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重慶市南岸區(qū)2025屆高三下學(xué)期第六次檢測數(shù)學(xué)試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,,若AB,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.在等差數(shù)列中,若,則()A.8 B.12 C.14 D.103.下列函數(shù)中,值域為的偶函數(shù)是()A. B. C. D.4.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.C. D.5.已知函數(shù)滿足=1,則等于()A.- B. C.- D.6.已知,則()A. B. C. D.27.已知雙曲線的一個焦點為,點是的一條漸近線上關(guān)于原點對稱的兩點,以為直徑的圓過且交的左支于兩點,若,的面積為8,則的漸近線方程為()A. B.C. D.8.已知函數(shù),其中表示不超過的最大正整數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.的值域是 B.是奇函數(shù)C.是周期函數(shù) D.是增函數(shù)9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入,則輸出屬于()A. B. C. D.10.已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項公式()A. B. C. D.11.已知集合,,,則集合()A. B. C. D.12.在平面直角坐標(biāo)系中,銳角頂點在坐標(biāo)原點,始邊為x軸正半軸,終邊與單位圓交于點,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知橢圓,,若橢圓上存在點使得為等邊三角形(為原點),則橢圓的離心率為_________.14.設(shè)α、β為互不重合的平面,m,n是互不重合的直線,給出下列四個命題:①若m∥n,則m∥α;②若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β;③若α∥β,m?α,n?β,則m∥n;④若α⊥β,α∩β=m,n?α,m⊥n,則n⊥β;其中正確命題的序號為_____.15.在中,為定長,,若的面積的最大值為,則邊的長為____________.16.已知一個圓錐的底面積和側(cè)面積分別為和,則該圓錐的體積為________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知.(1)解關(guān)于x的不等式:;(2)若的最小值為M,且,求證:.18.(12分)已知函數(shù).當(dāng)時,求不等式的解集;,,求a的取值范圍.19.(12分)已知數(shù)列的各項都為正數(shù),,且.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)設(shè),其中表示不超過x的最大整數(shù),如,,求數(shù)列的前2020項和.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程;(2)求曲線上的點到直線的距離的最大值與最小值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,且與直角坐標(biāo)系長度單位相同的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程是.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C相交于兩點A,B,求線段的長.22.(10分)如圖,在直三棱柱中,,,D,E分別為AB,BC的中點.(1)證明:平面平面;(2)求點到平面的距離.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
先化簡,再根據(jù),且AB求解.【詳解】因為,又因為,且AB,所以.故選:D【點睛】本題主要考查集合的基本運算,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
將,分別用和的形式表示,然后求解出和的值即可表示.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為,公差為,則由,,得解得,,所以.故選C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解,難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項的值,可通過構(gòu)建和的方程組求通項公式.3、C【解析】試題分析:A中,函數(shù)為偶函數(shù),但,不滿足條件;B中,函數(shù)為奇函數(shù),不滿足條件;C中,函數(shù)為偶函數(shù)且,滿足條件;D中,函數(shù)為偶函數(shù),但,不滿足條件,故選C.考點:1、函數(shù)的奇偶性;2、函數(shù)的值域.4、A【解析】
根據(jù)題意,可得幾何體,利用體積計算即可.【詳解】由題意,該幾何體如圖所示:該幾何體的體積.故選:A.【點睛】本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計算,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
設(shè)的最小正周期為,可得,則,再根據(jù)得,又,則可求出,進而可得.【詳解】解:設(shè)的最小正周期為,因為,所以,所以,所以,又,所以當(dāng)時,,,因為,整理得,因為,,,則所以.故選:C.【點睛】本題考查三角形函數(shù)的周期性和對稱性,考查學(xué)生分析能力和計算能力,是一道難度較大的題目.6、B【解析】
結(jié)合求得的值,由此化簡所求表達式,求得表達式的值.【詳解】由,以及,解得..故選:B【點睛】本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值,考查二倍角公式,屬于中檔題.7、B【解析】
由雙曲線的對稱性可得即,又,從而可得的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線的另一個焦點為,由雙曲線的對稱性,四邊形是矩形,所以,即,由,得:,所以,所以,所以,,所以,的漸近線方程為.故選B【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),考查直線與圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想與計算能力,屬于中檔題.8、C【解析】
根據(jù)表示不超過的最大正整數(shù),可構(gòu)建函數(shù)圖象,即可分別判斷值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性,進而下結(jié)論.【詳解】由表示不超過的最大正整數(shù),其函數(shù)圖象為選項A,函數(shù),故錯誤;選項B,函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故錯誤;選項C,函數(shù)是以1為周期的周期函數(shù),故正確;選項D,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),但在整個定義域范圍上不具備單調(diào)性,故錯誤.故選:C【點睛】本題考查對題干的理解,屬于函數(shù)新定義問題,可作出圖象分析性質(zhì),屬于較難題.9、B【解析】
由題意,框圖的作用是求分段函數(shù)的值域,求解即得解.【詳解】由題意可知,框圖的作用是求分段函數(shù)的值域,當(dāng);當(dāng)綜上:.故選:B【點睛】本題考查了條件分支的程序框圖,考查了學(xué)生邏輯推理,分類討論,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
利用數(shù)列的遞推關(guān)系式,通過累加法求解即可.【詳解】數(shù)列滿足:,,可得以上各式相加可得:,故選:.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,數(shù)列累加法以及通項公式的求法,考查計算能力.11、D【解析】
根據(jù)集合的混合運算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】,故可得.故選:D.【點睛】本題考查集合的混合運算,屬基礎(chǔ)題.12、A【解析】
根據(jù)單位圓以及角度范圍,可得,然后根據(jù)三角函數(shù)定義,可得,最后根據(jù)兩角和的正弦公式,二倍角公式,簡單計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,又為銳角所以,根據(jù)三角函數(shù)的定義:所以由所以故選:A【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式,還考查二倍角的正弦、余弦公式,難點在于公式的計算,識記公式,簡單計算,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意求出點N的坐標(biāo),將其代入橢圓的方程,求出參數(shù)m的值,再根據(jù)離心率的定義求值.【詳解】由題意得,將其代入橢圓方程得,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì),屬于中檔題.14、④【解析】
根據(jù)直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系依次判斷每個選項得到答案.【詳解】對于①,當(dāng)m∥n時,由直線與平面平行的定義和判定定理,不能得出m∥α,①錯誤;對于②,當(dāng)m?α,n?α,且m∥β,n∥β時,由兩平面平行的判定定理,不能得出α∥β,②錯誤;對于③,當(dāng)α∥β,且m?α,n?β時,由兩平面平行的性質(zhì)定理,不能得出m∥n,③錯誤;對于④,當(dāng)α⊥β,且α∩β=m,n?α,m⊥n時,由兩平面垂直的性質(zhì)定理,能夠得出n⊥β,④正確;綜上知,正確命題的序號是④.故答案為:④.【點睛】本題考查了直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.15、【解析】
設(shè),以為原點,為軸建系,則,,設(shè),,,利用求向量模的公式,可得,根據(jù)三角形面積公式進一步求出的值即為所求.【詳解】解:設(shè),以為原點,為軸建系,則,,設(shè),,則,即,由,可得.則.故答案為:.【點睛】本題考查向量模的計算,建系是關(guān)鍵,屬于難題.16、【解析】
依據(jù)圓錐的底面積和側(cè)面積公式,求出底面半徑和母線長,再根據(jù)勾股定理求出圓錐的高,最后利用圓錐的體積公式求出體積。【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,母線長為,高為,所以有解得,故該圓錐的體積為。【點睛】本題主要考查圓錐的底面積、側(cè)面積和體積公式的應(yīng)用。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)證明見解析.【解析】
(1)分類討論求解絕對值不等式即可;(2)由(1)中所得函數(shù),求得最小值,再利用均值不等式即可證明.【詳解】(1)當(dāng)時,等價于,該不等式恒成立,當(dāng)時,等價于,該不等式解集為,當(dāng)時,等價于,解得,綜上,或,所以不等式的解集為.(2),易得的最小值為1,即因為,,,所以,,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.【點睛】本題考查利用分類討論求解絕對值不等式,涉及利用均值不等式證明不等式,屬綜合中檔題.18、(1);(2).【解析】
(1)當(dāng)時,,①當(dāng)時,,令,即,解得,②當(dāng)時,,顯然成立,所以,③當(dāng)時,,令,即,解得,綜上所述,不等式的解集為.(2)因為,因為,有成立,所以只需,解得,所以a的取值范圍為.【點睛】絕對值不等式的解法:法一:利用絕對值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;法二:利用“零點分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想;法三:通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.19、(Ⅰ);(Ⅱ)4953【解析】
(Ⅰ)遞推公式變形為,由數(shù)列是正項數(shù)列,得到,根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列求通項公式;(Ⅱ),根據(jù)新定義和對數(shù)的運算分類討論數(shù)列的通項公式,并求前2020項和.【詳解】(Ⅰ)∵,∴,∴又∵數(shù)列的各項都為正數(shù),∴,即.∴數(shù)列是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,∴.(Ⅱ)∵,∴,.∴數(shù)列的前2020項的和為.【點睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項公式和數(shù)列的前項和,意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想,計算能力,屬于中檔題型.20、(1),(2)最大值,最小值【解析】
(1)由曲線的參數(shù)方程,得兩式平方相加求解,根據(jù)直線的極坐標(biāo)方程,展開有,再根據(jù)求解.(2)因為曲線C是一個半圓,利用數(shù)形結(jié)合,圓心到直線的距離減半徑即為最小值,最大值點由圖可知.【詳解】(1)因為曲線的參數(shù)方程為所以兩式平方相加得:因為直線的極坐標(biāo)方程為.所以所以即(2)如圖所示:圓心C到直線的距離為:所以圓上的點到直線的最小值為:則點M(2,0)到直線的距離為最大值:【點睛】本題主要考查參數(shù)方程,普通方程及極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線與圓的位置關(guān)系,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.21、(1)l:,C:;(2)【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進行轉(zhuǎn)換;
(2)由(1)可得曲線是圓,求出圓心坐標(biāo)及半徑,再求得圓心到直線的距離,即可求得的長.【詳解】(1)由題意可得直線:,由,得,即,所以曲線C:.(2)由(1)知,圓,半徑.∴圓心到直線的距離為:.∴【點睛】本題考查直線的普通坐標(biāo)方程、曲線的直角坐標(biāo)方程的求法,考查弦長的求法、運算求解能
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