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第第頁指、對函數(shù)的切線不等式的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)》選擇性必修第二冊第94頁練習(xí)第2題證明不等式,第99頁習(xí)題第12題,要求利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式,并通過函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證。這兩個(gè)不等式的實(shí)質(zhì)是曲線和它的切線之間的關(guān)系,不妨稱之為“切線不等式”,可以實(shí)現(xiàn)以直代曲,將超越函數(shù)化為一次函數(shù),體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想,其在解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題中有著廣泛應(yīng)用。二、學(xué)生學(xué)情分析1.學(xué)生已具備的能力:掌握指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的函數(shù)問題,具備一定分析、轉(zhuǎn)化問題的能力。2.學(xué)生面臨的困難:指數(shù)、對數(shù)切線放縮及變形解題是近幾年高考命題的熱點(diǎn)問題,此類問題涉及超越不等式,難度較大,學(xué)生經(jīng)常無從下手。三、教學(xué)目標(biāo)分析1.通過觀察圖象從“形”的角度認(rèn)識(shí)指、對函數(shù)的切線不等式,并且能從“數(shù)”的角度證明這兩個(gè)切線不等式;2.能通過典型例題,依據(jù)函數(shù)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行切線不等式的代數(shù)變形和放縮,提高思維能力和解題能力,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng);3.借助“切線不等式”可以實(shí)現(xiàn)以直代曲,將超越函數(shù)化為一次函數(shù),體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想,進(jìn)一步體會(huì)其在解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題中的廣泛應(yīng)用。四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn):切線不等式的應(yīng)用。2.教學(xué)難點(diǎn):切線不等式的代數(shù)變形和放縮技巧。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)(一)創(chuàng)設(shè)情境,引入主題如圖1,曲線在點(diǎn)處的切線是直線,由此得到指數(shù)函數(shù)的切線不等式.如圖2,曲線在點(diǎn)處的切線是直線,由此得到對數(shù)函數(shù)的切線不等式.圖1圖2我們由圖象可以得到指、對函數(shù)的切線不等式,那能否利用函數(shù)的單調(diào)性,證明這兩個(gè)切線不等式?(1)指數(shù)函數(shù)的切線不等式:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.證明設(shè),定義域?yàn)?,則,由,得,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,所以.(2)對數(shù)函數(shù)的切線不等式:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.證明設(shè),定義域?yàn)?,則,由,得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,所以.【設(shè)計(jì)意圖】從“形”的角度認(rèn)識(shí)指、對函數(shù)的切線不等式,并且從“數(shù)”的角度證明這兩個(gè)切線不等式。理解切線不等式中涉及的函數(shù)的幾何意義是曲線與其切線的位置關(guān)系。類比探究,思維拓展如圖3,曲線過點(diǎn)處的切線是直線,切點(diǎn)為,由此得到不等式.如圖4,曲線過點(diǎn)處的切線是直線,切點(diǎn)為,由此得到不等式.圖3圖4對于指數(shù)函數(shù)的切線不等式:,用替換得到,即,用替換得到對數(shù)函數(shù)的切線不等式;對于對數(shù)函數(shù)的切線不等式:,用替換得到,用替換得到指數(shù)函數(shù)的切線不等式;通過代數(shù)變形,可以實(shí)現(xiàn)對,的靈活縮放?!驹O(shè)計(jì)意圖】探究過程的本質(zhì)是等量替換之后不等式的不變性。學(xué)生通過不同的變換探索、發(fā)現(xiàn)不等式,感悟其中的變化規(guī)律,并且要數(shù)形結(jié)合地記憶。突出用數(shù)學(xué)探究培養(yǎng)學(xué)生的思維,滲透研究問題的基本思想和基本方法,能夠讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)運(yùn)算是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種有效方法。(三)實(shí)際應(yīng)用,典例精講例1已知,,,則它們的大小關(guān)系正確的是(
C)A.B.C. D.解析:由切線不等式,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào),
可以得到,而,所以.由切線不等式,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),可以得到,所以.
【設(shè)計(jì)意圖】利用指數(shù)函數(shù)的切線不等式放縮比較出,利用對數(shù)函數(shù)的切線不等式放縮比較出,應(yīng)用切線放縮進(jìn)行指數(shù)式、對數(shù)式比較大小可以減少運(yùn)算量。例2已知函數(shù).證明:當(dāng)時(shí),.分析:先用進(jìn)行放縮去掉參數(shù),原不等式的證明轉(zhuǎn)化為證明,即證明.作出函數(shù)和函數(shù)的圖象都與直線相切(如圖5),從而聯(lián)想到切線不等式和即可解決。圖5證明:當(dāng)時(shí),,故只需證成立.設(shè),則,由,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,所以.設(shè),則,由,得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,即,所以.綜上所述,,,故原不等式成立.【設(shè)計(jì)意圖】此題連續(xù)使用三次放縮,第一次使用參數(shù)放縮法,把參數(shù)放縮成,第二次使用放縮,第三次使用不等式放縮。要熟練掌握切線不等式的推導(dǎo)和變形,這樣應(yīng)用時(shí)才能夠游刃有余。例3已知函數(shù).若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.分析:要證,即證,即證,即證.函數(shù)和函數(shù)的圖象都與直線相切(如圖6),從而聯(lián)想到切線不等式和.圖6證明:要證,即證,即證,即證.由切線不等式,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),變形得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).由切線不等式,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),變形得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故原不等式成立.當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)取等號(hào),此時(shí).【設(shè)計(jì)意圖】例3要對證明的不等式等價(jià)變形,把含有指數(shù)式化為含有指數(shù)式和對數(shù)式的同構(gòu)式,再利用切線不等式放縮。幫助學(xué)生積累一定的分析、求解題目的經(jīng)驗(yàn),在證明含有,的不等式時(shí)能夠聯(lián)想到切線不等式及其拓展,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。例4已知函數(shù).若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.分析:不等式恒成立,移項(xiàng)變形為,左邊指數(shù)式,右邊含有對數(shù)式,聯(lián)想切線不等式,用一次函數(shù)替換超越函數(shù),左邊,右邊.解:即為,移項(xiàng)得①,由得,由題可知,所以,由得,當(dāng)時(shí),,而,所以①式恒成立,當(dāng)時(shí),,不符合題意,綜上所述,的取值范圍是.【設(shè)計(jì)意圖】例4要對不等式等價(jià)變形為①式,①式左邊為指數(shù)型函數(shù),①式右邊含有對數(shù)式,再分別利用切線不等式進(jìn)行放縮,轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)。幫助學(xué)生積累一定的分析、求解題目的經(jīng)驗(yàn),在遇到含有,的不等式時(shí)能夠聯(lián)想到切線不等式及其拓展。例5已知函數(shù).(1)若,求實(shí)數(shù)的值;(2)設(shè)為整數(shù),且對任意正整數(shù),,求的最小值.分析:,這個(gè)式子之積不好求,可以通過兩邊同時(shí)取對數(shù),轉(zhuǎn)化為個(gè)對數(shù)之和,達(dá)到降冪的作用。解:(1)若,即,即,由切線不等式得.(2)由切線不等式,則有,所以.由①,變形得②,由切線不等式,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),可以得到,,……,,所以,,所以,又因?yàn)椋驗(yàn)闉檎麛?shù),所以的最小值為3.【設(shè)計(jì)意圖】善于觀察和聯(lián)想,利用對數(shù)函數(shù)的切線不等式連續(xù)對原不等式進(jìn)行放縮,將超越函數(shù)化為一次函數(shù)解決,有效地降低了解題難度。(四)回顧總結(jié),歸納提升1.知識(shí)小結(jié):(1)數(shù)形結(jié)合地理解指、對函數(shù)的切線不等式及其變式;(2)靈活應(yīng)用
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