn)交于，過(guò)作斜率為的直線(xiàn)交于．（1）若拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，判斷直線(xiàn)與以為直徑的圓的位置關(guān)系，并證明；（2）若三點(diǎn)共線(xiàn)，①證明：為定值；②求直線(xiàn)與夾角的余弦值的最小值．【答案】（1）相切，證明見(jiàn)解析（2）①；②【解析】【分析】（1）將直線(xiàn)和拋物線(xiàn)聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出線(xiàn)段的中點(diǎn)和長(zhǎng)度，即可得以為直徑的圓的方程，通過(guò)判斷圓心與直線(xiàn)的距離與半徑的大小關(guān)系來(lái)去頂直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；（2）①設(shè)，通過(guò)三點(diǎn)共線(xiàn)即斜率相等可得，再將其代入計(jì)算即可；②設(shè)直線(xiàn)的傾斜角分別為，，通過(guò)的關(guān)系代入消，通過(guò)直線(xiàn)和拋物型線(xiàn)相交，利用判別式求出的范圍，進(jìn)而可得最值.【小問(wèn)1詳解】若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則直線(xiàn)即為直線(xiàn)，又故，整理得聯(lián)立，消去得，則，，所以，且，故以為直徑的圓的圓的方程為，其圓心為，半