冪函數(shù)、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)課件-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義函數(shù)之冪函數(shù)、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)①

叫做冪函數(shù)，其中

x

是自變量，α是常數(shù).y

＝

x

α

一、知識(shí)點(diǎn)講解及規(guī)律方法結(jié)論總結(jié)(2)5種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函

數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝y(tǒng)＝x－1定

義

域RRR②

?③

?值

域R④

?R{y｜y≥0}⑤

?{x｜x≥0}

{x｜x≠0}

{y｜y≥0}

{y｜y≠0}

函

數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝y(tǒng)＝x－1奇

偶

性奇函

數(shù)⑥

?奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)⑦

?單

調(diào)

性在R

上單調(diào)遞

增在(－∞，0)上單

調(diào)遞減，在[0，

＋∞)上單調(diào)遞增⑧

?

?

?⑨

?

?⑩

?

?

?

?偶函數(shù)

奇函數(shù)

在R上

單調(diào)遞增

在(0，＋∞)

上單調(diào)遞增

在(－∞，0)

和(0，＋∞)上單

調(diào)遞減

函

數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝y(tǒng)＝x－1圖

象

過

定

點(diǎn)?

?(1，1)

規(guī)律總結(jié)(1)冪函數(shù)

y

＝

x

α在第一象限的圖象如圖所示，可根據(jù)函數(shù)的定義域以及奇偶性判斷

冪函數(shù)在第二或第三象限的圖象.(2)在(0，1)上，冪函數(shù)的指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近

x

軸；在(1，＋∞)上，冪函數(shù)的指數(shù)越小，函數(shù)圖象越接近

x

軸.注意

冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，若與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).

a

ar

＋

s

ar

－

s

ars

arbr

3.指數(shù)函數(shù)(1)指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)

y

＝

ax

(

a

＞0，且

a

≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)

x

是自變量，定義域是R.(2)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝ax(a＞1)y＝ax(0＜a＜1)圖象

性質(zhì)函數(shù)的定義域?yàn)镽；值域?yàn)?

?.函數(shù)圖象過定點(diǎn)?

，即當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1.當(dāng)x＞0時(shí)，y＞1；當(dāng)x＜0時(shí)，0＜y＜1.當(dāng)x＞0時(shí)，0＜y＜1；當(dāng)x＜0時(shí)，

y＞1.函數(shù)在R上單調(diào)遞?

?.函數(shù)在R上單調(diào)遞?

?.(0，＋∞)

(0，1)

增

減

注意

當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)

a

的大小不確定時(shí)，需分

a

＞1和0＜

a

＜1兩種情況

進(jìn)行討論.

A.1B.－1C.7－2πD.2π－7

A二、基礎(chǔ)題練習(xí)2.[多選]已知冪函數(shù)

f

(

x

)＝

x

α的圖象經(jīng)過點(diǎn)(16，4)，則下列說法正確的有(

BCD

)A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)是增函數(shù)C.當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞1D.當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，＜f()

BCD3.函數(shù)

f

(

x

)＝

ax

－1＋2(

a

＞0，且

a

≠1)的圖象恒過定點(diǎn)

?.(1，3)

4.已知函數(shù)

f

(

x

)＝

ax

＋

b

(

a

＞0，且

a

≠1)的定義域和值域都是[－1，0]，則

a

＋

b

＝

?.

AA.2，，－，－2B.2，，－2，－C.－，－2，2，D.－2，－，，2三、知識(shí)點(diǎn)例題講解及方法技巧總結(jié)

A.b＜a＜cB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b

A方法技巧1.對(duì)于冪函數(shù)的圖象識(shí)別問題，解題關(guān)鍵是把握冪函數(shù)的性質(zhì)，尤其是單調(diào)性、奇

偶性、圖象經(jīng)過的定點(diǎn)等.2.比較冪值大小的方法(1)同底不同指的冪值大小比較：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.(2)同指不同底的冪值大小比較：利用冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.(3)既不同底又不同指的冪值大小比較：常找到一個(gè)中間值，通過比較冪值與中間值

的大小來判斷.

A.B.C.2D.2

A

方法技巧指數(shù)冪的運(yùn)算技巧運(yùn)算順序①有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)的；②無括號(hào)先進(jìn)行指數(shù)的乘方、開方，再乘除，最

后加減；③底數(shù)是負(fù)數(shù)的先確定符號(hào).運(yùn)算

基本原則①化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)；②化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；③化小數(shù)為分?jǐn)?shù)；④化帶

分?jǐn)?shù)為假分?jǐn)?shù).

2

命題點(diǎn)3

指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例3

(1)已知函數(shù)

y

＝

kx

＋

a

的圖象如圖所示，則函數(shù)

y

＝

ax

＋

k

的圖象可能是(

B

)A

B

C

DB[解析]由函數(shù)

y

＝

kx

＋

a

的圖象可得

k

＜0，0＜

a

＜1.函數(shù)

y

＝

ax

＋

k

的圖象可以看

作是把

y

＝

ax

的圖象向右平移－

k

個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，且函數(shù)

y

＝

ax

＋

k

是減函數(shù)，

故此函數(shù)的圖象與

y

軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于1，結(jié)合所給的選項(xiàng)，可知選B.(2)[2024上海奉賢致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)模擬]已知

a

∈R，若關(guān)于

x

的方程｜3

x

－1｜－2

a

＝0

有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則

a

的取值范圍是

?.

命題拓展已知

a

∈R，若關(guān)于

x

的方程｜

ax

－1｜－2

a

＝0有兩個(gè)不等的實(shí)根，則

a

的取值范

圍是

?.

圖1圖2方法技巧與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象問題的求解策略數(shù)形結(jié)合指數(shù)型函數(shù)圖象識(shí)別，一般通過確定圖象是“上升”還是“下降”、圖象

位置、圖象所過的定點(diǎn)、圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、函數(shù)值域等求解.變換作圖對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，

通過平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到.注意

在指數(shù)函數(shù)圖象變換時(shí)，注意特殊點(diǎn)(如定點(diǎn))、特殊線(如漸近線)的變化.訓(xùn)練3

[2024重慶市巴蜀中學(xué)適應(yīng)性考試]已知函數(shù)

f

(

x

)＝

ax

－1－2(

a

＞0，且

a

≠1)的

圖象恒過定點(diǎn)

M

(

m

，

n

)，則函數(shù)

g

(

x

)＝

m

＋

xn

的圖象不經(jīng)過(

D

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

D命題點(diǎn)4

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1

比較大小例4

(1)[2023天津高考]若

a

＝1.010.5，

b

＝1.010.6，

c

＝0.60.5，則

a

，

b

，

c

的大小關(guān)

系為(

D

)A.c＞a＞bB.c＞b＞aC.a＞b＞cD.b＞a＞c[解析]因?yàn)楹瘮?shù)

f

(

x

)＝1.01

x

是增函數(shù)，且0.6＞0.5＞0，所以1.010.6＞1.010.5＞1，

即

b

＞

a

＞1；因?yàn)楹瘮?shù)

g

(

x

)＝0.6

x

是減函數(shù)，且0.5＞0，所以0.60.5＜0.60＝1，即

c

＜1.綜上，

b

＞

a

＞

c

.故選D.D

A.b＞c＞aB.b＞a＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞bA

方法技巧比較指數(shù)冪大小的常用方法單調(diào)性法不同底的指數(shù)函數(shù)化同底后就可以應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，所

以能夠化同底的盡可能化同底.取中間值法不同底、不同指數(shù)的指數(shù)函數(shù)比較大小時(shí)，先與中間值(特別是1)比較大

小，然后得出大小關(guān)系.數(shù)形結(jié)合法根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特征，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出它們的函數(shù)圖象，

借助圖象比較大小.

A.(－4，0)B.(－4，0]C.(0，4)D.[0，4)

B

(－2，＋∞)

(－∞，

－2)

(2)若

f

(

x

)有最大值3，則

a

的值為

?；1

(3)若

f

(

x

)的值域是(0，＋∞)，則

a

的值為

?.[解析](3)令

g

(

x

)＝

ax

2－4

x

＋3，由

f

(

x

)的值域是(0，＋∞)知，

g

(

x

)＝

ax

2－4

x

＋3的值域?yàn)镽，則必有

a

＝0.0

方法技巧1.形如

y

＝

af

(

x

)的函數(shù)的單調(diào)性：若

a

＞1，則函數(shù)

f

(

x

)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即函數(shù)

y

＝

af

(

x

)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間；若0＜

a

＜1，則函數(shù)

f

(

x

)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即函數(shù)

y

＝

af

(

x

)的單調(diào)遞減(增)區(qū)間.2.求解指數(shù)型函數(shù)中的參數(shù)取值范圍的基本思路一般利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或最值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.注意

當(dāng)?shù)讛?shù)

a

與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)分類討論.

A.(0，]B.(1，＋∞)C.(0，]D.[，]

C(2)[2024浙江溫州聯(lián)考]如果1＜2

a

＜2

b

＜2，那么(

C

)A.aa＜ab＜baB.aa＜ba＜abC.ab＜aa＜baD.ab＜ba＜aa[解析]因?yàn)楹瘮?shù)

y

＝2

x

在R上單調(diào)遞增，20＝1＜2

a

＜2

b

＜2＝21，所以0＜

a

＜

b

＜

1.因?yàn)楹瘮?shù)

y

＝

ax

(0＜

a

＜1)在R上單調(diào)遞減，所以

aa

＞

ab

.因?yàn)楹瘮?shù)

y

＝

xa

(0＜

a

＜

1)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以

aa

＜

ba

，所以

ab

＜

aa

＜

ba

.故選C.C

A.(－∞，1)B.(1，＋∞)C.[3，＋∞)D.(－∞，－2)

B

1.[命題點(diǎn)1]某同學(xué)研究了一個(gè)函數(shù)，他給出這個(gè)函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：①偶函數(shù)；②值

域是{

y

｜

y

∈R，且

y

≠0}；③在(－∞，0)上是增函數(shù).如果他給出的三個(gè)性質(zhì)中，

有兩個(gè)正確，一個(gè)錯(cuò)誤，則他研究的函數(shù)是(

B

)A.f(x)＝x－1B.f(x)＝x－2C.f(x)＝x3D.f(x)＝

B四、命題點(diǎn)習(xí)題講解

－9

a

4.[命題點(diǎn)3]若函數(shù)

f

(

x

)＝(4

mx

－

n

)2的大致圖象如圖所示，則(

B

)A.m＞0，0＜n＜1B.m＞0，n＞1C.m＜0，0＜n＜1D.m＜0，n＞1B

A.[，2)B.[，2]C.(－∞，)D.[2，＋∞)

B

A.1B.－1C.2D.－2

A

4

A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

A五、習(xí)題實(shí)戰(zhàn)演練

A.a＞b＞cB.c＞a＞bC.c＞b＞aD.a＞c＞b

B3.[2024山東青島模擬]函數(shù)

f

(

x

)＝

ax

2＋2

x

＋1與

g

(

x

)＝

xa

在同一直角坐標(biāo)系中的圖

象不可能為(

B

)ABBCD

A.(－∞，－3)B.(1，＋∞)C.(－3，1)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)

C5.[2024安徽江淮十校聯(lián)考]已知冪函數(shù)

f

(

x

)＝(

m

2－5

m

＋5)

xm

－2是R上的偶函數(shù)，

且函數(shù)

g

(

x

)＝

f

(

x

)－(2

a

－6)

x

在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是

(

B

)A.(－∞，4)B.(－∞，4]C.[6，＋∞)D.(－∞，4]∪[6，＋∞)[解析]因?yàn)閮绾瘮?shù)

f

(

x

)＝(

m

2－5

m

＋5)

xm

－2是R上的偶函數(shù)，則

m

2－5

m

＋5＝

1，解得

m

＝1或

m

＝4.當(dāng)

m

＝1時(shí)，

f

(

x

)＝

x

－1，該函數(shù)是定義域?yàn)閧

x

｜

x

≠0}的奇

函數(shù)，不符合題意；當(dāng)

m

＝4時(shí)，

f

(

x

)＝

x

2，該函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，符合題

意，所以

f

(

x

)＝

x

2，則

g

(

x

)＝

x

2－(2

a

－6)

x

，其圖象的對(duì)稱軸為

x

＝

a

－3，因?yàn)?/p>

g

(

x

)在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞增，則

a

－3≤1，解得

a

≤4.故選B.B6.[多選]設(shè)函數(shù)

f

(

x

)＝2

x

，對(duì)于任意的

x

1，

x

2(

x

1≠

x

2)，下列結(jié)論中正確的是

(

ACD

)A.f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)B.f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)C.＞0D.f()＜ACD

(－1，4)

8.[2024河南南陽模擬]已知函數(shù)

f

(

x

)＝｜3

x

－1｜，

a

＜

b

＜

c

，且

f

(

a

)＞

f

(

b

)＞

f

(

c

)，則下列結(jié)論中一定成立的是(

D

)A.a＜0，b＜0，c＜0B.a＜0，b≥0，c＞0C.3－a＜3cD.3a＋3c＜2D[解析]作出

f

(

x

)的圖象，如圖所示.因?yàn)?/p>

a

＜

b

＜

c

，且

f

(

a

)＞

f

(

b

)＞

f

(

c

)，所以

a

＜

b

＜0，且存在b'＞0，使

f

(

b

)＝

f

(b')，則

b

＜

c

＜b'，即

b

＜0＜

c

＜b'或

b

＜

c

＜0＜b'，故排除A，B；取

a

＝－1，

c

＝0，可排除C；當(dāng)

c

＞0時(shí)，

f

(

a

)＝1－3

a

＞

f

(

c

)＝3

c

－1，所以3

a

＋3

c

＜2，當(dāng)

c

≤0時(shí)，3

a

＜

1，3

c

≤1，則3

a

＋3

c

＜2，故D一定成立.

A.b＞c＞aB.c＞b＞aC.c＞a＞bD.a＞b＞c

A

A.f(a)＞f(b)＞f(c)B.f(b)＞f(a)＞f(c)C.f(a)＞f(c)＞f(b)D.f(c)＞f(a)＞f(b)D

A.f(x)為奇函數(shù)B.f(x)為減函數(shù)C.f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)D.f(