新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第1課時等差數(shù)列的概念素養(yǎng)作業(yè)新人教A版選擇性必修第二冊

第四章4.24.2.1第1課時A組·基礎(chǔ)自測一、選擇題1．?dāng)?shù)列{an}的通項公式an＝2n＋5，則此數(shù)列(A)A．是公差為2的等差數(shù)列B．是公差為5的等差數(shù)列C．是首項為5的等差數(shù)列D．是公差為n的等差數(shù)列[解析]∵an＝2n＋5，∴an－1＝2n＋3(n≥2)，∴an－an－1＝2n＋5－2n－3＝2(n≥2)，∴數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列．2．已知數(shù)列{an}，對隨意的n∈N*，點Pn(n，an)都在直線y＝2x＋1上，則{an}為(A)A．公差為2的等差數(shù)列B．公差為1的等差數(shù)列C．公差為－2的等差數(shù)列D．非等差數(shù)列[解析]由題意知an＝2n＋1，則an＋1－an＝2.故選A．3．在兩個實數(shù)a，b(a≠b)之間插入n個數(shù)，使它們與a，b組成等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差為(C)A．eq\f(b－a,n) B．eq\f(a－b,n＋1)C．eq\f(b－a,n＋1) D．eq\f(b－a,n＋2)[解析]b是等差數(shù)列的第n＋2項．由等差數(shù)列的通項公式，得b＝a＋(n＋2－1)d，解得d＝eq\f(b－a,n＋1).4．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1＝2，a2＋a3＝13，則a4＋a5＋a6等于(B)A．40 B．42C．43 D．45[解析]設(shè)公差為d，則a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，解得d＝3，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝3a1＋12d＝42.5．設(shè)x是a與b的等差中項，x2是a2與－b2的等差中項，則a，b的關(guān)系是(C)A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)＝3bC．a(chǎn)＝－b或a＝3b D．a(chǎn)＝b＝0[解析]由等差中項的定義知：x＝eq\f(a＋b,2)，x2＝eq\f(a2－b2,2)，∴eq\f(a2－b2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.二、填空題6．若{an}為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，則公差d＝－eq\f(1,2).[解析]方法一：由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，則a1＝1，又由于a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－eq\f(1,2).方法二：a7＝a3＋4d＝4d，a4＝a3＋d＝d，代入條件即可得d.7．已知f(n＋1)＝f(n)－eq\f(1,4)(n∈N*)，且f(2)＝2，則f(101)＝－eq\f(91,4).[解析]∵{f(n)}為等差數(shù)列，公差為－eq\f(1,4)，∴f(1)＝f(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝2＋eq\f(1,4)＝eq\f(9,4).∴f(101)＝f(1)＋100·d＝eq\f(9,4)＋100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝－eq\f(91,4).8．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為eq\f(67,66)升．[解析]設(shè)此等差數(shù)列為{an}，公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66).))∴a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).三、解答題9．三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項之積為后一項的6倍，求這三個數(shù)．[解析]設(shè)這三個數(shù)分別為a－d，a，a＋d，則3a＝9，∴a＝3.∴這三個數(shù)分別為3－d,3,3＋d.由題意，得3(3－d)＝6(3＋d)，∴d＝－1.∴這三個數(shù)分別為4,3,2.10．已知b是a，c的等差中項，且lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差數(shù)列，同時a＋b＋c＝15，求a，b，c的值．[解析]因為2b＝a＋c，a＋b＋c＝15，所以3b＝15，b＝5.設(shè)等差數(shù)列a，b，c的公差為d，則a＝5－d，c＝5＋d.由2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1)知：2lg4＝lg(6－d)＋lg(4＋d)．從而16＝(6－d)(4＋d)，即d2－2d－8＝0.所以d＝4或d＝－2.所以a，b，c三個數(shù)分別為1,5,9或7,5,3.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．(多選題)下列命題中正確的個數(shù)是(BCD)A．若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2肯定成等差數(shù)列B．若a，b，c成等差數(shù)列，則2a,2b,2c可能成等差數(shù)列C．若a，b，c成等差數(shù)列，則ka＋2，kb＋2，kc＋2肯定成等差數(shù)列D．若a，b，c成等差數(shù)列，則eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)可能成等差數(shù)列[解析]對于A，令a＝1，b＝2，c＝3，則a2＝1，b2＝4，c2＝9，A錯誤；對于B，取a＝b＝c?2a＝2b＝2c，B正確；對于C，因為a，b，c成等差，所以a＋c＝2b，所以(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，C正確；對于D，取a＝b＝c≠0，則eq\f(1,a)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,c)，D正確．2．等差數(shù)列的首項為eq\f(1,25)，且從第10項起先為比1大的項，則公差d的取值范圍是(D)A．d>eq\f(8,75) B．d<eq\f(3,25)C．eq\f(8,75)<d<eq\f(3,25) D．eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25)[解析]由題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10>1，,a9≤1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)＋9d>1，,\f(1,25)＋8d≤1，))∴eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25).3．(多選題)已知數(shù)列{an}滿意：a1＝2，當(dāng)n≥2時，an＝(eq\r(an－1＋2)＋1)2－2，則下列說法正確的是(ABC)A．a(chǎn)2＝7 B．?dāng)?shù)列{an}為遞增數(shù)列C．a(chǎn)n＝n2＋2n－1 D．?dāng)?shù)列{an}為周期數(shù)列[解析]∵數(shù)列{an}滿意：a1＝2，當(dāng)n≥2時，an＝(eq\r(an－1＋2)＋1)2－2，∴an＋2＝(eq\r(an－1＋2)＋1)2，∴eq\r(an＋2)＝eq\r(an－1＋2)＋1，即數(shù)列{eq\r(an＋2)}是首項為eq\r(a1＋2)＝2，公差為1的等差數(shù)列．∴eq\r(an＋2)＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴an＝n2＋2n－1，所以易知ABC正確，D錯誤．故選ABC．二、填空題4．已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，a1＝1，且a2＋a6＝a8.若p－q＝10，則ap－aq＝_10__.[解析]設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，∵a1＝1，且a2＋a6＝a8，∴2＋6d＝1＋7d，解得d＝1.若p－q＝10，則ap－aq＝10d＝10.5．等差數(shù)列{an}，首項為33，公差為整數(shù)，若前7項均為正數(shù)，第7項以后各項都為負(fù)數(shù)，則數(shù)列的通項公式為_an＝38－5n__.[解析]由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a7＝a1＋6d>0，,a8＝a1＋7d<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(33＋6d>0，,33＋7d<0，))解得－eq\f(33,6)<d<－eq\f(33,7).又∵d∈Z，∴d＝－5.∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n.三、解答題6．已知f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，在數(shù)列{xn}中，x1＝eq\f(1,3)，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，試說明數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差數(shù)列，并求x95的值．[解析]因為當(dāng)n≥2時，xn＝f(xn－1)，所以xn＝eq\f(2xn－1,xn－1＋2)(n≥2)，即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，得eq\f(2xn－1－2xn,xnxn－1)＝1(n≥2)，即eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,2)(n≥2)．又eq\f(1,x1)＝3，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是以3為首項，eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列，所以eq\f(1,xn)＝3＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n＋5,2)，所以xn＝eq\f(2,n＋5)，所以x95＝eq\f(2,95＋5)＝eq\f(1,50).C組·探究創(chuàng)新已知等差數(shù)列{an}：3,7,11,15，….(1)求{an}的通項公式；(2)135,4m＋19(m∈N*)是數(shù)列{an}的項嗎？假如是，是第幾項？(3)若am，at(m，t∈N*)是數(shù)列{an}中的項，那么2am＋3at是數(shù)列{an}的項嗎？假如是，是第幾項？[解析](1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，依題意，有a1＝3，d＝7－3＝4，∴an＝3＋4(n－1)＝4