2023學(xué)年杭州市十四中高二數(shù)學(xué)（上）期末考試卷附答案解析

學(xué)年杭州市十四中高二數(shù)學(xué)（上）期末考試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項符合題意.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若，則（）A.5 B. C. D.33.已知，則（）A. B. C. D.4.在中，是的中點，是的中點，若，則（）A.1B.C. D.5.中國明代商人程大位對文學(xué)和數(shù)學(xué)頗感興趣，他于60歲時完成杰作《直指算法統(tǒng)宗》．這是一本風行東亞的數(shù)學(xué)名著，該書第五卷有問題云：“今有白米一百八十石，令三人從上及和減率分之，只云甲多丙米三十六石，問：各該若干？”翻譯成現(xiàn)代文為：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三個人來分，他們分得的米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？請你計算甲應(yīng)該分得（）A.76石 B.77石 C.78石 D.79石6.設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.7.所有頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，其中平行的兩個面叫底面，其它面叫側(cè)面，兩底面之間的距離叫高，經(jīng)過高的中點且平行于兩個底面的截面叫中截面．似柱體的體積公式為，這里、為兩個底面面積，為中截面面積，為高．如圖，已知多面體中，是邊長為的正方形，且，均為正三角形，，，則該多面體的體積為（）A. B. C. D.8.已知，分別為雙曲線：左，右焦點，點P為雙曲線漸近線上一點，若，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2二、多選題：本趣共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.某市2022年經(jīng)過招商引資后，經(jīng)濟收入較前一年增加了一倍，實現(xiàn)翻番，為更好地了解該市的經(jīng)濟收入的變化情況，統(tǒng)計了該市招商引資前后的年經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下扇形圖：則下列結(jié)論中正確的是（）A.招商引資后，工資凈收入較前一年增加B.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的1.25倍C.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和超過了該年經(jīng)濟收入的D.招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍10.如圖所示，在邊長1為的正六邊形中，下列說法正確的是（）A. B.C. D.11.甲箱中有3個白球和3個黑球，乙箱中有2個白球和4個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，再從乙箱中隨機取出一球.以分別表示從甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以分別表示從乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，則下列結(jié)論正確的是（）A.事件與事件互斥 B.事件與事件相互獨立C. D.12.存在定義域為的函數(shù)滿足（）A.是增函數(shù)，也是增函數(shù)B.減函數(shù)，也是減函數(shù)C.是奇函數(shù)，但是偶函數(shù)D.對任意的，，但三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中的系數(shù)為_____．14.已知直線l同時與圓和圓相切，請寫出兩條直線l的方程_____和_____．15.已知點在拋物線上，過作的準線的垂線，垂足為，點為的焦點．若，點的橫坐標為1，則_____．16.設(shè)函數(shù)的圖象既關(guān)于點對稱，又關(guān)于直線軸對稱．當時，，則的值為_____．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，，且.（1）求邊b的值；（2）若D為邊BC的中點，，求的面積.18.在長方體中，點，分別在，上，且，．（1）求證：平面；（2）當，，且平面與平面的夾角的余弦值為時，求的長．19.為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機抽樣的方法抽取80名學(xué)生．通過測驗得到了如表數(shù)據(jù)：學(xué)校數(shù)學(xué)成績合計不優(yōu)秀優(yōu)秀甲校301040乙校202040合計503080（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異；如果表中所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍．在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷學(xué)校和數(shù)學(xué)成績之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請你試著解釋其中的原因．（2）據(jù)調(diào)查，丙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率為30%，且將頻率視為概率、現(xiàn)根據(jù)甲、乙、丙三所學(xué)?？?cè)藬?shù)比例依次抽取了24人，30人，30人進行調(diào)查訪談．如果已知從中抽到了一名優(yōu)秀學(xué)生，求該名學(xué)生來自丙校的概率．附：臨界值表：α0.10.050010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82820.已知數(shù)列中，對任意的，都有.（1）若為等差數(shù)列，求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.21.已知橢圓過點，且離心率為（1）求橢圓的方程；（2）、是橢圓上的兩個動點，如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個定值.22.設(shè)函數(shù)．（1）若，函數(shù)在的值域是，求函數(shù)的表達式；（2）令，若存在實數(shù)，使得|與|同時成立，求的取值范圍2023學(xué)年杭州市十四中高二數(shù)學(xué)（上）期末考試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項符合題意.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用二次不等式的解法解出集合，然后計算集合的交集.【詳解】由，，所以，故選：D.2.若，則（）A.5 B. C. D.3【答案】B【分析】由題意求，進而可求其模長.【詳解】∵，則，則.故選：B.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用二倍角的余弦公式和誘導(dǎo)公式即可.【詳解】.故選：D.4.在中，是的中點，是的中點，若，則（）A.1B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)是的中點，，為的中點，得到，然后結(jié)合，求出的值.【詳解】解：∵是的中點，，為的中點，∴，∵，∴，，∴，故選：D.5.中國明代商人程大位對文學(xué)和數(shù)學(xué)頗感興趣，他于60歲時完成杰作《直指算法統(tǒng)宗》．這是一本風行東亞的數(shù)學(xué)名著，該書第五卷有問題云：“今有白米一百八十石，令三人從上及和減率分之，只云甲多丙米三十六石，問：各該若干？”翻譯成現(xiàn)代文為：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三個人來分，他們分得的米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？請你計算甲應(yīng)該分得（）A.76石 B.77石 C.78石 D.79石【答案】C【分析】設(shè)出未知數(shù)，列出方程組，求出答案.【詳解】設(shè)甲、乙、丙分得的米數(shù)為x+d，x，x-d，則，解得：d=18，，解得：x=60，所以x+d=60+18=78（石）故選：C6.設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦定理的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.【詳解】依題意可得，因為，所以，要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點，根據(jù)，圖象：可得：，解得：，即.故選：B7.所有的頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，其中平行的兩個面叫底面，其它面叫側(cè)面，兩底面之間的距離叫高，經(jīng)過高的中點且平行于兩個底面的截面叫中截面．似柱體的體積公式為，這里、為兩個底面面積，為中截面面積，為高．如圖，已知多面體中，是邊長為的正方形，且，均為正三角形，，，則該多面體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】依據(jù)割補法去求該多面體的體積即可解決.【詳解】如圖，分別過點，作的垂線，垂足分別為點，，連接，，容易求得，.取的中點，連接，易得，則，所以多面體體積.故選：B8.已知，分別為雙曲線：的左，右焦點，點P為雙曲線漸近線上一點，若，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】B【分析】由題可得，然后利用二倍角公式結(jié)合條件可得，然后根據(jù)離心率公式即得.【詳解】因為，為的中點，所以，，所以，又，，所以，所以.故選：B.二、多選題：本趣共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.某市2022年經(jīng)過招商引資后，經(jīng)濟收入較前一年增加了一倍，實現(xiàn)翻番，為更好地了解該市的經(jīng)濟收入的變化情況，統(tǒng)計了該市招商引資前后的年經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下扇形圖：則下列結(jié)論中正確的是（）A.招商引資后，工資凈收入較前一年增加B.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的1.25倍C.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和超過了該年經(jīng)濟收入的D.招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍【答案】AD【分析】根據(jù)已知條件及扇形圖的特點即可求解.【詳解】設(shè)招商引資前經(jīng)濟收入為，而招商引資后經(jīng)濟收入為，則對于A，招商引資前工資性收入為，而招商引資后的工資性收入為，所以工資凈收入增加了，故A正確；對于B，招商引資前轉(zhuǎn)移凈收入為，招商引資后轉(zhuǎn)移凈收入為，所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的倍，故B錯誤；對于C，招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和為，所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財產(chǎn)凈收入的總和低于該年經(jīng)濟收入的，故C錯誤；對于D，招商引資前經(jīng)營凈收入為，招商引資后轉(zhuǎn)移凈收入為，所以招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍，故D正確.故選：AD.10.如圖所示，在邊長1為的正六邊形中，下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合平面向量性運算性質(zhì)、數(shù)量積的運算性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因為，所以本選項說法正確；B：因為所以本選項說法正確；C：在正六邊形中，共頂點的邊和對角線夾角為，因為，所以本選項說法正確；D：在正六邊形中，每個內(nèi)角為因為，，所以本選項說法不正確，故選：ABC11.甲箱中有3個白球和3個黑球，乙箱中有2個白球和4個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，再從乙箱中隨機取出一球.以分別表示從甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以分別表示從乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，則下列結(jié)論正確的是（）A.事件與事件互斥 B.事件與事件相互獨立C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨立事件的概念判斷A、B，根據(jù)古典概型的概率公式判斷C，根據(jù)全概率公式判斷D；【詳解】解：對于A，每次取出球，事件與事件是互斥事件且是對立事件，故A正確；對于B，從甲箱中取出黑球，放入乙箱中，則乙箱黑球變?yōu)閭€，則取出白球概率發(fā)生變化，事件與事件不相互獨立，故B錯誤；對于C，若從甲箱取出個黑球放入乙箱，這時乙箱黑球變?yōu)閭€，白球還是個，則，故C錯誤；對于D：因為，，，所以，故D正確．故選：AD．12.存在定義域為的函數(shù)滿足（）A.是增函數(shù)，也是增函數(shù)B.是減函數(shù)，也是減函數(shù)C.奇函數(shù)，但是偶函數(shù)D.對任意的，，但【答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法判斷AB；由奇函數(shù)定義判斷C；特殊函數(shù)判斷D.【詳解】對于A，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，因為是增函數(shù)，所以也是增函數(shù)，A正確；對于B，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，因為是減函數(shù)，所以是增函數(shù)，B錯誤；對于C，因為是奇函數(shù)，則，所以，所以是奇函數(shù)，C錯誤；對于D，令，其定義域為，滿足，但是，故D正確.故選：AD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中的系數(shù)為_____．【答案】【分析】寫出展開式第項通式即可求解.【詳解】因為展開式第項通式為，所以當時的系數(shù)為.故答案為：.14.已知直線l同時與圓和圓相切，請寫出兩條直線l的方程_____和_____．【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）【分析】根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式進行求解即可.【詳解】由，設(shè)圓心為，半徑為，由，設(shè)圓心為，半徑為1，設(shè)直線l不存在斜率，此時方程設(shè)為：，因為直線l同時與圓和圓相切，所以有，此時直線l的方程為，當直線l存在斜率，此時方程設(shè)為：，因為直線l同時與圓和圓相切，所以或，所以此時切線方程為，或，即，或，故答案為：；15.已知點在拋物線上，過作的準線的垂線，垂足為，點為的焦點．若，點的橫坐標為1，則_____．【答案】【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組求得，得到直線的傾斜角為，結(jié)合斜率公式，列出方程，即可求解.【詳解】如圖所示，不妨設(shè)點在第一象限，因為點的橫坐標為，聯(lián)立方程組，解得，即，又由，可得軸，因為，可得，所以直線的傾斜角為，因為拋物線的焦點為，則，整理得且，解得，即，解得或（舍去）.故答案為：.16.設(shè)函數(shù)的圖象既關(guān)于點對稱，又關(guān)于直線軸對稱．當時，，則的值為_____．【答案】##【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性，結(jié)合對數(shù)的運算法則進行求解即可.【詳解】設(shè)函數(shù)的圖象為，對任意的，令，則在上，因為的圖象既關(guān)于點對稱，又關(guān)于直線軸對稱．所以由在上，可得，，都在上，而，所以取，此時，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的對稱性.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且.（1）求邊b的值；（2）若D為邊BC的中點，，求的面積.【答案】（1）4（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理，找到邊關(guān)系求解.(2)根據(jù)余弦定理，求出，再根據(jù)面積公式求解.【小問1詳解】因為，由正弦定理得：，且，所以.【小問2詳解】延長AD至點E，滿足，連接EB，EC，在中，由余弦定理得：，因為，，代入上式整理得：，所以所以18.在長方體中，點，分別在，上，且，．（1）求證：平面；（2）當，，且平面與平面的夾角的余弦值為時，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由正方體的性質(zhì)得到平面，即可得到，結(jié)合，得到平面，從而得到，同理可證，即可得證；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得【小問1詳解】因為，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因為，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因為，平面，所以平面.【小問2詳解】依題意，建立以為原點，以，，分別為，，軸的空直角坐標系，設(shè)，則，，，則，，，由（1）平面，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得（負值舍去），所以平面與平面的夾角的余弦值為時.19.為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機抽樣的方法抽取80名學(xué)生．通過測驗得到了如表數(shù)據(jù)：學(xué)校數(shù)學(xué)成績合計不優(yōu)秀優(yōu)秀甲校301040乙校202040合計503080（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異；如果表中所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍．在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷學(xué)校和數(shù)學(xué)成績之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請你試著解釋其中的原因．（2）據(jù)調(diào)查，丙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率為30%，且將頻率視為概率、現(xiàn)根據(jù)甲、乙、丙三所學(xué)?？?cè)藬?shù)比例依次抽取了24人，30人，30人進行調(diào)查訪談．如果已知從中抽到了一名優(yōu)秀學(xué)生，求該名學(xué)生來自丙校的概率．附：臨界值表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）由卡方公式進行求解即可；（2）利用全概率公式、條件概率公式進行求解即可.【小問1詳解】因為，所以兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間沒有關(guān)系，所有數(shù)據(jù)都擴大10倍后：這時兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間有關(guān)系，所以相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷學(xué)校和數(shù)學(xué)成績之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論不一樣，主要是因為樣本容量的不同，只有當樣本容量越大時，用樣本估計總體的準確性會越高.【小問2詳解】抽取甲、乙、丙三所學(xué)校優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)分別為：，記分別為事件“抽到的學(xué)生來自甲、乙、丙學(xué)校”，為事件“抽到一名優(yōu)秀學(xué)生”，則，，所以，所以從中抽到了一名優(yōu)秀學(xué)生，該名學(xué)生來自丙校的概率為：.20.已知數(shù)列中，對任意的，都有.（1）若為等差數(shù)列，求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，又，可得，，于是可求得的值，即可得的通項公式；（2）根據(jù)，可得數(shù)列的奇數(shù)項是首項為3，公差為4的等差數(shù)列；偶數(shù)項是首項為1公差為4的等差數(shù)列，再對項數(shù)分奇偶討論，結(jié)合等差數(shù)列求和公式，即可數(shù)列的前n項和.小問1詳解】解：因為為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，又，可得：，，所以，解得：，，所以的通項公式為.【小問2詳解】解：由條件，可得：，兩式相減得：，因為，又，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項是首項為3，公差為4的等差數(shù)列；偶數(shù)項是首項為1公差為